陳 蘭，王聯(lián)國

1.甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州730070

2.甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，蘭州730070

仿生智能計(jì)算是一類模擬自然界中“優(yōu)勝劣汰”行為的算法，具有自適應(yīng)、自組織、自學(xué)習(xí)等特點(diǎn)，智能優(yōu)化算法在解決諸多復(fù)雜優(yōu)化問題方面已展現(xiàn)出優(yōu)異的性能和巨大的發(fā)展?jié)摿?，例如：周蓉等[1]針對粒子群（particle swarm optimization，PSO）算法容易早熟收斂、易陷入局部最優(yōu)、精度低等缺點(diǎn)，提出一種基于灰狼優(yōu)化的反向?qū)W習(xí)粒子群算法，提高算法的收斂精度和速度；史春天等[2]將傳統(tǒng)的人工智能和群體生物結(jié)合，在解空間中搜索最優(yōu)解，為圖像分割技術(shù)提供了新的解決思路；傅文淵[3]用布谷鳥巢穴間存在的萬有引力進(jìn)行加速搜索，提出了一種概率變異的方法，增大了種群多樣性；張孟健等[4]將多種智能優(yōu)化算法用于求解帶約束的工程優(yōu)化問題，通過基準(zhǔn)測試函數(shù)的尋優(yōu)測試，分析了智能優(yōu)化算法的改進(jìn)方法及其發(fā)展?jié)摿?。而人工蜂群算法（artificial bee colony，ABC）作為一種典型的仿生智能計(jì)算方法，是由土耳其學(xué)者Karaboga[5]于2005 年提出的，具有原理簡單、控制參數(shù)少、容易實(shí)現(xiàn)、收斂速度快等優(yōu)點(diǎn)，且己被證明是一種優(yōu)異的全局優(yōu)化算法，許多學(xué)者和研究人員對其進(jìn)行了研究與改進(jìn)。其中，劉渝根等[6]利用ABC 算法優(yōu)化支持向量機(jī)（support vector machine，SVM）的接地網(wǎng)腐蝕速率預(yù)測模型，表明相對BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，采用ABC 算法優(yōu)化的模型預(yù)測結(jié)果精確度和穩(wěn)定性更高；宋曉宇等[7]提出一種多策略混合搜索ABC算法，利用不同搜索策略的特征及合適的混合比例，實(shí)現(xiàn)算法在探索和開發(fā)之間的平衡；孔德鵬等[8]提出一種基于排序選擇和精英引導(dǎo)策略的ABC 算法，提高算法的收斂性能；趙鳳等[9]提出一種多目標(biāo)粒子群和人工蜂群混合優(yōu)化的閾值圖像分割算法，在雇傭蜂更新蜜源過程中引入PSO 算法中的全局最優(yōu)解，改進(jìn)搜索方程，使算法跳出局部最優(yōu)解；杜振鑫等[10]提出了一種集成學(xué)習(xí)ABC 算法，挖掘種群中的有用信息來抑制早熟，使算法跳出局部最優(yōu)解；郭佳等[11]提出一種基于馬爾可夫（Markov）鏈的ABC 算法，根據(jù)Markov 鏈預(yù)測已知解空間的發(fā)展趨勢，使改進(jìn)算法在求解精度和收斂速度上高于基本ABC 算法；Huseyin[12]提出一種基于合格搜索策略的ABC 算法，使用四種不同的搜索方程提高算法的開發(fā)能力，實(shí)現(xiàn)全局和局部搜索之間的平衡；Gong 等[13]提出一種混合ABC 算法，設(shè)計(jì)有效的編碼、解碼、交叉和變異算子，并采用一種有效的局部搜索方法，提高了算法的收斂速度和開發(fā)能力；Zhao 等[14]提出了一種具有記憶功能的多種群ABC 算法，并將其應(yīng)用到疏散管理中，在縮短時(shí)間的同時(shí)能有效地疏散多個(gè)場景中的密集人群；宋曉宇等[15]提出一種具有自適應(yīng)搜索策略的混合ABC 算法，利用目標(biāo)函數(shù)值和最優(yōu)解的引導(dǎo)，提高算法的尋優(yōu)能力；Anan[16]提出了一種基于圖像邊緣檢測的ABC算法，利用ABC算法來尋找最優(yōu)的邊緣濾波器，在邊緣檢測過程中不斷優(yōu)化閾值。

