胡榮金，皮家駿，潘世洋，黃永濤，劉曉青

(1. 中鐵水利水電規(guī)劃設(shè)計集團(tuán)有限公司，江西 南昌 330029； 2. 常州工學(xué)院 土木建筑工程學(xué)院，江蘇 常州213032； 3. 河海大學(xué) 水利水電學(xué)院，江蘇 南京 210098)

拱式渡槽一般由樁基礎(chǔ)、承臺、排架、拱及槽身等組成，其中排架、拱和樁屬于梁式結(jié)構(gòu)。在采用有限元分析時，有些研究人員對所有結(jié)構(gòu)一律采用等參單元來模擬[1-2]，由于梁的剛度與斷面幾何尺寸之間是高次非線性關(guān)系，因此需要大量的等參單元才能滿足精度要求。用梁（線）單元模擬排架、拱和樁基等結(jié)構(gòu)，則可以用較少的單元獲得較高的精度，但需實現(xiàn)用梁單元模擬的排架、拱與用等參單元模擬的土體、承臺及槽身之間的轉(zhuǎn)角位移協(xié)調(diào)。廣義位移法為解決這一問題提供了途徑，廣義位移是采用已知節(jié)點位移插值求解所得的未知節(jié)點位移[3]。鐘萬勰等[4-5]較早利用該方法解決了開口薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)分析、不可壓縮材料的有限元分析等問題。廖雄華等[3]應(yīng)用廣義位移法進(jìn)行了土與結(jié)構(gòu)相互作用的計算分析。曹廣德等[6-7]采用基于廣義位移法的三維薄殼單元模擬了水工薄壁結(jié)構(gòu)，提高了計算效率。

廣義位移法中被插值的節(jié)點稱為主節(jié)點，通過插值獲得位移的節(jié)點稱為從節(jié)點。上述文獻(xiàn)中大多將梁、板單元節(jié)點作為主節(jié)點，梁或板上任意節(jié)點作為從節(jié)點。在求解錨桿在邊坡中的加固效應(yīng)、鋼筋對混凝土裂縫限制作用等問題時，通常將錨桿或鋼筋單元作為從節(jié)點來處理[8-14]，錨桿或鋼筋只考慮線位移。將梁單元作為主節(jié)點的梁單元廣義位移法，主要通過梁單元的位移獲得梁表面的廣義位移從而建立與等參單元之間的位移協(xié)調(diào)。這種方法精度高，但當(dāng)需要模擬的梁單元較多時，有限元網(wǎng)格的單元數(shù)會隨之大大增加。將梁單元節(jié)點作為從節(jié)點時，可視梁為埋置于等參單元內(nèi)的單元，故稱之為埋置梁廣義位移法，其網(wǎng)格單元數(shù)可大大減少，計算效率明顯提高，但帶來的問題是如何獲得梁轉(zhuǎn)角的廣義位移及能否保證計算精度。

本文從梁單元節(jié)點作為主節(jié)點的廣義位移公式出發(fā)，推導(dǎo)梁單元節(jié)點作為從節(jié)點時，其轉(zhuǎn)動位移與所埋置等參單元節(jié)點位移之間的埋置梁廣義位移表達(dá)式。通過設(shè)置不同的網(wǎng)格尺寸和地基模量，研究討論梁單元與等參單元之間采用不同主從節(jié)點的計算模式對樁基上拱式渡槽結(jié)構(gòu)分析的適用性，并應(yīng)用于某拱式渡槽的受力分析。

1 梁單元與等參單元之間位移轉(zhuǎn)換的廣義位移法

1.1 梁單元廣義法

將梁單元節(jié)點作為主節(jié)點求解梁內(nèi)任意節(jié)點廣義位移方法簡稱為梁單元廣義位移法。對于局部坐標(biāo)

