丁 杰，丁 丹，胡博仁

（1.航天工程大學研究生院，北京 101416；2.航天工程大學 電子與光學工程系，北京 101416）

0 引 言

正交頻分復用（OFDM）由于其抗干擾、高頻帶利用率等優(yōu)點，在無線通信領域得到廣泛應用。但由于OFDM技術為多載波通信技術，當多個子載波相位相近時，信號的疊加會產生較大的瞬時功率峰值，即產生較大的峰值功率與平均功率比值。高峰均比（PAPR）會對放大器的數模轉換器和模數轉換器的線性動態(tài)范圍產生很高的要求，如果系統(tǒng)的線性動態(tài)范圍不能滿足信號的變化，就會造成信號的非線性失真，增加信號傳輸的誤碼率，嚴重影響通信系統(tǒng)的性能。因此，如何高效降低峰均比是研究OFDM通信的重要部分之一。

OFDM系統(tǒng)降低信號峰均比的方法主要包括限幅類技術、概率類技術、編碼類技術。其中，概率類技術中最典型的是選擇性映射（SLM）技術和部分傳輸序列（PTS）技術，基本原理為通過線性干擾降低峰值出現的概率，而PTS技術由于更好的抑制PAPR性能而得到大量研究。為了平衡抑制效果和實現復雜度，國內外大量文獻提出了針對PTS技術的改進算法，如預設門限法，使用低復雜度相位因子優(yōu)化PTS算法，聯(lián)合削波改進，使用改進粒子群算法尋找最優(yōu)加權系數等。其中最經典的降低復雜度算法為迭代翻轉部分傳輸序列法（IPTS），該算法將原PTS指數級別的復雜度降低至乘法級別，但減小計算量帶來的是抑制效果的大打折扣。文獻[10]和文獻[11]分別從對相位因子進行WHT優(yōu)化和對輸入數據進行WHT編碼，這兩種不同的角度提出了IPTS聯(lián)合沃爾什哈達瑪變換（WHT）的改進方法，與原有的IPTS算法相比抑制PAPR性能有所提升，但和原PTS算法相比仍然有不可忽略的差距。

本文在PTS技術和IPTS技術的基礎上，提出了計算量介于二者之間的次優(yōu)分層迭代PTS算法，并利用沃爾什哈達瑪矩陣互相關為0的特性，提出WHT聯(lián)合次優(yōu)分層迭代PTS算法矩陣的改進方法。使得改進算法在大幅度降低計算量的前提下，仍然能擁有和原算法非常接近的性能。文中給出次優(yōu)分層迭代PTS算法的算法描述，改進算法流程圖和框圖；并對提出算法使用Matlab進行仿真，對其復雜度和抑制PAPR性能做出詳細的分析。

1 PTS、IPTS算法以及Hadamard矩陣原理

OFDM系統(tǒng)是一個多載波相位系統(tǒng)，由多個相互正交的子載波疊加而成，原始的頻域信號為：

式中為子載波的數量，經過逆傅里葉變換后得到時域信號：

峰均比PAPR的定義為峰值平均功率比，用公式表示為：

互補累積概率分布函數（CCDF）用于表示PAPR超過某個值的概率，即：

式中PAPR為門限值。

1.1 PTS算法抑制峰均比原理

圖1 傳統(tǒng)PTS算法原理框圖

1.2 迭代PTS算法（IPTS）

由上一節(jié)可知，要得到最優(yōu)的相位因子加權排列值，必須窮舉出所有子塊與相位因子的排列組合，這讓PTS算法的計算量隨著相位因子和子塊數量的增加呈指數級增長。文獻[9]提出了迭代PTS方法（IPTS），該方法不需要窮舉所有的排列組合，只需要較少的迭代搜索就能找到一組優(yōu)化系數，算法描述如下：

1）令相位因子個數為，即b(=1,2,…,)；子塊數為個，即x(=1,2,…,)；

2）改變第一個子塊，即所有加權系數，得到'=b(=1,2,…,)，分別計算所有'的PAPR值，找出最小的PAPR值所對應的相位因子，并固定該系數為的加權系數；

3）按照該方法尋找下一個子塊對應的最優(yōu)相位因子，直到所有個子塊的加權系數取值都被確定。

可以看出，上述IPTS只需要*次迭代搜索，對比傳統(tǒng)的PTS需要W次迭代搜索，大大降低了系統(tǒng)的復雜度。但是，在迭代搜索過程中，IPTS算法的相位因子僅僅被計算一次，若當前的加權系數和之間的加權系數組合能夠產生更小的PAPR值，IPTS算法將找不到這組更優(yōu)的相位因子。通過理論分析可知，這種簡化的算法會對系統(tǒng)降低PAPR性能產生損失。

