張大鵬,袁紅莉

(1.江蘇信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院,江蘇 無(wú)錫 214153;2.燕山大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院,河北 秦皇島 066004)

0 引言

作為加密貨幣比特幣的核心技術(shù),區(qū)塊鏈因防篡改、防抵賴、可靠性高以及去中心化等特點(diǎn)引起眾多領(lǐng)域的廣泛關(guān)注。近年來(lái),區(qū)塊鏈的基礎(chǔ)理論研究也不容忽視。

目前,排隊(duì)論中已有的批量排隊(duì)系統(tǒng)都分析了區(qū)塊鏈系統(tǒng)交易的基本運(yùn)行流程。Kasahara等[1]建立了一個(gè)批量服務(wù)的M/Gb/1模型,使用補(bǔ)充變量法得到了穩(wěn)態(tài)下系統(tǒng)中的平均交易數(shù)及交易平均確認(rèn)時(shí)間。通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn),研究了交易到達(dá)率和區(qū)塊大小對(duì)交易平均確認(rèn)時(shí)間的影響。Kasahara等[2]建立了一個(gè)帶有優(yōu)先權(quán)和批量服務(wù)的單服務(wù)臺(tái)排隊(duì)模型,得到了每類優(yōu)先級(jí)交易的平均確認(rèn)時(shí)間,研究了優(yōu)先級(jí)對(duì)小額交易平均確認(rèn)時(shí)間的影響。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明當(dāng)區(qū)塊容量不變時(shí),小額交易的到達(dá)率增大為原來(lái)的四倍,小額交易平均確認(rèn)時(shí)間將猛增。Geissler等[3]提出了一個(gè)批量服務(wù)的GI/GIN/1模型,通過(guò)嵌入馬爾科夫鏈得到了平均交易數(shù)及交易平均確認(rèn)時(shí)間。Li等[4]提出了一個(gè)批量服務(wù)的GI/M/1型隨機(jī)排隊(duì)模型,使用矩陣幾何解方法得到了穩(wěn)態(tài)下系統(tǒng)內(nèi)的平均交易數(shù)、每個(gè)區(qū)塊內(nèi)的平均交易數(shù)及交易平均確認(rèn)時(shí)間。

如果候選區(qū)塊所包含的交易數(shù)小于區(qū)塊可容納交易數(shù)的最大上限時(shí),根據(jù)區(qū)塊鏈系統(tǒng)的默認(rèn)機(jī)制,在挖礦過(guò)程中到達(dá)的交易將放入候選區(qū)塊中。Kawase等[5]提出了一個(gè)具有優(yōu)先級(jí)機(jī)制的M/Gb/1模型,得到了每類優(yōu)先級(jí)交易的平均確認(rèn)時(shí)間。通過(guò)比較測(cè)量數(shù)據(jù)和分析結(jié)果,發(fā)現(xiàn)挖礦過(guò)程并沒(méi)有遵循默認(rèn)機(jī)制,其挖礦過(guò)程中到達(dá)的交易并不放入候選區(qū)塊中,而是放入下一輪挖礦過(guò)程。

上述文獻(xiàn)均忽略了挖礦過(guò)程不遵循默認(rèn)機(jī)制。除此之外,上述文獻(xiàn)均未考慮空塊的coinbase交易。

另一方面,Mose等[6]分析了在區(qū)塊鏈系統(tǒng)中,用戶支付交易費(fèi)的數(shù)據(jù),結(jié)論表明了交易費(fèi)對(duì)區(qū)塊鏈系統(tǒng)的安全性和可持續(xù)性起著至關(guān)重要的作用。對(duì)于礦工來(lái)說(shuō),出塊獎(jiǎng)勵(lì)每四年減半,隨著出塊獎(jiǎng)勵(lì)的減少,交易費(fèi)將作為主要的利潤(rùn)來(lái)源[7]。對(duì)于用戶來(lái)說(shuō),交易費(fèi)極大地影響了交易的優(yōu)先級(jí),進(jìn)而影響了交易確認(rèn)時(shí)間,且過(guò)高的交易費(fèi)不利于小額交易的確認(rèn)時(shí)間。