ABC算法是一種簡單、高效的智能優(yōu)化方法，已成為解決全局和局部優(yōu)化問題的潛在工具。然而，對于某些優(yōu)化問題，目前還沒有一種特定的算法能夠達(dá)到最優(yōu)解。同時(shí)，ABC 算法也有一些缺點(diǎn)，例如開發(fā)能力差、易陷入局部最優(yōu)、收斂速度慢。針對這些問題，本文在基本ABC算法的基礎(chǔ)上，提出一種極值個(gè)體引導(dǎo)的人工蜂群算法（extreme individual guided artificial bee colony algorithm，EABC）。該算法在雇傭蜂和跟隨蜂階段發(fā)揮全局極值和鄰域極值個(gè)體的引導(dǎo)作用，改進(jìn)了搜索方程。全局極值個(gè)體引導(dǎo)搜索有利于種群中優(yōu)良個(gè)體的保留和發(fā)展，避免算法陷入局部極值，向著全局最優(yōu)的方向進(jìn)行，提高算法全局搜索能力；鄰域極值個(gè)體引導(dǎo)搜索使算法更快收斂，提高局部搜索能力；采用小概率變異方法，提高算法的搜索效率，增加種群多樣性；通過基于目標(biāo)函數(shù)值的貪婪選擇，提高了算法的優(yōu)化性能，并通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證EABC算法的有效性。

1 基本人工蜂群算法

ABC 算法包含雇傭蜂、跟隨蜂和偵察蜂三種蜜蜂，雇傭蜂和跟隨蜂主要負(fù)責(zé)食物源的開采過程，各占蜂群總數(shù)的一半，且與食物源數(shù)目相等。對于函數(shù)優(yōu)化問題，食物源的位置代表優(yōu)化問題的一個(gè)可行解，蜜蜂所帶的花蜜量代表函數(shù)的適應(yīng)度值，求解函數(shù)最優(yōu)值的過程就是蜜蜂尋找最大花蜜量的過程。D為搜索空間的維數(shù)，SN為食物源的數(shù)目，該算法模型如下：

雇傭蜂：每個(gè)雇傭蜂對應(yīng)一個(gè)食物源，雇傭蜂在食物源附近采用式（1）進(jìn)行鄰域搜索，并根據(jù)食物源的花蜜量進(jìn)行貪婪選擇，生成一個(gè)候選解。

跟隨蜂：每只跟隨蜂按照式（2）、式（3）的輪盤賭概率選擇一個(gè)雇傭蜂進(jìn)行跟隨，并在其附近通過式（1）進(jìn)行鄰域搜索，產(chǎn)生候選食物源：

式中，fi為函數(shù)值；fiti為第i個(gè)食物源的適應(yīng)度值；pi為第i只跟隨蜂的跟隨概率。

偵察蜂：如果一個(gè)食物源連續(xù)經(jīng)過limit次搜索之后仍然沒有得到改善，則該處的雇傭蜂將成為偵察蜂，并按式（4）隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)新的食物源。

2 極值個(gè)體引導(dǎo)的人工蜂群算法

2.1 雇傭蜂和跟隨蜂搜索方式

ABC 算法中雇傭蜂和跟隨蜂采用式（1）進(jìn)行搜索，該搜索過程在一定意義上是個(gè)體空間到個(gè)體空間的隨機(jī)映射，它的概率分布顯然只與當(dāng)前的位置狀態(tài)有關(guān)，沒有利用全局或局部最優(yōu)個(gè)體對種群中其他個(gè)體的引導(dǎo)作用，因此在整個(gè)過程中收斂速度較慢。

K鄰域極值個(gè)體lbest：雇傭蜂和跟隨蜂種群為{1,2,…,i,i+1,i+2,…,i+K-1,…,SN}，第i個(gè)個(gè)體的K鄰域?yàn)閧i,i+1,i+2,…,i+K-1}，lbest為{i,i+1,i+2,…,i+K-1}中目標(biāo)函數(shù)值最小的個(gè)體。

本文提出的EABC算法，在雇傭蜂和跟隨蜂搜索階段中引入了全局極值個(gè)體gbest和鄰域極值個(gè)體lbest，發(fā)揮其引導(dǎo)作用，改進(jìn)的搜索公式為：

