荀步章

(寶應(yīng)縣實驗小學(xué)， 江蘇 寶應(yīng) 225800)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》在“課程理念”中提出“促進(jìn)學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基本技能，體會和運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想與方法，獲得數(shù)學(xué)的基本活動經(jīng)驗”等要求。當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)存在表征方式較單一、知識建構(gòu)缺系統(tǒng)、思想方法感悟不透、問題解決能力不足等問題。正如章建躍教授所說“課堂教學(xué)抓不住數(shù)學(xué)概念的核心，沒有前后一致、貫穿始終的數(shù)學(xué)思想主線，在學(xué)生沒有基本了解數(shù)學(xué)概念和思想方法時就進(jìn)行大量解題操練，導(dǎo)致教學(xué)缺乏必要的根基，教學(xué)活動不得要領(lǐng)，在無關(guān)大局的細(xì)枝末節(jié)上耗費學(xué)生寶貴時間，數(shù)學(xué)課堂中效益、質(zhì)量‘雙低下’”[1]。數(shù)學(xué)理解是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)和關(guān)鍵，也為發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)提供進(jìn)階與策略。通過理解數(shù)學(xué)知識、學(xué)會數(shù)學(xué)方法、感悟數(shù)學(xué)思想、形成數(shù)學(xué)經(jīng)驗等過程逐步發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。那么，什么是數(shù)學(xué)理解？數(shù)學(xué)理解有哪些進(jìn)階？數(shù)學(xué)教學(xué)如何發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)理解？本文擬從指向核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)理解這一既是過程又是結(jié)果的命題作闡述與探討。

一、數(shù)學(xué)理解內(nèi)涵：發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的新要求

從認(rèn)知主義視角來看，數(shù)學(xué)理解是學(xué)習(xí)者對信息的感知、接收、編碼、記憶和提取的一系列過程。李新成教授認(rèn)為：“學(xué)習(xí)者根據(jù)自己的已有經(jīng)驗和認(rèn)知結(jié)構(gòu)，主動建構(gòu)心理表征進(jìn)而獲得心理意義，在此過程中原有知識與新的外界刺激相互作用，發(fā)生了意義同化?！盵2]用圖1可簡要表示數(shù)學(xué)理解的認(rèn)知過程。

圖1 數(shù)學(xué)認(rèn)知過程

學(xué)生感知新知識，找到新知識的數(shù)學(xué)特征，把新知識與舊知識聯(lián)系對比，找到若干支撐和關(guān)聯(lián)的已有經(jīng)驗，通過類屬學(xué)習(xí)或數(shù)學(xué)推理形成橫向聯(lián)系或縱向聯(lián)系，從而把新舊知識有效鏈接，建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)或知識地圖，促進(jìn)學(xué)生個性化建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。李士锜教授認(rèn)為：學(xué)習(xí)一個數(shù)學(xué)概念、原理、法則，如果在心理上能組織起適當(dāng)?shù)挠行У恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)，并使之成為個人內(nèi)部的知識網(wǎng)絡(luò)的一部分，那么才說明是理解了[3]。

數(shù)學(xué)理解是建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，也是檢驗認(rèn)知結(jié)構(gòu)的主要指標(biāo)。數(shù)學(xué)表征是數(shù)學(xué)理解的有效載體，通過多種形式的數(shù)學(xué)表征能夠促進(jìn)數(shù)學(xué)理解的生成與達(dá)成。數(shù)學(xué)表征方式包括情境表征、言語表征、實物表征、圖形表征和符號表征等。這些表征可獨立呈現(xiàn)，不同表征之間又相互關(guān)聯(lián)、相互促進(jìn)，形成一個完整的表征系統(tǒng)(如圖2)，完整的表征系統(tǒng)對學(xué)生的數(shù)學(xué)理解起支持性和外顯性作用。數(shù)學(xué)知識通常劃分為陳述性知識和程序性知識，每類知識教學(xué)采取不同的表征方式，以幫助和達(dá)成學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，完善學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力。

圖2 數(shù)學(xué)理解的五種表征及其關(guān)系

斯根普把數(shù)學(xué)理解分為“關(guān)聯(lián)性理解”和“工具性理解”[4]?！瓣P(guān)聯(lián)性理解”即知道如何做、做什么，并知道為什么這樣做；而“工具性理解”只知道如何操作，不知道為什么這樣操作的理由。后人完善為“工具性理解、關(guān)系性理解、直覺性理解和形式性理解”。數(shù)學(xué)理解是幫助學(xué)生在已有的數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，生成新的數(shù)學(xué)知識、方法和思想，不斷補(bǔ)充和完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，達(dá)到靈活運(yùn)用認(rèn)知經(jīng)驗的能力。

