李澤荃，劉飛翔，趙法森

(1. 華北科技學院 經濟管理學院，北京 東燕郊 065201；2. 華北科技學院 安全工程學院，北京 東燕郊 065201；3.中國國際工程咨詢有限公司，北京 100048)

0 引言

2020年伊始，新冠肺炎疫情的爆發(fā)讓中國乃至全球的諸多國家重新審視起危機狀態(tài)下的城市規(guī)劃與建設、應急治理與可持續(xù)發(fā)展，韌性城市建設也隨之成為熱點話題。眾所周知，城市是由多個復雜系統(tǒng)耦合而成的超級系統(tǒng)，高速發(fā)展的交通和互聯(lián)網使得系統(tǒng)內和系統(tǒng)間的連接更為廣泛、復雜。特別是被稱為城市命脈的關鍵基礎設施系統(tǒng)(如電網、供水網、供氣網、交通網、通信網等)的持續(xù)可靠運行是一個城市甚至國家完全依賴的對象。在過去的幾年中，人們越來越意識到城市的關鍵基礎設施并不是孤立運行的，事實上，它們之間同樣由于存在復雜的依存關系形成了緊密關聯(lián)、相互依賴的耦合系統(tǒng)[1-3]。例如，電力網絡為供水網絡抽排水和控制系統(tǒng)提供電力、反過來供水網絡為電力網絡提供冷卻用水，燃氣網絡為電力網絡的發(fā)電設備提供燃料、反過來電力網絡為燃氣網絡的設備控制提供動力等。而且隨著技術的不斷革新，大范圍的物質、信息等的遷移和交換會越來越頻繁，系統(tǒng)內各單元的耦合作用也會越來越強，這進一步提高了城市關鍵基礎設施系統(tǒng)的運營效率和擴大了其運行范圍。

然而，這種強耦合關聯(lián)特性也為故障或者極端事件的傳播提供了更多的路徑和可能，極大地增加了城市關聯(lián)基礎設施網絡的脆弱性[4-6]。一個微小的擾動就可能會造成整個城市網絡系統(tǒng)的連鎖反應，導致系統(tǒng)中大部分單元產生崩潰，發(fā)生災難性后果。這是因為某一層網絡上的節(jié)點故障將導致其他網絡層中有依賴關系的節(jié)點失效，反過來該節(jié)點會通過其他連邊及其依賴關系將故障傳回到原來的網絡，形成連鎖回路，直至整個關聯(lián)網絡癱瘓。例如，今年1月份以來，美國南部的得州由于暴風雪襲擊，造成該州出現嚴重交通中斷與基礎設施癱瘓，據統(tǒng)計有超過400萬人遭遇斷電和天然氣斷供；2003年9月28日，由于電網與其通信系統(tǒng)存在耦合，在意大利一個發(fā)電站的故障導致了與其存在依賴關系的通信控制系統(tǒng)節(jié)點破壞，進而又將故障傳遞給了其他電站，致使民航、鐵路運輸中斷，導致全國5800萬人無電力供應8個多小時[7-9]。類似的事件還有2003年北美停電事故[10]、2004年佛羅里達州颶風災害事件[11]、2008年中國南方冰雪災害事件[12]、2011年日本地震事件[13]。

為此，城市關鍵基礎設施系統(tǒng)的脆弱性研究也受到前所未有的關注。學者們提出了眾多的方法對這一問題進行探索，包括：經驗分析方法[14]、基于多主體仿真的方法[15]、基于系統(tǒng)動力學的方法[16]、基于經濟理論(投入-產出經濟模型)的方法[17]、基于復雜網絡的方法[18-19]和基于貝葉斯網絡的方法[20]等。其中，利用復雜網絡理論研究城市關鍵基礎設施脆弱性已經成為最主要的研究方向。另外，由于關鍵基礎設施間存在的相互依賴關系，研究范圍已經從單一網絡[21-23]擴展到耦合相依網絡[7,24]。依據是否考慮關鍵基礎設施上物質或信息的流動性，研究方法也不僅僅局限在基于網絡拓撲結構的方法[25-26]，還延伸到基于網絡動力學的方法[27-28]。另外，研究角度也多種多樣，囊括關鍵基礎設施的關聯(lián)特征[1,29]、關鍵基礎設施的魯棒性或脆弱性[30-31]、網絡層間失效演化模型[7,28]、應對級聯(lián)失效的恢復策略[32-33]等。這些研究為理解城市多層關鍵基礎設施級聯(lián)失效的演化規(guī)律以及制定相對應的彈性恢復策略提供了有益的補充。

