徐倪明 陳算榮

(揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 225002)

1 引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(簡稱《課標(biāo)》)提出高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)應(yīng)以學(xué)生發(fā)展為本，將立德樹人作為根本任務(wù)．《課標(biāo)》指出高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)生應(yīng)具有良好的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)[1]8，那么核心素養(yǎng)如何扎根課堂就成了現(xiàn)今的研究熱點(diǎn)．根據(jù)PISA測試的經(jīng)驗(yàn)，可以將學(xué)生解決現(xiàn)實(shí)情境問題的能力作為核心素養(yǎng)的參考指標(biāo)[2]．這表明在教學(xué)中可通過創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情境，在情境問題的解決過程中，落實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展．向量是解決現(xiàn)實(shí)問題的重要知識載體，將向量的學(xué)習(xí)整合于現(xiàn)實(shí)情境不僅自然，而且能更好地彰顯其學(xué)習(xí)的價(jià)值．現(xiàn)以“向量的減法運(yùn)算”一課為例，借助“情境問題設(shè)計(jì)框架[3](表1)”，對該課例進(jìn)行主題情境下的問題設(shè)計(jì)與思考，并簡析數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在問題情境教學(xué)中的培養(yǎng)．

表1中“知識理解”型情境問題對應(yīng)于《課標(biāo)》中六個(gè)核心素養(yǎng)的水平一層次．例如，數(shù)學(xué)抽象水平一層次意指“能夠在熟悉的情境中直接抽象出數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，能夠在特例的基礎(chǔ)上歸納形成簡單的數(shù)學(xué)命題，能夠模仿學(xué)過的數(shù)學(xué)方法解決簡單問題．”[1]101這與表1中知識理解層次的內(nèi)涵相一致．對于其他五個(gè)核心素養(yǎng)，在此不一一例舉．因?yàn)椤墩n標(biāo)》對每個(gè)核心素養(yǎng)的三水平劃分中都有對情境問題解決相應(yīng)的水平層次描述，將其內(nèi)涵對照可知，“知識遷移”型情境問題和“知識創(chuàng)新”型情境問題分別對應(yīng)于《課標(biāo)》中的六個(gè)核心素養(yǎng)的水平二層次和水平三層次．

表1 情境問題設(shè)計(jì)框架

2 教學(xué)設(shè)計(jì)片段

2.1 基于情境提出問題

問題1在某地的一條大河中，水流速度記為v0，擺渡船的自身航速記為v1，實(shí)際航速記為v2．根據(jù)這個(gè)情境，你能提出哪些數(shù)學(xué)問題？

圖1

設(shè)計(jì)意圖該情境問題取自前一節(jié)向量加法的例題，在已知水流速度v0和船的自身航速v1的情況下求船的實(shí)際航速v2，學(xué)生可根據(jù)實(shí)際意義直接構(gòu)建向量加法模型(圖1)．改編為開放問題后，學(xué)生需要關(guān)聯(lián)原問題情境中積累的知識基礎(chǔ)“v0+v1=v2”,結(jié)合解方程的相關(guān)知識“一個(gè)方程，三個(gè)未知數(shù)，知二求一”思考問題的提出．該情境問題在數(shù)學(xué)知識維度上，涉及的知識點(diǎn)較為單一，為一元一次方程知識的簡單、直接應(yīng)用；在情境維度上是學(xué)生已經(jīng)解決過的且較為熟悉的情境問題，情境中三個(gè)速度的數(shù)學(xué)關(guān)系較為明顯，即方程中的“知二求一”，故屬于“知識理解”型情境問題．

