姚育青 蘇圣奎，2

（1.廈門第六中學(xué)，福建 廈門 361012；2.福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，福建 福州 350117）

數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)語言表達現(xiàn)實世界的核心素養(yǎng)，是實施跨學(xué)科教學(xué)的融通工具，也是實施創(chuàng)新人才早期培養(yǎng)的有效載體.廈門第六中學(xué)教師團隊以跨學(xué)科融合的現(xiàn)實問題為研究對象開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的思維與實踐過程，探索問題解決的最優(yōu)化方案，在發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的實踐中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力、創(chuàng)新思維、合作精神和核心素養(yǎng).經(jīng)過多年教學(xué)實踐，研究團隊總結(jié)提出以“數(shù)模三階課程”培育創(chuàng)新人才的理論架構(gòu)與實踐路徑，研究成果獲得2020 年福建省基礎(chǔ)教育教學(xué)成果一等獎，在推動高中育人方式改革方面邁出了堅實的步伐.

一、面向全體學(xué)生，構(gòu)建進階課程

數(shù)模三階課程根據(jù)學(xué)習(xí)進階（Learning Progression）理論開展課程設(shè)計，面向不同層次的全體學(xué)生，內(nèi)容包括數(shù)學(xué)建模必修課程（初階課程）、研究性學(xué)習(xí)課程（中階課程）和STEAM 校本課程（高階課程），［1］在課程內(nèi)容、學(xué)習(xí)對象和學(xué)習(xí)目標上均呈現(xiàn)逐級進階的特征.

初階課程以高中數(shù)學(xué)教材的必修內(nèi)容為主，面向全體高一學(xué)生，旨在讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)建?；A(chǔ)知識與方法，體驗數(shù)學(xué)建模活動的全過程；中階課程以特定的熱點問題和項目為研究對象，結(jié)合MATLAB、Excel、幾何畫板等常用軟件和數(shù)學(xué)建模方法進行案例分析，面向研究性學(xué)習(xí)選修數(shù)學(xué)建模的高一、高二學(xué)生，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)建?；顒咏?jīng)驗；高階課程則面向具備創(chuàng)新潛質(zhì)和一定數(shù)學(xué)建?；顒咏?jīng)驗的高二、高三學(xué)生，根據(jù)這部分學(xué)生自主提出的創(chuàng)新性問題或項目需求，開展科學(xué)（Science）、技術(shù)（Technology）、工程（Engineering）、人文藝術(shù)（Art）與數(shù)學(xué)（Mathematics）相融合的STEAM 項目研究，促進學(xué)生具備綜合運用跨學(xué)科知識和技能解決創(chuàng)新性問題的能力.下面以初階課程中的高中數(shù)學(xué)人教A 版（2019 版）教材的必修（第一冊）的數(shù)學(xué)建?；顒印敖⒑瘮?shù)模型解決實際問題”第一課時為例，簡要闡述數(shù)學(xué)建模教學(xué)的實施流程.

基于45 分鐘的常規(guī)課時難以保證數(shù)學(xué)建模教學(xué)的延續(xù)性和可操作性，本節(jié)課將數(shù)學(xué)建模案例分析和團隊活動有機整合成一節(jié)90 分鐘的大課，作為數(shù)學(xué)建模初階課程的入門基礎(chǔ)課.課堂教學(xué)內(nèi)容以教材中的“茶水口感”問題作為數(shù)學(xué)建模的入門案例，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實際問題，體驗數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵流程.問題如下：中國茶文化博大精深.茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).經(jīng)驗表明，某種綠茶用85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時飲用，可以產(chǎn)生最佳口感.那么在25℃室溫下，剛泡好的茶水大約需要放置多長時間才能達到最佳飲用口感？

（一）獲取數(shù)據(jù)，畫圖分析

數(shù)據(jù)的采集是科學(xué)研究的重要環(huán)節(jié)，數(shù)學(xué)建模教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生通過自主實驗和權(quán)威渠道獲取數(shù)據(jù)，明確數(shù)據(jù)的來源、類型、范圍、數(shù)量、選取依據(jù)和處理方法.針對上述問題，教師引導(dǎo)學(xué)生運用函數(shù)思想，將采集的數(shù)據(jù)（見表1）轉(zhuǎn)化為平面直角坐標系中的點，借助函數(shù)圖像進行分析，探索溫度隨時間變化而變化的規(guī)律.

