魏思聰，李鵬飛，董振華，梅 波，羅吉慶

(1.交通運輸部公路科學研究院，北京 100088；2.廣東省公路建設(shè)有限公司，廣東 東莞 510660)

0 引言

滑動型橋梁支座相較于傳統(tǒng)鋼鉸支座，有可動性好、耐久性高的優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于國內(nèi)外各類公路橋梁結(jié)構(gòu)中。其中，盆式橡膠橋梁支座是滑動型橋梁支座的代表之一?，F(xiàn)代盆式橡膠支座的滑動面上通常有聚四氟乙烯(PTFE)涂層，此類盆式橡膠支座被稱為聚四氟乙烯盆式橡膠支座。聚四氟乙烯化學性質(zhì)穩(wěn)定，是一種優(yōu)秀的工程材料，特別是在與金屬材料相互摩擦時，聚四氟乙烯-金屬摩擦面上的摩擦系數(shù)小于金屬-金屬摩擦面。所以，支座滑動面上的聚四氟乙烯涂層可以減小支座損耗，提升支座耐久性。

在橋梁結(jié)構(gòu)動力分析中，支座滑動面一般被認為是光滑面，而支座摩擦則被包含進結(jié)構(gòu)阻尼中，通過設(shè)置結(jié)構(gòu)阻尼比予以考慮。一些精細化橋梁結(jié)構(gòu)動力分析則采用Coulomb摩擦模型模擬支座摩擦。隨著對摩擦力學的深入研究，很多學者指出，鋼-聚四氟乙烯界面的摩擦機理與Coulomb摩擦模型所表征的線性摩擦存在較大差異，前者的動摩擦系數(shù)并非是一個由界面材料特性確定的常數(shù)，而是隨滑動速度和界面正壓力變化而變化，即存在明顯的速變和壓變特征，體現(xiàn)出較大的非線性[1]。

在滑動加速度較小和界面正壓力較穩(wěn)定時，鋼-聚四氟乙烯界面摩擦可以采用Coulomb摩擦模型表征。但在車輛通過引發(fā)振動、風振、地震等公路橋梁振動場景中，鋼-聚四氟乙烯界面摩擦的非線性特征對結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)影響較大，應(yīng)當予以考慮。同時，隨著對橋梁支座摩擦研究的深入，部分學者發(fā)現(xiàn)橋梁支座摩擦對橋梁自振頻率、結(jié)構(gòu)阻尼等振動特性有顯著影響[2]。李愛麗、高日[3]，魏標、劉義偉、蔣麗忠等[4]進行不同支座類型橋梁的地震響應(yīng)分析，討論了支座摩擦對結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的影響。王常峰、朱春林、陳興沖[5]對活動支座摩擦作用對橋梁彈塑性地震方向的影響進行了數(shù)值模擬研究。

隨著隔振器、阻尼器等減振技術(shù)發(fā)展以及材料科學進步，很多學者致力于應(yīng)用非線性數(shù)學模型描述振動能量耗散的物理過程，其中就包括滑動摩擦耗能。Mokha和Constantinou等[1]提出了鋼-聚四氟乙烯界面滑動摩擦系數(shù)的計算方法，并應(yīng)用改進的Bouc-Wen模型，模擬聚四氟乙烯基礎(chǔ)隔振器的動力摩擦響應(yīng)，其成果被廣泛應(yīng)用。張文芳、程文瀼[6]考慮了滑動速度對動摩擦系數(shù)的影響，提出了相應(yīng)的數(shù)學關(guān)系式。劉少波、李愛群[7]對泡沫鋁-聚氨酯復合材料摩擦阻尼器進行了試驗研究，并應(yīng)用修正的Bouc-Wen模型模擬了試驗所得的摩擦滯回曲線。李悅、紀夢為、李沖[8]就溫度對板式橡膠支座摩擦滑移性能的影響進行了有限元模擬分析，提出了滑動摩擦耗能與環(huán)境溫度間的關(guān)系。Lomiento等[9]研究了地震激勵下滑動支座的摩擦模型。