系下的梁單元，其單元的出口自由度可由式（1）表示：

式中：下標(biāo)A、B分別代表梁單元上的兩個出口端點；u,v,w代表線位移；θ代表轉(zhuǎn)角位移。

梁單元中性軸上任一點i位移可表示為：

式中：Ni為單元形函數(shù)；N′為形函數(shù)對軸向的偏導(dǎo)數(shù)。形函數(shù)表達(dá)式如下：

式中：l為梁的長度。

梁單元中性軸i對應(yīng)截面上任一點j的位移可根據(jù)梁的平面變形假設(shè)表述為：

將式（2）代入式（4）得：

式中：TMA和TMB分 別代表主節(jié)點A和B對應(yīng)節(jié)點j的廣義位移控制矩陣。

1.2 埋置梁廣義位移法梁單元節(jié)點的廣義位移

將埋置于等參單元內(nèi)的梁單元節(jié)點的廣義位移求解方法簡稱為埋置梁廣義位移法。當(dāng)梁單元埋置于等參單元內(nèi)時，假定與梁相連處等參單元節(jié)點位于梁內(nèi)（當(dāng)?shù)葏卧叽巛^大時這一假定存在一定誤差），則其位移可以用式（4）表述。當(dāng)式（4）成立時，對式（4）求導(dǎo)，則對任一截面，可建立梁截面上轉(zhuǎn)角位移

設(shè)埋置于等參單元的梁單元節(jié)點集合為：

式中：m為 這類節(jié)點的節(jié)點總數(shù)。對其中任一節(jié)點di可 找出包含該節(jié)點的所有等參單元G：

式中：gi為 包含該節(jié)點的等參單元數(shù)。設(shè)xyz為整體坐標(biāo)系，與節(jié)點di相 連的梁單元的局部坐標(biāo)系xˉyˉzˉ 中的xˉ為梁柱單元的軸向，yˉ和zˉ根 據(jù)梁單元的截面特性參數(shù)定義（主要是根據(jù)慣性矩Iy、Iz選定）。設(shè)局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換矩陣為R：

式中：n為 單元ej的節(jié)點總數(shù)。

節(jié)點di的 轉(zhuǎn)動位移可表示成單元ej的節(jié)點位移的線性組合形式，根據(jù)式（5）有：

式中：k=1,2,···,n。

節(jié)點的平均平動位移和平均角位移為：

因為對整個系統(tǒng)的求解必須在整體坐標(biāo)系下進(jìn)行，故式（13）、（14）可轉(zhuǎn)換成整體坐標(biāo)下埋置于等參單元內(nèi)的梁單元節(jié)點廣義位移表達(dá)式：

式中：I為單位矩陣。

2 廣義位移法對拱式渡槽受力分析的適用性

對樁基上的拱式渡槽，可以采用梁單元廣義位移法或埋置梁廣義位移法與等參單元組合求解其結(jié)構(gòu)受力。顯然，采用埋置梁廣義位移法求解拱、樁、地基與承臺的共同作用時，承臺及地基的有限元網(wǎng)格剖分更加靈活，但由于采用梁單元模擬拱或樁等結(jié)構(gòu)時，其與等參單元相交或埋置于等參單元內(nèi)的梁節(jié)點位移是由等參單元節(jié)點位移間接求解的，因此等參單元的網(wǎng)格尺寸及剛度對計算結(jié)果的精度均有直接影響。本文構(gòu)建一個渡槽簡化模型，分析其單元網(wǎng)格尺寸及地基模量對計算結(jié)果精度的影響，并研究廣義位移法的適用性。

2.1 模型及計算參數(shù)

為論證梁單元廣義法或埋置梁廣義位移法對樁基上拱式渡槽受力分析的適用性，設(shè)計一個包含樁基礎(chǔ)、承臺及排架的簡化計算模型如圖1和2所示。該模型中排架和樁截面尺寸均為2 m×2 m，樁長20 m，排架高10 m，承臺長×寬×高為10 m×6 m×10 m；地基3個方向計算范圍均取為50 m?？紤]上部渡槽受槽身自重和風(fēng)力作用，排架頂部受豎直向下和橫向200.00 kN的外力作用。地基的彈性模量和泊松比分別取1.8 GPa和0.3，樁、承臺及排架的彈性模量和泊松比均取為30 GPa和0.167。為研究埋置梁廣義位移法適用性，對承臺及地基水平截面上的單元網(wǎng)格分別采用1、2和4 m等3種不同尺寸，其中1 m單元網(wǎng)格如圖1、圖2所示，并考慮了地基模量變化的影響。具體分析步驟如下：

圖1 渡槽簡化模型及網(wǎng)格示意圖（單元尺寸：1 m）Fig. 1 Simplified model and grid diagram of aqueduct(grid size： 1 m)

圖2 排架-承臺-樁基示意及網(wǎng)格圖（1 m網(wǎng)格）Fig. 2 Bent-bearing platform-pile foundation system and grid diagram (1 m grid)

