張海進(jìn)，趙艷菊，郭建強(qiáng)，帥仁忠

(中車(chē)青島四方機(jī)車(chē)車(chē)輛股份有限公司，山東 青島 266111)

目前高速列車(chē)車(chē)體大多采用輕量化的鋁合金材料，使得車(chē)體的固有頻率降低。列車(chē)在高速運(yùn)行過(guò)程中車(chē)體不僅受到來(lái)自輪軌的寬頻振動(dòng)激勵(lì)，還受到較大的氣動(dòng)載荷壓力，使車(chē)體產(chǎn)生了較大的振動(dòng)能量[1-2]。因此研究車(chē)體的振動(dòng)特性對(duì)提高乘客的乘坐舒適性有著重要的意義，也為設(shè)計(jì)與優(yōu)化高速列車(chē)車(chē)體提供理論基礎(chǔ)[3-4]。有限元分析是高速列車(chē)車(chē)體設(shè)計(jì)中的重要方法，但由于初始的簡(jiǎn)化假設(shè)、邊界模擬的差異以及非結(jié)構(gòu)構(gòu)件等因素的影響，使得建立的有限元模型總與實(shí)際模型存在差異，造成計(jì)算值和試驗(yàn)測(cè)量值存在一定偏差。結(jié)構(gòu)有限元模型的修正是以試驗(yàn)?zāi)B(tài)的結(jié)果參數(shù)為目標(biāo)，在一定范圍內(nèi)對(duì)有限元模型參數(shù)(如幾何參數(shù)、約束邊界、材料屬性等)進(jìn)行修正，使結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性的理論值更趨于實(shí)測(cè)值[5-6]。高速列車(chē)特殊的雙層薄壁型材結(jié)構(gòu)導(dǎo)致有限元網(wǎng)格多，計(jì)算量大，需要在保證精度的前提下提高計(jì)算效率。張德文 等對(duì)模型修正的理論與方法進(jìn)行了詳細(xì)的闡述[7]；費(fèi)慶國(guó) 等通過(guò)數(shù)值算例對(duì)以模態(tài)參數(shù)為特征量的有限元模型修正技術(shù)進(jìn)行了深入探討[8]；Kenigsbuch et al.選取模態(tài)頻率和模態(tài)振型作為特征量對(duì)6自由度的彈簧質(zhì)量體系進(jìn)行了修正[9]；Mottershead和Friswell在利用模態(tài)參數(shù)進(jìn)行模型修正方面作了大量的研究，分別研究了基于模態(tài)頻率、模態(tài)頻率+模態(tài)振型、模態(tài)頻率+模態(tài)置信度的修正方法[10-11]。

初始有限元建模是有限元模型修正的出發(fā)點(diǎn)，該模型提供了修正的初值，應(yīng)以盡可能小的誤差反映結(jié)構(gòu)的真實(shí)特性。良好的初始有限元模型對(duì)于修正的速度、精度乃至修正的成敗至關(guān)重要。初始有限元模型的誤差分為結(jié)構(gòu)誤差、參數(shù)誤差和階次誤差三類(lèi)[12]。結(jié)構(gòu)誤差可以通過(guò)尋找合理的數(shù)學(xué)模型解決，階次誤差也可以通過(guò)有限元網(wǎng)格離散疏密得到最大限度的縮小。因而有限元模型修正的焦點(diǎn)是怎樣縮小有限元模型和實(shí)際結(jié)構(gòu)之間的參數(shù)誤差[13]。

本文以高速列車(chē)車(chē)體型材為對(duì)象，對(duì)其進(jìn)行有限元建模、模態(tài)計(jì)算，同時(shí)對(duì)其進(jìn)行試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析，將有限元計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，利用基于靈敏度分析的有限元模型修正方法[14-15]，對(duì)型材的有限元模型進(jìn)行修正并進(jìn)行模態(tài)計(jì)算。

1 基于靈敏度分析的有限元模型修正

基于靈敏度分析的參數(shù)型模型修正方法的實(shí)現(xiàn)是一個(gè)迭代的過(guò)程，主要包括以下步驟：初始有限元建模、有限元分析、試驗(yàn)建模及分析、試驗(yàn)振型擴(kuò)充/有限元模型縮聚、相關(guān)分析、誤差定位/參數(shù)選擇、靈敏度及殘差分析、修正量求解、收斂判斷、質(zhì)量檢驗(yàn)等。已知結(jié)構(gòu)的有限元模型共有n個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)，其中前m個(gè)為待修正的參數(shù)，則設(shè)計(jì)參數(shù)p可以表示為：

(1)

結(jié)構(gòu)的總體剛度陣K和質(zhì)量陣M可以用設(shè)計(jì)參數(shù)p的函數(shù)表達(dá)：

(2)

則對(duì)應(yīng)的特征量可以表示為設(shè)計(jì)參數(shù)的函數(shù)：

f=F(K,M)=F(fK(p),fM(p))=fp(p)

(3)