圖1 盆式橡膠支座半剖面圖

以上研究富有成效，從不同方面豐富完善了支座摩擦理論，加深了關(guān)于支座摩擦對橋梁動力響應(yīng)影響的理解。但由于結(jié)構(gòu)振動分析中考慮支座摩擦效應(yīng)所涉及因素較多，計算難度較大，如何充分考慮支座摩擦的速變、壓變等非線性特征，以及在工程實踐中，有效考慮支座摩擦對結(jié)構(gòu)阻尼的影響，仍需進一步研究。

本研究基于Bouc-Wen滯回模型和以往對鋼-聚四氟乙烯(PTFE)界面摩擦機理的研究及相關(guān)摩擦試驗數(shù)據(jù)，針對公路橋梁振動場景，對盆式支座的滑動摩擦進行分析，構(gòu)建了一套完整描述橋梁盆式支座任意方向滑動摩擦的數(shù)學模型，并基于該數(shù)學模型，開發(fā)了一種適用于橋梁有限元動力分析的三維盆式支座有限單元。

1 盆式橡膠支座鋼-聚四氟乙烯滑動面摩擦機理

以往摩擦試驗顯示[1，10-11]，鋼-聚四氟乙烯滑動面上的滑動摩擦存在兩個階段：相對滑動發(fā)生前的靜摩擦和相對滑動發(fā)生后的動摩擦。相對滑動發(fā)生前，界面處于固結(jié)狀態(tài)(靜摩擦)，靜摩擦力隨外力增大而增大，直至達到靜摩擦極限Fs,max=μs,maxN，μs,max為最大靜摩擦系數(shù)，由界面性質(zhì)決定。隨后，靜摩擦力被克服，界面進入滑動狀態(tài)(動摩擦)，滑動摩擦力Fk=μkN，μk為滑動摩擦系數(shù)。這一過程被稱為“固結(jié)-滑動狀態(tài)轉(zhuǎn)變 (stick-slip transition)”。

Mokha和Constantinou等學者的早期試驗研究顯示[1]，鋼-聚四氟乙烯滑動面的滑動摩擦系數(shù)并非如Coulomb摩擦理論所假設(shè)，在滑動過程中為恒定常數(shù)，而是具有速變性和壓變性的特點。Constantinou等提出，滑動摩擦系數(shù)可表示為如式(1)所示的速度的函數(shù)：

(1)

式(1)并未體現(xiàn)出滑動摩擦系數(shù)的壓變性特點，Constantinou等[1]給出了4種壓力條件下，μmax，μmin和α的取值，如表1所示。

表1 不同壓力下μmax，μmin和α的取值

作用在支座頂部的壓力隨橋梁豎向振動而連續(xù)變化，這種參數(shù)取值方法，顯然，無法滿足橋梁振動時任意時刻的摩擦系數(shù)計算。本研究對表1數(shù)據(jù)，采用壓力p的對數(shù)函數(shù)和二次多項式函數(shù)進行擬合，得到式(2)參數(shù)取值的連續(xù)表達式，具體擬合過程詳見文獻 [12]。

μmax=-0.033 27ln(p)+0.178 2，μmax=-0.009 356ln(p)+0.043 62，α=-2.39×10-5p2+0.001 2p+0.015。

(2)

2 盆式橡膠支座三維有限單元構(gòu)建

2.1 盆式橡膠支座摩擦數(shù)學模型

2.1.1 Bouc-Wen滯回模型與鋼-聚四氟乙烯界面摩擦固結(jié)-滑動轉(zhuǎn)變過程模擬

Bouc-Wen滯回模型是一種常用的描述黏彈性材料滯回曲線的模型，由Bouc[13]首先提出并由Wen[14]在隨機振動和滯回現(xiàn)象分析中拓展和應(yīng)用。該模型描述恢復力Fr和變形u之間存在以下黏彈性關(guān)系：

