郭港歸，李國棟，魏 杰，王立杰

(1.西安理工大學(xué)西北旱區(qū)生態(tài)水利國家重點實驗室,陜西 西安 710048；2.中國電建集團中南勘測設(shè)計研究院有限公司，湖南 長沙 410014)

水流摻氣[1-2]是防止高水頭泄水建筑物空化空蝕的主要措施。然而，小底坡下的摻氣坎常出現(xiàn)空腔回水現(xiàn)象，導(dǎo)致空腔形態(tài)較差，嚴重時甚至被積水填滿，導(dǎo)致?lián)綒饬坎蛔?，難以達到摻氣減蝕的效果?？涨环e水水深和空腔長度是衡量摻氣設(shè)施效率的重要指標(biāo)[3]，因此研究坎下水力特性與空腔積水水深、空腔長度的關(guān)系具有重要的工程價值。前人對空腔積水水深和空腔長度進行了較多的理論公式推導(dǎo)：楊永森等[4]運用動量方程對控制水體進行受力分析，計算出空腔積水深度；徐一民等[5-6]以微元法為基礎(chǔ)，建立空腔回水方程計算空腔積水水深和空腔長度，計算值與試驗值趨勢一致；Chanson[7]利用拋射體公式計算射流空腔長度和回水長度，與實測值相比計算結(jié)果偏大；潘水波[8]對拋射體公式引入3個修正系數(shù)，計算精度相對提升。

目前機器學(xué)習(xí)的方法已廣泛應(yīng)用于局部沖刷、水質(zhì)預(yù)測和流量系數(shù)預(yù)測等水科學(xué)領(lǐng)域，人工神經(jīng)網(wǎng)(artificial neural network，ANN)和支持向量機(support vector machine，SVM)是其中重要的方法。由于ANN需要設(shè)置復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)，導(dǎo)致模型收斂緩慢，甚至在小樣本數(shù)據(jù)下容易造成過擬合[9]，降低預(yù)測準(zhǔn)確度。SVM以最小結(jié)構(gòu)化風(fēng)險原則代替?zhèn)鹘y(tǒng)經(jīng)驗風(fēng)險方法[10]，在處理小樣本數(shù)據(jù)中有著天然的優(yōu)勢，泛化能力強，有效防止過擬合，其拓撲結(jié)構(gòu)主要由自身的超參數(shù)決定，通過對超參數(shù)(C和γ)進行優(yōu)化使模型達到較高的預(yù)測精度。Zaji等[11]用適湊法確定了SVM模型的超參數(shù)并對三角形側(cè)堰的流量系數(shù)進行預(yù)測；Jain[12]通過現(xiàn)場實測數(shù)據(jù)建立SVM模型模擬河道水位、流量和含沙量的關(guān)系；Kiyoumars等[13]采用粒子群算法(PSO)優(yōu)化SVM模型實現(xiàn)對階梯溢洪道流量系數(shù)和消能率的預(yù)測；趙慶志等[14]通過網(wǎng)格搜索的方法對超參數(shù)進行尋優(yōu)，得到了基于LS-SVM的短期降雨預(yù)測模型。

本文通過網(wǎng)格搜索和交叉驗證的方法建立SVM回歸(GS-SVR)模型，研究超參數(shù)C和γ之間的規(guī)律和其對模型性能的影響?；贕S-SVR模型，依據(jù)評估指標(biāo)判別6種參數(shù)輸入中的最優(yōu)組合，實現(xiàn)了對空腔積水深度和空腔長度的準(zhǔn)確預(yù)測，并采用敏感性分析尋找對該模型起關(guān)鍵作用的因素。

1 試驗數(shù)據(jù)