二、數(shù)學(xué)理解層級：發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的新進(jìn)階

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》提出“三會”核心素養(yǎng)的要求，基于數(shù)學(xué)課程內(nèi)容和核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)，構(gòu)建數(shù)學(xué)理解模型(如圖3)。

數(shù)學(xué)理解模型從三個維度建構(gòu)：一是從橫軸課程內(nèi)容維度。數(shù)學(xué)課程內(nèi)容包括數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐。二是從豎軸核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)維度。小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)包括數(shù)感、量感、符號意識、運(yùn)算能力、幾何直觀、空間觀念、推理意識、數(shù)據(jù)意識和模型意識，這些“指標(biāo)”與數(shù)學(xué)課程內(nèi)容緊密相關(guān)，有利于數(shù)學(xué)理解層級的實施與評價。三是從縱軸數(shù)學(xué)理解層級維度。主要包括五個層級：表象層理解、解釋層理解、聯(lián)系層理解、思想層理解、創(chuàng)新層理解。數(shù)學(xué)課程內(nèi)容和核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)兩條軸構(gòu)成了二維平面圖，加入數(shù)學(xué)理解五個層級，使平面圖模型立體化，從三個維度不同要素共同組成了數(shù)學(xué)理解的空間模型。

圖3 數(shù)學(xué)理解模型

建構(gòu)數(shù)學(xué)理解模型并非為了割裂數(shù)學(xué)課程內(nèi)容、核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)和數(shù)學(xué)理解層級三者關(guān)系，而是從數(shù)學(xué)課程內(nèi)容或核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)不同維度具體分析學(xué)生數(shù)學(xué)理解的進(jìn)階水平。如“數(shù)與代數(shù)”中“分?jǐn)?shù)”這一概念的理解，可以從這五個層級進(jìn)行劃分，第二學(xué)段側(cè)重分?jǐn)?shù)的實物表征和情境表征，在表象層理解分?jǐn)?shù)，初步解釋幾分之一或幾分之幾；第三學(xué)段采用圖形表征和言語表征，在解釋層理解分?jǐn)?shù)的意義，初步理解分?jǐn)?shù)和小數(shù)的關(guān)系，運(yùn)用圖形表征和符號表征在具體情境中理解分?jǐn)?shù)并解決實際問題。學(xué)生對分?jǐn)?shù)的理解從直觀的“具體意義”到形成“關(guān)系思維”再到學(xué)會“創(chuàng)新應(yīng)用”，分?jǐn)?shù)理解是一個螺旋上升的過程，在數(shù)學(xué)理解的層級上不斷進(jìn)階。

數(shù)學(xué)理解在課程內(nèi)容和核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)中不斷遞進(jìn)，表1呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)理解各層級的具體數(shù)學(xué)表現(xiàn)，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐步感受數(shù)學(xué)意義和價值。

表1 數(shù)學(xué)理解層級

第一，表象層理解。表象層理解是數(shù)學(xué)內(nèi)容在學(xué)生大腦中所保持的直觀形象，是數(shù)學(xué)技能和數(shù)學(xué)方法能夠初步復(fù)現(xiàn)，具體包括借助表象陳述數(shù)學(xué)結(jié)論、操作數(shù)學(xué)技能、驗證數(shù)學(xué)規(guī)律、復(fù)述數(shù)學(xué)方法等。數(shù)學(xué)知識和技能到數(shù)學(xué)能力的形成需要借助直觀形象為載體進(jìn)行理解。表象是學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的一種映象或結(jié)果，也是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)心理操作的主要過程。表象層理解借助情境表征、實物表征、圖形表征等方式，用直觀形象的圖像思維進(jìn)行數(shù)學(xué)理解。

第二，解釋層理解。學(xué)生用數(shù)學(xué)多元表征解釋數(shù)學(xué)規(guī)律、學(xué)會數(shù)學(xué)方法中的“理”，用自己的獨立思考進(jìn)行舉例驗證、識別錯誤、釋譯規(guī)則、表達(dá)歷程等。解釋層理解學(xué)生能夠初步深入到數(shù)學(xué)的原理層，借用生活事例、具體情境、實物操作、言語描述、符號表達(dá)等不同方式進(jìn)行“自我”解釋，在已有的數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗上，形成數(shù)學(xué)初步觀點。但解釋層理解局限于數(shù)學(xué)概念、技能或問題本身，缺少概念聯(lián)結(jié)和跨領(lǐng)域內(nèi)容的關(guān)聯(lián)。

