四川 尹義杰

本文通過對(duì)2022年全國甲卷理科第21題的解法分析，以及其與新高考試卷、新教材的對(duì)比進(jìn)行探源，找到高考試題與新教材之間的命題關(guān)聯(lián)，發(fā)現(xiàn)命題人“重教材，求變新，強(qiáng)選拔”的高考命題意圖，為2023年高考復(fù)習(xí)提供助力.

一、真題再現(xiàn)

(1)若f(x)≥0，求a的取值范圍；

(2)證明：若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，則x1x2<1.

本題考查學(xué)生對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)的掌握，學(xué)生能否發(fā)揮導(dǎo)數(shù)在探索不等式、函數(shù)問題時(shí)的“工具性”作用，考查學(xué)生獨(dú)立思考，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)方法分析問題和解決問題的能力.雖然是壓軸題，但是本題依然體現(xiàn)了“重教材，求變新，強(qiáng)選拔”的命題意圖.

二、解法分析

解法二：構(gòu)造函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)知識(shí)，化簡所求函數(shù)后分離參數(shù)進(jìn)行求解.將函數(shù)變形為f(x)=ex-lnx+x-lnx-a，令t=g(x)=x-lnx，容易求得g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，所以t≥1，此時(shí)已知的f(x)≥0即為f(t)=et+t-a≥0，分離參數(shù)a≤et+t，求得當(dāng)t=1時(shí)不等號(hào)右側(cè)函數(shù)值最小，即a≤e+1.

解法三：在解法二中可以輕松發(fā)現(xiàn)函數(shù)f(t)=et+t-a在[1,+∞)上單調(diào)遞增，所以f(t)≥f(1)=e+1-a≥0，即a≤e+1.

從三種解法中都可以看出重基礎(chǔ)、低起點(diǎn)、寬入口的命題意圖，堅(jiān)持讓每位學(xué)生都能動(dòng)筆，都有收獲.重視通性通法的考查，通過“通性通法”使多題一解、一題多解，引導(dǎo)學(xué)生在復(fù)習(xí)中走出“題?！?

從解法三中還能發(fā)現(xiàn)求變求新的命題意圖.在新函數(shù)f(t)=et+t-a的結(jié)構(gòu)上可以發(fā)現(xiàn)其與重要不等式ex≥x+1非常相似，而這就成了本題的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，學(xué)生易忽略重要不等式對(duì)應(yīng)函數(shù)f(x)=ex-x-1與f(t)的符號(hào)存在區(qū)別，從而易得出錯(cuò)誤答案a≤1.而這個(gè)符號(hào)的區(qū)別就是求變求新的命題體現(xiàn)，考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

(2)極值點(diǎn)偏移問題的求解技巧有很多，但是求解技巧并不能考查出學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)的基本作用的理解和掌握情況.導(dǎo)數(shù)的核心作用是工具，它是幫助我們判斷函數(shù)性質(zhì)的一種有力工具，所以在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題的求解中，我們首先要找到，應(yīng)該用導(dǎo)數(shù)去研究什么樣的函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)指明這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，最后完成解答即可.當(dāng)然，即便學(xué)生清楚所要研究的函數(shù)，依然不能保證可以完全解答出本題，因?yàn)檫@中間還有若干步化簡需要處理，學(xué)生不一定能全部找出，所以這就突顯了高考題的選拔性作用.

解法一：因?yàn)閒(x1)=f(x2)=0，不妨設(shè)0

三、試題探源

(一)與教材聯(lián)系

2022年的全國甲卷理科無疑是一份鏈接新教材新高考的過渡試卷，今年下半年四川將開始學(xué)習(xí)新教材.在人教A版選擇性必修第二冊(cè)中有這樣一道習(xí)題.

顯然，此題和今年全國甲卷理科第21題的函數(shù)f(x)在結(jié)構(gòu)上有相似性；而在例1第(1)問解法二和三中，通過構(gòu)造t=g(x)=x-lnx和復(fù)合函數(shù)化簡得到函數(shù)f(t)=et+t-a.很難說他們分別與人教A版選擇性必修第二冊(cè)第94頁練習(xí)第2題和第87頁練習(xí)第1(2)題沒有相似關(guān)系，是不是這些問題重新變化、組合而成.

所以，我們雖然不肯定高考會(huì)考課本上的例題、習(xí)題等，但是教材給予高考復(fù)習(xí)一定的提示，要重視教材.那怎么重視教材呢？不僅要做，還要做透，做靈活，更要有改編課本習(xí)題的膽量.怎么改編呢？可以參考?xì)v年的高考試題改編，再以此為依托在高考復(fù)習(xí)時(shí)進(jìn)行變式設(shè)計(jì)和訓(xùn)練，一定會(huì)有不錯(cuò)的效果.

