江蘇張家港市暨陽(yáng)高級(jí)中學(xué)（215600）季蕓潔

“圓”是學(xué)生最熟悉的基本平面幾何圖形之一，也是初、高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。在具體的教學(xué)中，如果不能正確認(rèn)識(shí)“圓”在初、高中數(shù)學(xué)中的地位，就會(huì)偏離正確的教學(xué)方向。下面是筆者的一些認(rèn)識(shí)，供同行參考、指正。

一、教學(xué)現(xiàn)狀

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，部分教師延續(xù)初中對(duì)“圓”的教學(xué)要求，單純強(qiáng)調(diào)“圓”的幾何性質(zhì)的學(xué)習(xí)和應(yīng)用。例如，對(duì)于圓的定義，只介紹“到定點(diǎn)的距離為定值”這一種形式；對(duì)于直線與圓的位置關(guān)系，只說明利用“點(diǎn)到直線的距離與半徑大小關(guān)系”來判斷；對(duì)于點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，只強(qiáng)調(diào)通過“點(diǎn)到圓心的距離”與“半徑”的比較來分析。這些都是研究“圓”的重點(diǎn)方法，很多與“圓”有關(guān)的問題，利用這些幾何性質(zhì)可簡(jiǎn)潔求解。但是，初、高中數(shù)學(xué)對(duì)“圓”知識(shí)的學(xué)習(xí)側(cè)重點(diǎn)不同，初中數(shù)學(xué)重視的是圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，而高中數(shù)學(xué)則將“圓”作為解析幾何的基本內(nèi)容，傾向于用解析法去研究、解決“圓”的相關(guān)問題。因此，在高中“圓”的教學(xué)中，既要突出圓的幾何性，又要突出圓的代數(shù)性。

二、教學(xué)改進(jìn)

在高中數(shù)學(xué)中，“圓”是解析幾何的基礎(chǔ)，是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)橢圓、雙曲線、拋物線的基礎(chǔ)，研究這些圓錐曲線的定義、方程以及直線與圓錐曲線的關(guān)系都要用到圓。

（一）引申圓的定義

在平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是圓。除這種定義外，還要引入其他形式的定義，為后期探究橢圓、雙曲線、拋物線打下基礎(chǔ)。

［例1］在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(?2,0)，B(2,0)，P是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PA，PB斜率之積為?1，求點(diǎn)P的軌跡方程。

說明：圓的這種定義形式更能體現(xiàn)利用定義法求曲線方程的基本思路，即求點(diǎn)的軌跡方程，就設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y)，再根據(jù)題目條件找到x,y的關(guān)系，要注意排除不符合條件的點(diǎn)。

［例2］在△ABC中，AB=2，AC=BC，求點(diǎn)C的軌跡方程。

解析：如圖1 所示，以AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為橫軸，建立平面直角坐標(biāo)系。

圖1

說明：圓的這種定義形式可以簡(jiǎn)記為“到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡，且定值不為1”。在這一定義形式下的圓也稱為“阿波羅尼斯圓”。以此為背景的命題在近年的高考試卷中屢見不鮮。

［例3］在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(cosθ,sinθ)到直線x?my?2=0 的距離為d。當(dāng)θ,m變化時(shí)，dmax=__________。

解析：假設(shè)x=cosθ，y=sinθ，則P(cosθ,sinθ)的軌跡方程為x2+y2=1，即為單位圓，圓心到x?my?2=0的距離為

如圖2 所示，圓x2+y2=1上 的 點(diǎn)P(cosθ,sinθ) 到x?my?2=0 的距離的最大值為，即m=0，dmax=3。

圖2

說明：圓心為點(diǎn)(a,b)，半徑為r的圓的參數(shù)方程（θ為參數(shù)），此類問題可借助圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)的性質(zhì)處理。

（二）拓展問題的處理方法

處理橢圓、雙曲線綜合問題的基本方法有坐標(biāo)法、代入消元法、判別式法，因此教師在“圓”的教學(xué)中也要引導(dǎo)學(xué)生掌握這些方法。例如在處理直線與圓的位置關(guān)系問題時(shí)，教師除了講解幾何法，還要介紹代數(shù)法，即將直線方程與圓的方程聯(lián)立，代入消元得到含x或y的一元二次方程，進(jìn)而利用判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，整體代換、設(shè)而不求解決問題。