第三，聯(lián)系層理解。學(xué)生逐步學(xué)會在數(shù)學(xué)知識、技能和方法的相互聯(lián)系中形成“自我”觀點。具體包括發(fā)現(xiàn)不同知識點之間的聯(lián)系，運(yùn)用舊知編織新概念，學(xué)會歸納新內(nèi)容，建構(gòu)新知識網(wǎng)絡(luò)。這一層級強(qiáng)化學(xué)生對數(shù)學(xué)知識、技能和方法等不同領(lǐng)域的聯(lián)系與聯(lián)結(jié)。由知識點向知識線、知識網(wǎng)、知識面的擴(kuò)展，由單一技能向組合技能、復(fù)合技能的“升級”，由生活操作向?qū)嶒灢僮?、?shù)學(xué)操作的“進(jìn)階”，在數(shù)學(xué)聯(lián)系中走向數(shù)學(xué)理解、綜合理解，培養(yǎng)學(xué)生的必備品格和關(guān)鍵能力。

第四，思想層理解。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、技能和方法的過程中，逐步感悟數(shù)學(xué)思想，通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)幫助學(xué)生學(xué)會思考、學(xué)會思維。數(shù)學(xué)理解中的思想層包括建立數(shù)學(xué)模型、形成一般方法、運(yùn)用數(shù)學(xué)策略、反思數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化。這一層級側(cè)重數(shù)學(xué)思想方法的培育、生長、發(fā)展到運(yùn)用，從數(shù)學(xué)的具體方法到一般方法，從數(shù)學(xué)的一般思想到基本思想——抽象、推理和模型，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)。

第五，創(chuàng)新層理解。學(xué)生的核心素養(yǎng)是在學(xué)習(xí)過程中逐步發(fā)展起來的，核心素養(yǎng)的培育離不開教師的引導(dǎo)點撥和學(xué)生的自我經(jīng)驗。創(chuàng)新層數(shù)學(xué)理解是學(xué)生對自己學(xué)習(xí)經(jīng)驗的深度調(diào)動、多樣編組、自動遷移、問題解決。創(chuàng)新能力是學(xué)生面對新情境新任務(wù)，能夠從已有經(jīng)驗出發(fā)，主動發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題，對舊知、已知和未知進(jìn)行自主搭建，形成解決問題的新通道，實現(xiàn)學(xué)科綜合的自覺跨越，對學(xué)生而言是“個體首創(chuàng)性”。

綜觀這五層“進(jìn)階”，數(shù)學(xué)理解具有層次性、連續(xù)性和跳躍性，從簡單到復(fù)雜、從低級到高級、從具體到一般的螺旋上升過程。從同一層級看，又表現(xiàn)為由表層、淺層向深層發(fā)展的過程。如表象層理解這一層級，由單一表象到多元表象，從情境表象到言語表象，從實物表象到符號表象，體現(xiàn)了表象理解的廣度、高度和深度。

指向核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)理解模型，為小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)和評價提供實踐導(dǎo)向和評價路徑，為低階數(shù)學(xué)理解發(fā)展高階數(shù)學(xué)理解提供基礎(chǔ)和支撐。當(dāng)然，學(xué)生呈現(xiàn)某一方面的高階數(shù)學(xué)理解并不意味著低階數(shù)學(xué)理解的全面達(dá)成，也可能只是某些內(nèi)容和方法上的單一表現(xiàn)。高階數(shù)學(xué)理解可以促進(jìn)低階數(shù)學(xué)理解的進(jìn)一步發(fā)展，它們之間是相互支撐、相互促進(jìn)、相互融合、統(tǒng)一發(fā)展的共同體。

三、數(shù)學(xué)理解教學(xué)：發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的新策略

