陳廣福

（武夷學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，福建 武夷山 354300）

0 引言

信號(hào)與系統(tǒng)是通信工程專業(yè)的必修基礎(chǔ)理論課，該課程是后續(xù)通信原理、移動(dòng)通信和無(wú)線網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃等重要課程的理論基礎(chǔ)。此外，隨著科技快速發(fā)展，對(duì)人才要求越來(lái)越高，每年有大量本科生繼續(xù)深造，信號(hào)與系統(tǒng)是大部分通信工程專業(yè)研究生入學(xué)必考的科目。因此，如何平衡實(shí)踐能力和理論能力的培養(yǎng)值得任課老師思考。

信號(hào)與系統(tǒng)主要介紹了時(shí)域、頻域和復(fù)頻域之間的相互轉(zhuǎn)化，不同變換域間具有不同特征。例如在時(shí)域主要反映信號(hào)與時(shí)間函數(shù)間關(guān)聯(lián)，而頻域中可以更好表示信號(hào)頻譜特性。然而，僅通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)難以更深刻和全面理解信號(hào)間轉(zhuǎn)換的物理內(nèi)涵，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)難度增大，缺乏學(xué)習(xí)興趣。因此，需要借助仿真工具將這些復(fù)雜公式通過圖形展示出來(lái)，可以讓學(xué)生更直觀理解這些抽象概念和數(shù)學(xué)公式。當(dāng)前，Matlab仿真軟件已廣泛應(yīng)用于數(shù)值分析、數(shù)字信號(hào)處理和數(shù)字圖像處理等各個(gè)方面。由于本課程具有內(nèi)容繁雜、數(shù)學(xué)公式多和抽象等特點(diǎn)，Matlab 軟件可以將復(fù)雜和抽象的理論通過圖形的形式去展示，更好地激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣。此外，通過Matlab設(shè)置不同參數(shù)值和斷點(diǎn)觀察產(chǎn)生的不同現(xiàn)象，更深刻地理解物理含義，使學(xué)生由理論到現(xiàn)象轉(zhuǎn)變，從而培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐能力。當(dāng)前，許多一線教師將Matlab 軟件應(yīng)用于課堂教學(xué)和實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，取得良好的效果。例如文獻(xiàn)[3]使用Matlab軟件實(shí)現(xiàn)帶通濾波器并給出主要步驟，增強(qiáng)學(xué)生在課堂互動(dòng)性；文獻(xiàn)[4]利用Matlab 軟件分析信號(hào)頻譜和系統(tǒng)函數(shù)穩(wěn)定性提高學(xué)生分析能力；文獻(xiàn)[5]探索了使用Matlab 課程實(shí)驗(yàn)設(shè)置以及課后作業(yè)改革；文獻(xiàn)[6]引入Matlab 進(jìn)課程并對(duì)信號(hào)卷積、系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)以及頻域響應(yīng)三個(gè)難點(diǎn)進(jìn)行仿真。

本文將Matlab 軟件融入到實(shí)際教學(xué)中，通過Matlab 仿真平臺(tái)輔助分析信號(hào)與系統(tǒng)中抽象的難理解的物理含義，如卷積定理和采樣定理等，通過實(shí)際教學(xué)極大地提高了學(xué)生興趣，同時(shí)也提高了學(xué)生動(dòng)手能力和理論水平。

1 Matlab 輔助課堂教學(xué)實(shí)踐

信號(hào)與系統(tǒng)主要內(nèi)容包括信號(hào)基本運(yùn)算、時(shí)域卷積、傅里葉變換、拉普拉斯變換和離散域變換等等，其中傅里葉變換是難點(diǎn)，需要具備良好的高等數(shù)學(xué)知識(shí)，理解公式推導(dǎo)，以及運(yùn)用采樣定理解決實(shí)際問題的能力。在教學(xué)中，傅里葉變換內(nèi)容是大部分學(xué)生都認(rèn)為難以接受和理解的。因此，接下來(lái)將從以下幾個(gè)方面使用Matlab 軟件，通過圖形展示來(lái)理解一些難點(diǎn)。

