劉新 楊曉英 文 陽 李盤潤

（四川信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川 廣元 628040）

數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的基礎(chǔ)和國家重大技術(shù)創(chuàng)新發(fā)展的基礎(chǔ)，已成為航空航天、國防安全、信息、人工智能、先進制造等領(lǐng)域不可或缺的重要支撐[1]。自十八大以來，習(xí)近平總書記在很多場合強調(diào)了數(shù)學(xué)的重要性。2020年9月，習(xí)近平總書記在科學(xué)家座談會上強調(diào)“要加強特別是要把原始創(chuàng)新能力提升擺在更加突出的位置，努力實現(xiàn)更多‘從0到1’的突破。基礎(chǔ)研究是科技創(chuàng)新的源頭。人才是第一資源。”[2]要加強數(shù)學(xué)、物理等基礎(chǔ)學(xué)科建設(shè)，吸引基礎(chǔ)拔尖學(xué)生投身基礎(chǔ)研究。2019年，教育部、科技部、中國科學(xué)院和國家自然科學(xué)基金委聯(lián)合印發(fā)《關(guān)于加強數(shù)學(xué)科學(xué)研究工作方案》[3]（以下簡稱“方案”），凸顯了國家對于數(shù)學(xué)的重視。2020年，教育部發(fā)布了《教育部關(guān)于在部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點工作的意見》，也稱“強基計劃”[4-5]，主要是為了選拔基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生，重點在數(shù)學(xué)、物理等相關(guān)專業(yè)招生。國家對基礎(chǔ)學(xué)科的重視落到了實處。培養(yǎng)優(yōu)秀數(shù)學(xué)人才首先要培養(yǎng)中小學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，除了常規(guī)的教育教學(xué)之外，數(shù)學(xué)科普也是十分重要的方式，扮演著重要的角色。在《方案》中也特別指出支持高校開展數(shù)學(xué)科普工作和數(shù)學(xué)文化建設(shè)。

1 廣元市數(shù)學(xué)科普現(xiàn)狀

廣元市作為欠發(fā)達地區(qū)，近年來以“科技之春”科普月、全國科技活動周、“科普大篷車”等形式開展了形式多樣的科普活動，全市各類科普基地已達到34個，每年服務(wù)10萬余人次，在提升全民科學(xué)素質(zhì)方面起到積極的促進作用。但科普活動多以環(huán)保、航空、消防、自然保護、博物館等類別為主，而針對數(shù)學(xué)的科普報道較少。

2 國內(nèi)數(shù)學(xué)科普現(xiàn)狀

隨著國家重視度的提高和《方案》的發(fā)布，數(shù)學(xué)科普尤其是線上數(shù)學(xué)科普活動近年來顯著增加，以中國數(shù)學(xué)會、中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會、運籌學(xué)會、中科院等國家級機構(gòu)單位為主。目前國內(nèi)主要的科普形式有兩種：

第一種是科普講座?？破諏＜以诰€講、學(xué)生在線聽，內(nèi)容以數(shù)學(xué)發(fā)展史、數(shù)學(xué)家的故事、經(jīng)典數(shù)學(xué)知識講解為主，優(yōu)點是科普主講人都是院士、教授和數(shù)學(xué)科研工作者，他們對數(shù)學(xué)歷史和未來趨勢了解透徹，講解也比較通俗易懂、深入淺出。但是缺點也很明顯：（1）由于宣傳力度不夠，科普覆蓋度不夠；（2）中小學(xué)生學(xué)習(xí)期間無法使用手機或電腦，甚至一些學(xué)生沒有智能設(shè)備，加之學(xué)校沒有進行合理的統(tǒng)籌規(guī)劃，所以大部分學(xué)生沒有時間和渠道觀看了解這些科普講座；（3）欠發(fā)達地區(qū)基礎(chǔ)設(shè)施不完善，而且接觸院士、教授講座的機會非常少，也進一步制約了學(xué)生了解數(shù)學(xué)的機會和對數(shù)學(xué)興趣的培養(yǎng)；（4）線上講座，一瞬而過，學(xué)生只能快速了解，難以加深對數(shù)學(xué)的理解。

第二種科普形式是創(chuàng)建數(shù)學(xué)科普館或數(shù)學(xué)科普展示室。以實物的形式進行操作，輔以講解員的講解，實物大相徑庭，主要有方輪自行車、孔明鎖、勾股定理、最速下降線、單葉雙曲面、橢圓焦點等。此類科普形式的優(yōu)點是有實物，學(xué)生們可以操作；而缺點有：（1）實物設(shè)備數(shù)量少，不能滿足更多學(xué)生操作；（2）講解員數(shù)量少，不能照顧到大多數(shù)學(xué)生；（3）實物設(shè)備的更新率低，設(shè)備購買費用是大多數(shù)學(xué)校無法承擔的；（4）受場地的局限，每次參觀的學(xué)生人數(shù)比較少。