表1 茶水溫度數(shù)據(jù)表

（二）提出假設(shè)，建立模型

事物之間的聯(lián)系紛繁復(fù)雜，需要人們找到解決問題的核心要素，去除干擾因素，探尋問題的本質(zhì)，數(shù)學(xué)建模亦是如此.模型假設(shè)的關(guān)鍵是理清什么能夠研究，什么不能研究，找出關(guān)鍵變量，去掉不能研究的變量.本問題假設(shè)茶水溫度隨時間的變化過程中，不受天氣和容器保溫、散熱效果等因素的影響，并確定時間變量為x（min），溫度變量為y（℃）.根據(jù)已畫出的散點圖，經(jīng)過探究分析，學(xué)生可選擇的函數(shù)模型有反比例型函數(shù)y=+25(k>0,a>0,x>0)、指數(shù)型函數(shù)y=kax+25(k∈R,0

（三）求解模型，擬合檢驗

以指數(shù)型函數(shù)y=klogx+25(k∈R,0

表2 茶水溫度實際值與估計值對比表

圖1 茶水溫度擬合曲線圖

（四）應(yīng)用模型，優(yōu)化創(chuàng)新

應(yīng)用模型y=60 × 0.9227x+25(x≥0) 來回答“剛泡好的茶水大約需要放置多長時間才能達到60℃？”這個問題.此時，只需將y=60 代入y=60 × 0.9227x+25(x≥0)，求得x=log0.9227，借Excel 軟件中的LOG 函數(shù)工具進行計算（見圖2），得到x≈6.6997，從而得出結(jié)論：剛泡好的茶水大約需要放置7 分鐘能達到最佳飲用口感.

圖2 基于STEAM 的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平評價指標模型

圖2 Excel 軟件輔助對數(shù)計算

從結(jié)論來看，7 分鐘的放置時間與人們?nèi)粘ｏ嫴璧牧?xí)慣和生活節(jié)奏不盡相同，如何改進和優(yōu)化現(xiàn)實問題，用創(chuàng)新思維解決數(shù)學(xué)建模過程中有研究價值的問題，是數(shù)學(xué)建?；顒优囵B(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，這個過程需要教師適時引導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新潛能.例如，教師可引導(dǎo)學(xué)生討論在不影響茶葉營養(yǎng)成分的前提下，如何更快達到茶水的最佳飲用口感；又如，選擇生活中常見的三款茶葉，研究對比不同茶葉達到最佳口感的溫度和時間，為消費者提供建議.

（五）展示成果，感悟價值

學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的核心過程之后，需要用語言和文字表述研究過程和結(jié)論.課堂上可以通過讓學(xué)生以紙質(zhì)海報的形式呈現(xiàn)研究成果，并對研究成果以語言陳述的方式來展示，旨在鍛煉學(xué)生膽識的同時，提升學(xué)生自信心和綜合素質(zhì).在引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)數(shù)學(xué)建模解決現(xiàn)實問題流程的基礎(chǔ)上，還要讓學(xué)生對比傳統(tǒng)數(shù)學(xué)解題與數(shù)學(xué)建模的差異，從面對的問題、有無標準答案、參與對象、實現(xiàn)目標、成果形式五個方面呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)建模的開放性、創(chuàng)新性、合作性、應(yīng)用性和學(xué)術(shù)性特征（見表3），促進學(xué)生認知的升華，感悟數(shù)學(xué)應(yīng)用價值.