城市關鍵基礎設施網絡是一個新興的、快速發(fā)展的研究領域，涉及工程、物理、數學、計算機和社會科學等眾多學科，由于其自身展現出的網絡拓撲特征，復雜網絡方法逐漸在該領域嶄露頭角。利用復雜網絡理論研究城市關鍵基礎設施破壞的級聯(lián)過程大致可分為兩個階段：單層網絡和多層網絡。對于單層網絡，重點對級聯(lián)失效模型及其應用、災害蔓延動力學機制等進行簡要闡述；對于多層網絡，主要從關鍵基礎設施耦合網絡級聯(lián)失效演化模型、層間拓撲結構對于故障傳播的影響以及耦合網絡的脆弱性評價等進行綜述。

1 單層網絡

1.1 無向網絡

在網絡上，一個節(jié)點地失效往往會影響其他節(jié)點進而引起連鎖反應，導致網絡大規(guī)模破壞。為了理解網絡上級聯(lián)失效的形成機制，學者們通常用網絡節(jié)點的介數描述網絡流量，對由過載導致的級聯(lián)失效進行建模?；诖怂悸罚S多模型相繼被提出，主要有Motter-Lai模型、Crucitti模型、CASCADE模型等。其中，Motter-Lai模型應用最為廣泛，它是由Motter等[34]在2002年提出的。該模型假設能量沿著網絡的最短路徑傳播，同時認為如果節(jié)點發(fā)生過載荷，則故障節(jié)點將會從網絡中永久刪除。該模型表示為：

Cn=(1+α)Lnn=1,2,…，N

(1)

式中，α是容忍系數，表示節(jié)點Vn額外的容量，α≥0?？梢钥闯?，節(jié)點的負載等于其介數且每個節(jié)點的容量與其初始負載成正比；當移除少數節(jié)點后，網絡負載重新分布，引發(fā)級聯(lián)失效。他們的研究表明，均勻網絡比無標度網絡的魯棒性高，蓄意攻擊比隨機失效更具威脅。

在Motter-Lai模型的基礎上，學者們提出了一些改進版本。2004年，Crucitti等[35]提出了基于連邊傳輸效率動態(tài)更新的級聯(lián)失效模型，該模型將節(jié)點和邊在失效傳播過程的動態(tài)變化考慮在內。王建偉等[36]針對以介數進行負載重新分配存在耗時且計算復雜的情況，提出了一種帶有可調參數并以節(jié)點度為計算依據的級聯(lián)故障模型。Wang等[37]提出了一個基于局部負載分配策略的級聯(lián)失效模型，認為在某些條件下攻擊度值低的節(jié)點對網絡的破壞程度反而大于度值高的節(jié)點。為解決級聯(lián)失效網絡負載分配問題，李從東等[38]提出了一種將網絡局部信息和動態(tài)信息相結合的負載動態(tài)重分配策略，該方法對于降低網絡正態(tài)負載率效果更為明顯。另外，從提高網絡抗毀性能的角度，Motter[39]認為在BA網絡中的節(jié)點遭受首輪攻擊后，迅速移除網絡中的度數或介數相對大的節(jié)點能夠有效降低級聯(lián)失效的規(guī)模。

基于一般網絡上的級聯(lián)失效模型，對于真實的城市基礎設施網絡，學者們也做了廣泛研究。Sachtjen等[40]結合供電網絡特點，提出一個用于描述級聯(lián)故障規(guī)模的參數，獲得初始擾動大小的概率分布函數。Ryan等[41]基于北美電力網絡進行了級聯(lián)故障的仿真分析，認為單個變電站的故障失效會引發(fā)網絡中的過載反應?；谖覈A北電網、東北電網等實際網絡拓撲數據，易俊等[42]研究發(fā)現在一定的條件下發(fā)生連鎖故障的“故障規(guī)模-故障概率”分布曲線呈現出冪律特征。Mishkovski等[43]以連邊介數的平均值作為網絡脆弱性的度量指標，分析了人工網絡和真實交通網絡上抵御級聯(lián)失效的魯棒能力。劉杰等[44]從交通工程學中的負載和容量出發(fā)，分析了道路和網絡兩個層次的交通擁堵指數。除了在電力和交通網絡上的應用之外，在通信[45]、互聯(lián)網[46]等網絡上的級聯(lián)故障研究也取得了較多進展。