Fr=ak0u+(1-a)Dk0z,

(3)

式中，k0為材料初始(彈性)剛度；a=ky/k0為材料完全屈服后剛度；ky為與初始剛度的比值；D為變形屈服極限，z被稱為滯回參數(shù)。其值由以下微分方程確定：

(4)

(5)

Bouc-Wen滯回模型可由以下示例解釋，如圖2所示，材料完全屈服后，總恢復力Fr,1可表示為：

圖2 Bouc-Wen滯回模型的力-位移關(guān)系曲線

Fr,1=kyu1+Fy-kyD，

(6)

式中，u1為材料完全屈服時的變形；Fy為材料的屈服極限力;Fy=k0D。記ky為k0的線性函數(shù)，即ky=ak0，式(6)可寫為：

Fr=ak0u1+(1-a)Dk0。

(7)

比較式(3)和(7)可以發(fā)現(xiàn)，滯回參數(shù)z取值±1時，材料進入完全屈服狀態(tài)。而|z|<1時，材料處于由線彈性狀態(tài)向完全屈服狀態(tài)轉(zhuǎn)變的過程中。因此，滯回參數(shù)z可以被視為一個狀態(tài)控制參數(shù)，z的取值確定了材料處于何種工作狀態(tài)，以及材料展現(xiàn)出何種變形方式。

鋼-聚四氟乙烯界面摩擦在發(fā)生界面相對滑動前，需要克服最大靜摩擦力，由固結(jié)狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榛瑒訝顟B(tài)。這一過程在考慮支座摩擦的橋梁振動分析中起到控制性作用。如果采用Coulomb摩擦模型考慮這一過程，則需要建立一個分段函數(shù)，將滑動力和最大靜摩擦力的比值作為判定條件，確定支座界面是否發(fā)生滑動，如圖3(a)所示。當橋梁振動分析中自由度較多，支座滑動方向不確定時，Coulomb摩擦模型需要不斷判定界面是否發(fā)生滑動，將增加數(shù)值計算量，并造成收斂困難。同時，在經(jīng)典Coulomb模型中，支座固結(jié)-滑動狀態(tài)轉(zhuǎn)變是發(fā)生在一瞬間的，無法模擬盆式橡膠支座發(fā)生宏觀相對滑動前，由于聚四氟乙烯層發(fā)生剪切變形而產(chǎn)生的鋼-聚四氟乙烯界面微小相對位移[1]。

為解決Coulomb摩擦模型在鋼-聚四氟乙烯界面摩擦模擬中存在的上述問題，考慮Bouc-Wen滯回模型中滯回參數(shù)z具有狀態(tài)控制的特點，本研究采用Bouc-Wen滯回模型參數(shù)z實現(xiàn)摩擦界面的固結(jié)-滑動狀態(tài)轉(zhuǎn)變控制。同時，由于參數(shù)取值z是連續(xù)的，通過調(diào)整式(3)參數(shù)D的取值，可以較好地模擬出盆式橡膠支座發(fā)生宏觀相對滑動前，由于聚四氟乙烯層發(fā)生剪切變形而產(chǎn)生的鋼-聚四氟乙烯界面微小相對位移。

2.1.2 基于拓展Bouc-Wen滯回模型的盆式橡膠支座摩擦數(shù)學模型構(gòu)建

以動摩擦力Ff,k=μkN代替Bouc-Wen模型中的屈服極限力Fy，得到下式：

μkpAPTFE=k0D，

(8)

式中，p為均勻作用在鋼-聚四氟乙烯界面上的壓強；APTFE為鋼-聚四氟乙烯界面面積。對于鋼-聚四氟乙烯界面，μk的取值由式(1)，(2)確定。

將式(8)代入式(3)，設(shè)a=0，則Bouc-Wen滯回模型可以用于從數(shù)學上表征鋼-聚四氟乙烯界面的滑動摩擦，本研究稱為拓展Bouc-Wen滯回模型，如下式：