1.3 Hadamard矩陣

Hadamard矩陣也稱為矩陣，由+1，-1構成，每一行或列都是相互正交的。

二階Hadamard方陣的構成如下：

高階Hadamard矩陣的階數一般都是2的冪次方，根據二階Hadamard矩陣可以推導出高階的Hadamard矩陣，遞推關系如下：

且在Hadamard矩陣中，任意交換兩行或兩列，或者改變任意一行或一列中的某個元素的符號都不會破壞矩陣的正交性。

2 基于IPTS和Hadamard矩陣的改進算法

由上一部分內容可知，PTS算法可以有效地降低系統(tǒng)PAPR值，但龐大的計算量對信息傳輸的效率產生不可忽視的影響；IPTS算法雖減小了計算量，卻損失了降低PAPR的性能。本文在IPTS的基礎上，提出一種改進的次優(yōu)分層迭代PTS算法，其計算量介于IPTS和PTS之間，對PAPR的抑制效果盡可能貼近原PTS算法，達到對于系統(tǒng)性能和復雜度的折中。并將該算法與WHT聯(lián)合，利用WHT互相關為0的特性，進一步提升PAPR抑制效果。

2.1 次優(yōu)分層迭代PTS算法

次優(yōu)分層迭代PTS算法是將個子塊分為層，通過計算每一層最小的PAPR值得到一個子塊的最優(yōu)加權系數，再將該加權系數代入下一層進行計算。經過次計算量逐層遞減的循環(huán)迭代，可以得到一組優(yōu)化的相位因子。算法描述如下：

1）令相位因子個數為，即b(=1,2,…,)；子塊數為個，即x(=1,2,…,)；

2）改變所有個子塊，即x(=1,2,…,)的所有加權系數，得到：

分別計算所有*個的PAPR值，找出最小的PAPR值所對應的相位因子和子塊，并固定該相位因子是的加權系數，即：

3）改變除以外，所有其他-1個子塊的加權系數，同時代入已經找到的最小相位因子，得到：

分別計算所有(-1)×個的PAPR值，找出最小的PAPR值所對應的相位因子和子塊并固定，代入下一層循環(huán)迭代運算；

4）重復上述計算，直到第層，改變-+1個子塊的加權系數，同時代入已經找到的個最優(yōu)相位因子對應的子塊，計算最小PAPR值，直到最后一層，也就是第層，次優(yōu)分層迭代PTS算法結束，得到一組優(yōu)化的加權系數。

舉例說明，令=8,=4。在第一層優(yōu)化中，每個子塊分別對應4個相位因子，可以計算出32個PAPR值，在這32個PAPR值的集合中找出最小值，并固定其對應的相位因子和子塊。假設第10個PAPR值最小，那么對應的則是子塊3，相位2，即=，=。那么，在第一層優(yōu)化中找出了第3個子塊對應的優(yōu)化系數為第2個相位。進入第二層優(yōu)化，第1，2，4，…，8子塊可以計算28個PAPR的值，備選信號可表示為：

找出這28個備選信號中的最小PAPR值，固定其對應的加權系數和子塊。假設第20個PAPR值最小，則對應子塊為6，相位是4，即=，=。那么，在第二層優(yōu)化中找出了第6個子塊對應的優(yōu)化系數為第四個相位。如此循環(huán)迭代，直到8個子塊的加權系數都找到，算法結束。

2.2 WHT聯(lián)合次優(yōu)分層迭代PTS算法

由本文1.3節(jié)可知，Hadamard矩陣的每一行或列都是相互正交的，具有非常優(yōu)秀的互相關特性，而信號之間的相關性大小與PAPR值的大小為正比的關系，相關性越強則PAPR值越大，相關性越小則抑制PAPR性能越好。因此，減小備選信號之間的互相關性，可以更有效地抑制PAPR值。所以聯(lián)合算法對相位因子進行WHT優(yōu)化以降低互相關性，再進行次優(yōu)分層迭代。對于聯(lián)合次優(yōu)分層迭代PTS和WHT的具體處理方式如圖2所示。

圖2 WHT聯(lián)合次優(yōu)分層迭代PTS算法原理框圖

子載波數量為的輸入信號分割成個子塊，用個階Hadamard矩陣的每行作為加權系數對個相位因子進行擾碼，再用個優(yōu)化后的相位因子作為加權系數進行次優(yōu)分層迭代。同時將個相位因子對應的行Hadamard矩陣的行序號作為輔助信息發(fā)送給接收端，以減少信號傳輸所需要的輔助信息比特數，提高頻帶利用率。接收端根據發(fā)送的序號通過查表的方式找到對應行序號的加權系數，恢復原信號。算法的流程圖如圖3所示。