1.1 Matlab應(yīng)用于信號(hào)翻折、平移和尺度變換

任意基本信號(hào)通過翻折、平移和尺度變換可以轉(zhuǎn)換為新的信號(hào)。尺度變換的物理含義是當(dāng)時(shí)域擴(kuò)（壓），頻域就壓（擴(kuò)），理論講解時(shí)學(xué)生理解不夠到位。當(dāng)信號(hào)包含沖擊函數(shù)時(shí)，進(jìn)行翻折、平移和尺度變換特別容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，因此需要理解并利用沖擊函數(shù)性質(zhì)對(duì)相對(duì)應(yīng)變換。例如已知信號(hào)（）波形如圖1所示，求（）=（-2+2）波形。在課堂上，易錯(cuò)點(diǎn)在于沖擊強(qiáng)度也要隨著而改變。0.5（-2）先尺度變換得0.25（t-1）再翻折得0.25（+1）再向右平移1 單位有0.25（）。利用Matlab 軟件演示這過程，部分結(jié)果如圖2所示，與上面分析結(jié)果一致。與此同時(shí)需要掌握Matlab畫三角波形函數(shù)：tripuls（，，），其中是序列長(zhǎng)度，表示三角形寬度和代表斜坡。

圖1 信號(hào)f（t）波形

圖2 信號(hào)y（t）波形

1.2 Matlab應(yīng)用于吉布斯現(xiàn)象

信號(hào)與系統(tǒng)中周期信號(hào)是由真流分量和正余弦分量構(gòu)成，其中一個(gè)重要概念是諧波。教學(xué)中，講解任意周期通過計(jì)算均方誤差無(wú)限逼近原來(lái)周期信號(hào)波形，學(xué)生難以掌握計(jì)算均方誤差過程。通過利用Matlab 軟件設(shè)置不同諧波來(lái)模擬無(wú)限逼近原來(lái)周期信號(hào)波形，學(xué)生可以觀察到取不同次諧波得不同波形，可以更好地理解吉布斯現(xiàn)象。舉例，設(shè)周期矩形信號(hào)基波如圖3所示。

圖3 周期矩形信號(hào)

該周期矩形信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)為：

取不同諧波=3、9、55 和121 時(shí)的結(jié)果如圖4所示。

圖4 取不同諧波N=3、9、55 和121 波形

引導(dǎo)學(xué)生觀察圖4所示結(jié)果并回答所觀察現(xiàn)象，取3時(shí)表明頻率較低，諧波占大多數(shù)，其振幅較大與原信號(hào)波形相差甚大；當(dāng)隨著=121 時(shí)表示諧波分量越多，除間斷點(diǎn)附近外，越接近原信號(hào)波形。因此，通過圖形展示引導(dǎo)學(xué)生理解何為吉布斯現(xiàn)象，為后續(xù)數(shù)字信號(hào)處理課程中如何消除吉布斯現(xiàn)象提供理論支持。同時(shí)學(xué)生要掌握Matlab 基本語(yǔ)句如for 和求和。在實(shí)驗(yàn)課中調(diào)整周期信號(hào)，讓學(xué)生仿照上述Matlab 代碼寫出調(diào)整后代碼，提高學(xué)生參與度，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，有效改進(jìn)枯燥數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)。

1.3 Matlab應(yīng)用于頻域采樣定理

傅里葉變換中采樣定理又是一大難點(diǎn)，本知識(shí)也是考研中重要知識(shí)點(diǎn)，如何幫助學(xué)生和領(lǐng)悟采樣定理是個(gè)難點(diǎn)。教學(xué)中，使用公式推導(dǎo)方式講解該定理，大部分學(xué)生無(wú)法理解到位，主要原因是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不夠扎實(shí)，其次在于“無(wú)圖無(wú)真相”，難以從數(shù)學(xué)推導(dǎo)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。通過PPT 演示的最大不足是靜態(tài)的，無(wú)法設(shè)置不同采樣周期去觀察不同采樣結(jié)果。采樣定理功能是讓采樣信號(hào)恢復(fù)原有信號(hào)過程，并要滿足奈奎斯采樣頻率。采樣定理步驟是將時(shí)域原信號(hào)利用傅里葉變換性質(zhì)轉(zhuǎn)化為頻域，再通過低通濾波器恢復(fù)原信號(hào)。

舉例設(shè)原信號(hào)為（）=sin（2π · 60t）+cos（2π ·25t）

要恢復(fù)該信號(hào)奈奎斯采樣頻率至少為120 Hz。通過設(shè)置不同采樣頻率讓學(xué)生觀察原信號(hào)恢復(fù)情況，截取部分如圖5所示，當(dāng)采樣周期為40 Hz 時(shí)，此時(shí)波形與原信號(hào)相差較大，主要原因是采樣不足無(wú)法獲得更多原始信號(hào)信息。而當(dāng)采樣周期為125 Hz 時(shí)，此時(shí)波形與原始信號(hào)波形相同，表明要恢復(fù)原信號(hào)必須滿足奈奎斯采樣定理。