式中，r為隨機(jī)數(shù)，r∈(0,1)，gbestj為gbest的第j維分量，lbestj為lbest的第j維分量，K為常數(shù)，通過多次實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證，當(dāng)K=5 時(shí)，算法優(yōu)化效果較好。

在式（5）中，等號右邊第二部分為全局極值個(gè)體引導(dǎo)項(xiàng)，表示當(dāng)前個(gè)體向全局極值個(gè)體靠攏；第三部分為鄰域極值個(gè)體引導(dǎo)項(xiàng)，表示當(dāng)前個(gè)體向K鄰域極值個(gè)體靠攏；第四部分為當(dāng)前個(gè)體位置與隨機(jī)個(gè)體的差分項(xiàng)，表示在當(dāng)前位置向量附近鄰域進(jìn)行搜索。

改進(jìn)搜索方式中，gbest引導(dǎo)新的候選解向全局最優(yōu)靠攏，增強(qiáng)算法的全局搜索能力；lbest引導(dǎo)蜜蜂個(gè)體進(jìn)行局部搜索；隨機(jī)數(shù)r在平衡全局搜索和局部搜索方面起著重要的作用。結(jié)合ABC 算法中雇傭蜂、跟隨蜂局部搜索和偵查蜂全局搜索的轉(zhuǎn)換機(jī)制，當(dāng)r較大時(shí)，雇傭蜂和跟隨蜂以gbest引導(dǎo)搜索為主，lbest引導(dǎo)搜索為輔，使算法不斷向全局最優(yōu)解靠攏，使算法跳出局部極值，避免早熟收斂，提高全局搜索能力；當(dāng)r較小時(shí)，以lbest引導(dǎo)搜索為主，gbest引導(dǎo)搜索為輔，蜜蜂個(gè)體在局部范圍內(nèi)進(jìn)行搜索，加快收斂速度，提高算法搜索精度和局部搜索能力。

2.2 小概率變異

EABC算法中，雇傭蜂和跟隨蜂采用相應(yīng)搜索公式更新解后，為克服算法陷入局部極值點(diǎn)并出現(xiàn)早熟收斂的現(xiàn)象，對蜜蜂個(gè)體的各維度按式（6）以較小的概率進(jìn)行變異，在搜索范圍內(nèi)隨機(jī)取值。

式中，φ3為隨機(jī)數(shù)，φ3∈(0,1)，當(dāng)φ3＜0.02 時(shí)，在搜索范圍內(nèi)隨機(jī)取值，否則，保持不變。小概率變異算子增加了群體的多樣性，有利于提高算法的全局搜索能力，使算法更容易跳出局部極值。

2.3 選擇策略

在ABC 算法中，三種蜜蜂都采用基于適應(yīng)度值的貪婪選擇方法選擇食物源，若候選食物源的適應(yīng)值優(yōu)于原來食物源的適應(yīng)值，則將其取代。但是對于函數(shù)優(yōu)化問題，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)值大于0 且無限接近0時(shí)，對應(yīng)的適應(yīng)值不具有區(qū)分度。為解決此問題，本文提出的改進(jìn)算法采用基于目標(biāo)函數(shù)值的貪婪選擇方法選擇食物源[17]。

2.4 算法實(shí)現(xiàn)步驟

EABC算法的實(shí)現(xiàn)步驟如下：

步驟1計(jì)算每個(gè)個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)值，并找出全局最優(yōu)個(gè)體；