圖3 WHT聯(lián)合次優(yōu)分層迭代PTS算法流程圖

3 算法復雜度以及仿真分析

3.1 復雜度分析

表1 運算量對比

為了更加直觀地對比四種算法計算量的大小，取=512，=4，在2，4，8時四種方法加法和乘法的次數對比，如表2所示。并使用CCRR衡量計算量降低程度，其定義為：

表2 V=2，4，8時加法和乘法次數以及CCRR對比

可以看出，在=4，=2，4，8的條件下，次優(yōu)分層迭代PTS相對于傳統(tǒng)的PTS計算量降低程度隨著子塊數量的增加而增加，在始終保持比傳統(tǒng)PTS計算量更低的情況下，當=8時降低程度達到99%以上；聯(lián)合WHT次優(yōu)分層迭代PTS相對于傳統(tǒng)的PTS計算量降低程度也是隨著子塊數量的增加而增加，在=2時，由于相位因子需進行Hadamard矩陣優(yōu)化，計算量相對于傳統(tǒng)PTS較高，但當=8時，計算量降低程度與IPTS和次優(yōu)分層迭代PTS相差不大，也能達到99%以上。

3.2 仿真結果分析

本文在相位因子=4，b={1;-1;1;-1}，子載波數=512，調制方式為QPSK，OFDM符號數為5 000，分割方式為隨機分割法，子塊數量=2，4，8，16的條件下仿真了次優(yōu)分層迭代PTS和聯(lián)合WHT次優(yōu)分層迭代PTS兩種方法抑制峰均比的性能，如圖4所示?？梢钥闯?，兩種改進方法的PAPR都在隨著的不斷增大而降低。相比較之下，聯(lián)合WHT的次優(yōu)分層迭代法比次優(yōu)分層迭代PTS法性能更優(yōu)，例如在=4，CCDF在10處，次優(yōu)分層迭代PTS法的PAPR值為7 dB，聯(lián)合WHT次優(yōu)分層迭代法的PAPR值為6.5 dB，性能提升0.5 dB。而原信號在CCDF為10時，PAPR=10 dB，聯(lián)合WHT次優(yōu)分層迭代法和次優(yōu)分層迭代PTS法PAPR抑制性能分別提升了3.5 dB和3 dB。

圖4 本文兩種算法抑制PAPR性能對比

圖5給出在同樣條件下進行PTS，IPTS，次優(yōu)分層迭代PTS和聯(lián)合WHT次優(yōu)分層迭代PTS抑制PAPR性能的對比?？梢钥闯?，除了在=2時，由于聯(lián)合WHT次優(yōu)分層迭代PTS法是四種方法計算量最大，故性能最優(yōu)，和PTS算法相比有0.2 dB的提升。在其他三種情況下，本文提出的聯(lián)合WHT次優(yōu)分層迭代PTS法和PTS算法相比，性能損失在0.3 dB左右，和IPTS算法相比性能提升2 dB左右。

圖5 V=2，4，8，16時四種算法抑制PAPR性能對比

為了可以更加直觀地對比四種算法抑制PAPR性能，根據仿真結果統(tǒng)計出PAPR大于6 dB時，=2，4，8，16的情況下四種算法的CCDF值，如表3所示。

表3 PAPR大于6 dB時四種算法CCDF值對比

從表3可以清晰看出，四種算法在分割子塊數的提升下，抑制PAPR性能都有明顯增加。IPTS算法雖計算量最低，但在=16，PAPR大于6 dB的信號仍然有76.6%，而WHT聯(lián)合次優(yōu)分層迭代算法將這一比例降低至0.2%。盡管與PTS算法相比仍有些許差距，但相較于IPTS算法，抑制PAPR性能有明顯提升。

4 結 語

本文在IPTS和Hadamard矩陣的基礎上，提出了聯(lián)合WHT次優(yōu)分層迭代PTS算法，并在Matlab中對PTS算法、IPTS算法、次優(yōu)分層迭代PTS算法以及聯(lián)合WHT次優(yōu)分層迭代PTS算法在子塊數量不同的情況下，對其PAPR抑制性能進行仿真。實驗結果表明，和原PTS算法相比，本文提出的算法計算量有顯著下降，性能雖然略有損失但與PTS算法十分貼近。和降低計算量的程度相比，損失的性能在可接受范圍內，適用于對峰均比的限制并不十分嚴格，以及要求計算量較小的環(huán)境中。本文算法對于OFDM通信中抑制峰均比領域具有重要參考價值。