圖5 原始信號(hào)、采樣周期40 Hz 和125 Hz 波形

2 Matlab應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)教學(xué)

由于信號(hào)與系統(tǒng)課程內(nèi)容多課時(shí)少等原因而忽略了實(shí)驗(yàn)教學(xué)。依所在學(xué)校為例，該課程總學(xué)時(shí)為64，實(shí)驗(yàn)教學(xué)學(xué)時(shí)為12。本課程大二上學(xué)期開設(shè)，學(xué)生僅學(xué)習(xí)過C 語(yǔ)言而沒接觸過Matlab 編程，所以導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)教學(xué)效果不佳，學(xué)生僅會(huì)按書本上代碼進(jìn)行編程而無(wú)法進(jìn)行拓展。針對(duì)這些不足，為了進(jìn)一步改進(jìn)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，提高學(xué)生實(shí)踐能力，進(jìn)行以下4 個(gè)方面的改進(jìn)。

2.1 增加實(shí)驗(yàn)教學(xué)的學(xué)時(shí)

把原來(lái)12 學(xué)時(shí)增加到16 學(xué)時(shí)，增加的學(xué)時(shí)用來(lái)教學(xué)生Matlab 編程基礎(chǔ)知識(shí)和一些在實(shí)驗(yàn)教學(xué)常用的函數(shù)，如卷積函數(shù)，拉普拉斯變換函數(shù)等，有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。另外學(xué)生有C 語(yǔ)言基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)Matlab 編程不會(huì)太吃力，為后續(xù)“通信原理”“數(shù)字圖像處理”等課程打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

2.2 修訂實(shí)驗(yàn)考核方案

合理安排實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，盡量在課堂上能完成，還可以增加現(xiàn)場(chǎng)提問、現(xiàn)場(chǎng)解決問題等方式的考核，提高實(shí)驗(yàn)教學(xué)在期末考試所占比例。

2.3 創(chuàng)建線上實(shí)驗(yàn)討論群

按學(xué)號(hào)進(jìn)行分組并創(chuàng)建線上實(shí)驗(yàn)討論群，提前發(fā)布實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生在課余時(shí)間提前準(zhǔn)備，提高實(shí)驗(yàn)教學(xué)課堂效率。在線下課堂中讓每個(gè)組代表提供解決問題思路并上機(jī)操作。

2.4 增加激勵(lì)機(jī)制

在實(shí)驗(yàn)教學(xué)前10 分鐘由教師根據(jù)上節(jié)課已實(shí)現(xiàn)Matlab代碼基礎(chǔ)上改編新的問題，讓學(xué)生回答，對(duì)回答正確學(xué)生酌情增加平時(shí)分。此外，Matlab 在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中有十分明顯的優(yōu)點(diǎn)。例如一些復(fù)雜公式推導(dǎo)，或一些難以理解和抽象的理論，可以通過代碼形式體現(xiàn)，減少學(xué)生的枯燥感，運(yùn)行代碼以圖形形式展現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生獲得成就感，學(xué)生根據(jù)現(xiàn)有代碼再改編，解決類似問題，提升學(xué)生應(yīng)變能力。

3 Matlab應(yīng)用于信號(hào)與系統(tǒng)工程認(rèn)證

工程專業(yè)認(rèn)證在全國(guó)應(yīng)用型大學(xué)中得到廣泛推廣，本校所在通信工程系根據(jù)學(xué)院的安排也進(jìn)行工程認(rèn)證工作。信號(hào)與系統(tǒng)是門理論與實(shí)踐能力很強(qiáng)的專業(yè)課，之前的教學(xué)基本是從理論角度培養(yǎng)學(xué)生而忽略了工程應(yīng)用。Matlab 是信號(hào)與系統(tǒng)工程應(yīng)用最理想的仿真平臺(tái)。本院系根據(jù)實(shí)際教學(xué)需要從2023 級(jí)開始，在大一下學(xué)期開設(shè)Matlab 編程基礎(chǔ)課，讓學(xué)生從大一開始樹立工程應(yīng)用思想，為后續(xù)“通信原理”“數(shù)字信號(hào)處理”和“數(shù)字圖像處理”課程打下扎實(shí)基礎(chǔ)。本課程畢業(yè)要求達(dá)到以下四個(gè)工程知識(shí)：