Fr=μkpAPTFEz。

(9)

由式(8)可知，變形屈服極限D(zhuǎn)可寫為：

(10)

根據(jù)Bouc-Wen滯回模型中變形屈服極限D(zhuǎn)的定義和鋼-聚四氟乙烯界面發(fā)生宏觀相對滑動的瞬間力學平衡條件可以推出，在拓展Bouc-Wen模型中，D是滑動前因聚四氟乙烯層剪切變形而產(chǎn)生的鋼-聚四氟乙烯界面微小相對位移，通常取值為0.13～0.5 mm[1]，k0為聚四氟乙烯層的抗剪剛度。

當動摩擦系數(shù)μk為常量，且k0取值足夠大，D取值足夠小時，式(9)所示的拓展Bouc-Wen滯回模型與Coulomb摩擦模型相近，如圖3所示。

圖3 Coulomb摩擦模型和拓展Bouc-Wen滯回模型的摩擦力-位移關(guān)系曲線

滯回參數(shù)z控制鋼-聚四氟乙烯界面的狀態(tài)。當界面發(fā)生宏觀相對滑動時，|z|=1，對應(yīng)Bouc-Wen滯回模型中的材料進入完全屈服狀態(tài)；當界面沒有發(fā)生宏觀相對滑動時，|z|<1，對應(yīng)Bouc-Wen滯回模型中材料由線彈性狀態(tài)向完全屈服狀態(tài)轉(zhuǎn)變的過程。

2.1.3 盆式橡膠支座摩擦數(shù)學模型在滑動平面內(nèi)的任意方向上的應(yīng)用

式(9)所示的盆式橡膠支座摩擦數(shù)學模型僅適用于方向確定的單向滑動，而實際公路橋梁中使用的多向盆式橡膠支座頂板可以向平面內(nèi)的任意方向滑動。因此，需要將式(9)所示數(shù)學模型從線運動擴展為面內(nèi)運動，用以表征盆式橡膠支座頂板在平面內(nèi)任意方向滑動時的摩擦力和滑動位移。

建立平面內(nèi)正交坐標系，在坐標系內(nèi)，平面內(nèi)任意方向滑動可由2個沿坐標軸方向正交的位移自由度表征，如圖4所示。

圖4 平面內(nèi)任意方向滑動

Park等[15]和Mosqueda等[16]將Bouc-Wen滯回模型的應(yīng)用范圍從單向運動拓展到平面內(nèi)正交的雙向運動。平面內(nèi)正交的雙向運動條件下的滯回曲線可以由如式(11)的微分方程組描述：

(11)

式(11)也可以寫為如下矩陣形式：

(12)

在如圖4所示，對于盆式橡膠支座滑動平面內(nèi)任意方向的滑動，其任意時刻滑動方向與x軸的夾角為θ，則其運動變量在2個坐標軸上的分量為：

(13)

(14)

將式(4)中的參數(shù)n取值2，即得到式(14)。式(11)和(14)說明，平面內(nèi)正交的雙向運動條件下的滯回曲線可由任意時刻滑動方向上的滯回參數(shù)和合速度描述。

當盆式橡膠支座處于滑動狀態(tài)下，且x和z方向上的速度分量均不為0時，滯回參數(shù)zx和zz取其最大值即1，則下式成立：

(15)

則式(11)可寫為一下微分方程組：

(16)

zx=cosθ,

zz=sinθ。

(17)

由式(9)和式(17)可知，x和z方向上的滑動摩擦力分量為：

Ff,x=μkpAPTFEzx,Ff,z=μkpAPTFEzz。

(18)

Ff=μkpAPTFEz。

(19)