(一)表象層理解：多元表征豐富學(xué)生數(shù)學(xué)概念圖式

數(shù)學(xué)概念圖式是有組織、有結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)概念知識網(wǎng)絡(luò)，具有一般性和概括性。要幫助學(xué)生形成準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)概念圖式，應(yīng)通過對數(shù)學(xué)概念多元表征豐富學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)概念，達(dá)到表象理解的情境性、概括性和符號性。如“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”教學(xué)：一是情境表征。從猴媽媽“分餅”開始，把1塊餅平均分給2只小猴，每只小猴分得幾塊(半塊)？二是實物表征。餅的形狀各種各樣，出示長方形、正方形、三角形、圓形不同形狀的餅，怎樣表示出它的一半呢？三是操作表征。學(xué)生分組操作，用紙片代表不同形狀的餅，通過折一折、畫一畫、涂一涂，都表示出半塊餅。四是圖形表征。通過對不同圖形的操作過程，學(xué)生感悟到“一半”的意義。如果畫一條線段表示1塊餅，怎樣圖示它的一半？觀察這些圖形，表示“一半”的方法有哪些共同點呢？(平均分；分成2份；表示1份)五是符號表征。學(xué)生嘗試創(chuàng)造表示“一半”的數(shù)學(xué)符號，這個符號應(yīng)體現(xiàn)上述三個共同的特點。學(xué)生在經(jīng)歷多元表征的基礎(chǔ)上獨立思考，合作交流，達(dá)成共識。上述教學(xué)活動充分關(guān)注學(xué)生已有經(jīng)驗，借助情境和生活經(jīng)驗思考，形成“半個”的概念。實物表征和圖形表征相結(jié)合，讓學(xué)生感悟“半個”存在的特征，先平均分成2份，表示其中1份的過程。符號表征強(qiáng)化對“一半”的符號理解與創(chuàng)造。學(xué)生已有經(jīng)驗對“半個”有基礎(chǔ)，是單個物體的一半。現(xiàn)加強(qiáng)凸顯兩者關(guān)系，即“半個”與“1個”的比較，體現(xiàn)分?jǐn)?shù)的無量綱性，平均分2份中的1份，用“1/2”表示。教學(xué)過程要不斷豐富數(shù)學(xué)概念表征形式，讓不同學(xué)生有不同的理解與表達(dá)，對學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念圖式起支撐性發(fā)展性作用。

(二)解釋層理解：加強(qiáng)勾連發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)釋別能力

弗賴登塔爾認(rèn)為：“不要教孤立的片段，應(yīng)該教連貫的材料，這個觀念從原則上看是正確的?！睏顫芍医淌谡f：“數(shù)學(xué)理解的過程起始于積極主動的探索，由學(xué)生在接觸到新概念時的言語和回顧陳述可知，學(xué)生面對一個新概念時，起初雖不理解，但并非完全默然，幾乎都有一個根據(jù)新概念的有關(guān)信息主動猜測的過程，也就是主動聯(lián)系舊知識、積極嘗試與舊知識建立聯(lián)系的過程?！盵5]如“梯形的認(rèn)識”教學(xué)：第一步回憶識別。讓學(xué)生回憶一下梯形是什么樣子的圖形，在頭腦中提取舊經(jīng)驗，識別梯形表象。第二步分類辨別。信封里有很多圖形(如圖4)，找一找哪些是梯形？哪些不是梯形？把它們分類。學(xué)生把(1)(2)(3)分為一類，(4)(5)(6)(7)分為一類，前面三個不是梯形，后面四個是梯形。

圖4 圖形分類示例

教師問：“梯形到底是怎樣的圖形？”學(xué)生辨別后面四個圖形發(fā)現(xiàn)“梯形是只有一組對邊平行的四邊形?！崩^續(xù)追問：“為什么要加‘只有’兩個字？”學(xué)生說：“如果不加這兩個字，只知道一組對邊平行的四邊形，另一組對邊是不是平行就不知道了?！钡谌睫D(zhuǎn)化釋別。讓學(xué)生把(1)(2)(3)號圖形剪一刀變成一個梯形。引導(dǎo)學(xué)生思考：“剪一刀，能不能隨便剪，怎么剪呢？”學(xué)生抓住梯形的本質(zhì)說：“長方形和平行四邊形要破壞一組平行線，因為長方形和平行四邊形都是有兩組對邊平行”“三角形要創(chuàng)造一組平行線，三角形沒有一組對邊平行，就要創(chuàng)造一組”“因為梯形只有一組對邊平行”，數(shù)學(xué)概念的形成需要在識別、辨別、釋別中加深理解，在解釋中理解數(shù)學(xué)本質(zhì)。

(三)聯(lián)系層理解：自主建構(gòu)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)