步驟2雇傭蜂按式（5）、式（6）更新每個(gè)個(gè)體；

步驟3按式（2）、式（3）計(jì)算選擇概率；

步驟4跟隨蜂根據(jù)輪盤賭方式選擇蜜源，并按式（5）、式（6）更新每個(gè)個(gè)體；

步驟5執(zhí)行偵察蜂策略；

步驟6更新全局最優(yōu)個(gè)體；

步驟7終止條件是否滿足？若滿足，停止迭代并輸出全局最優(yōu)解，否則轉(zhuǎn)向步驟3。

EABC算法對應(yīng)的偽代碼如下所示：

算法1極值個(gè)體引導(dǎo)的人工蜂群算法（EABC）

輸入?yún)?shù)并初始化：

2.5 算法收斂性分析

算法的收斂性是衡量算法優(yōu)劣的一個(gè)重要指標(biāo)，優(yōu)化算法的好壞很大程度上取決于其收斂性能和收斂速度，因此，不同的改進(jìn)策略具有不同的收斂效果。如寧愛平等[18]利用隨機(jī)過程理論，并結(jié)合隨機(jī)搜索算法的全局收斂準(zhǔn)則，證明了ABC 算法滿足隨機(jī)搜索算法全局收斂的兩個(gè)假設(shè)；火久元等[19]采用數(shù)形結(jié)合的方式，分析算法的收斂過程，證明了ABC算法的收斂優(yōu)勢及收斂概率的變化過程；Nasr等[20]基于ABC 算法變量與食物源更新方程通解之間的關(guān)系，證明了蜂群算法的收斂性；Bansal 等[21]利用馮·諾依曼穩(wěn)定性和收斂性判據(jù)，證明了改進(jìn)的ABC 算法依概率收斂。

綜合上述文獻(xiàn)，本文采用階段性分析的方法將EABC 算法的運(yùn)行過程分為全局搜索階段和局部搜索階段。全局搜索階段，EABC算法的初始收斂概率較小，隨著迭代次數(shù)的增加，收斂概率逐漸變大。因此，此階段中算法的收斂速度較慢且需要進(jìn)行多次迭代，從而收斂到全局最優(yōu)。局部搜索階段，EABC算法的轉(zhuǎn)移速度加快，任意兩點(diǎn)之間的區(qū)域長度以極快的速度減小，算法收斂概率變大，能較快收斂到全局最優(yōu)。因此，此階段算法的收斂速度快、精度高。此外，EABC 算法屬于隨機(jī)搜索算法的范疇，因此可以利用隨機(jī)算法收斂準(zhǔn)則來判定EABC 算法的收斂性。根據(jù)收斂準(zhǔn)則[22]，EABC算法同時(shí)滿足假設(shè)1 和假設(shè)2，因此，在經(jīng)過一定次數(shù)的迭代后，算法依概率收斂。

綜上所述，本文提出的EABC算法通過全局極值和鄰域極值個(gè)體的引導(dǎo)，依概率收斂到全局最優(yōu)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

為了分析和比較EABC算法的優(yōu)化性能，使用表1中的28個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)[23]進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，這些函數(shù)具有單峰、多峰、可分和不可分等不同的性質(zhì)。函數(shù)的這些屬性在表1的C列中給出，M表示函數(shù)是多峰的，U表示函數(shù)是單峰的，S 表示函數(shù)是可分離的，N 表示不可分離函數(shù)的特性，D列表示各問題的維數(shù)。

表1 28個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)參數(shù)Table 1 Parameters of 28 standard test functions

表1 （續(xù)）

3.2 兩種選擇策略的性能比較

為了驗(yàn)證基于目標(biāo)函數(shù)值的貪婪選擇的有效性，選擇表1中的部分函數(shù)f1、f3、f5、f8、f16、f17、f24、f26進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，并與基于適應(yīng)度值的貪婪選擇方法進(jìn)行比較，實(shí)驗(yàn)中參數(shù)設(shè)置為維度D=30，種群規(guī)模S=30，最大迭代次數(shù)T=5 000，實(shí)驗(yàn)獨(dú)立運(yùn)行次數(shù)runtime=30，最大限制搜索次數(shù)limit=600，實(shí)驗(yàn)結(jié)果采用30次的平均函數(shù)值。圖1是基于適應(yīng)度值和目標(biāo)函數(shù)值的貪婪選擇方法選擇食物源的收斂曲線圖。在每幅圖中，縱坐標(biāo)用函數(shù)平均最優(yōu)值的對數(shù)表示，橫坐標(biāo)為迭代次數(shù)。由圖1 可知，基于目標(biāo)函數(shù)值的貪婪選擇方法的優(yōu)化效果更好。因此，在EABC算法中，利用目標(biāo)函數(shù)值代替適應(yīng)度值進(jìn)行貪婪選擇，能有效地提高算法的優(yōu)化性能。