（1）對反映排架及樁實際尺寸的2 m單元網(wǎng)格模型，分別進(jìn)行實體單元有限元法、梁單元廣義位移法和埋置梁廣義位移法計算分析，以此實際尺寸下的解作為模型基準(zhǔn)解。

（2）網(wǎng)格尺寸影響研究：對1和4 m單元網(wǎng)格模型，采用埋置梁廣義位移法進(jìn)行計算分析。通過與基準(zhǔn)解比較，分析網(wǎng)格尺寸對埋置梁廣義位移法計算結(jié)果的影響。

（3）地基模量影響研究：對各種尺寸網(wǎng)格地基取用3種不同模量：18、180和1 800 MPa，分別采用埋置梁廣義位移法或梁單元廣義位移法進(jìn)行計算分析。

（4）分析計算結(jié)果，得到梁單元廣義位移法或埋置梁廣義位移法的適用條件。

2.2 計算結(jié)果及分析

圖3和4 為分別采用梁單元廣義位移法和埋置梁廣義位移法分析2 m單元網(wǎng)格（結(jié)構(gòu)真實尺寸）模型的主要計算結(jié)果。以2 m網(wǎng)格進(jìn)行實體單元計算所得的結(jié)果（圖5），其趨勢與梁單元結(jié)果趨勢一致，在數(shù)值大小上有所不同。

圖3 梁單元廣義法2 m網(wǎng)格模型受力Fig. 3 Force diagram of the 2 m model using the generalized displacement method

圖5 2 m網(wǎng)格實體單元模型受力Fig. 5 Force diagram of the 2 m entity-element model

當(dāng)?shù)鼗Ａ糠謩e為18、180和1 800 MPa時，采用梁單元廣義位移法和埋置梁廣義位移法對1、2和4 m單元網(wǎng)格模型進(jìn)行分析，表1為不同網(wǎng)格尺寸的梁單元在不同地基模量情況下計算結(jié)果的最值。可見，不同單元網(wǎng)格尺寸模型的計算結(jié)果分布一致，僅在數(shù)值大小上有所不同。埋置梁廣義位移法2 m單元網(wǎng)格的計算結(jié)果與梁單元廣義位移法結(jié)果的相對誤差最小，其次為4 m網(wǎng)格，最次為1 m網(wǎng)格。說明當(dāng)單元網(wǎng)格為2 m時，采用埋置梁廣義位移法，既能有效提高計算效率，也可保證計算精度。進(jìn)而可知，地基的單元網(wǎng)格尺寸越接近樁基實際尺寸，所得結(jié)果誤差越小。此外，加密網(wǎng)格對相對誤差的放大效應(yīng)略高于粗網(wǎng)格。

圖4 埋置梁廣義位移法2 m網(wǎng)格模型受力Fig. 4 Force diagram of the 2 m model using the built-in beam generalized displacement method

由表1可知，梁單元廣義位移法和埋置梁廣義位移法對上部排架結(jié)構(gòu)的計算結(jié)果基本一致；下部樁基結(jié)構(gòu)計算結(jié)果的相對誤差隨著地基模量的增大而增大。由于樁一般用于軟土地基加固，因此在分析軟土地基中樁的受力時，可通過采用合理網(wǎng)格尺寸的埋置梁廣義位移法來提高建模和計算效率。

表1 不同單元網(wǎng)格不同地基模量計算結(jié)果最值比較Tab. 1 Comparison of maximum results of different foundation moduli of different element grids

綜合網(wǎng)格尺寸和地基模量影響分析可得：當(dāng)以上部結(jié)構(gòu)的分析為主時，可直接采用埋置梁廣義位移法提高計算效率；當(dāng)需要研究軟基內(nèi)下部結(jié)構(gòu)受力特性時，可采用地基與樁斷面相當(dāng)?shù)挠邢拊W(wǎng)格并結(jié)合埋置梁廣義位移法來進(jìn)行計算分析。