由式(11),(18)和(19)組成的方程組，即為平面內(nèi)任意方向上的盆式橡膠支座摩擦數(shù)學模型。

2.2 盆式橡膠支座三維有限單元

2.2.1 單自由度體系盆式橡膠支座摩擦數(shù)學模型數(shù)值求解

對于僅有1個滑動自由度的盆式橡膠支座，其恢復力(即滑動摩擦力)的方向與運動方向相反，起阻礙滑動的作用。應(yīng)用2.1.2節(jié)推導的拓展Bouc-Wen滯回模型計算滑動摩擦力，則單自由度盆式橡膠支座滑動方向上的運動方程為：

(20)

式中，m和c分別為盆式橡膠支座頂板的質(zhì)量和滑動方向上的阻尼；F(t)為外力。聯(lián)立式(4)和式(20)，得到下列矩陣形式的微分方程組：

(21)

(1)隱示解法

(22)

式(22)可寫為以下形式：

(23)

式中，w是變量u，v和z組成的向量，w=[u,v,z]T；f(w,t)為w關(guān)于時間t的函數(shù)。式(23)所示形式通常被稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。

采用Crank-Nicolson有限差分法對式(23)進行離散。時間步長為Δt，任意時刻ti和ti+1間，式(23)可寫為：

(24)

將式(24)寫為ti+1時刻的求根函數(shù)形式，即求解使F(wi+1)=0的wi+1值。

(25)

采用Newton-Raphson法求解式(25)，每個時間步內(nèi)的求解迭代如式(26)～(28)所示：

Jδw=-F(w-)，

(26)

δw=-F(w-)J-1，

(27)

(28)

式中，w-為每次迭代中函數(shù)F(wi+1)的根；J是函數(shù)F(wi+1)的雅可比矩陣；δw是w-在每次迭代中的增量。

通過以上方法求解狀態(tài)空間表達式(23)，即可得到任意時刻盆式橡膠支座頂板的滑動和摩擦狀態(tài)。

(2)顯式解法

目前，橋梁結(jié)構(gòu)振動分析通常使用已成熟的商業(yè)有限元軟件進行數(shù)值計算，此類軟件一般預(yù)留了用戶自定義有限單元接口。將盆式橡膠支座作為一個用戶自定義有限單元，在有限元建模中應(yīng)用，相比于采用上述隱式解法同時求解運動方程和盆式橡膠支座摩擦數(shù)學模型，具備更大的適用范圍。

在顯式解法中，將滯回參數(shù)z作為任意時刻t時，方程式(4)的唯一變量。此時方程式(4)由二元一階微分方程變?yōu)橐辉浑A微分方程。

采用Euler差分法對式(4)進行離散，得到式(29)：

(29)

將式(29)ti+1寫為ti+1時刻的求根函數(shù)形式，即求解使F(zi+1)=0的zi+1值。

(30)

采用Newton-Raphson法求解式(30)，每個時間步內(nèi)的求解迭代如式(31)～(33)所示：

F′(z-)δz=-F(z-)，

(31)

(32)

(33)

通過以上方法求解式(4)可得到任意時刻的滯回參數(shù)z，再應(yīng)用常規(guī)數(shù)值方法求解式(20)所示單元運動方程，得到運動變量，求解過程不再累述。由此即可確定任意時刻盆式橡膠支座頂板任意方向滑動的位移和摩擦狀態(tài)。

2.2.2 盆式橡膠支座三維有限單元構(gòu)建

(1)假設(shè)和簡化

在構(gòu)建盆式橡膠支座三維有限單元過程中，本研究做出以下假設(shè)和簡化：

①由于盆式橡膠支座的幾何尺寸相較于橋梁結(jié)構(gòu)幾何尺寸很小，因此忽略盆式橡膠支座的幾何尺寸和形狀，僅將支座視為由2個節(jié)點連接而成的1個單元。