1.2 有向網絡

考慮到關鍵基礎設施網絡一般是有向網絡，且節(jié)點之間通常具有非線性和反饋性，可以將節(jié)點故障看作為狀態(tài)的改變，引入傳播動力學機制?；诖擞^點，Buzna等人[47]建立了災害蔓延的普適性動力學模型，表示為：

(2)

(3)

(4)

上述動力學方程包括三個部分。式(2)等號右邊三項分別表示為節(jié)點的自我修復功能，災害蔓延機理和內部隨機噪聲。1/τ表示節(jié)點的自我修復速度；Mij表示節(jié)點i對節(jié)點j的影響程度，即網絡的邊權；β為傳播過程中的阻尼作用；tij為節(jié)點i和節(jié)點j之間的影響延遲時間。其中，式(3)和式(4)同為式(2)的參數，即式(2)為Sigmoid函數，α為定值，θi為節(jié)點i的閾值；式(3)為節(jié)點i的出度函數，oi為節(jié)點i的出度值，a和b為常數?；诖四Ｐ停髡咄ㄟ^仿真分析認為在災害蔓延過程中存在相變，且其臨界值的大小與節(jié)點參數及網絡拓撲結構有關系。

翁文國等[48]對網絡在隨機擾動下的災害蔓延進行了分析，研究了自修復因子、延遲時間因子和噪聲強度三個參數對節(jié)點修復率和崩潰節(jié)點數的影響。李澤荃等[23]基于Buzna模型仿真分析了網絡中心性對災害蔓延速度和擴散趨勢的影響，認為網絡對隨機攻擊具有較強的抵御能力，對于目標攻擊顯示較強的脆弱性。王正武等[49]構建了城市道路交通網絡級聯(lián)失效的災害蔓延動力學模型，分析了城市交通網絡節(jié)點的失效蔓延機制。

2 多層關聯(lián)耦合網絡

2.1 關聯(lián)基礎設施網絡相關概念

(1) 網絡間關聯(lián)關系類型

城市關鍵基礎設施系統(tǒng)間的相互依賴類型多樣，其中單向聯(lián)結被稱為“依賴關系”，雙向聯(lián)結被稱為“關聯(lián)關系”。Rinaldi等[1]定義了4種關聯(lián)關系類型：物理、地理、信息和邏輯。物理關聯(lián)指一個基礎設施系統(tǒng)運行狀態(tài)依賴于另一個基礎設施系統(tǒng)的物質輸出；當多種基礎設施組件在空間上緊密相鄰，就會存在地理上的相互依賴關系；信息關聯(lián)依賴于基礎設施間的信息傳輸以保持正常運行；邏輯關聯(lián)指基礎設施間的狀態(tài)通過政治、金融或法律等關聯(lián)機制來維持。Zimmernan[50]將關聯(lián)關系分為功能關聯(lián)和空間關聯(lián)，前者指一個基礎設施的運行需要另一個基礎設施的正常運行作為支撐，后者指兩個基礎設施系統(tǒng)位置的接近性。Dudenhoeffer等[51]將Rinaldi的邏輯關聯(lián)改為政策程序和社會關聯(lián)，并對其進行了定義。Lee等[52]計算機學科角度將基礎設施間的關聯(lián)關系定義為輸入、共享、交互、排他性和同地協(xié)作。Zhang等[53]把經濟因素考慮其中，將基礎設施間關聯(lián)關系劃分為功能、物理、預算和市場-經濟關聯(lián)。王詩瑩[29]為解決城市關鍵基礎設施的脆弱性評估問題，采用本體模型對基礎設施間的關聯(lián)關系進行了通用性表示。可以看出，不管是物理的方式還是輸入、共享的方式，它們都表達一個基礎設施的運行是基于另一個基礎設施所提供的服務，都可納入到功能關聯(lián)關系當中。

(2) 網絡間耦合行為

Rinaldi等[1]認為耦合行為包括耦合關系和耦合程度。耦合關系分為線性和非線性耦合，擾動發(fā)生后關鍵基礎設施的響應一般不可預知，因而非線性耦合居多；耦合程度分為強耦合和弱耦合，判斷依據在于某基礎設施擾動對其關聯(lián)的基礎設施網絡的影響程度。