最后，我們通過2022年春季學(xué)期數(shù)學(xué)科普活動的開展，也認識到欠發(fā)達地區(qū)中小學(xué)對科普和科普重要性的認識不夠，甚至于聞所未聞，這也在一定程度上制約了教育對原始基礎(chǔ)理論創(chuàng)新的貢獻度。

鑒于以上原因，四川信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)應(yīng)用研究中心的老師們發(fā)揮專業(yè)特長和數(shù)學(xué)研究的優(yōu)勢，在廣元市中小學(xué)開展了“互動式數(shù)學(xué)科普”活動，將素數(shù)與密碼、3D打印、搜索引擎等與生產(chǎn)生活密切相關(guān)的技術(shù)領(lǐng)域結(jié)合，通過互動游戲融入科普活動中，學(xué)生深入了解數(shù)學(xué)的“無用之用、方為大用”，積極參與互動游戲中，引導(dǎo)學(xué)生開拓創(chuàng)新的意識，受到學(xué)校師生的普遍歡迎。做“不走的”廣元數(shù)學(xué)科普團隊。

3 素數(shù)與密碼科普設(shè)計與實施

素數(shù)與密碼是團隊一直構(gòu)思的科普主題。習(xí)近平總書記指出“沒有網(wǎng)絡(luò)安全就沒有國家安全”。網(wǎng)絡(luò)安全首先要做到密碼安全，密碼學(xué)自然成為重要的學(xué)科，而數(shù)學(xué)與密碼學(xué)密不可分，這里我們介紹其中的一類：公鑰密碼學(xué)。

隨著信息時代的飛速發(fā)展，互聯(lián)網(wǎng)互聯(lián)互通已成為現(xiàn)代社會的發(fā)展方式，那么通訊保密就成為互聯(lián)互通的基礎(chǔ)，即信息安全問題。1976年美國年輕數(shù)學(xué)家和計算機專家棣弗（W.Diffe）、赫爾曼（M.Hellman）提出一種全新的公開密鑰體制。1977年美國麻省理工學(xué)院的羅納德·李維斯特（Ron Rivest）、阿迪·薩莫爾（Adi Shamir）和倫納德·阿德曼（Leonard Adleman）[6-7]依據(jù)棣弗和赫爾曼設(shè)想提出了一種具體的公開密鑰體制，后稱其為RSA加密算法[8]，該算法于2002年獲得“圖靈獎”。

RSA公開密鑰密碼體制的原理是：根據(jù)數(shù)論，尋求兩個大素數(shù)比較簡單，而將它們的乘積進行因式分解卻極其困難，那么可以將乘積公開作為加密密鑰[9-11]。而RSA算法依賴的另外一個數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是“中國剩余定理”。

基于以上背景，我們將素數(shù)、大數(shù)分解、中國剩余定理、摩斯密碼、RSA算法等元素融入“素數(shù)與密碼”主題科普中。具體流程如下：

第一，以QQ、游戲登錄需要什么引入“密碼”主題，然后通過愛國影片《永不消逝的電波》中的片段說明密碼系統(tǒng)的重要性，強調(diào)國家安全包括網(wǎng)絡(luò)安全，就需要建立自己國家的密碼安全體系，以保證國家經(jīng)濟建設(shè)和社會穩(wěn)定發(fā)展。

第二，以小模型輔助科普講解。密碼是人們既熟悉又相對陌生的概念，如何讓學(xué)生更好地了解它、熟悉它呢？我們將影片主人翁“李俠”使用的發(fā)報機和摩斯密碼融入科普中，通過微型發(fā)報機的操作介紹摩斯密碼，通過練習(xí)讓學(xué)生親身體驗并掌握摩斯密碼的操作，快速引起學(xué)生的興趣。

第三，實物演示增進理解。通過主講老師操作發(fā)報機，學(xué)生破譯老師所發(fā)送的信息，提升了同學(xué)對摩斯密碼的了解；再邀請學(xué)生實際操作發(fā)報機，然后其余同學(xué)破譯，提升了同學(xué)們的參與度，大家在互動游戲中了解了戰(zhàn)爭時期我黨情報人員的基礎(chǔ)工作，增強他們的責任感、自豪感。