②忽略盆式橡膠支座鋼-聚四氟乙烯界面的不均勻性，假設(shè)此界面的材料均勻且各向同性，則支座的摩擦力大小與滑動方向無關(guān)。

③忽略支座磨損和支座接觸溫度變化對摩擦的影響。

④由于在正常使用極限狀態(tài)下，支座滑動和轉(zhuǎn)動通常較小，因此假設(shè)橋梁上部結(jié)構(gòu)壓力均勻作用在鋼-聚四氟乙烯界面上，忽略支座滑動造成的上部結(jié)構(gòu)偏心壓力。

(2)盆式橡膠支座有限單元

盆式橡膠支座三維有限單元由2個節(jié)點連接而成，分別模擬盆式橡膠支座的頂板和底板，如圖5所示。兩節(jié)點間相對滑動由盆式橡膠支座摩擦數(shù)學模型控制，調(diào)節(jié)模型參數(shù)可約束任意滑動自由度ux和uz，從而模擬單向滑動支座和任意向滑動支座；由于橡膠三向受約束時，抗壓強度極大，表現(xiàn)為剛性[17-18]，因此在模型中約束節(jié)點間豎向相對位移uy；允許繞滑動平面內(nèi)兩軸轉(zhuǎn)動，即θxy和θyz；約束繞法向軸轉(zhuǎn)動，即θxz。節(jié)點間運動約束構(gòu)成虛擬連接，模型空間中不存在連接實體。

圖5 盆式橡膠支座三維有限單元示意圖

(3)支座工作中的恢復力與滑動位移關(guān)系變化

橋梁結(jié)構(gòu)振動中，盆式橡膠支座滑動界面不斷地在滑動和固結(jié)狀態(tài)間變化。同時，對于任意向滑動支座，其滑動方向也受橋梁振動影響而不斷改變。支座工作中的恢復力與滑動位移關(guān)系發(fā)生如下變化。

狀態(tài)1：界面固結(jié)。此狀態(tài)下，支座沒有發(fā)生任何宏觀滑動位移，處于靜摩擦狀態(tài)。但由于聚四氟乙烯層發(fā)生剪切變形，頂板和底板間仍存在微小的相對位移，并隨著滑動趨勢增大而增大，直至滑動力超過最大靜摩擦力Ff,k，如圖6(a)所示。

狀態(tài)2：界面滑動。此狀態(tài)下，支座開始發(fā)生宏觀滑動位移，處于動摩擦狀態(tài)。但由于聚四氟乙烯層發(fā)生剪切變形，頂板和底板間仍存在微小的相對位移，并隨著滑動趨勢增大而增大，直至滑動力超過最大靜摩擦力，如圖 6(b)所示。

狀態(tài)3：界面滑動轉(zhuǎn)向。隨著橋梁結(jié)構(gòu)振動，支座滑動速度逐漸減小，動摩擦系數(shù)隨之減小，直至橋梁結(jié)構(gòu)振動達到最大位移，此時支座滑動停止。隨著橋梁結(jié)構(gòu)振動轉(zhuǎn)向，支座滑動轉(zhuǎn)向，并在相反方向上重復狀態(tài)1和狀態(tài)2。在坐標圖上體現(xiàn)為曲線從第1象限進入第3，4象限，并呈現(xiàn)滯回現(xiàn)象，如圖6(c)所示。

圖6 支座工作中的恢復力與滑動位移關(guān)系變化情況

狀態(tài)4：界面滑動二次轉(zhuǎn)向。隨著橋梁結(jié)構(gòu)振動在另一方向上達到最大位移并發(fā)生轉(zhuǎn)向，支座滑動再次轉(zhuǎn)向，并在相反方向上重復狀態(tài)1、狀態(tài)2和狀態(tài)3。在坐標圖上體現(xiàn)為曲線從第3象限進入第2象限，直至回到第1象限，完成一個完整的滯回環(huán)，如圖6(d)所示。