(二)與近年高考題縱向聯(lián)系

2.(2020·新高考Ι卷·21)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

第(2)問通過構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行解答，即由f(x)≥1得aex-1-lnx+lna≥1，即elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx，構(gòu)造函數(shù)g(x)=ex+x即可解答.與2022年全國甲卷理科第21題第(1)問解法二和三所得函數(shù)f(t)=et+t-a及其得到方法都基本一致.而函數(shù)g(x)=ex+x更不是一個(gè)陌生的函數(shù)，在人教A版選擇性必修第二冊(cè)第87頁練習(xí)第1(2)中早已有它的一位變式“親友”存在了.

當(dāng)然，從極值點(diǎn)偏移問題的確定研究函數(shù)的這個(gè)思維角度去看，2021年新高考Ι卷第22題第(2)問也和2022年全國甲卷理科第21題第(2)問是相統(tǒng)一的.

(三)與2022年高考題橫向聯(lián)系

3.(2022·新高考Ι卷·22)已知函數(shù)f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

(1)求a；

(2)證明：存在直線y=b,其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

由已知g(x)=ax-lnx=aelnx-lnx，令t=lnx，則g(t)=aet-t，因?yàn)閒(x)與g(x)有相同的最小值，可推出f(x)與g(t)有相同的最小值，由兩者的解析式可以明顯觀察得出a=1.

至此可以看出，本題第(1)問中所研究的函數(shù)f(x)=ex-x和g(t)=et-t，正好是人教A版選擇性必修第二冊(cè)第87頁練習(xí)第1題(2)中的函數(shù)，也就是2022年全國甲卷理科第21題的那位好“親友”了.

不僅是第(1)問，第(2)問更是和這道練習(xí)題緊密聯(lián)系.設(shè)交點(diǎn)為x1，x0,x2,x1

即ex0-x0=x0-lnx0=b，

所以2x0=ex0+lnx0，

令f(x1)=ex1-x1=b=x0-lnx0=elnx0-lnx0，

所以x1=lnx0，

令g(x2)=x2-lnx2=b=ex0-x0=ex0-lnex0，

所以x2=ex0，

所以x1+x2=lnx0+ex0=2x0，問題得證.此過程始終圍繞函數(shù)f(x)=ex-x進(jìn)行構(gòu)造，因此我們必須要重視教材，重視基礎(chǔ)函數(shù)的研究、應(yīng)用和改編.

四、變式舉例

【方法變式】【例2】(2020·全國卷Ⅰ文·20)已知函數(shù)f(x)=ex-a(x+2).

(1)當(dāng)a=1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

【分析】第(1)問就是教材練習(xí)題f(x)=ex-x的簡單應(yīng)用；

五、高考復(fù)習(xí)策略

通過研究發(fā)現(xiàn)，在新高考的引領(lǐng)下，全國甲卷無論怎么變化求新，都是基于教材，變式提高，靈活應(yīng)用的，這就提示一線教師們?cè)诟呷龔?fù)習(xí)時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

(一)回歸教材夯實(shí)基礎(chǔ)

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)首先應(yīng)回歸課本，要指引學(xué)生從課本中的概念、定理、公式、法則的發(fā)生、發(fā)展、形成的過程去理解和掌握；指導(dǎo)學(xué)生總結(jié)、整理教材中的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本方法；挖掘掌握教材中的通性通法，從而既使學(xué)生減緩了復(fù)習(xí)的坡度，又使學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)形成清晰的網(wǎng)絡(luò)，更使學(xué)生應(yīng)試答題速度大大加快.

(二)回歸教材尋找題源

從本文上述內(nèi)容可以發(fā)現(xiàn)，高考題植根課本，源于課本，再變式提高的特征非常明顯，哪怕是參加全國甲卷、乙卷的省份，依然要參考新教材，這是高考命題的大勢所趨.回歸到教材中去，從平淡中練功力，使樸實(shí)無華的教材成為高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的最好范本，同時(shí)也是學(xué)生提高對(duì)高考試題的應(yīng)對(duì)能力最好的秘籍.

(三)回歸教材創(chuàng)新變式

既然高考題以課本原題進(jìn)行變式、組合、創(chuàng)新而成，那么在高三復(fù)習(xí)時(shí)也應(yīng)主動(dòng)發(fā)揮教材原題的變式組合功能，并著重對(duì)這類問題通性通法的提煉，淡化應(yīng)試技巧.同時(shí)變式組合不代表只有高難度問題，中低難度依然可組合，不同層次針對(duì)不同學(xué)生.再以這些問題為依托，訓(xùn)練學(xué)生的閱讀理解能力和思維能力等關(guān)鍵能力.當(dāng)然，如果能發(fā)揮學(xué)生自己的積極性，讓他們也積極參加到變式組合命題中來，相信學(xué)生一定會(huì)對(duì)教材和高考題有更深刻的理解和提高.