建構(gòu)主義強(qiáng)調(diào)現(xiàn)實與意義是主體用意識主動建構(gòu)，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)主體的知覺性，主張“學(xué)習(xí)”是學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的修正與重建。讓學(xué)生在具體情境中實現(xiàn)“自我”發(fā)現(xiàn)、編譯、調(diào)整、儲存和運(yùn)用等一系列建構(gòu)過程。如“長方體體積計算公式”教學(xué)：一是課始發(fā)現(xiàn)長度、面積、體積的計量方法的相通性。計量長度。出示一條5厘米線段。教師問：“知道它有多長嗎？怎么辦？”學(xué)生答：“用尺量，它里面包含多少個1厘米，就是幾厘米長。”要計量一條線段有多長，看它包含多少個相同的長度單位。采用類推的方法計量面積、計量體積。二是課中呈現(xiàn)長方形和長方體的動態(tài)變化的過程。動畫演示，長方形長與寬的變化引起面積的變化。長延長或縮短寬不變，寬延長或縮短長不變，觀察長方形面積變化情況。發(fā)現(xiàn)“長方形的面積與長、寬都有關(guān)”“長方形的面積等于長乘寬”。再動態(tài)演示長方體長、寬、高的變化引起體積的變化。引發(fā)學(xué)生猜測，長方體的體積可能與什么有關(guān)？長方體的體積公式可能是什么？三是課尾展現(xiàn)不規(guī)則物體體積與生活經(jīng)驗的鏈接性。課后布置探究作業(yè)：準(zhǔn)備一個雞蛋，一個裝有水的正方體容器，一把直尺，想辦法求雞蛋的體積？讓學(xué)生充分利用身邊的素材解決實際問題，在解決問題的過程中完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展核心素養(yǎng)。

(四)思想層理解：經(jīng)歷過程培育學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法

史寧中教授說：“我確信：數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)特別是創(chuàng)新人才的培養(yǎng)，是‘悟’出來的，而不是‘教’出來的，因為數(shù)學(xué)結(jié)果是‘看’出來的，而不是‘證’出來的。可以想象，會‘悟’會‘看’的底蘊(yùn)是把握數(shù)學(xué)思想，會‘悟’會‘看’的教育是一種經(jīng)驗的積累?！盵6]如“長方形的面積公式”教學(xué)，出示一個長方形，引發(fā)思考，如何求出這個長方形的面積？獨立思考，實踐操作，合作探究。學(xué)生匯報擺法一(如圖5)，這個圖形的面積是20平方厘米，一排正好放5個小方塊，可以放4排，面積是20平方厘米。擺法二(如圖6)，一排可以放5個小方塊，一共放4排，這些空白不需要擺，仍然是20平方厘米。擺法三(圖7)，直接用尺量了長和寬，做上標(biāo)記，長是5厘米，寬是4厘米，這個圖形的面積是20平方厘米。教師引導(dǎo)：“這三種方法，你們覺得哪一種簡便？”學(xué)生一致認(rèn)為第三種方法。教師追問：“長方形的面積如何計算呢？”學(xué)生討論后回答：“因為長是小方塊每排的個數(shù)，寬是小方塊擺出的排數(shù)，小方塊一共個數(shù)是每排的個數(shù)乘排數(shù)，長方形的面積等于長乘寬?！?/p>

圖5 擺法一

圖6 擺法二

圖7 擺法三

教學(xué)通過三個層次引導(dǎo)學(xué)生理解長方形的面積計算公式：一是設(shè)置情境任務(wù)，用擺小方塊的方法求一個長方形的面積；二是比較發(fā)現(xiàn)學(xué)生不同的擺法，以及擺法背后的思考過程，全部擺滿，只擺長邊和寬邊，用尺量出長和寬；三是發(fā)現(xiàn)規(guī)律，擺出小方塊的個數(shù)和長方形面積之間的相等關(guān)系，每排個數(shù)與長相等，排數(shù)與寬相等，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，形成長方形面積計算的方法，感悟“簡潔”的數(shù)學(xué)思想。

(五)創(chuàng)新層理解：設(shè)置挑戰(zhàn)助力學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決

圖格子圖表示法

圖點子圖表示法

總之，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)理解是基于學(xué)生、指向?qū)W生、為了學(xué)生。數(shù)學(xué)理解是從學(xué)生已有表象出發(fā)，逐步分析，聯(lián)系經(jīng)驗，重組或改造認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。這一過程不是固定的、形式化的，更應(yīng)遵循學(xué)習(xí)規(guī)律、尊重個體差異?！?/p>