3 有限單元工作能力計算驗證

設(shè)計3組支座摩擦動力工況，應(yīng)用本研究構(gòu)建的盆式橡膠支座有限單元進行支座摩擦響應(yīng)計算分析，驗證該有限單元的工作能力。

3.1 任意方向滑動的摩擦響應(yīng)一致性驗證

由于假設(shè)鋼-聚四氟乙烯界面是均勻且各向同性的，所以任意方向上的滑動摩擦力因具有一致性。當不同方向上滑動速度大小相同時，對應(yīng)的滑動摩擦力大小也應(yīng)相同。

(1)工況設(shè)置

向頂部節(jié)點輸入簡諧位移波。通過調(diào)整位移波在x和z軸上分量振幅大小調(diào)整合位移方向，如式(34)所示。簡諧位移波輸入?yún)?shù)見表2。

表2 簡諧位移波輸入?yún)?shù)

(34)

(2)支座單元邊界條件設(shè)置

固定單元底部節(jié)點，約束所有滑動和轉(zhuǎn)動自由度；約束單元頂部節(jié)點的豎向位移uy和繞法向軸轉(zhuǎn)動θxz允許頂部節(jié)點沿x，z坐標軸滑動和繞x，z坐標軸轉(zhuǎn)動。

(3)支座摩擦響應(yīng)計算結(jié)果

計算結(jié)果顯示，應(yīng)用本研究構(gòu)建的盆式橡膠支座三維有限單元計算得到的3個滑動方向(滑動方向與x軸夾角分別為0°，30°和45°)上的滑動摩擦力大小完全一致，如圖7所示，其摩擦力-位移滯回曲線完全重合。本研究構(gòu)建的盆式橡膠支座三維有限單元計算不同方向上的滑動摩擦響應(yīng)結(jié)果符合理論預(yù)期。

圖7 3個不同方向上的摩擦響應(yīng)計算值

3.2 滑動方向連續(xù)改變條件下的摩擦響應(yīng)計算能力驗證

在實際公路橋梁振動分析中，支座的滑動方向隨橋梁振動不斷改變，因此盆式橡膠支座三維有限單元應(yīng)具備計算滑動方向連續(xù)改變條件下支座摩擦響應(yīng)的能力。

(1)工況設(shè)置

固定單元底部節(jié)點，向頂部節(jié)點輸入2個坐標軸方向的簡諧位移波。調(diào)整x和z軸方向位移波的圓頻率ω，如式(35)所示：

(35)

如圖8所示，輸入滑動位移軌跡在滑動平面上呈現(xiàn)“∞”字形。

圖8 輸入滑動位移軌跡

(2)支座單元邊界條件設(shè)置

邊界條件與3.1中的設(shè)置相同。

(3)支座摩擦響應(yīng)計算結(jié)果

如圖9所示，x軸方向摩擦力-位移滯回曲線上的點1～5對應(yīng)圖8滑動位移軌跡上的點1～5。由于z方向上的滑動速度始終是x方向上的兩倍，在滑動路徑1～2上，滑動方向與x軸夾角θ從45°逐漸減小到0，此過程中x軸方向上的摩擦力分量逐漸增大，z軸方向上的摩擦力分量逐漸減小?；瑒舆_到點2時，θ=0，x軸方向上的摩擦力分量達到最大值，z軸方向上的摩擦力分量為0。在滑動路徑2～3上，x軸方向上滑動速度減小至0，z軸方向上滑動速度改變方向并逐漸增大，x軸方向上的摩擦力分量減小至0，z軸方向上的摩擦力分量增大至最大值。滑動路徑3～5是路徑1～3的重復。圖9所示計算結(jié)果說明，本研究構(gòu)建的盆式橡膠支座三維有限單元計算滑動方向連續(xù)改變條件下的摩擦響應(yīng)結(jié)果符合理論預(yù)期。

圖9 “∞”字形滑動位移的摩擦響應(yīng)結(jié)果

3.3 計算摩擦響應(yīng)結(jié)果與試驗結(jié)果對比

(1)工況設(shè)置

為驗證本研究構(gòu)建的盆式橡膠支座三維有限單元計算結(jié)果的準確性，參考Dolce等[10]，Li等開展的盆式橡膠支座滑動摩擦試驗。如表3所示，按上述試驗工況輸入單元頂部節(jié)點位移和單元參數(shù)，計算單元摩擦響應(yīng)。