2.2 關聯(lián)網絡級聯(lián)失效模型

(1) 經典的關聯(lián)網絡級聯(lián)失效模型

2010年前后學者們開始逐步關注城市多層基礎設施網絡的級聯(lián)失效問題，眾多關聯(lián)網絡的級聯(lián)失效模型被提出，并且也獲得了廣泛應用。最先開始研究關聯(lián)基礎設施網絡級聯(lián)失效問題的學者來自意大利，Rosato等[28]受意大利輸電網絡與通信網絡的耦合特征啟發(fā)，利用關聯(lián)模型分析了由電網故障引起的通信網絡級聯(lián)失效過程，研究發(fā)現即使在電網中發(fā)生小的事故，通信網絡也可能完全斷開。在該模型中，電網中的負載和通信網中的數據流分別通過直流潮流模型和概率數據包模型表示，兩層網絡間的耦合連接由通信網絡中的節(jié)點與其在電網中歐式距離最小的負載節(jié)點實現?；诖四Ｐ停髡叻治隽藢娱g耦合強度對級聯(lián)故障的影響，或許，該模型僅反映了一種單向依賴關系，無法體現實際電網和通信網絡之間存在的相互依存性。在此基礎上，王建偉等[54]研究了多層耦合網絡受到攻擊后的級聯(lián)失效過程，發(fā)現級聯(lián)失效對關鍵基礎設施網絡具有嚴重影響。

隨后，眾多學者開始采用滲流理論研究級聯(lián)失效，最典型的是Buldyrev等[7]提出的模型。作者以滲流理論為基礎，建立了雙層網絡級聯(lián)失效的通用分析框架，通過解析計算獲得了兩個ER隨機關聯(lián)網絡的臨界失效閾值，而且還發(fā)現與單層網絡相比級聯(lián)失效的臨界閾值較低，意味著一個輕微的擾動可能導致整個網絡系統(tǒng)的崩潰。另外，Buldyrev的研究團隊還將模型擴展到擁有多重依賴關系的多層網絡[55]、部分相互依賴網絡[56]等，獲得眾多有意義的結論，如降低耦合強度會導致級聯(lián)失效從一階非連續(xù)滲流相變轉變?yōu)槎A連續(xù)滲流相變、關聯(lián)網絡的度分布異質性越高對于隨機故障脆弱性越大等。

(2) 考慮到現實網絡特征的模型修正

結合實際的基礎設施網絡特征，國內外學者也進行了模型修正。Nguyen等[57]為識別電力和通信雙層關聯(lián)網絡中的關鍵節(jié)點，構建了電網和通信網相關聯(lián)的級聯(lián)失效模型，并提出了基于各類中心性的貪心算法以解決計算復雜性問題，仿真結果發(fā)現關聯(lián)系統(tǒng)的耦合強度越低越容易出現級聯(lián)故障。Parandehgheibi等[58]基于電力和通信的關聯(lián)網絡分析了級聯(lián)失效的演化規(guī)律，著重研究了導致兩層網絡完全崩潰所需要的最少故障節(jié)點數目。對于具有異構節(jié)點(可以執(zhí)行多種功能節(jié)點)和空間位置關系的網絡，Castet等[59]進行了模型改進并分析了網絡的脆弱性。毛子駿[60]以華中地區(qū)某城市的供水網絡和供電網絡為研究對象，在考慮網絡上負載的情況下建立了關聯(lián)基礎設施網絡的研究模型，求解了災害爆發(fā)后關聯(lián)基礎設施網絡的狀態(tài)轉移過程，并獲得蓄意攻擊破壞的重要節(jié)點。Zhou等[61]結合鄭州市供電網絡、燃氣管網和供水網絡的真實數據構建了關聯(lián)關系的定量評價模型，通過計算認為供電網絡故障對于其他網絡影響較大，相反卻很難被影響。張宇威等[62]基于多層網絡理論建立了電網-交通網耦合網絡級聯(lián)失效模型，能夠準確描述電網擾動對交通網的影響。