表3 數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)解題的優(yōu)勢特征對比

二、開展多元活動，促進人才培養(yǎng)

學(xué)校在開設(shè)“數(shù)模三階課程”的同時，以激發(fā)學(xué)生興趣和創(chuàng)新潛質(zhì)為導(dǎo)向，構(gòu)建中學(xué)數(shù)學(xué)建模綜合活動平臺（見表4），包括數(shù)學(xué)建模實驗室、數(shù)學(xué)建模社團、校企合作創(chuàng)新實踐基地、IMMC 國際數(shù)學(xué)建模挑戰(zhàn)賽、京師數(shù)學(xué)建模教育實踐基地和廈門地區(qū)數(shù)學(xué)建模聯(lián)合研習(xí)活動等活動載體，匯集教學(xué)、實驗、交流、競賽與成果展示等多樣化功能，讓學(xué)生在社團活動中交流合作，在實驗室探究實踐，在實踐基地應(yīng)用創(chuàng)新，滿足不同層次、不同階段、不同特點學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，形成校企協(xié)同育人的育人模式.例如，學(xué)校與傘具生產(chǎn)企業(yè)建立校企合作創(chuàng)新實踐基地，組織數(shù)學(xué)建模社團的學(xué)生到企業(yè)開展社會實踐活動.學(xué)生在企業(yè)親身體驗傘具的組裝流程，與企業(yè)工程師交流多功能雨傘的創(chuàng)意設(shè)計，包括傘巢優(yōu)化、太陽能風(fēng)扇、儲電充電、紫外線監(jiān)測、實時定位等，融合數(shù)學(xué)、物理、信息、工程等學(xué)科知識開展綜合建模活動，并在企業(yè)的幫助下將研究成果轉(zhuǎn)化為產(chǎn)品.

表4 數(shù)學(xué)建模綜合活動平臺

三、參加各類比賽，檢驗教學(xué)成效

學(xué)生經(jīng)過“數(shù)模三階課程”的學(xué)習(xí)和“數(shù)學(xué)建模綜合活動平臺”的磨煉，體驗了數(shù)學(xué)建?；顒拥娜^程，積累了一定的活動經(jīng)驗，初步具備獨立解決問題的能力.此時，教師可以為學(xué)生創(chuàng)造機會，在更大的交流平臺中進行交流和展示，檢驗數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動效果.近六年來，廈門第六中學(xué)組織學(xué)生參加各類數(shù)學(xué)建模和科技創(chuàng)新比賽，例如IMMC 國際數(shù)學(xué)建模挑戰(zhàn)賽、全國青少年科技創(chuàng)新大賽、上海地區(qū)數(shù)學(xué)建模聯(lián)?；顒印⒏＝ㄊ　盎ヂ?lián)網(wǎng)+”大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)大賽萌芽賽道等比賽，通過競賽促進教學(xué)，普及數(shù)學(xué)建模教育，成效顯著.

數(shù)學(xué)建模和科技創(chuàng)新比賽都以提交研究論文作為參賽的基本條件，參賽隊伍可根據(jù)實際情況，提交程序算法、實物模型、軟件模型、查新報告、專利、圖片、視頻等附加材料來提升項目的綜合質(zhì)量.以下從備賽、參賽和評價三個環(huán)節(jié)進行簡要闡述.

（一）“軟硬”兼施，備戰(zhàn)賽事

在“硬件”方面，要為學(xué)生提供比賽的專用時間、空間和硬件設(shè)備.一是時間管理，數(shù)學(xué)建模比賽從賽題公布到提交參賽論文是有時間限定的，一般為3-4天.科學(xué)分配比賽時間是成功提交參賽論文的關(guān)鍵，指導(dǎo)教師應(yīng)協(xié)調(diào)好學(xué)生日常學(xué)習(xí)和參賽的關(guān)系，為學(xué)生提供連續(xù)的比賽專用時間.二是場地設(shè)備，數(shù)學(xué)建模比賽一般在專用的計算機教室或者數(shù)學(xué)建模實驗室里進行，學(xué)生在專用場地利用計算機進行編程、計算、文檔編輯，并使用相關(guān)的實驗設(shè)備采集數(shù)據(jù)、模擬實驗、檢驗結(jié)論等.