Li等[8]在非搶占優(yōu)先級(jí)排隊(duì)模型下,假設(shè)每個(gè)用戶不支付交易費(fèi),該用戶發(fā)出的交易最終記錄到區(qū)塊鏈后仍然會(huì)獲得收益,但是會(huì)隨著長(zhǎng)時(shí)間的等待而減少。如果用戶支付了足夠高的交易費(fèi)將獲得第一名,該交易到達(dá)后將立刻處理,那么該用戶的收益不會(huì)因?yàn)闀r(shí)間等待而減少,而是因交易費(fèi)而減少。研究了沒(méi)有用戶、所有用戶和部分用戶支付交易費(fèi)三種情況下用戶的納什均衡行為。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,在平衡狀態(tài)下,具有足夠高的時(shí)間成本的用戶將增加交易費(fèi),而具有足夠低的時(shí)間成本的用戶可能拒絕提供交易費(fèi)。Li等[9]又引入了多優(yōu)先級(jí)規(guī)則,分析了用戶在不同優(yōu)先級(jí)上的等待時(shí)間,建立博弈模型研究了用戶的納什均衡費(fèi)用決策,為區(qū)塊鏈系統(tǒng)交易的優(yōu)化排隊(duì)規(guī)則提供了有用的管理見(jiàn)解。

以上文獻(xiàn)均體現(xiàn)了研究區(qū)塊鏈系統(tǒng)交易費(fèi)及博弈的重要性。然而迄今為止,有關(guān)方面的研究仍然很薄弱。因此基于排隊(duì)論方法分析區(qū)塊鏈基礎(chǔ)理論十分有益。

在之前的工作中,本課題組提出了一種帶有批量服務(wù)及空載服務(wù)期的G-限量休假排隊(duì)模型[10],在此基礎(chǔ)上,對(duì)帶有優(yōu)先級(jí)的G-限量休假排隊(duì)模型繼續(xù)展開(kāi)研究。本文第1章對(duì)帶有優(yōu)先級(jí)、空塊及批量驗(yàn)證的區(qū)塊鏈系統(tǒng)的交易確認(rèn)過(guò)程進(jìn)行了介紹;第2章給出了帶有優(yōu)先級(jí)、批量服務(wù)及空載服務(wù)期的G-限量休假排隊(duì)模型,并進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn)及仿真實(shí)驗(yàn);第3章構(gòu)造了Ⅰ類交易與Ⅱ類交易的個(gè)人收益函數(shù)及區(qū)塊鏈系統(tǒng)的社會(huì)收益函數(shù),給出了社會(huì)最優(yōu)下系統(tǒng)能容納兩類交易的最大進(jìn)入率的數(shù)值結(jié)果,同時(shí)分別對(duì)Ⅰ類交易和Ⅱ類交易制定交易費(fèi)方案,實(shí)現(xiàn)區(qū)塊鏈系統(tǒng)的社會(huì)最優(yōu);最后總結(jié)全文。

1 帶有優(yōu)先級(jí)、空塊及批量驗(yàn)證的區(qū)塊鏈系統(tǒng)的交易確認(rèn)過(guò)程

假設(shè)區(qū)塊鏈系統(tǒng)中有兩類不同等級(jí)的交易,分別為Ⅰ類交易和Ⅱ類交易,Ⅰ類交易比Ⅱ類交易具有更高級(jí)別的優(yōu)先權(quán)。

區(qū)塊鏈系統(tǒng)中的Ⅰ類交易與Ⅱ類交易不斷產(chǎn)生。用戶產(chǎn)生任一類交易后,需要廣播該類交易至區(qū)塊鏈系統(tǒng)中的所有礦工。每個(gè)礦工先進(jìn)行交易驗(yàn)證,再把驗(yàn)證通過(guò)的交易放入各自的內(nèi)存池中。爭(zhēng)奪區(qū)塊記賬權(quán)的礦工從內(nèi)存池中選出交易構(gòu)建候選區(qū)塊,并通過(guò)求解數(shù)學(xué)難題,進(jìn)行工作量證明,這就是挖礦過(guò)程。