教學(xué)導(dǎo)引在這個(gè)開放的情境問題中，學(xué)生能夠提出三個(gè)問題：

(1)已知水流速度v0與船的自身航速v1，求船的實(shí)際航速v2．

(2)已知水流速度v0與船的實(shí)際航速v2，求船的自身航速v1．

(3)已知船的自身航速v1與船的實(shí)際航速v2，求水流速度v0．

基于學(xué)生提出的這三個(gè)問題，教師引導(dǎo)學(xué)生研究三個(gè)問題求解的關(guān)系：問題(1)是學(xué)生熟知的求和向量的問題，而問題(2)和問題(3)是已知和向量與其中一個(gè)加向量，求另一個(gè)加向量的問題，這也是學(xué)生要學(xué)的新知．由此，通過問題(2)(3)，自然地引出向量減法運(yùn)算的文字表述與字母表示，即求兩個(gè)向量的差的運(yùn)算(x=a-b)．同時(shí)也為后續(xù)向量的減法運(yùn)算探究作鋪墊，即關(guān)聯(lián)向量的加法運(yùn)算法則．創(chuàng)設(shè)開放情境問題既復(fù)習(xí)了舊知“向量的加法”，同時(shí)也指向新知“向量的減法”．在此過程中，學(xué)生從熟悉的情境中直接提出數(shù)學(xué)問題，并抽象出向量加減運(yùn)算式，有利于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)(水平一)的培育．

2.2 關(guān)聯(lián)情境解決問題

問題2在某地的一條大河中，水流速度記為v0，擺渡船的自身航速記為v1，而擺渡船的實(shí)際航速記為v2．

圖2

(1)已知水流速度v0與船的自身航速v1(圖2)，求船的實(shí)際航速v2．

(2)已知水流速度v0與船的實(shí)際航速v2(圖3)，求船的自身航速v1．

圖3 圖4

(3)已知船的自身航速v1與船的實(shí)際航速v2(圖4)，求水流速度v0．

設(shè)計(jì)意圖承接問題1，圍繞學(xué)生提出的三個(gè)小問題，探究向量減法的運(yùn)算法則，問題(1)幫助學(xué)生復(fù)習(xí)向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，學(xué)生基于加法法則運(yùn)用逆向思維可以解決問題(2)(3)．該情境問題在數(shù)學(xué)知識維度上，需要向量加法與向量減法多個(gè)知識點(diǎn)，且向量減法知識需要以向量加法知識為基礎(chǔ)探究得出；在情境維度上，(2)(3)是學(xué)生自主提出的新問題，問題的解決既需要應(yīng)用逆運(yùn)算關(guān)系，也需要運(yùn)用向量的加法運(yùn)算法則以及一些平面幾何知識，比如，已知平行四邊形的一條對角線和一條邊，如何畫出這個(gè)平行四邊形等，故屬于“知識遷移”型情境問題．

教學(xué)導(dǎo)引學(xué)生分別使用平行四邊形法則和三角形法則畫出問題(1)中的和向量v2(圖5、圖7)，教師快速檢測學(xué)生舊知的掌握情況，并做簡單復(fù)習(xí)．在解決問題(2)的過程中，基礎(chǔ)不牢的學(xué)生可能會無所適從，教師基于此給出提示：在問題(1)利用平行四邊形法則作和向量的過程中，v0，v1和v2最終構(gòu)成了一個(gè)平行四邊形，v0和v1為平行四邊形的兩條邊，v2為平行四邊形的對角線(圖5)．學(xué)生關(guān)聯(lián)問題(1)(2)，可以發(fā)現(xiàn)問題(2)中的v0，v1和v2也可以構(gòu)成一個(gè)平行四邊形(圖6)，且與問題(1)中的圖形為全等圖形．此時(shí)就將已知v0，v2求解v1的問題轉(zhuǎn)化為已知一個(gè)平行四邊形的一邊和對角線，求另一條邊的問題．在上述過程中，學(xué)生可以得到兩向量共起點(diǎn)時(shí)，差向量的作法——向量減法的平行四邊形法則，即以被減向量為對角線，減向量為邊構(gòu)造平行四邊形，差向量為另一邊所在的有向線段．