在“軟件”方面，要為學(xué)生提供文獻與數(shù)據(jù)查詢、小組分工、學(xué)術(shù)規(guī)范等方面的指導(dǎo).一是文獻與數(shù)據(jù)查詢指導(dǎo)，通過對中國知網(wǎng)、國家統(tǒng)計局等專業(yè)文獻網(wǎng)站的介紹，使學(xué)生了解獲取文獻和數(shù)據(jù)的主要渠道，明確相關(guān)領(lǐng)域的研究現(xiàn)狀，從而開展具有創(chuàng)新價值的研究.二是小組分工指導(dǎo)，數(shù)學(xué)建模團隊一般由2-4 人組成，各成員要在問題情境解讀、建模解模、軟件應(yīng)用、論文撰寫、交流展示等多個環(huán)節(jié)進行分工，發(fā)揮每個成員的特長優(yōu)勢，相互協(xié)作，形成團隊合力.三是學(xué)術(shù)規(guī)范指導(dǎo)，教師要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模論文的撰寫要求，逐步具備評審數(shù)學(xué)建模論文的能力，并通過評析優(yōu)秀數(shù)學(xué)建模論文的范例，使學(xué)生明確寫作框架和學(xué)術(shù)規(guī)范.

（二）重視細節(jié)，科學(xué)參賽

數(shù)學(xué)建模競賽一般分為兩個階段：第一階段是網(wǎng)絡(luò)比賽階段.這個階段由賽事主辦方發(fā)布賽題，參賽隊伍根據(jù)比賽要求完成相關(guān)任務(wù)，并在規(guī)定時間內(nèi)通過網(wǎng)絡(luò)平臺提交參賽論文.這個階段指導(dǎo)教師要引導(dǎo)學(xué)生制定、落實比賽計劃，包括時間分配，成員分工，階段目標，論文修訂、提交等，督促學(xué)生在關(guān)鍵時間節(jié)點內(nèi)完成既定任務(wù).此外，參賽隊伍還需留出足夠的時間進行論文修訂和完善，如摘要的提煉、字體字號的統(tǒng)一、參考文獻的規(guī)范標注、文檔的排版和美化等.

第二階段是答辯決賽階段.經(jīng)過專家評審，部分網(wǎng)絡(luò)比賽階段的優(yōu)秀作品將入圍答辯決賽，入圍的參賽隊伍根據(jù)要求到答辯決賽舉辦現(xiàn)場以演講的形式展示參賽作品，并接受專家團隊的問辯，專家團隊再根據(jù)參賽隊伍的表現(xiàn)進行評審，確定參賽隊伍的比賽成績.這個階段要組織學(xué)生開展正式問辯前的模擬問辯，引導(dǎo)學(xué)生充分掌握參賽作品中各細節(jié)的前因后果，能運用簡潔精煉、富有邏輯性的演示文稿和語言陳述參賽作品的科學(xué)性、實用性、創(chuàng)新性和可推廣性，并制作能體現(xiàn)問題本質(zhì)特征和優(yōu)點的軟件模型或?qū)嵨锬Ｐ洼o助講解.在此基礎(chǔ)上，參賽隊伍要關(guān)注項目研究的優(yōu)點、創(chuàng)新點和不足，能客觀、靈活地回應(yīng)專家提出的問題，做到有理有據(jù)，能自圓其說.