爭(zhēng)奪區(qū)塊記賬權(quán)的礦工從內(nèi)存池選擇交易時(shí),會(huì)出現(xiàn)下面三種情況。

1)如果內(nèi)存池中既有Ⅰ類交易,又有Ⅱ類交易,首先按照先到先入的規(guī)則選擇I類交易放入?yún)^(qū)塊,直到內(nèi)存池中沒(méi)有剩余的I類交易或區(qū)塊無(wú)剩余容量為止。然后如果內(nèi)存池中沒(méi)有剩余的Ⅰ類交易且區(qū)塊中仍有剩余容量,按照先到先入的規(guī)則選擇Ⅱ類交易放入?yún)^(qū)塊,直到內(nèi)存池中沒(méi)有剩余的Ⅱ類交易或區(qū)塊無(wú)剩余容量為止。

2)如果內(nèi)存池中只有Ⅰ類交易,按照先到先入的規(guī)則選擇Ⅰ類交易放入?yún)^(qū)塊,直到內(nèi)存池中沒(méi)有剩余的Ⅰ類交易或區(qū)塊無(wú)剩余容量為止。

3)如果內(nèi)存池中只有Ⅱ類交易,按照先到先入的規(guī)則選擇Ⅱ類交易放入?yún)^(qū)塊,直到內(nèi)存池中沒(méi)有剩余的Ⅱ類交易或區(qū)塊無(wú)剩余容量為止。

一旦挖礦過(guò)程成功,最快解答出數(shù)學(xué)難題的礦工為獲勝礦工,其余所有礦工稱為未獲勝礦工。獲勝礦工的候選區(qū)塊升級(jí)為新區(qū)塊,同時(shí)將新區(qū)塊廣播給其余未獲勝礦工。未獲勝礦工首先將各自的候選區(qū)塊作廢并驗(yàn)證收到的新區(qū)塊,然后將驗(yàn)證結(jié)果發(fā)送給獲勝礦工。只有當(dāng)成功驗(yàn)證新區(qū)塊的礦工數(shù)目超過(guò)系統(tǒng)規(guī)定的閾值時(shí),獲勝礦工可以將新的區(qū)塊接入到區(qū)塊鏈中,并反饋新區(qū)塊確認(rèn)消息給其余礦工。獲勝礦工之外的所有礦工收到新區(qū)塊確認(rèn)消息后,從各自的內(nèi)存池中清除新區(qū)塊中所含的交易。若獲勝礦工的新區(qū)塊為空塊,不需廣播給其余未獲勝礦工進(jìn)行驗(yàn)證,獲勝礦工直接將空塊接入到區(qū)塊鏈。這就是區(qū)塊驗(yàn)證過(guò)程。

挖礦過(guò)程加上區(qū)塊驗(yàn)證過(guò)程稱為區(qū)塊鏈的交易確認(rèn)過(guò)程。在區(qū)塊鏈的交易確認(rèn)過(guò)程中,很明顯發(fā)現(xiàn)Ⅰ類交易的數(shù)量會(huì)影響Ⅱ類交易的確認(rèn)時(shí)間,為了進(jìn)一步研究?jī)?yōu)先級(jí)對(duì)交易確認(rèn)時(shí)間的影響,需要建立合理的數(shù)學(xué)模型,定量刻畫(huà)Ⅰ類交易與Ⅱ類交易平均確認(rèn)時(shí)間的變化趨勢(shì)。