圖5 圖6

再以問題(1)中的三角形法則為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生探究問題(2)向量減法的三角形法則(圖7)．學(xué)生有了平行四邊形法則的探究經(jīng)驗(yàn)，不難發(fā)現(xiàn)問題(1)(2)中的v0，v1和v2可以構(gòu)成兩個(gè)全等的三角形(圖7與圖8)，此時(shí)的v0，v1和v2為三角形的三條邊，最終又轉(zhuǎn)化為“知二求一”的問題．在上述過程中，學(xué)生可以得到兩向量共起點(diǎn)時(shí)，差向量的另一種作法——向量減法的三角形法則，即以被減向量和減向量為邊構(gòu)造三角形，差向量為減向量終點(diǎn)指向被減向量終點(diǎn)的向量．

圖7 圖8

探究活動結(jié)束，教師指出向量減法的三角形法則也是向量減法的幾何意義，并由學(xué)生進(jìn)行自主歸納，教師完善補(bǔ)充：將a和b共起點(diǎn)時(shí)，a-b可以表示從b的終點(diǎn)指向a的終點(diǎn)的向量．在此過程中，學(xué)生能夠利用關(guān)聯(lián)的情境提出問題，通過關(guān)聯(lián)向量的加法運(yùn)算法則，找到同起點(diǎn)情況下作差向量的兩種方法，并歸納總結(jié)出向量減法的幾何意義，有利于邏輯推理素養(yǎng)(水平二)的培育．

2.3 變化情境深入挖掘

變式1 在某地的一條大河中，水流速度記為v0，擺渡船的實(shí)際航速記為v2(|v2|>|v0|)，若此時(shí)的船順流(圖9)或者逆流(圖10)航行，請畫出船的自身航速v1．

圖9 圖10

設(shè)計(jì)意圖該情境問題是對問題2第(2)問的特殊化，目的是檢驗(yàn)通過探究得到的兩向量共起點(diǎn)時(shí)差向量的兩種作法的適用性，鞏固學(xué)生對兩種方法的掌握．學(xué)生動手操作后可以發(fā)現(xiàn)兩種情形均無法構(gòu)建平行四邊形，體會平行四邊形法則的局限性．而這兩種情形雖然也無法構(gòu)造三角形，但是可以根據(jù)三角形法則所蘊(yùn)含的向量減法的幾何意義求解問題(圖11、圖12)，這也體現(xiàn)了三角形法則的適用范圍更為廣泛．在數(shù)學(xué)知識維度上，該情境問題是對向量減法中差向量作法的簡單應(yīng)用；在情境維度上，該情境問題是對問題2的特殊化，問題中三個(gè)速度的數(shù)學(xué)關(guān)系也較為明顯，故屬于“知識理解”型情境問題．

圖11 圖12

圖13

變式1′ 在某地的一條大河中，水流速度記為v0，擺渡船的實(shí)際航速記為v2，v2=0，即此時(shí)的船與水面保持相對靜止(圖13)，請畫出此時(shí)船的自身航速v1，并觀察v1和v0的關(guān)系．

設(shè)計(jì)意圖該問題是對變式1的特殊化，此時(shí)的被減向量為零向量，學(xué)生仍可以利用三角形法則快速地作出差向量v1．

引導(dǎo)學(xué)生觀察v1和v0之間的關(guān)系，得出v1和v0方向相反、大小相等(圖14與圖15)，從而自主生成相反向量的定義：與向量a長度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作-a．因此v0和v1互為相反向量，為之后用相反向量定義向量的減法作鋪墊．在數(shù)學(xué)知識維度上，該情境問題涉及了新概念“相反向量”的生成，并要求學(xué)生通過探究，提出新的“向量的減法”的定義，屬于“知識創(chuàng)新”層面；在情境維度上，該情境問題是對變式1的特殊化，仍是學(xué)生熟悉的渡船情境，屬于“知識理解”層面．這也說明并非每一道情境問題的兩個(gè)維度都必須在同一水平．

