高采文，張志強，劉寶亮

（山西大同大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，山西 大同 037009）

0 引言

在實踐中，為了解和控制種群的數(shù)量及分布，預(yù)測種群對外界環(huán)境變化的反映，需要建立體現(xiàn)種群動態(tài)變化的系統(tǒng)。1798年英國人口學(xué)家Malthus首次建立了Malthus種群模型，他指出人口或種群的數(shù)量通常以指數(shù)方式增長。連續(xù)的 Malthus種群模型［1］為：

其中Nt表示時刻t種群的數(shù)量或密度，b和d為實數(shù)，分別表示該種群的出生率和死亡率。記r=b-d，定義為種群的內(nèi)稟增長率。上述模型可整理為：

對于給定的初值N0，該模型的解為：

這是一個確定性模型，對種群數(shù)量增長的描述比較籠統(tǒng)，在很多情況下，不能很好地擬合觀測數(shù)據(jù)，而且它忽略了其他內(nèi)外因素隨時間波動對系統(tǒng)行為的影響，所以很難精準(zhǔn)預(yù)測種群的變化趨勢。比如，如果種群的內(nèi)稟增長率r大于0，種群就一直生存不會滅絕，這是不切實際的。

有學(xué)者把種群數(shù)量隨時間變化看成是一個隨機過程，給種群的內(nèi)稟增長率r加隨機擾動，即令r→r+“隨機噪聲”，得到用隨機微分方程刻畫的隨機Malthus種群模型為：

其中σ是刻畫噪聲強度的常數(shù)，W(t)是白噪聲或均值為0的高斯噪聲。對于給定的初值N0，模型的解可表示為：

近年來，還有學(xué)者把隨機模型加以推廣，得到多因素隨機種群模型。例如文獻(xiàn)［2］研究了兩種隨機因子對種群滅絕的影響：

其中We(t)表示環(huán)境波動產(chǎn)生的隨機性，Wd(t)表示統(tǒng)計產(chǎn)生的隨機性，σe表示環(huán)境波動的強度。隨后，文獻(xiàn)［3］又推廣到兩個斑塊下的隨機種群模型：

其 中 i=1，2，j=1，2，i≠j，D是擴散率 。 這 些多因素隨機微分方程模型考慮了多個隨機因子同時擾動對種群動態(tài)行為的影響。

不確定理論是劉寶碇[4]于2007年提出的，它是建立信度模型的一個數(shù)學(xué)分支。不同于隨機微分方程由Wiener過程驅(qū)動，不確定微分方程由不確定過程驅(qū)動。其中Liu過程是具有Lipschitz連續(xù)樣本軌道的平穩(wěn)獨立增量過程，在不確定分析中起著基礎(chǔ)性的作用。近幾年，不確定微分方程已經(jīng)成為處理動態(tài)不確定系統(tǒng)的主要工具，研究者們?nèi)〉昧素S碩的成果。Yao[5]討論了不確定微分方程解的極值和積分。Ge和Zhu[6]研究了倒向不確定微分方程。Lio和Liu[7]提出了不確定微分方程中時變參數(shù)的矩估計法。Yao等[8]給出了不確定微分方程依均值穩(wěn)定的概念。Sheng和Gao[9]討論了一類線性不確定微分方程指數(shù)穩(wěn)定的充要條件。Yao[10]研究了帶跳的不確定微分方程。Zhu[11]提出了不確定分?jǐn)?shù)階微分方程，并將其應(yīng)用到利率問題的研究中。Li等[12]研究了一類多因素不確定微分方程。Zhang等[13]對多因素不確定微分方程的穩(wěn)定性進(jìn)行了探討。不確定理論已經(jīng)廣泛應(yīng)用在不確定規(guī)劃、不確定可靠性分析、不確定金融等領(lǐng)域。在實際中，出生率和死亡率都具有不確定性，所以在不確定理論框架下研究種群動態(tài)系統(tǒng)的性質(zhì)有重要意義?；诖?，本文研究了出生率和死亡率用兩個不同的不確定變量來刻畫的多因素不確定種群模型。