2 帶有優(yōu)先級(jí)、批量服務(wù)及空載服務(wù)期的G-限量休假模型

2.1 模型描述

從區(qū)塊鏈的交易確認(rèn)過(guò)程可以觀察到,獲勝礦工所構(gòu)造的非空新區(qū)塊會(huì)受到交易優(yōu)先級(jí)的影響,而構(gòu)造的空塊則不受交易優(yōu)先級(jí)的影響。將挖礦過(guò)程視為休假,空塊接入?yún)^(qū)塊鏈的過(guò)程視為空載服務(wù)期,非空新區(qū)塊的驗(yàn)證以及接入?yún)^(qū)塊鏈的過(guò)程視為普通服務(wù)期?？紤]區(qū)塊鏈中的多點(diǎn)同步需求,結(jié)合現(xiàn)代通信的數(shù)字化本質(zhì),在離散時(shí)間領(lǐng)域建立一種帶有優(yōu)先級(jí)、批量服務(wù)及空載服務(wù)期的G-限量休假模型。

對(duì)帶有優(yōu)先級(jí)、批量服務(wù)及空載服務(wù)期的G-限量休假模型做出如下假設(shè):

2.2 模型分析

Ⅰ類交易的平均確認(rèn)時(shí)間和Ⅱ類交易的平均確認(rèn)時(shí)間是衡量區(qū)塊鏈系統(tǒng)響應(yīng)性能的重要指標(biāo)。

定義T1為Ⅰ類交易的確認(rèn)時(shí)間,也就是說(shuō)Ⅰ類交易從進(jìn)入內(nèi)存池直到鏈入?yún)^(qū)塊鏈的時(shí)間間隔。

2.2.1 服務(wù)期開(kāi)始時(shí)刻的Ⅰ類交易的交易數(shù)母函數(shù)

2.2.2 Ⅰ類交易的平均確認(rèn)時(shí)間

對(duì)比文獻(xiàn)[10]中式(12)與本文的式(31),觀察到在帶有優(yōu)先級(jí)、批量服務(wù)及空載服務(wù)期的G-限量休假模型中,Ⅰ類交易的平均確認(rèn)時(shí)間與在帶有批量服務(wù)及空載服務(wù)期的G-限量休假模型中交易平均確認(rèn)時(shí)間一樣,故在帶有優(yōu)先級(jí)、批量服務(wù)及空載服務(wù)期的G-限量休假模型中,Ⅰ類交易不受Ⅱ類交易的影響。

2.2.3 服務(wù)期開(kāi)始時(shí)刻的Ⅱ類交易的交易數(shù)母函數(shù)

定義T2為Ⅱ類交易的確認(rèn)時(shí)間,可以理解為從Ⅱ類交易到達(dá)區(qū)塊鏈系統(tǒng)的時(shí)刻到包含Ⅱ類交易的區(qū)塊接入?yún)^(qū)塊鏈所持續(xù)的時(shí)間。

2.2.4 Ⅱ類交易的平均確認(rèn)時(shí)間

處理非空竭休假模型常用工具之一除了再生循環(huán)法,還有逝去時(shí)間法[11]。使用逝去時(shí)間法給出Ⅱ類交易的平均確認(rèn)時(shí)間的表達(dá)式。使用逝去時(shí)間法需要給出一個(gè)忙循環(huán)開(kāi)始時(shí)系統(tǒng)內(nèi)Ⅱ類交易的交易數(shù)和一個(gè)忙循環(huán)逝去時(shí)間內(nèi)到達(dá)Ⅱ類交易的交易數(shù)。

3 系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)

帶有優(yōu)先級(jí)、空塊及批量驗(yàn)證的區(qū)塊鏈系統(tǒng)中,只要系統(tǒng)中存在Ⅰ類交易,區(qū)塊鏈系統(tǒng)就必須優(yōu)先服務(wù)優(yōu)先權(quán)高的Ⅰ類交易。故得出結(jié)論:Ⅰ類交易不受Ⅱ類交易的影響。進(jìn)行系統(tǒng)實(shí)驗(yàn),研究Ⅰ類交易的到達(dá)率、服務(wù)強(qiáng)度、挖礦系數(shù)及區(qū)塊容量對(duì)Ⅱ類交易的平均確認(rèn)時(shí)間的影響。

實(shí)驗(yàn)環(huán)境如下:CPU型號(hào)為Intel Core i7-4790,CPU運(yùn)行頻率為3.60 GHz,系統(tǒng)內(nèi)存為8.00 GB。