圖14 圖15

教學(xué)導(dǎo)引學(xué)生根據(jù)題意作出v1,比較容易總結(jié)出v1和v0方向相反、大小相等，得到相反向量的概念．接著引導(dǎo)學(xué)生利用“相反向量”探究新的向量減法的定義．學(xué)生根據(jù)向量減法的字母表示得到v1=0-v0，根據(jù)向量的加法有v1=0+v1，所以有0-v0=0+v1，而v0和v1又互為相反向量，在上述的列式推導(dǎo)過程中，得出結(jié)論：零向量減去一個(gè)向量等于零向量加上這個(gè)向量的相反向量．教師引導(dǎo)學(xué)生猜想，并利用之前的例題探究這一結(jié)論推廣到任意向量是否適用，并得出結(jié)論：a減去b等于a加上b的相反向量．從而利用相反向量定義向量的減法：向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即a-b=a+(-b)，求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法．學(xué)生根據(jù)這一定義方法又得到了一種新的作差向量的方法，即利用相反向量與向量的加法法則．在此過程中，對學(xué)生的抽象和推理能力要求較高，學(xué)生通過特殊到一般的探究，利用相反向量定義向量的減法，有利于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)(水平一)和邏輯推理素養(yǎng)(水平三)的培育．

3 總結(jié)與思考

核心素養(yǎng)視角下的課堂教學(xué)，要求教師重視情境問題的教學(xué)模式，這也是當(dāng)前新課改的重要方向．問題是數(shù)學(xué)的心臟，思考是數(shù)學(xué)活動的主線[4]，實(shí)際的情境問題能調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必要性．[5]在本課例中，通過設(shè)置渡船主題情境，巧妙地將抽象的向量知識具體化、實(shí)際化，始終貫徹在解決情境問題的過程中生成知識的理念，幫助學(xué)生掌握向量的減法運(yùn)算，得到多種作差向量的方法，同時(shí)還培養(yǎng)了學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)．由于向量知識本身與現(xiàn)實(shí)情境的聯(lián)系非常密切，也只有在解決實(shí)際問題時(shí)，向量的價(jià)值才會最大化．圍繞知識理解、知識遷移和知識創(chuàng)新三個(gè)層次創(chuàng)設(shè)主題情境下的問題串，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、主動探究、合作交流，探求解決問題的方法,實(shí)現(xiàn)動眼、動手、動腦有機(jī)結(jié)合．鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新思考，加強(qiáng)數(shù)學(xué)實(shí)踐，發(fā)展學(xué)生的理性思維，同時(shí)注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣[6]．

值得注意的是，主題情境與問題串都不是憑空產(chǎn)生的，其創(chuàng)設(shè)也要遵循諸多原則[7]，例如，(1)“數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)性”原則，杜絕為設(shè)置情境而設(shè)置情境，本課例中的渡船情境與向量問題關(guān)系緊密，情境中的“數(shù)學(xué)味”濃厚，所有問題的答案均與情境問題相關(guān)聯(lián)；(2)“貼近學(xué)生現(xiàn)實(shí)”原則，與學(xué)生的認(rèn)知相匹配，本課例中使用學(xué)生熟悉的渡船問題作為主題情境貫穿教學(xué)，是基于學(xué)生視角的情境問題設(shè)置；(3)“整體性原則”，發(fā)揮主題情境的多維作用，本課例通過渡船這一主題情境的問題串設(shè)置，完成了多方面的教學(xué)任務(wù)(向量的減法運(yùn)算、向量的減法作圖、相反向量的定義)，利用渡船情境的多維作用共同激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．

最后，在情境創(chuàng)設(shè)完成后，教師還要不斷地引導(dǎo)學(xué)生，使學(xué)生真正進(jìn)入情境問題，在此過程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，真正地讓學(xué)生做到會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、會用數(shù)學(xué)的思維思考世界、會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界[8]．