本文基于沈春穎[15]的試驗數(shù)據(jù)集，建立GS-SVR模型。試驗水槽全長7.6 m，槽寬10 cm，來流量的范圍為0～5.5 L/s，挑坎體形如圖1所示。在不同的挑坎體形和來流條件下進行模型試驗，分別測量水深h、挑坎坡度i1、挑坎高度Δ、空腔積水水深h1、空腔長度L、水舌沖擊角θ和底坡坡度i2。試驗數(shù)據(jù)總量162組，范圍見表1。

表1 試驗數(shù)據(jù)范圍

圖1 摻氣坎布置方式

采用皮爾遜相關(guān)系數(shù)r反映各變量之間的相關(guān)性，皮爾遜相關(guān)系數(shù)如圖2所示，圖中v為坎頂流速。試驗輸出變量包括h1和L，其余除θ以外均為輸入變量。當(dāng)2個變量之間的皮爾遜相關(guān)系數(shù)|r|>0.3，則認為兩變量之間相關(guān)性較強，輸入變量應(yīng)避免兩兩之間有較強的相關(guān)性，確保變量的相對獨立性。由圖2可知，輸入變量之間的相關(guān)系數(shù)的絕對值多數(shù)小于0.3，表明各輸入變量獨立性較好。輸出變量h1與Δ、θ和i2的相關(guān)性較強，相關(guān)系數(shù)分別為0.73、0.5、-0.43，當(dāng)Δ和θ增大時，均導(dǎo)致h1增加，而隨著i2增大，h1減少；輸出變量L受到Δ和v的影響較大，相關(guān)系數(shù)分別為0.61和0.57，說明v和Δ增加時，L隨之增加。

圖2 變量相關(guān)性分布

2 GS-SVR模型的建立

先利用量綱分析法確定需要的輸入變量，在此基礎(chǔ)上選擇不同的輸入組合，并對其進行歸一化處理。采用網(wǎng)格搜索和交叉驗證的方法優(yōu)化不同訓(xùn)練樣本比例和輸入組合的SVM模型，建立最佳輸入組合下的GS-SVR模型，并分析模型超參數(shù)C和γ的分布規(guī)律。

2.1 量綱分析與變量組合

采用表1中的物理模型試驗數(shù)據(jù)建立SVM模型，預(yù)測小底坡低弗勞德數(shù)泄洪洞的h1、L。h1和L是衡量摻氣設(shè)施是否符合要求的重要指標(biāo)。根據(jù)文獻[16]可知h1和L均受到以下因素的影響：

Y=f(i1,i2,h,v,Δ,Δp)

(1)

式中：Y為h1或L；Δp為空腔內(nèi)外壓力差。摻氣設(shè)施通氣充分時，Δp對空腔長度和空腔積水水深的影響可以忽略不計。基于量綱分析方法[17]，可由式(1)得到：

(2)

由于Δ與h具有相同量綱，因此等效后得到另一種形式：

(3)

變量組合見表2和表3，WD1～WD4與CL1～CL4以式(2)為基礎(chǔ)的輸入組合，輸入變量依次降低，探究變量數(shù)目對模型的影響；WD5～WD6與CL5～CL6以式(3)為基礎(chǔ)的的輸入組合，對比不同量綱化方式對模型性能的影響。

表2 空腔積水水深模型的變量組合

表3 空腔長度模型的變量組合

2.2 數(shù)據(jù)預(yù)處理

2.2.1歸一化處理

原始數(shù)據(jù)中，各變量之間的數(shù)值差異較大，影響模型的預(yù)測性能，因此對數(shù)據(jù)進行預(yù)處理是必要的。在無量綱化后，采用式(4)進行歸一化，統(tǒng)一變量范圍到0～1之間。

(4)