［例4］已知方程x2+y2?2x?4y+m=0。

（1）若此方程表示圓，求m的取值范圍；

（2）若（1）中的圓與直線x+2y?4=0 相交于A，B兩點(diǎn)，且原點(diǎn)O在以AB為直徑的圓內(nèi)，求m的范圍。

解析：（1）由(?2)2+(?4)2?4m>0，即4+1 ?m>0，解得m<5。

（2）將直線x+2y?4=0與圓的方程x2+y2?2x?4y+m=0聯(lián)立，消元得(4 ?2y)2+y2?2(4 ?2y)?4y+m=0，整理得5y2?16y+8 +m=0，由Δ=(?16)2?20×(8+m)>0，解得m<

［例5］如圖3，已知圓C：x2+(y?3)2=25 與x軸的負(fù)半軸相交于點(diǎn)M。過點(diǎn)M作MA，MB分別與圓C相交于點(diǎn)A，B，且直線MA，MB關(guān)于x軸對(duì)稱，試問直線AB的斜率是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說明理由。

圖3

說明：本題也可以采用幾何法求解。如圖4，設(shè)圓與x軸的正半軸相交于點(diǎn)M′。由MA，MB關(guān)于x軸對(duì)稱可知，∠AMM′=∠BMM′，所 以M′為的中點(diǎn)，連接CM′，則CM′⊥AB，因?yàn)橹本€CM′的斜率為所以kAB=即直線AB的斜率為定值。幾何法雖然簡(jiǎn)潔，但代數(shù)法的意義更為重大。

圖4

［例6］如圖5 所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x2+y2=4，點(diǎn)B，C在圓O上，且關(guān)于x軸對(duì)稱。

圖5

（1）當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為的值；

（2）設(shè)P為圓O上異于B，C的任意一點(diǎn)，直線PB，PC與時(shí)，求x軸分別交于點(diǎn)M，N，證明：|O M|·|ON|為定值。

解析：（1）略；

說明：上述求解體現(xiàn)了解決解析幾何問題的另外一種重要方法，即“設(shè)點(diǎn)法”。題目中動(dòng)態(tài)問題的背景是由動(dòng)點(diǎn)P引起的，故可設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再將其他相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出來，結(jié)合題目條件列出相應(yīng)的關(guān)系式，再借助點(diǎn)P在曲線上，利用曲線方程進(jìn)行消元。這種方法也是處理圓錐曲線問題的重要方法。因此，教師在“圓”的教學(xué)過程中要體現(xiàn)這一方法的應(yīng)用。另外，對(duì)本題進(jìn)行深入探究不難發(fā)現(xiàn)該定值即為圓的半徑的平方，感興趣的讀者可自行進(jìn)行證明。

（三）落實(shí)圓的應(yīng)用

高考命題中既有直接考查圓的題型，又有以圓為解題工具進(jìn)行間接考查的題型，即通過構(gòu)造圓的模型來解決問題。因此，在教學(xué)中教師要落實(shí)圓的應(yīng)用。

說明：本題條件中并沒有出現(xiàn)圓，但結(jié)合向量的模為定值，可構(gòu)造以向量的模為半徑的圓，從而利用圓的幾何性質(zhì)簡(jiǎn)潔求解。

說明：整體來看，圓的方程不是函數(shù)，但從局部來看，單位圓x2+y2=1 在x軸上方的部分可表示為y=，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)，可利用函數(shù)的知識(shí)方法來研究圓。類似地，y=表示單位圓在x軸下方的部分。

三、教學(xué)反思

高中數(shù)學(xué)教材中各模塊所處的位置并不是獨(dú)立的，前后之間都具有一定的關(guān)聯(lián)，特別是2019 年人民教育出版社出版的新教材，各模塊之間的順序更嚴(yán)謹(jǐn)，新教材將圓與橢圓、雙曲線安排在一起，放置在選擇性必修一中。因此在教學(xué)中，教師不能孤立地教學(xué)某一模塊，應(yīng)綜合考慮本模塊與前后模塊之間的聯(lián)系，為后一模塊的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，為前面已學(xué)模塊創(chuàng)造拓展的空間。