圖1 兩種貪婪選擇策略收斂曲線Fig.1 Convergence curves of two greedy selection strategies

3.3 兩種算法的性能比較

3.3.1 結(jié)果與分析

為了評價(jià)EABC 算法的性能，分別用ABC 算法和EABC算法以求解28個(gè)測試函數(shù)的最小值為例進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，最終的測試結(jié)果采用獨(dú)立運(yùn)行30 次后的平均值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。

實(shí)驗(yàn)中參數(shù)設(shè)置為：維度D=30，種群規(guī)模S=30，最大迭代次數(shù)T=5 000，實(shí)驗(yàn)獨(dú)立運(yùn)行次數(shù)runtime=30，最大限制搜索次數(shù)limit=600，兩種算法的比較結(jié)果如表2所示。

由表2中兩種算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較可以看出：對于平均最優(yōu)值和標(biāo)準(zhǔn)差，EABC算法對f1、f2、f3、f4、f5、f7、f8、f16、f18、f19、f24、f26、f2813個(gè)函數(shù)的優(yōu)化效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于ABC 算法，對f9、f13、f14、f21、f22等5個(gè)函數(shù)的優(yōu)化效果略優(yōu)于ABC算法，其余10個(gè)函數(shù)中，EABC算法和ABC算法的優(yōu)化效果相當(dāng)；對于最差值和最優(yōu)值，EABC算法對f6、f11、f13、f15、f20、f21、f22、f23、f25、f2710 個(gè)函數(shù)的結(jié)果與ABC 算法相當(dāng)，其余18個(gè)函數(shù)中，EABC算法求得的結(jié)果均優(yōu)于ABC算法；對于運(yùn)行時(shí)間，EABC算法對f3、f6、f7、f8、f9、f11、f20、f21、f25、f2610 個(gè)函數(shù)的結(jié)果與ABC 算法相當(dāng)，其余18個(gè)函數(shù)中，EABC算法的平均運(yùn)行時(shí)間略小于ABC 算法，說明EABC 算法的時(shí)間復(fù)雜度與ABC相當(dāng)。

此外，實(shí)驗(yàn)中使用的基準(zhǔn)測試函數(shù)優(yōu)化問題單峰、多峰、可分離性和不可分離性等不同性質(zhì)[23]。結(jié)合表2仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果，對EABC算法處理不同類型數(shù)據(jù)集的能力進(jìn)行分析：對于單峰函數(shù)，只有一個(gè)局部極小值且為函數(shù)全局極小值。因此，很容易找到全局最優(yōu)值；對于多峰函數(shù)，具有一個(gè)以上局部極小值，且要求優(yōu)化方法具有有效的全局和局部搜索能力。由于EABC 算法通過全局極值和鄰域極值個(gè)體的引導(dǎo)，具有很好的全局和局部搜索能力，能夠求得復(fù)雜多峰函數(shù)的全局最優(yōu)值；對于可分離函數(shù)，可被重新表述為n個(gè)單變量函數(shù)的和。因此，能較快求得全局最優(yōu)值；對于不可分離函數(shù)，函數(shù)的變量之間存在相互關(guān)系，當(dāng)改變某一變量時(shí)其他變量將會(huì)受到影響[23]。因此，不可分離函數(shù)的最優(yōu)值求解過程較可分離函數(shù)困難得多。

表2 兩種算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Table 2 Experimental results of two optimization algorithms

3.3.2 維度擴(kuò)展性比較

ABC算法作為一種基于群體智能的全局優(yōu)化算法，在優(yōu)化過程中，測試函數(shù)維度的增加會(huì)使算法復(fù)雜度增加，優(yōu)化性能下降。為了分析測試函數(shù)的維度對算法性能的影響，本文將測試函數(shù)的維度擴(kuò)展到60、100維，其他參數(shù)不變，實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表3和表4。