式中：xmin為樣本數(shù)據(jù)的最小值；xmax為樣本數(shù)據(jù)的最大值；x*為歸一化后的值。

2.2.2訓(xùn)練集、測試集和交叉驗證

許多研究者只將數(shù)據(jù)集分為訓(xùn)練集和測試集，模型從訓(xùn)練集中學(xué)習(xí)，在測試集中調(diào)整SVR模型超參數(shù)。而實際中很多時候缺少未來的數(shù)據(jù)，并且由于測試集用于模型調(diào)參，導(dǎo)致測試數(shù)據(jù)的信息提前泄漏到模型中，造成模型預(yù)測結(jié)果精度偏高、不能反映模型的泛化性能，容易產(chǎn)生過擬合[18]。為了解決上述問題，需要提取一部分數(shù)據(jù)作為驗證集，模型在訓(xùn)練集上學(xué)習(xí)，在驗證集上調(diào)參，測試集用于最終評估。然而，數(shù)據(jù)集分為3組將大大減少可用于模型學(xué)習(xí)的樣本數(shù)量，造成模型訓(xùn)練不充分，導(dǎo)致計算結(jié)果存在隨機性，而k折交叉驗證(k-CV)的方法能有效解決樣本容量小的問題。k-CV將原訓(xùn)練集拆分為k個較小的集合，對于每一個小集合都遵循以下原則：①使用k-1折數(shù)據(jù)作為模型的訓(xùn)練數(shù)據(jù)；②模型對剩下1折數(shù)據(jù)進行驗證；③k-CV的模型評估指標(biāo)是k次循環(huán)中的平均值(該指標(biāo)可用于模型泛化水平的度量)。交叉驗證的方法不會浪費數(shù)據(jù)，非常適合數(shù)據(jù)樣本總量較少的情況。本試驗將采用五折交叉驗證的方法，具體步驟如圖3所示。

圖3 五折交叉驗證示意圖

2.2.3訓(xùn)練樣本抽取比例

訓(xùn)練樣本數(shù)量占總樣本數(shù)量的比重會影響SVR模型的性能。本試驗選取訓(xùn)練樣本抽取比例分別為50%、60%、70%和80%，采用網(wǎng)格搜索和交叉驗證的方法預(yù)測空腔積水水深h1和空腔長度L。模型指標(biāo)選取相關(guān)系數(shù)R2，不同抽取比例下的分布如圖4所示。由圖4可知，隨著訓(xùn)練樣本量增加，訓(xùn)練集、交叉驗證集(CV)和測試集的模型指標(biāo)R2均增加。說明該模型性能隨著訓(xùn)練數(shù)據(jù)的增加而提高。因此，本次試驗選擇訓(xùn)練集占總樣本集的80%為基準(zhǔn)比例。

圖4 SVR模型指標(biāo)分布

2.3 網(wǎng)格搜索法優(yōu)化GS-SVR模型超參數(shù)

GS-SVR模型具有良好的泛化性能，而其模型性能依賴于它的超參數(shù)[19]。SVR的超參數(shù)主要包括正則化系數(shù)C和核參數(shù)γ。C代表模型復(fù)雜度[20-21]，C取值較大時，模型會盡可能擬合所有訓(xùn)練數(shù)據(jù)，可能造成模型過擬合。核參數(shù)γ是核函數(shù)的內(nèi)置參數(shù)，代表影響支持向量的強度[20]。

網(wǎng)格搜索[22]是最常見的尋優(yōu)算法之一，其主要目的是讓尋優(yōu)超參數(shù)C和γ在一定坐標(biāo)范圍內(nèi)、根據(jù)規(guī)定步長劃分網(wǎng)格，并遍歷所有的網(wǎng)格，對選定的網(wǎng)格節(jié)點的所有超參數(shù)組合C和γ利用k折交叉驗證得到模型交叉驗證評估指標(biāo)(R2)，最終取使模型交叉驗證評估指標(biāo)R2最高的那組C、γ為最佳超參數(shù)組合。