（1）掌握該課程所需要的數(shù)理知識(shí)；

（2）掌握該課程用于分析工程問題中結(jié)構(gòu)和信號(hào)等問題的基礎(chǔ)知識(shí)；

（3）利用基礎(chǔ)知識(shí)和專業(yè)知識(shí)分析通信工程的復(fù)雜問題；

（4）利用工程和數(shù)理知識(shí)判斷復(fù)雜工程問題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)和參數(shù)。

上述四點(diǎn)也要完成的達(dá)成度，因此，實(shí)驗(yàn)教學(xué)中要加強(qiáng)（3）（4）兩點(diǎn)培養(yǎng)。例如在傅里葉變換中采樣定理如何恢復(fù)原信號(hào)，如何設(shè)計(jì)一個(gè)低通濾波器恢復(fù)原信號(hào)以及卷積公式分過濾噪聲等，可以通過Matlab 仿真平臺(tái)觀察和實(shí)現(xiàn)?！靶盘?hào)與系統(tǒng)”是通信工程核心理論課程，Matlab 融入到該課程的課堂，實(shí)踐教學(xué)和課后練習(xí)中，有利于學(xué)生樹立工程應(yīng)用思想，最大程度調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)力，提高實(shí)際動(dòng)手能力。

4 Matlab應(yīng)用于課堂教學(xué)反思

Matlab 引入課堂輔助教學(xué)可以將復(fù)雜的概念和公式轉(zhuǎn)為圖形展現(xiàn)出來(lái)，例如拉普拉斯的逆變化，三行代碼就可以求解得到。然而，大部分傳統(tǒng)教學(xué)模式，老師在講授，學(xué)生在聽，學(xué)生是被動(dòng)接受知識(shí)。為讓學(xué)生成為課堂的主人翁，可以在日常教學(xué)中留點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)讓學(xué)生上講臺(tái)去講授。這個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)置有以下兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：首先，老師提前布置學(xué)生要講授的內(nèi)容，學(xué)生要上好這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，肯定需要花時(shí)間主動(dòng)學(xué)習(xí)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的來(lái)龍去脈，這個(gè)過程可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性。其次，這個(gè)知識(shí)點(diǎn)是否可以用Matlab 來(lái)展示，學(xué)生肯定會(huì)去查閱相關(guān)知識(shí)，如果可以學(xué)生必須編寫相關(guān)代碼，就能提高編程能力。學(xué)生講授知識(shí)過程中要考慮別的同學(xué)是否理解自己所講授的內(nèi)容，化被動(dòng)為主動(dòng)，不僅激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣，更全面地掌握知識(shí)，提高實(shí)踐能力。此外，在二本學(xué)校中，大部分同學(xué)將來(lái)準(zhǔn)備考研，建議在課堂中適當(dāng)講解一些考研真題。例如，講解到一些重要知識(shí)點(diǎn)時(shí)，如傅里葉變換性質(zhì)，可以講解這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的考研真題，增加學(xué)習(xí)動(dòng)力。通過上述教學(xué)改革，使學(xué)生更自主地投入學(xué)習(xí)，最大程度激發(fā)學(xué)習(xí)積極性。

5 結(jié)論

本文探討了在課堂和實(shí)驗(yàn)中引入Matlab 將復(fù)雜數(shù)學(xué)公式和定理轉(zhuǎn)化為圖形展現(xiàn)出來(lái)，揭示數(shù)學(xué)公式和理論對(duì)應(yīng)的物理意義，降低學(xué)生學(xué)習(xí)難度，提高學(xué)生學(xué)習(xí)主觀能動(dòng)性和實(shí)際動(dòng)手能力。此外，在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，利用Matlab 完成實(shí)驗(yàn)大綱要求的知識(shí)點(diǎn)，為學(xué)生提供實(shí)現(xiàn)相關(guān)公式和理論實(shí)踐的機(jī)會(huì)，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐能力。最后，工程專業(yè)認(rèn)證與Matlab相結(jié)合，利用Matlab 軟件實(shí)現(xiàn)信號(hào)與系統(tǒng)一些工程問題，提高學(xué)生解決問題的能力和掌握Matlab 軟件編程的能力。