式(3)中，f可以是任意的特征量，如模態(tài)頻率、模態(tài)振型等，或者是它們之間的組合。模型修正問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如下的優(yōu)化問(wèn)題：

(4)

式中：fe，fp(p)——分別為結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性的試驗(yàn)值與分析值；

該公司的科學(xué)家通過(guò)“關(guān)閉”大豆中反式脂肪酸基因研發(fā)出這一款轉(zhuǎn)基因大豆。與傳統(tǒng)的大豆相比，這種大豆榨取的豆油含有更多“健康”的脂肪酸，而導(dǎo)致人體膽固醇增多的脂肪酸更少。

R(p)——?dú)埐铐?xiàng)；

VLB，VUB——分別為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)變化的上下限；

Wf——結(jié)構(gòu)各個(gè)特征量之間的加權(quán)矩陣。

通常情況下，fp(p)為設(shè)計(jì)參數(shù)的非線性函數(shù)。為將非線性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性問(wèn)題，在初始設(shè)計(jì)點(diǎn)將fp(p)展開(kāi)成待修正參數(shù)的一階泰勒表達(dá)式：

fp(p)=fp(p0)+SΔp

(5)

其中：

(6)

式中：S——特征量對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度矩陣；

p0——設(shè)計(jì)參數(shù)初始值；

Δp——設(shè)計(jì)參數(shù)的誤差，Δp=p-p0。

WfSΔp=Wf(fe-fp(p0))

(7)

式(7)就是常見(jiàn)的模型修正方程，且是一個(gè)迭代優(yōu)化的過(guò)程。

2 型材有限元模態(tài)計(jì)算和試驗(yàn)?zāi)B(tài)測(cè)試

2.1 型材有限元模型仿真計(jì)算

本文中使用1.5 m×1.2 m的高速列車(chē)車(chē)體用鋁型材進(jìn)行建模仿真計(jì)算及試驗(yàn)?zāi)B(tài)測(cè)試，型材實(shí)際質(zhì)量為35 kg，材料密度取2 800 kg/m3，確保模型總質(zhì)量為35.04 kg。型材及幾何模型如圖1所示。為了比較網(wǎng)格尺寸對(duì)模態(tài)分析結(jié)果的影響，精細(xì)模型的網(wǎng)格為30×20，粗糙模型網(wǎng)格為20×10(圖2)。

圖1 型材及幾何模型

圖2 2種有限元模型(FEM)

對(duì)2種有限元模型進(jìn)行模態(tài)計(jì)算，得到的前14階模態(tài)頻率見(jiàn)表1。從表1中可以看出，隨著階次頻率的增加，有限元精細(xì)模型和粗糙模型的計(jì)算結(jié)果偏差越來(lái)越大。圖3～圖6為2種有限元模型計(jì)算的前4階模態(tài)振型。

表1 FEM精細(xì)模型和粗糙模型模態(tài)計(jì)算結(jié)果

圖3 1階扭轉(zhuǎn)振型

圖4 1階縱彎振型(1.5 m方向)

圖 5 1階橫彎振型(1 m方向)

圖 6 2階扭轉(zhuǎn)振型

2.2 試驗(yàn)?zāi)B(tài)測(cè)試

試驗(yàn)?zāi)B(tài)中橫向和縱向各布置11個(gè)測(cè)點(diǎn)，整個(gè)型材共布置11×11個(gè)測(cè)點(diǎn)，采用移動(dòng)錘擊法進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)測(cè)試，頻率測(cè)試結(jié)果見(jiàn)表2，前4階模態(tài)振型如圖7所示。

表2 試驗(yàn)?zāi)B(tài)(EMA)測(cè)試結(jié)果

圖7 試驗(yàn)?zāi)B(tài)振型

2.3 相關(guān)性分析

根據(jù)有限元模型修正的定義可以看出，無(wú)論哪一種修正方法，都是某種類(lèi)型的有限元分析結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果根據(jù)某種準(zhǔn)則進(jìn)行比較的結(jié)果，因此，模型修正技術(shù)首要考慮的就是理論-試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷南嚓P(guān)性分析。相關(guān)性分析的作用是為了確定計(jì)算分析結(jié)果和試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果的對(duì)應(yīng)關(guān)系和誤差準(zhǔn)則，以便進(jìn)行模態(tài)匹配。模態(tài)匹配的方式除了對(duì)振型進(jìn)行比較、觀察外，還可以利用數(shù)值的手段，例如模態(tài)比例因子(Modal Scale Factor,MSF)和模態(tài)置信度(Modal Assurance Criterion，MAC)。

模態(tài)置信度，也稱為振型相關(guān)系數(shù)，是一個(gè)介于0～1之間的標(biāo)量，如2個(gè)振型向量的MAC值為1，則說(shuō)明2個(gè)振型向量代表的是同一階模態(tài)，為0則代表不同模態(tài)[16]。實(shí)際運(yùn)用時(shí)，MAC是一個(gè)矩陣，好的相關(guān)性要求MAC矩陣的對(duì)角元>70%，非對(duì)角元<10%。對(duì)2種有限元模型和試驗(yàn)?zāi)B(tài)進(jìn)行振型相關(guān)性分析，選擇z向平動(dòng)自由度進(jìn)行MAC計(jì)算，結(jié)果見(jiàn)表3，前14階MAC值三維柱狀圖如圖8所示。