圖5為基于網(wǎng)格搜索下的h1和L預(yù)測模型的超參數(shù)分布，其中C和γ均在2-8～28之間，分別在各范圍內(nèi)取100個網(wǎng)格點(總網(wǎng)格數(shù)100×100=10 000)，根據(jù)圖上的等高線和顏色分布可以找到交叉驗證評估指標(biāo)R2取值較大時的位置。試驗結(jié)果表明，在所有的輸出組合和訓(xùn)練抽取比例下，交叉驗證評估指標(biāo)均呈現(xiàn)相似的分布，因此僅展示3張圖(圖5)。圖5中C和γ對模型性能影響較大。中間黃色區(qū)域的R2>0.7，模型性能較好；左上和左下深藍色區(qū)域C取值較小，造成模型欠擬合；圖右上淺藍色區(qū)域γ較大導(dǎo)致模型過擬合，模型性能不理想。深黃色區(qū)域中模型性能進一步提高(交叉驗證評估指標(biāo)R2>0.86)，沿著該區(qū)域能夠找到交叉驗證評估指標(biāo)R2取值最大的點，該點對應(yīng)最優(yōu)超參數(shù)組合。深黃色區(qū)域中，當(dāng)C增至+∞時，則γ趨于-∞，說明超參數(shù)處于相反的增長趨勢。C增大實現(xiàn)模型對樣本充分訓(xùn)練，同時減少γ防止其過度訓(xùn)練，最終模型的預(yù)測結(jié)果處于最佳狀態(tài)，因此SVR保持其良好泛化性能和高預(yù)測精度的機制是通過平衡C和γ的大小來實現(xiàn)的。

圖5 網(wǎng)格搜索中R2的分布情況

3 GS-SVR模型計算結(jié)果與分析

3.1 模型計算結(jié)果

空腔回水和空腔長度是小底坡、低弗勞德數(shù)泄洪洞摻氣設(shè)施設(shè)計中關(guān)注的指標(biāo)，通過GS-SVR分別對6種參數(shù)不同輸入組合進行分析，模型評估指標(biāo)選取R2和均方根誤差RMSE。

表4 空腔積水水深的模型指標(biāo)

表5 空腔長度的模型指標(biāo)

3.2 模型敏感性分析

圖6 敏感性分析

結(jié)合變量相關(guān)性分析發(fā)現(xiàn)，相關(guān)性分析與敏感性分析聯(lián)系緊密，相關(guān)系數(shù)大的輸入變量對模型影響大。因此，在建模之前可以通過相關(guān)性分析選擇重要的輸入變量。

4 結(jié) 論

a.原數(shù)據(jù)中，各輸入變量之間獨立性較好；輸出變量空腔積水水深和空腔長度均與輸入變量存在相關(guān)性。根據(jù)不同抽取比例訓(xùn)練集的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，小樣本容量中，較大的訓(xùn)練集抽取比例能提高GS-SVR模型的性能。

b.通過網(wǎng)格搜索和交叉驗證的方法對模型超參數(shù)進行優(yōu)化，發(fā)現(xiàn)該方法能找到最佳超參數(shù)組合、提高模型性能，并且GS-SVR模型計算結(jié)果的高準(zhǔn)確度機制是通過超參數(shù)C和γ的相互制約來實現(xiàn)。

c.6種不同輸入組合的計算結(jié)果表明，保持GS-SVR模型復(fù)雜度和樣本復(fù)雜度一致并且采用合適的量綱化方式會極大改善模型性能，在此基礎(chǔ)上尋找最佳變量組合，實現(xiàn)對空腔積水水深、空腔長度的精準(zhǔn)預(yù)測。

d.敏感性分析發(fā)現(xiàn)，空腔積水水深模型對坎高和坎下底坡較為敏感，空腔長度模型僅對坎高敏感。本文試驗由于弗勞德數(shù)變幅較小，而SVM預(yù)測結(jié)果依賴于試驗數(shù)據(jù)，故建模型的通用性有待考量，未來可收集更多摻氣坎體型下的試驗數(shù)據(jù)，擴大模型應(yīng)用范圍。