假設(shè)挖礦過(guò)程服從參數(shù)為θ的幾何分布,服務(wù)期的時(shí)間長(zhǎng)度服從參數(shù)為μ的幾何分布,進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)與仿真實(shí)驗(yàn)。數(shù)值實(shí)驗(yàn)在MATLAB 2016a環(huán)境中運(yùn)行,仿真實(shí)驗(yàn)在MyEclipse 2014環(huán)境中采用Java語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)。在穩(wěn)態(tài)條件的約束下,實(shí)驗(yàn)一的參數(shù)設(shè)定為:在服務(wù)強(qiáng)度μ=0.4,挖礦系數(shù)θ=0.5下,區(qū)塊容量M=5,7,Ⅰ類交易到達(dá)率pH=0.3,0.4,結(jié)果如圖1所示。實(shí)驗(yàn)二的參數(shù)設(shè)定為:區(qū)塊容量M=5,Ⅰ類交易到達(dá)率pH=0.4下,服務(wù)強(qiáng)度μ=0.35,0.40,挖礦系數(shù)θ=0.50,0.60,結(jié)果如圖2所示。圖1刻畫(huà)了在不同的區(qū)塊容量M下,Ⅰ類交易到達(dá)率pH與Ⅱ類交易到達(dá)率pL對(duì)Ⅱ類交易的平均確認(rèn)時(shí)間E[T2]的影響。圖2刻畫(huà)了在固定的區(qū)塊容量M和Ⅰ類交易到達(dá)率pH下,服務(wù)強(qiáng)度μ和挖礦系數(shù)θ對(duì)Ⅱ類交易的平均確認(rèn)時(shí)間E[T2]的影響。

圖1 不同區(qū)塊容量下的Ⅱ類交易平均確認(rèn)時(shí)間Fig.1 Average confirmation time for Transaction Ⅱ under different block size

圖2 固定區(qū)塊容量和Ⅰ類交易到達(dá)率下Ⅱ類交易的平均確認(rèn)時(shí)間Fig.2 Average confirmation time for Transaction Ⅱ with fixed block size and arrival rate of Transaction Ⅰ

橫向?qū)Ρ确治鰣D1。當(dāng)區(qū)塊容量M和Ⅰ類交易到達(dá)率pH固定時(shí),隨著Ⅱ類交易到達(dá)率pL的增加,Ⅱ類交易的平均確認(rèn)時(shí)間E[T2]呈上升趨勢(shì)。Ⅱ類交易到達(dá)率越大,區(qū)塊鏈系統(tǒng)內(nèi)存池中等待被確認(rèn)的Ⅱ類交易就越多,Ⅱ類交易的等待時(shí)間也就越長(zhǎng),因此Ⅱ類交易的平均確認(rèn)時(shí)間呈上升趨勢(shì)。

縱向?qū)Ρ确治鰣D1。在相同的區(qū)塊容量M和Ⅱ類交易到達(dá)率pL下,隨著Ⅰ類交易到達(dá)率pH的增加,Ⅱ類交易的平均確認(rèn)時(shí)間E[T2]逐漸增加。Ⅰ類交易到達(dá)率越大,到達(dá)區(qū)塊鏈系統(tǒng)內(nèi)存池的Ⅰ類交易也就越多,區(qū)塊鏈系統(tǒng)因優(yōu)先服務(wù)Ⅰ類交易,造成Ⅱ類交易在內(nèi)存池的等待時(shí)間變長(zhǎng),因此Ⅱ類交易的平均確認(rèn)時(shí)間增加。當(dāng)固定Ⅰ類交易到達(dá)率pH和Ⅱ類交易到達(dá)率pL時(shí),Ⅱ類交易的平均確認(rèn)時(shí)間E[T2]隨區(qū)塊容量M的增加呈下降趨勢(shì)。區(qū)塊容量越大,一個(gè)區(qū)塊能容納的交易數(shù)越多,Ⅱ類交易能盡早從內(nèi)存池放入?yún)^(qū)塊被確認(rèn),故Ⅱ類交易的平均確認(rèn)時(shí)間越短。

