朱 斌

(南京師范大學(xué)第二附屬高級中學(xué) 320900)

1 賽題與證明

2022年第48屆俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克聯(lián)邦區(qū)域競賽中有一道不等式試題：

不等式①是一個分式不等式，每個分式項(xiàng)的分子都是一個三次單項(xiàng)式，分母含有三項(xiàng)，前面一項(xiàng)是一個二次單項(xiàng)式，后面兩項(xiàng)都是一次單項(xiàng)式.分子、分母中都含有相同的變量.由此入手進(jìn)行拆項(xiàng)處理，則可打開解題思路．

點(diǎn)評如果按照不等式①的結(jié)構(gòu)聯(lián)想到柯西不等式，將不等式①轉(zhuǎn)化為

2 變式與推廣

在變式1和變式2的基礎(chǔ)上，可以將上述競賽題作如下推廣：

推廣1設(shè)a,b,c,d為非負(fù)實(shí)數(shù)，有a+b+c+d=8，n∈N*，證明：

證法類似，留給讀者完成．

如果改變已知條件中的等式，那么用同樣的方法可以證明：

推廣2設(shè)a,b,c,d為非負(fù)實(shí)數(shù)，有a+b+c+d=4k，k>0，n∈N*，證明：