從表3 中60 維的測試實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析得出：對于平均最優(yōu)值和標(biāo)準(zhǔn)差，EABC 算法對f10、f11、f12、f15、f20、f21、f24、f258 個(gè)函數(shù)的優(yōu)化效果與ABC 算法相當(dāng)；其余20個(gè)函數(shù)中，EABC算法的優(yōu)化效果均好于ABC 算法；對于平均運(yùn)行時(shí)間，EABC 算法對f1、f3、f8、f9、f10、f276 個(gè)函數(shù)的平均運(yùn)行時(shí)間與ABC 算法相當(dāng)，其余22個(gè)函數(shù)中，EABC算法的平均運(yùn)行時(shí)間略低于ABC 算法。從表4 中100 維的測試實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析得出：對于平均最優(yōu)值和標(biāo)準(zhǔn)差，EABC 算法對f10、f11、f12、f19、f20、f25、f277個(gè)函數(shù)的優(yōu)化效果與ABC算法相當(dāng)；其余21 個(gè)函數(shù)中，EABC 算法的優(yōu)化效果均好于ABC算法；對于平均運(yùn)行時(shí)間，EABC算法對f1、f3、f7、f8、f9、f10、f14、f15、f21、f24、f25、f2812個(gè)函數(shù)的平均運(yùn)行時(shí)間與ABC算法相當(dāng)，其余16個(gè)函數(shù)，EABC 算法的平均運(yùn)行時(shí)間略低于ABC 算法。因此，在同一維度水平下，EABC 算法的優(yōu)化效果更好，隨著目標(biāo)函數(shù)維度的增加，EABC 算法仍能保持較好的優(yōu)化性能。

表3 ABC和EABC的實(shí)驗(yàn)結(jié)果（D=60）Table 3 Experimental results of ABC and EABC(D=60)

表4 ABC和EABC的實(shí)驗(yàn)結(jié)果（D=100）Table 4 Experimental results of ABC and EABC(D=100)

3.4 EABC與其他智能優(yōu)化算法的比較

3.4.1 優(yōu)化性能比較

為考察EABC 算法的優(yōu)化性能，將其與ABC[5]、ABCVSS[23]、GABC[24]、ABCBest1[25]、MSSABC[26]和MABC[27]等較新的ABC改進(jìn)算法進(jìn)行比較。幾種算法中，種群大小N=30，維度D=30，最大迭代次數(shù)T=5 000，算法獨(dú)立運(yùn)行次數(shù)runtime=30，最大限制搜索次數(shù)limit=600，實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表5和圖2，ABCVSS算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果直接取自文獻(xiàn)[23]，MABC算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果直接取自文獻(xiàn)[27]。

由表5 可以看出，對于f1、f2、f3、f5、f8、f9、f13、f15、f16、f17、f21、f22、f24、f26、f2715 個(gè)函數(shù)，EABC 算法的優(yōu)化效果更好；對于f7、f11、f12、f254個(gè)函數(shù)，幾種算法的優(yōu)化效果一致，都達(dá)到了最優(yōu)值；其余9 個(gè)函數(shù)中，EABC 算法與其他幾種算法的優(yōu)化效果相當(dāng)。由此說明EABC算法具有更高的優(yōu)化精度，能有效克服ABC 算法收斂速度慢和陷入局部最優(yōu)的缺點(diǎn)，具有更高的優(yōu)化性能。

圖2是選取表5中ABC、GABC、ABCBest1、MSSABC、EABC這五種算法對不同屬性的部分函數(shù)運(yùn)行30 次后得到的收斂曲線圖。每幅圖中，縱坐標(biāo)用函數(shù)平均最優(yōu)值的對數(shù)表示，橫坐標(biāo)為迭代次數(shù)。

從圖2 中可以看出：在單峰可分離函數(shù)中，對于f1、f3、f8，EABC算法前期的收斂速度略低于MSSABC算法，但當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到3 700左右時(shí)，EABC算法優(yōu)于其他算法并達(dá)到理論最優(yōu)值；對于f9，幾種算法收斂趨勢一致，但EABC 算法收斂速度更快，優(yōu)化精度更高。在單峰不可分離函數(shù)中，對于f2、f5，當(dāng)?shù)螖?shù)小于3 700 時(shí)，EABC 算法的收斂速度略低于MSSABC算法，當(dāng)?shù)螖?shù)大于3 700時(shí)，EABC算法的收斂速度明顯加快，并且在迭代次數(shù)約4 500時(shí)開始收斂直到趨向全局最優(yōu)解。在多峰不可分離函數(shù)中，對于f16、f17，EABC 與MSSABC 算法收斂趨勢一致，EABC 算法前期的收斂速度略低于MSSABC 算法，當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到1 500 后，EABC 算法收斂速度快，優(yōu)化精度高；對于f26，相比其他5 種算法，EABC算法前期的收斂速度略低于MSSABC 和GABC 算法，但當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到3 500后，EABC算法的優(yōu)化精度高于其他算法。在多峰可分離函數(shù)中，對于f18，EABC與ABC算法收斂趨勢一致，且EABC算法收斂速度大于其他5種算法，優(yōu)化效果更好。