從圖2可以觀察到,隨著服務(wù)強(qiáng)度μ的增加,Ⅱ類交易的平均確認(rèn)時(shí)間E[T2]逐漸變短。服務(wù)強(qiáng)度越大,Ⅱ類交易的服務(wù)時(shí)間也就越短,因此Ⅱ類交易的平均確認(rèn)時(shí)間也就越短。還可以觀察到,隨著挖礦系數(shù)θ的增加,Ⅱ類交易的平均確認(rèn)時(shí)間E[T2]逐漸變短。挖礦系數(shù)越大,單位時(shí)間產(chǎn)生的區(qū)塊數(shù)量也就越多,Ⅱ類交易從內(nèi)存池放入?yún)^(qū)塊被確認(rèn)的等待時(shí)間也就越短,因此Ⅱ類交易的平均確認(rèn)時(shí)間也就越短。

圖1和圖2中,無(wú)論哪種參數(shù)組合,數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果均與仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果相吻合。

綜上,Ⅰ類交易的平均確認(rèn)時(shí)間不受Ⅱ類交易到達(dá)率的影響,但是Ⅱ類交易的平均確認(rèn)時(shí)間與Ⅰ類交易到達(dá)率有很大關(guān)聯(lián),如果Ⅰ類交易較多,則Ⅱ類交易一直等待被確認(rèn)及記錄到區(qū)塊鏈,則Ⅱ類交易的平均確認(rèn)時(shí)間也大大增加,不利于發(fā)起Ⅱ類交易的用戶。因此需要對(duì)帶有優(yōu)先權(quán)、批量服務(wù)及空載服務(wù)期的G-限量休假模型進(jìn)行優(yōu)化,綜合考慮交易進(jìn)入?yún)^(qū)塊鏈系統(tǒng)所獲得的收益與等待被確認(rèn)所消耗的時(shí)間成本,研究交易的納什均衡行為與社會(huì)最優(yōu)行為,給出交易到達(dá)區(qū)塊鏈系統(tǒng)時(shí),以多大概率進(jìn)入?yún)^(qū)塊鏈系統(tǒng)和收取多少的交易費(fèi)來(lái)吸引更多的交易選擇進(jìn)入?yún)^(qū)塊鏈系統(tǒng)。

4 帶有優(yōu)先權(quán)、空塊及批量驗(yàn)證的區(qū)塊鏈系統(tǒng)的優(yōu)化

4.1 納什均衡行為和社會(huì)最優(yōu)行為

首先對(duì)帶有優(yōu)先權(quán)、批量服務(wù)及空載服務(wù)期的G-限量休假模型做出以下假設(shè)。

1)一批交易的潛在到達(dá)率為Λ,以概率α為Ⅰ類交易,以概率q進(jìn)入到區(qū)塊鏈系統(tǒng)的內(nèi)存池中。Ⅰ類比Ⅱ類交易的優(yōu)先權(quán)高。

2)R1和R2分別代表Ⅰ類交易和Ⅱ類交易完成服務(wù)后獲得回報(bào)。

3)C1和C2分別代表Ⅰ類交易和Ⅱ類交易在單位確認(rèn)時(shí)間內(nèi)所耗費(fèi)的成本。

4)同一類交易的收益相同且可以疊加。

5)當(dāng)一個(gè)新的Ⅰ類交易或Ⅱ類交易進(jìn)入空的區(qū)塊鏈系統(tǒng)時(shí),直接接受服務(wù)后獲得的收益比等待確認(rèn)所花費(fèi)的成本高,即R1＞C1E[T1],并且R2＞C2E[T2]。

將每類交易的個(gè)人收益定義為一個(gè)交易進(jìn)入?yún)^(qū)塊鏈系統(tǒng)接受服務(wù)后所獲得的回報(bào)與等待被確認(rèn)所耗費(fèi)的時(shí)間成本之差。Ⅰ類交易的個(gè)人收益B1(q)與Ⅱ類交易的個(gè)人收益B2(q)分別表示