表3 有限元計(jì)算模態(tài)與試驗(yàn)?zāi)B(tài)匹配結(jié)果

圖8 有限元計(jì)算振型與試驗(yàn)振型MAC值匹配三維柱狀圖

在型材的前14階模態(tài)中，有限元計(jì)算結(jié)果和模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果的MAC值都比較高，頻率誤差都在5%以內(nèi)。通過(guò)2種有限元模型計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果的比較可知，粗糙模型的模態(tài)頻率誤差更小，主要原因是粗糙模型在1.5 m方向的單元數(shù)量與試驗(yàn)測(cè)點(diǎn)數(shù)一致，與試驗(yàn)結(jié)果更加接近；采用長(zhǎng)條形的粗糙模型并沒(méi)有降低模態(tài)計(jì)算的精度，因此在大型型材有限元建模中，完全可以采用該方法降低模型單元數(shù)量，從而減小計(jì)算量。

3 有限元模型修正

在模型修正中，當(dāng)特征量選取模態(tài)頻率、模態(tài)頻率+MAC值、模態(tài)頻率+振型來(lái)對(duì)有限元模型進(jìn)行修正時(shí)，如果要求修正以后的有限元模型能夠充分、完整地復(fù)現(xiàn)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，而且能夠保證修正后的各階振型保持正交，角度盡可能的大，那么特征量選擇模態(tài)頻率+MAC值修正的效果最好[12]。為了便于模型修正，將初始有限元模型進(jìn)行修改，建立預(yù)修正模型。將型材的上下兩層和中間層、焊縫層以及直筋分別采用不同的材料進(jìn)行描述，將5個(gè)材料的彈性模量作為待修正參數(shù)，選擇前14階頻率及對(duì)應(yīng)的MAC值作為修正目標(biāo)，采用QP優(yōu)化方法進(jìn)行迭代。E1～E5表示型材5種材料的彈性模量，為5個(gè)待修正參數(shù)，迭代修正結(jié)果如圖9所示。從圖9中可知，各參數(shù)迭代大約25步后基本收斂。

圖9 參數(shù)修正迭代收斂圖

同樣對(duì)前14階目標(biāo)頻率殘差采用QP優(yōu)化方法進(jìn)行迭代修正，結(jié)果如圖10所示。從圖10中可以看出，各階頻率殘差在迭代20步以后基本趨于收斂，誤差最大的為第1階模態(tài)頻率殘差，收斂后最大誤差為-3.2%左右。各階修正目標(biāo)MAC值迭代結(jié)果如圖11所示。從圖11中可以看出，迭代修正過(guò)程中，除12階MAC值略有降低外，其他各階MAC值均有明顯提高。

圖10 各階模態(tài)頻率收斂情況

圖11 各階MAC值收斂情況

將有限元粗糙模型修正前后的MAC值與頻率誤差比較結(jié)果列于表4中。從比較結(jié)果可知，有限元模型頻率初始誤差最大為-3.44%，絕對(duì)平均誤差為1.47%，修正后最大為-3.23%，絕對(duì)平均誤差為0.82%；MAC值基本都有所提高，均值從修正前的0.95提高到修正后的0.96。

表4 粗糙模型修正前后有限元計(jì)算模態(tài)與試驗(yàn)?zāi)B(tài)匹配結(jié)果

續(xù)表4

4 結(jié)論

(1) 本文對(duì)高速列車(chē)車(chē)體型材進(jìn)行了2種不同的有限元模態(tài)計(jì)算，并對(duì)車(chē)體型材進(jìn)行了試驗(yàn)?zāi)B(tài)測(cè)試。將2種有限元模態(tài)計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)?zāi)B(tài)測(cè)試結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，由于粗糙模型在1.5 m方向的單元數(shù)量與試驗(yàn)測(cè)點(diǎn)數(shù)一致，所以粗糙模型計(jì)算的模態(tài)頻率與試驗(yàn)?zāi)B(tài)測(cè)試結(jié)果更接近。

(2) 采用長(zhǎng)條形單元的粗糙模型進(jìn)行有限元模態(tài)計(jì)算并沒(méi)有降低模態(tài)計(jì)算的精度，因此對(duì)于高速列車(chē)車(chē)體等大型結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分時(shí)，可以采用較為粗糙的單元來(lái)降低有限元模態(tài)分析計(jì)算量。

(3) 利用基于靈敏度分析的有限元模型修正方法對(duì)模型進(jìn)行修正之后，得到了更高精度的等效有限元模型。模型修正后，前14階的頻率絕對(duì)平均誤差均值由1.47%降到0.82%，MAC均值由0.95提高到0.96。可見(jiàn)，經(jīng)過(guò)修正之后得到了更為準(zhǔn)確的有限元模型。