1 模型的建立

現(xiàn)有種群模型的研究大多是對確定性模型和隨機模型的討論與分析。而實際情況是生物種群的數(shù)量變化受到各種不確定因素的共同作用。比如，內(nèi)部因素中生物種群的內(nèi)部競爭、自然出生率和死亡率等，具有一定的不確定性。外部因素如環(huán)境變換、季節(jié)更替和人為干擾、突發(fā)疫情等，也具有一定的不確定性。在自然界中，不受不確定噪聲干擾的生物種群幾乎是不存在的，理想狀態(tài)下的確定性模型很難反映出真實的種群數(shù)量變化規(guī)律。因此，不確定擾動開始逐漸被應(yīng)用于生物種群模型的研究中，大量數(shù)據(jù)也表明不確定種群模型確實更符合生物種群變化的趨勢。關(guān)于不確定種群模型的研究目前并不多，文獻(xiàn)［14］于2017年提出一個涉及種群年齡結(jié)構(gòu)的不確定偏微分方程模型。文獻(xiàn)［15］于2020年提出在內(nèi)稟增長率上加不確定擾動，即：r→r+“不確定噪聲”，得到不確定種群模型：

其中 C1t，C2t為獨立的 Liu 過程，σ1，σ2為實數(shù)，分別表示兩個不確定擾動的強度，由此得出多因素不確定種群模型為：

這是一個用多因素不確定微分方程刻畫的種群模型，出生率和死亡率分別受到兩個相互獨立Liu過程的擾動。在自然界中，不受不確定噪聲干擾的生物種群幾乎是不存在的。模型（10）考慮了實際存在的不確定擾動，利用多因素不確定微分方程對種群數(shù)量進(jìn)行建模，更符合生物種群變化的趨勢，能夠更為準(zhǔn)確、有效的反映生物種群的動態(tài)行為。下面討論模型的解及α軌道，可以證明以下幾個結(jié)論。

定理 1 令 r，σ1，σ2為實數(shù)，C1t，C2t為獨立的Liu過程，多因素不確定種群模型（10）對于給定的初值N0，它的解可表示為：

2 解的極值和積分

在實際中，為了維持社會穩(wěn)定或生態(tài)平衡，當(dāng)種群數(shù)量接近極值時，政府需要制定相應(yīng)的政策來限制種群數(shù)量的自然增長或減少，防止極端現(xiàn)象造成的巨大破壞。在本節(jié)，我們給出解的極值的不確定分布。

圖1 解的逆不確定分布Fig.1 Inverse uncertainty distribution of the solution

圖2 解的極值的逆不確定分布Fig.2 Inverse uncertainty distributions of extreme values of the solution

圖3 解的積分的逆不確定分布Fig.3 Inverse uncertainty distribution of time integral of the solution

3 模型的穩(wěn)定性

本節(jié)考慮用多因素不確定微分方程建立的動態(tài)模型的穩(wěn)定性。假使模型是不穩(wěn)定的，初始條件的微小變化將導(dǎo)致解的性態(tài)隨時間t趨于∞而產(chǎn)生顯著的差異。實際生活中，初始狀態(tài)不可避免的出現(xiàn)誤差和干擾，只能近似的確定，所以只有穩(wěn)定的狀態(tài)或過程才有現(xiàn)實意義。下面，討論多因素不確定種群模型在有限時間內(nèi)的依測度穩(wěn)定性和依均值穩(wěn)定性。

3.1 依測度穩(wěn)定

文獻(xiàn)［13］給出了多因素不確定微分方程在t≥0時依測度穩(wěn)定的定義。根據(jù)定義，可以證明多因素不確定種群模型（10）在t≥0時依測度不穩(wěn)定。然而，在實際中，模型很多情況下應(yīng)用在t為有限數(shù)時，因此下面給出有限時間內(nèi)多因素不確定微分方程依測度穩(wěn)定的定義。

3.2 依均值穩(wěn)定

文獻(xiàn)［13］還給出了多因素不確定微分方程當(dāng)t≥0時依均值穩(wěn)定的定義。根據(jù)定義，可以得到多因素不確定種群模型（10）在t≥0時依均值不穩(wěn)定。下面給出有限區(qū)間[0，T]上多因素不確定微分方程依均值穩(wěn)定的定義。

4 結(jié)論

本文提出由多因素不確定微分方程刻畫的多因素不確定種群模型。在自然界中，不受不確定噪聲干擾的生物種群幾乎是不存在的，給出生率和死亡率分別加上一個不確定擾動來刻畫比用其他方式更為準(zhǔn)確。文中得出模型的解和α軌道，并分別討論了解的逆不確定分布、解的極值的逆不確定分布以及解的積分的逆不確定分布。最后研究了有限時間內(nèi)模型的穩(wěn)定性，其中包括依測度穩(wěn)定和依均值穩(wěn)定。由此得出，考慮多個不確定擾動的多因素不確定種群模型更符合生物種群變化的趨勢，能夠更為準(zhǔn)確、有效的對生物種群進(jìn)行預(yù)測和調(diào)控，維護(hù)生態(tài)系統(tǒng)的平衡。