式中,E[T1]和E[T2]分別表示Ⅰ類交易和Ⅱ類交易的平均確認(rèn)時(shí)間。

為了揭示Ⅰ類交易與Ⅱ類交易的個(gè)人收益的變化規(guī)律,進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置為:M=5,R1=12,R2=10,C1=2,C2=1.8,Λ=1.5,α=0.3,μ=0.4和θ=0.5,0.6。圖3和圖4分別表示在不同的挖礦系數(shù)θ下,Ⅰ類交易的個(gè)人收益B1(q)和Ⅱ類交易的個(gè)人收益B2(q)隨著進(jìn)入率q的變化趨勢(shì)。

圖3 不同挖礦系數(shù)θ下Ⅰ類交易的個(gè)人收益Fig.3 Individual profit of Transaction Ⅰ with different mining coefficients

圖4 不同挖礦系數(shù)下Ⅱ類交易的個(gè)人收益Fig.4 Individual profit of Transaction Ⅱ with different mining coefficients

由圖3和圖4可以觀察到,針對(duì)不同的挖礦系數(shù)θ,Ⅰ類交易的個(gè)人收益B1(q)和Ⅱ類交易的個(gè)人收益B2(q)隨著進(jìn)入率q的增大逐漸減少。Ⅰ類交易進(jìn)入率或Ⅱ類交易進(jìn)入率越大,Ⅰ類交易到達(dá)率或Ⅱ類交易到達(dá)率就越大,Ⅰ類交易與Ⅱ類交易在區(qū)塊鏈中的平均確認(rèn)時(shí)間也就越長(zhǎng),因此,Ⅰ類交易和Ⅱ類交易的個(gè)人收益不斷減少。

同時(shí)可觀察到,對(duì)于每一條Ⅱ類交易的個(gè)人收益,有且僅有一個(gè)進(jìn)入率的取值使得B2(q)=0,記為Ⅱ類交易的納什均衡進(jìn)入率。當(dāng)B2(q)＞0,Ⅱ類交易選擇進(jìn)入?yún)^(qū)塊鏈系統(tǒng),相對(duì)應(yīng)的,當(dāng)B2(q)＜0,Ⅱ類交易選擇放棄進(jìn)入?yún)^(qū)塊鏈系統(tǒng)。而對(duì)于每一條Ⅰ類交易的個(gè)人收益,當(dāng)進(jìn)入率處于0～0.1范圍內(nèi),Ⅰ類交易的個(gè)人收益均為正值,即B1(q)＞0,Ⅰ類交易均選擇進(jìn)入?yún)^(qū)塊鏈系統(tǒng)接受服務(wù)。

將區(qū)塊鏈系統(tǒng)的社會(huì)收益定義為單位挖礦時(shí)間內(nèi)Ⅰ類交易和Ⅱ類交易的個(gè)人收益與獲勝礦工的區(qū)塊獎(jiǎng)勵(lì)之和,社會(huì)收益D(q)表示為

其中,Q為單位挖礦時(shí)間內(nèi)獲勝礦工獲得的區(qū)塊獎(jiǎng)勵(lì)。

通過(guò)最大化式(48),給出社會(huì)最優(yōu)概率

設(shè)置區(qū)塊獎(jiǎng)勵(lì)Q=10,圖5表示在不同的挖礦系數(shù)θ下,社會(huì)收益D(q)隨著進(jìn)入率q的變化趨勢(shì)。

圖5 不同的挖礦系數(shù)下的社會(huì)收益Fig.5 Social benefits with different mining coefficients