(3) 層間耦合行為對網絡功能的影響

基于級聯(lián)失效模型研究層間耦合行為對多層網絡結構和功能的影響也是一個重要的研究方向。眾所周知，大多數現實基礎設施系統(tǒng)之間的依賴特征和連接特性都不是完全隨機的，而是呈現諸如度度相關(degree correlations)、互相似連邊(intersimilar links)等復雜結構模式。Zhou等[63]提出了網絡間節(jié)點匹配系數相關的拓撲構建方法，并從理論和實驗方面分析了該方法對整個網絡系統(tǒng)魯棒性的影響。Reis等[64]的研究表明相互依賴的基礎設施網絡系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅取決于層內拓撲結構，而且還與層間的耦合連接模式有重大關系。連邊互相似指一對相互依賴的節(jié)點在其網絡層內的鄰點也相互依賴，如貨運港口網絡和機場網絡具有高度的互相似性。Wang Jianwei等[8]從層間度度相關性角度分析了具有不同連接模式的關聯(lián)網絡魯棒性，并通過優(yōu)化耦合網絡間的連接模式給出了抵制級聯(lián)故障的優(yōu)化策略。Jing Li等[65]研究了不同類型相互依存網絡對于不同出發(fā)概率的級聯(lián)故障行為。另外，基礎設施網絡不僅相互依賴關聯(lián)，而且它們內部還具有不同的社團結構，社團結構在層間的耦合模式也會影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，Wang等[66]對于此問題也進行了深入研究。

2.3 應對失效的恢復策略

對于城市關聯(lián)基礎設施系統(tǒng)來說，如何在災前進行彈性設計或者在災中及時減緩級聯(lián)失效對其造成的影響也是學界關注的重點。為此，眾多學者提出了較有意義的方法或策略。比如在災前通過增加關鍵基礎設施系統(tǒng)的彈性恢復能力，如進行冗余設計、優(yōu)化自恢復能力等，可以有效避免故障級聯(lián)傳播。彈性指關鍵基礎設施系統(tǒng)能夠抵御任何可能的風險，能夠吸收初始破壞并恢復正常運行的能力[67]，Yadav等[68]基于此思路提出了可以定量分析關聯(lián)基礎設施網絡彈性能力的通用框架，并在交通耦合網絡上進行了理論驗證。為了抑制網絡中的節(jié)點過載故障，Liu等[69]在關聯(lián)基礎設施網絡中提出了一種新的冗余設計方法，并分析了節(jié)點備份和層間依賴兩種策略的運行效果。Majdandzic等[70]在對基礎設施網絡進行彈性優(yōu)化設計時將節(jié)點的自恢復特性考慮在內?；蛟S，僅通過災前設計無法徹底消除級聯(lián)故障，降低災中影響也是重中之重。Zio等[71]提出了三種不同的策略來抑制整個關聯(lián)基礎設施系統(tǒng)的級聯(lián)故障。Liu等[72]提出了一個基礎設施系統(tǒng)彈性恢復方法框架，并在未加權的全連接網絡上進行了級聯(lián)故障恢復策略的仿真。Hong等[33]研究了初始故障后的災中恢復策略，發(fā)現恢復效果在很大程度上取決于觸發(fā)時間、恢復概率和恢復措施的優(yōu)先級。Zhou等[73]提出相同概率修復和節(jié)點度優(yōu)先修復策略，并以系統(tǒng)彈性損失作為評價標準在多層電力網絡進行仿真驗證。城市關鍵基礎設施的級聯(lián)故障往往不是由破壞強度超大的地震或臺風引起的，通常是由局部故障引起的級聯(lián)失效，Hu等[74]基于此問題討論了基礎設施網絡的彈性恢復方法。

3 結論

(1) 對于多層關鍵基礎設施網絡級聯(lián)失效問題，大部分學者將多層基礎設施間的關聯(lián)關系作簡化處理，重點關注的是拓撲網絡結構本身在遭受攻擊之后展現出的相變規(guī)律。此類理論假設并沒有考慮到基礎設施系統(tǒng)之間的關聯(lián)關系類型，研究結果偏理想化。

(2) 關于關聯(lián)基礎設施網絡的級聯(lián)失效模型，學者們普遍采用靜態(tài)的滲流理論模型或動態(tài)的負載分配模型進行仿真計算，很少有學者從實際關鍵基礎設施系統(tǒng)本身的故障產生、傳播和恢復機制出發(fā)來建立級聯(lián)失效模型。同時，大部分學者將多層網絡單純地考慮為結構耦合，利用滲流理論從靜態(tài)角度進行理論和數值求解，很少涉及負載動力學相關研究?；蛟S，網絡層內故障間的耦合關系主要通過網絡功能重構來體現，負載重分配對耦合網絡的級聯(lián)失效影響較大，需要建立更加貼近實際的負載動力學模型。

(3) 鑒于電力網絡上的介質流動與負載動力分配具有一致性，從模型角度來說非常有利于仿真計算，因此大部分學者都是基于真實的電力網絡進行級聯(lián)失效演化規(guī)律研究和應對策略仿真模擬，很少有文獻涉及其他類型的關鍵基礎設施。