圖2 函數(shù)收斂曲線Fig.2 Convergence curve of functions

3.4.2 時(shí)間復(fù)雜度比較

在人工蜂群算法初始階段，時(shí)間復(fù)雜度一致，主要分析在雇傭蜂和跟隨蜂尋優(yōu)過程開始后的時(shí)間復(fù)雜度。假設(shè)T表示算法最大迭代次數(shù)，S表示蜜蜂種群總數(shù)，D表示算法的維數(shù)。

ABC算法的時(shí)間復(fù)雜度為：

MSSABC算法采用算術(shù)交叉方式，將當(dāng)前個(gè)體、隨機(jī)選擇的個(gè)體和種群全局最優(yōu)個(gè)體進(jìn)行組合，結(jié)合差向量的擾動(dòng)，只是將搜索公式進(jìn)行改進(jìn)，因此時(shí)間復(fù)雜度仍為：

GABC 算法中將全局最優(yōu)解的信息引入到雇傭蜂和觀察蜂解的搜索方程中，不改變算法的時(shí)間復(fù)雜度，因此時(shí)間復(fù)雜度為：

ABCBest1 算法中每只蜜蜂只在前一次迭代的最優(yōu)解附近搜索，在產(chǎn)生初始種群和雇傭蜂時(shí)，采用混沌系統(tǒng)，G為預(yù)設(shè)的最大混沌迭代次數(shù)，時(shí)間復(fù)雜度為：

ABCVSS 算法使用五種搜索策略和計(jì)數(shù)器來更新解，每個(gè)更新策略都有一個(gè)常量計(jì)數(shù)器，在搜索過程中，這些計(jì)數(shù)器用于確定蜜蜂所選擇的策略，t為計(jì)數(shù)器最大選擇次數(shù)，時(shí)間復(fù)雜度為：

MABC算法排除了概率選擇過程和偵察蜂搜索階段，在種群搜索過程中采用了混沌系統(tǒng)和基于反向的學(xué)習(xí)方法，M為預(yù)設(shè)最大混沌迭代次數(shù)，時(shí)間復(fù)雜度為：

EABC算法在ABC算法的基礎(chǔ)上增加了全局極值和鄰域極值引導(dǎo)項(xiàng)，并引入小概率變異算子。其中，鄰域極值的求解只是一種比較算法，對算法的時(shí)間復(fù)雜度影響很小，而小概率變異算子的發(fā)生概率為0.02，對于時(shí)間復(fù)雜度的影響可以忽略不計(jì)，故其時(shí)間復(fù)雜度仍為：

綜上所述，相比其他智能優(yōu)化算法，本文提出的EABC算法并未增加時(shí)間復(fù)雜度，優(yōu)化性能較好。

4 結(jié)論

本文針對ABC 算法開發(fā)能力差、易陷入局部最優(yōu)、收斂速度慢等問題，提出了一種極值個(gè)體引導(dǎo)的人工蜂群算法（EABC），所做的主要工作總結(jié)為：

（1）通過發(fā)揮極值個(gè)體的引導(dǎo)作用，改進(jìn)雇傭蜂和跟隨蜂的搜索方程，全局極值個(gè)體有利于種群中優(yōu)良個(gè)體的保留和發(fā)展，使算法跳出局部極值，避免早熟收斂；鄰域極值個(gè)體有利于提高算法的收斂速度和精度。

（2）通過引入小概率變異算子，增加種群的多樣性，防止算法陷入局部極值。

（3）采用基于目標(biāo)函數(shù)值的貪婪選擇，提高算法的優(yōu)化性能；通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的有效性。

（4）以28 個(gè)測試函數(shù)的仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證EABC 算法的有效性，并通過EABC和ABC算法的擴(kuò)維測試，表明隨著維度的增加，EABC算法的優(yōu)化性能仍優(yōu)于ABC算法。

（5）與其他改進(jìn)算法進(jìn)行比較，仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明EABC算法具有較高的優(yōu)化性能。