由圖5可以觀察到,對(duì)于不同的挖礦系數(shù)θ,隨著進(jìn)入率q的增加,社會(huì)收益D(q)均呈現(xiàn)出先上升再下降的趨勢(shì)。當(dāng)兩類交易的總進(jìn)入率較小時(shí),兩類交易的交易數(shù)量是影響社會(huì)收益的主要因素,因此,兩類交易的總到達(dá)率越大,社會(huì)收益也就越大。當(dāng)進(jìn)入率較大時(shí),Ⅰ類交易與Ⅱ類交易的平均確認(rèn)時(shí)間均增加,單位確認(rèn)時(shí)間所耗費(fèi)的時(shí)間成本變高,因此,隨著兩類交易總進(jìn)入率的增加,社會(huì)收益呈下降趨勢(shì)。對(duì)于圖1中的每一條曲線,都存在唯一的進(jìn)入率使得社會(huì)收益D(q)取得最大值,該進(jìn)入率即為社會(huì)最優(yōu)進(jìn)入率q*。

因?yàn)樵谇蠼猗蝾惤灰椎钠骄_認(rèn)時(shí)間E[T2]的過(guò)程中,需給出Ⅰ類交易的到達(dá)率的確定值,并調(diào)用仿真實(shí)驗(yàn)中服務(wù)期開(kāi)始時(shí)聯(lián)合概率的數(shù)值結(jié)果。所以,式(49)無(wú)法得到關(guān)于q*的顯示解。利用改進(jìn)的布谷鳥(niǎo)算法[10],得到社會(huì)最優(yōu)進(jìn)入率如表1所示。

表1 社會(huì)最優(yōu)進(jìn)入率Tab.1 Social optimal entry rate

4.2 交易費(fèi)

引用圖4和圖1中的實(shí)驗(yàn)參數(shù),對(duì)于不同的挖礦系數(shù)θ,在表2中呈現(xiàn)了Ⅰ類交易與Ⅱ類交易的交易費(fèi)f1和f2的數(shù)值結(jié)果。

表2 不同挖礦系數(shù)下Ⅰ類交易和Ⅱ類交易的交易費(fèi)Tab.2 Transaction fees of Transaction I and II with different mining coefficients

由表2觀察到,隨著挖礦系數(shù)的增加,Ⅰ類交易的交易費(fèi)f1與Ⅱ類交易的交易費(fèi)f2均呈現(xiàn)出上升的趨勢(shì)。并且在每一個(gè)挖礦系數(shù)θ下,Ⅰ類交易的交易費(fèi)f1均高于Ⅱ類交易的交易費(fèi)f2。挖礦系數(shù)越大,Ⅰ類交易與Ⅱ類交易到達(dá)區(qū)塊鏈系統(tǒng)的越多,為了維護(hù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài),需逐漸提高交易費(fèi)。同時(shí)為了維護(hù)發(fā)起Ⅱ類交易用戶的熱情,需對(duì)優(yōu)先權(quán)較高的Ⅰ類交易設(shè)置較高的費(fèi)用,抑制一部分Ⅰ類交易的熱情。

5 結(jié)論

本文基于帶有優(yōu)先權(quán)、空塊及批量驗(yàn)證的區(qū)塊鏈系統(tǒng)的交易確認(rèn)過(guò)程,建立了帶有優(yōu)先權(quán)、批量服務(wù)及空載服務(wù)期的G-限量休假排隊(duì)模型,同時(shí)使用再生循環(huán)法和逝去時(shí)間法分別給出了Ⅰ類交易與Ⅱ類交易的平均確認(rèn)時(shí)間的表達(dá)式。然后進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn)及仿真實(shí)驗(yàn),主要刻畫(huà)了Ⅰ類交易到達(dá)率、區(qū)塊容量、挖礦系數(shù)及服務(wù)強(qiáng)度對(duì)Ⅱ類交易的平均確認(rèn)時(shí)間的影響。構(gòu)造了Ⅰ類交易與Ⅱ類交易的個(gè)人收益函數(shù)及區(qū)塊鏈系統(tǒng)的社會(huì)收益函數(shù),給出了社會(huì)最優(yōu)下系統(tǒng)能容納兩類交易的最大進(jìn)入率的數(shù)值結(jié)果,分別對(duì)Ⅰ類交易和Ⅱ類交易制定交易費(fèi)方案,實(shí)現(xiàn)了區(qū)塊鏈系統(tǒng)社會(huì)收益的最大化。