謝盛富

數(shù)學(xué)建模，就是根據(jù)實(shí)際問題在深入調(diào)查研究、了解對(duì)象信息、作出簡化假設(shè)、分析內(nèi)在規(guī)律等工作的基礎(chǔ)上，進(jìn)行抽象概括建立數(shù)學(xué)模型，通過對(duì)數(shù)學(xué)模型的求解，根據(jù)實(shí)際情況去解決生產(chǎn)生活中的現(xiàn)實(shí)問題，數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用具有廣泛性和普適性，如2020年新高考全國卷第16題，體現(xiàn)立德樹人，在德智體美勞方面做了豐富的生活實(shí)際的情境創(chuàng)設(shè)．以下從生活中的成本（造價(jià)）、面積、追及角度舉例數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的滲透，

我校四校聯(lián)考第21題：如圖1，一個(gè)圓心角為直角的扇形AOB花草房，半徑為1，點(diǎn)P是花草房弧上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，不合端點(diǎn)，現(xiàn)打算在扇形BOP內(nèi)種花，PQ⊥OA，垂足為Q，PQ將扇形AOP分成左右兩部分，PO左側(cè)部分APOO為觀賞區(qū)，在PQ右側(cè)部分種草，已知種花的單位面積的造價(jià)為3a，種草的單位面積的造價(jià)為2a，其中口為正常數(shù)，設(shè)∠AOP=θ，不計(jì)觀賞區(qū)的造價(jià)，種花的造價(jià)與種草的造價(jià)的和稱為總造價(jià)，f（θ）．

命題意圖 本題以實(shí)際生活問題為背景，抽象出數(shù)學(xué)問題，考查三角、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)及綜合應(yīng)用能力，考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，

評(píng)述 綠化和城市旅游觀光常見于城鄉(xiāng)建設(shè)發(fā)展、小區(qū)和公園規(guī)劃中，涉及各類優(yōu)化問題．從實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)建模，用數(shù)學(xué)思想與方法解決．

（1）證明：觀光專線弧CP-PQ的總長度隨θ的增大而減小；

（2）已知新建道路PQ的單位成本是翻新道路弧CP的單位成本的2倍．當(dāng)θ取何值時(shí)，觀光專線弧CP-PQ的修建總成本最低？請(qǐng)說明理由，

命題意圖本例以生活實(shí)際為背景創(chuàng)設(shè)規(guī)劃成本的情景，考查分析問題、解決問題的能力，考查數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用能力，通過生活問題，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)建模問題，再解決實(shí)際問題，從而確定決策，

例2某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如圖3，O1為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，O2為圓弧CD所在圓的圓心，點(diǎn)A是圓弧AB與直線AC的切點(diǎn)，點(diǎn)B是圓弧AB與直線BD的切點(diǎn)，點(diǎn)C是圓弧CD與直線AC的切點(diǎn)，點(diǎn)D是圓弧CD與直線BD的切點(diǎn)，O1O2=18cm，AO1=6cm，CO1=15 cm．圓孔O1的半徑為3 cm，則圖中陰影部分的的面積為

cm2．

命題意圖以學(xué)生勞動(dòng)實(shí)習(xí)的場(chǎng)景為情景，考查扇形的面積公式、梯形面積公式，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注勞動(dòng)，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決生產(chǎn)實(shí)踐中的問題，體現(xiàn)勞動(dòng)教育的重要性．

評(píng)述 零件、木制玩具、橡皮泥（如螺母、小飛機(jī)、風(fēng)箏、扇子）等小制作常見于加工坊中，能體現(xiàn)動(dòng)手設(shè)計(jì)操作能力，弘揚(yáng)傳統(tǒng)工藝并傳承與創(chuàng)新發(fā)展，是數(shù)學(xué)建模的良好素材，更貼近學(xué)生實(shí)際，豐富學(xué)生的想象力，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造力．

例3樹林的邊界是直線，（如圖4，CD所在的直線），一只兔子在河邊喝水時(shí)發(fā)現(xiàn)了一只狼，兔子和狼分別位于，的垂線AC上的點(diǎn)A和點(diǎn)B處，AB= BC=a（以為正常數(shù)），若兔子沿AD方向以速度2μ向樹林逃跑，同時(shí)狼沿線段BM （MeAD）方向以速度∥進(jìn)行追擊（μ為正常數(shù)），若狼到達(dá)M處的時(shí)間不多于兔子到達(dá)M處的時(shí)間，狼就會(huì)吃掉兔子．

（1）求兔子的所有不幸點(diǎn)（即可能被狼吃掉的點(diǎn)）的區(qū)域面積S（a）；

（2）若兔子要想不被狼吃掉，求θ（θ=∠DAC）的取值范圍，

命題意圖本題考查圓的基礎(chǔ)知識(shí)和點(diǎn)到直線距離公式、圓在實(shí)際問題中的應(yīng)用，考查了分析能力和計(jì)算能力，

評(píng)述在海關(guān)、邊防、抓捕嫌疑犯中常碰到追及問題，力爭在最短時(shí)間內(nèi)能完成追擊或營救目標(biāo)，用活知識(shí)、活用數(shù)學(xué)，解決工作、生活中的問題，具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義，培育領(lǐng)土主權(quán)、愛國守法意識(shí)，

任何建模過程需經(jīng)歷模型準(zhǔn)備、假設(shè)、建立、求解、分析、檢驗(yàn)等過程，最后還應(yīng)具備模型應(yīng)用與推廣等特點(diǎn)，使得建模更具意義，數(shù)學(xué)建模應(yīng)以學(xué)生為主、教師事先設(shè)計(jì)好問題創(chuàng)設(shè)情境進(jìn)行啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生積極查閱文獻(xiàn)資料和學(xué)習(xí)新知識(shí)，激勵(lì)學(xué)生自主討論和研究，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索、努力進(jìn)取的學(xué)習(xí)態(tài)度，增強(qiáng)數(shù)學(xué)素質(zhì)和創(chuàng)新能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，重在獲取新知識(shí)的能力，重在解決問題的過程，而不是知識(shí)與結(jié)果．在平時(shí)教學(xué)中，應(yīng)貼近生活去創(chuàng)設(shè)適當(dāng)情景，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)建模思想；應(yīng)因勢(shì)利導(dǎo)去探究問題本質(zhì)，給學(xué)生強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模意識(shí)；應(yīng)變式訓(xùn)練以適度啟發(fā)深化，鞏固建模應(yīng)用拓展視野，從而提高數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，有效滲透學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．