（三）綜合評價，激勵成長

評價是教育活動的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，是反饋育人成效的核心工具.為了以評價激勵學(xué)生發(fā)展，深度挖掘?qū)W生發(fā)展?jié)撡|(zhì).廈門第六中學(xué)教師構(gòu)建高中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平評價指標體系，該指標體系依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017 版2022 年修訂）》有關(guān)數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的水平劃分、STEAM 教育理念和數(shù)學(xué)建?；顒拥闹饕^程，［2］在進行專家訪談和問卷的基礎(chǔ)上，制定了“情境解讀”“數(shù)學(xué)建?！薄皵?shù)學(xué)表達”“交流協(xié)作”和“技術(shù)轉(zhuǎn)化”等5 個一級指標，15 個二級指標及相對應(yīng)的4 個水平劃分，結(jié)合專家訪談和層次分析法（AHP）確定各指標的權(quán)重值，通過對各個二級指標的4 個水平劃分進行賦值，開展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平的量化評價［3］.評價實施過程關(guān)注學(xué)生課堂、活動和比賽中的過程表現(xiàn)和成績，組織高校專家、企業(yè)工程師、家長和學(xué)校多學(xué)科教師成立評審小組，開展過程性評價與總結(jié)性評價，定量評價與定性評價，他人評價與個人自評的綜合評價，促進學(xué)生從四基四能向核心素養(yǎng)發(fā)展.

四、拓寬推廣渠道，發(fā)揮示范作用

自2020 年以來，為了進一步推廣學(xué)校的數(shù)學(xué)建模教學(xué)成果，廈門第六中學(xué)與廈門市教育科學(xué)研究院、福建省學(xué)習(xí)科學(xué)學(xué)會聯(lián)合舉辦了一年一度的廈門地區(qū)數(shù)學(xué)建模聯(lián)合研習(xí)活動，組織廈門地區(qū)和省內(nèi)外部分學(xué)校的中學(xué)生開展數(shù)學(xué)建模研究性學(xué)習(xí)活動，活動經(jīng)歷“課程學(xué)習(xí)—提出問題—發(fā)布問題—問題解決—論文評審—展示問辯”六個階段，其中“課程學(xué)習(xí)”階段由組織單位提供“數(shù)模三階課程”的相關(guān)內(nèi)容；“提出問題”階段由學(xué)生組建數(shù)學(xué)建模小組，結(jié)合生活熱點和親身經(jīng)歷，合作提出一個具有應(yīng)用價值和創(chuàng)新價值的問題；“發(fā)布問題”階段由組織單位提供若干個問題作為數(shù)學(xué)建模活動的選題，供學(xué)生自主選擇；“問題解決”階段由參加活動的隊伍根據(jù)數(shù)學(xué)建模解決問題的過程及論文寫作的規(guī)范要求，合作完成一篇數(shù)學(xué)建模論文；“論文評審”階段由組織單位邀請評審專家對各團隊提交的論文進行評審，評出入圍“展示問辯”決賽的隊伍；“展示問辯”階段由入圍隊伍根據(jù)數(shù)學(xué)建模論文和問題解決過程制作展示研究成果的幻燈片（演示文稿），在決賽現(xiàn)場先完成限時的成果展示，之后回答評審專家有關(guān)數(shù)學(xué)建模成果的提問，促進學(xué)生在展示、交流和比賽中成長.

廈門地區(qū)數(shù)學(xué)建模研習(xí)活動不僅為區(qū)域內(nèi)外的中學(xué)師生提供交流數(shù)學(xué)思想，展示數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和創(chuàng)新能力的平臺，又能引導(dǎo)中學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)建模方法探索和解決現(xiàn)實問題，增強中學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建?！叭窠∩怼崩砟?，普及數(shù)學(xué)建模教育，為創(chuàng)新人才的早期培養(yǎng)提供參考途徑.

高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決具有學(xué)科交叉融合特征的現(xiàn)實問題，為學(xué)生提供動手實踐、團隊合作和展示成果的機會.數(shù)學(xué)建模教學(xué)旨在引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)建?；顒又懈形驍?shù)學(xué)應(yīng)用價值，體驗綜合運用知識和方法解決實際問題的過程，在學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中滲透立德樹人的“德育”基礎(chǔ)，營造數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)價值的“美育”環(huán)境，突出對數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用的“智育”培養(yǎng)，落實實踐動手能力和合作創(chuàng)新精神的“體勞雙育”，發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科育人功能，實現(xiàn)“五育融合”，推進育人方式的改革，促進學(xué)生全面發(fā)展.