表3 支座摩擦試驗參數(shù)

(2)支座單元邊界條件設(shè)置

邊界條件與3.1中的設(shè)置相同。

(3)支座摩擦響應(yīng)計算結(jié)果及與試驗結(jié)果的對比分析

計算結(jié)果如圖10所示。

圖10 試驗數(shù)值模擬結(jié)果

試驗1如圖10(a)所示，試驗結(jié)果和數(shù)值模擬對比顯示，數(shù)值模擬得到的滯回曲線與試驗結(jié)果得到曲線吻合較好。兩者最大滑動位移存在一定偏差，原因?qū)嶋H試驗中位移控制存在偏差，使試驗最大滑動位移略大于設(shè)定的位移幅值±50 mm。摩擦力數(shù)值計算結(jié)果最大誤差為9.71%，出現(xiàn)在支座發(fā)生固結(jié)-滑動狀態(tài)轉(zhuǎn)變時，隨后誤差隨滑動位移增大而逐漸減小。

試驗2，3如圖10(b),(c)所示，試驗結(jié)果和數(shù)值模擬對比顯示，數(shù)值模擬得到的滯回曲線與試驗結(jié)果得到曲線吻合較好。試驗2摩擦力數(shù)值計算結(jié)果最大誤差為35.4%，出現(xiàn)在支座發(fā)生固結(jié)-滑動狀態(tài)轉(zhuǎn)變時；進入滑動摩擦階段后誤差較小，最大為9.3%；支座滑動逐漸停止，并再次發(fā)生固結(jié)-滑動狀態(tài)轉(zhuǎn)變時，誤差明顯增大。試驗3摩擦力數(shù)值計算結(jié)果最大誤差為48.1%，出現(xiàn)在支座滑動逐漸停止，并再次發(fā)生固結(jié)-滑動狀態(tài)轉(zhuǎn)變時；滑動摩擦階段誤差較小，最大為15.6%。

試驗結(jié)果與數(shù)值模擬計算結(jié)果對比分析說明，試驗參數(shù)設(shè)置準確時，滑動摩擦階段的試驗結(jié)果與數(shù)值模擬計算結(jié)果誤差較小，該有限單元可以較好地模擬橋梁盆式橡膠支座在實際條件下的支座摩擦響應(yīng)。

4 結(jié)論

本研究基于Bouc-Wen滯回模型和以往對鋼-聚四氟乙烯界面摩擦機理的研究及相關(guān)摩擦試驗數(shù)據(jù)，開發(fā)了一種適用于橋梁有限元振動分析的盆式橡膠支座三維有限單元。主要研究工作及結(jié)論如下：

(1)對動力條件下盆式橡膠支座的滑動摩擦進行分析，通過拓展Bouc-Wen滯回模型應(yīng)用范圍，結(jié)合以往對鋼-聚四氟乙烯界面摩擦機理的研究，構(gòu)建了一套完整描述橋梁盆式橡膠支座任意方向滑動摩擦的數(shù)學模型，并給出了該數(shù)學模型的顯式和隱式數(shù)值解法。

(2)基于盆式橡膠支座任意方向滑動摩擦的數(shù)學模型及其數(shù)值解法，對支座本身及其力學性能適當簡化，構(gòu)建了一種適用于橋梁有限元振動分析的橋梁盆式橡膠支座三維2節(jié)點有限單元，該有限單元各項工作性能符合理論預(yù)期。

(3)盆式橡膠支座三維有限單元計算結(jié)果和以往支座摩擦試驗結(jié)果吻合較好，說明試驗參數(shù)設(shè)置準確時，該單元能夠較好地模擬橋梁盆式橡膠支座在實際條件下的摩擦響應(yīng)，可以應(yīng)用于橋梁振動分析中。