第四，介紹素數(shù)。素數(shù)也稱質(zhì)數(shù)，是小學(xué)五年級的知識點，所以無論高年級的小學(xué)生還是中學(xué)生都能理解，而將一個大數(shù)分解為兩個素數(shù)的乘積以及與之相關(guān)的中國剩余定理是同學(xué)們不了解的知識。如果僅僅通過PPT介紹，則過程偏理論、較為枯燥，所以我們將大數(shù)分解和摩斯密碼結(jié)合在一起，融入此環(huán)節(jié)的互動游戲中：（1）主講老師通過給定一些由易到難的大數(shù)，讓學(xué)生們進行分解，逐漸熟悉大數(shù)分解的過程，進而理解隨著大數(shù)位數(shù)的增加，將其分解成兩個素數(shù)的難度逐漸增大；（2）設(shè)計游戲“百寶箱”：老師通過微型發(fā)報機發(fā)送一個大數(shù)，學(xué)生通過摩斯密碼本破譯出老師發(fā)送的大數(shù)，然后進行整體思考完成大數(shù)分解，再將分解出的素數(shù)組合成一個密碼，最后學(xué)生使用自己的密碼嘗試打開寶箱，獲得箱中的“寶藏”。根據(jù)學(xué)生的實際情況，我們也可以增加難度，由一組學(xué)生自行設(shè)置寶箱密碼，小組商議一個可以分解為兩個素數(shù)乘積的大數(shù)，翻譯成摩斯密碼形式，再通過微型發(fā)報機發(fā)送，其余小組接收破譯大數(shù)，進行大數(shù)分解，然后使用分解的素數(shù)組合成密碼，嘗試打開寶箱。此過程完全發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，培養(yǎng)他們的獨立思考能力和團隊協(xié)作精神。

通過此游戲?qū)⑺財?shù)分解與摩斯密碼結(jié)合在一起，以“寶藏”作為獎勵，可以充分調(diào)動學(xué)生深度參與游戲的積極性，更加深了他們對素數(shù)分解的理解。

第五，思政點融入。素數(shù)分解后，主講教師將引入“中國剩余定理”介紹素數(shù)分解的歷史淵源。中國剩余定理，也稱孫子定理，是中國古代求解線性同余式組的方法，是數(shù)論中的一個重要定理。一元線性同余方程組問題最早可見于中國南北朝時期（距今1600多年）的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》，其中記載的“物不知數(shù)”問題是中國剩余定理的一個典型算例。通過此知識點的介紹可以拓展中小學(xué)生對中國古代數(shù)學(xué)偉大成就的了解，增強他們的文化自信。

而RSA加密算法則依賴于線性同余方程組的求解。什么是同余呢？給定一個正整數(shù)m，稱之為模。如果用m去除任意兩個整數(shù)a與b所得的余數(shù)相同，那就稱a,b對模m同余，記作a≡b(modm)[12-13]。

RSA算法的簡潔描述如下[14-15]：

1.任意選取兩個不同的大素數(shù)p和q計算乘積n=pq，及歐拉函數(shù)φ(n)=(p-1)(q-1)。

2.任意選取一個大整數(shù)e，滿足e與φ(n)互質(zhì)，整數(shù)e用做加密鑰。

3.確定解密鑰d，滿足(de)modφ(n)=1，即de=kφ(n)+1,k≥1是一個任意的整數(shù)。

4.公開整數(shù)n和e，秘密保存d。

5.將明文m（m＜n是一個整數(shù)）加密成密文c，加密算法為

c=E(m)=memodn

6.將密文c解密為明文m，解密算法為

m=D(c)=cdmodn

因為只根據(jù)n和e是無法推算出d的，所以RSA算法是安全有效的。

通過通俗易懂的語言讓學(xué)生了解高深的知識，感受“小知識大用處”，并鼓勵他們保持好奇心和獨立思考的習(xí)慣，一定可以做出偉大的成績。

第六，點到面的升華。此時我們將提及著名密碼學(xué)家——王小云院士。2004年8月15日，在美國召開的國際密碼大會，來自山東大學(xué)的王小云宣布團隊破解了MD5算法[16]，這是密碼學(xué)領(lǐng)域的重大發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了密碼學(xué)界的極大關(guān)注，不久她與團隊再次宣布破解SHA-1密碼算法，再一次震驚世界，但是面對國外眾多研究機構(gòu)的邀請，王小云院士不為所動，帶領(lǐng)團隊設(shè)計的哈希函數(shù)SM3現(xiàn)為國家密碼算法標準[17]，已在金融、交通、國家電網(wǎng)等重要經(jīng)濟領(lǐng)域廣泛使用，為我國的網(wǎng)絡(luò)安全做出了突出貢獻。

4 結(jié)語

推動科技創(chuàng)新，就必須更加重視基礎(chǔ)研究。同時我們也深知基礎(chǔ)研究實力的提升是一件久久為功的事，需要各個環(huán)節(jié)通力配合、協(xié)同推進，這一過程中，科學(xué)普及是深化人民群眾對基礎(chǔ)研究、科技創(chuàng)新認識的重要方式之一。數(shù)學(xué)研究是基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)，更需要我們加大科學(xué)普及，讓學(xué)生們喜歡數(shù)學(xué)、愛好數(shù)學(xué)，培養(yǎng)他們從事基礎(chǔ)研究的興趣；讓廣大教師、人民群眾意識到數(shù)學(xué)對于國家繁榮富強的重要性，形成全社會重視數(shù)學(xué)的氛圍，這都有利于早日實現(xiàn)數(shù)學(xué)強國的目標。