續(xù)表1

3 某拱式渡槽結(jié)構(gòu)受力分析

利用前述渡槽簡化算例的研究結(jié)果，對某拱式渡槽做結(jié)構(gòu)靜力分析。某連拱多跨渡槽采用9孔60 m寬（單孔）水平簡支梁，渡槽由槽身、排架、拱圈及槽墩等結(jié)構(gòu)組成，槽身過水橫斷面為U形，半徑2.0 m，直墻高3.5 m，側(cè)壁厚0.2 m，底部厚0.4 m，下設(shè)多品排架支撐，排架支撐拱圈上，拱圈采用預(yù)制變截面梁，兩端坐落在槽墩上，底部位于混凝土擴(kuò)大基礎(chǔ)。渡槽示意圖見圖6。根據(jù)渡槽結(jié)構(gòu)圖建立三跨渡槽有限元分析模型如圖7所示，其中排架、拱結(jié)構(gòu)和地基樁采用梁單元模擬，其余部分采用空間六面體單元進(jìn)行離散。X軸為順槽向，以指向渡槽下游為正；Y軸為橫向，以迎風(fēng)面為負(fù)、背風(fēng)面為正；Z軸為豎向，以向上為正。模型共劃分25 879個節(jié)點、20 482個單元，其中，槽身單元2 640個，梁單元271個。渡槽槽身預(yù)制混凝土強(qiáng)度等級為C40，現(xiàn)澆排架柱混凝土強(qiáng)度等級為C25，槽墩混凝土強(qiáng)度等級為C25；地基由上自下分為3層，第1層為壤土，第2層為砂壤土，第3層為巖體。各部分材料參數(shù)見表2。槽內(nèi)加大水深2.93 m，橫向風(fēng)荷載根據(jù)《灌溉與排水渠系建筑物設(shè)計規(guī)范》（SL 482—2011）規(guī)定取值1.2 kPa。計算工況設(shè)置為施工吊裝和滿水位工況。

表2 各結(jié)構(gòu)材料參數(shù)取值Tab. 2 Material parameters of different structures

圖6 60 m拱式渡槽示意Fig. 6 Diagram of 60 m arch aqueduct

圖7 三跨渡槽模型有限元網(wǎng)格Fig. 7 Finite element mesh of three-span aqueduct model

根據(jù)2.2節(jié)研究，由于主要分析上部結(jié)構(gòu)受力且地基彈性模量不高，因此，采用埋置梁單元法對樁基進(jìn)行計算分析，控制樁基部位的地基網(wǎng)格尺寸（邊長）為1.2～2.4 m。

表3為各工況計算結(jié)果最值。圖8為滿水位運行工況下的主要結(jié)果，下面詳細(xì)介紹滿水運行工況下的計算結(jié)果。

圖8 滿水位運行工況下主要計算結(jié)果Fig. 8 Main calculation results under full water level operation condition

表3 各工況計算結(jié)果Tab. 3 Results of different working conditions

（1）滿水位工況整體位移：順槽向最大位移為-10.0 mm，出現(xiàn)在兩側(cè)橋墩頂部。橫向最大位移為4.7 mm，出現(xiàn)在順槽向第3號拱圈上槽身的中部。豎直方向最大的位移為-35.4 mm，出現(xiàn)在順槽向第3號拱圈上槽身的中部。

（2）滿水位工況拱圈結(jié)構(gòu)：拱圈的最大軸力為-5 281.00 kN，最大橫向剪力為-32.00 kN，最大縱向剪力為-4 380.00 kN，均出現(xiàn)在順槽向第3號拱圈的拱端。拱圈的最大扭矩為85.00 kN·m，最大橫向彎矩為2 653.00 kN·m，最大縱向彎矩為140.00 kN·m，均出現(xiàn)在順槽向第3號拱圈的拱端。

（3）滿水位工況樁基結(jié)構(gòu)：樁基的最大軸力為-2 459.00 kN，最大橫向剪力為-169.50 kN，最大縱向剪力為348.00 kN，均出現(xiàn)在順槽向最后一個橋墩下。樁基的最大扭矩為-3.50 kN·m，最大橫向彎矩為588.64 kN·m，最大縱向彎矩為408.00 kN·m。模型兩側(cè)橋墩未設(shè)置外側(cè)的拱圈和槽身結(jié)構(gòu)而受力不對稱，因此導(dǎo)致兩側(cè)橋墩下的樁基結(jié)構(gòu)受力不對稱且最值均出現(xiàn)在順槽向最后一個橋墩下。

在對渡槽進(jìn)行受力分析時，通過合理選用梁單元廣義位移法和埋置梁廣義位移法，可以在保證計算精度的前提下，提高前處理和計算分析的計算效率。另外，由于梁單元分析的自身優(yōu)勢，在后處理時可以直接獲取梁柱結(jié)構(gòu)的結(jié)果分布，簡化了后處理的步驟，進(jìn)一步提高了計算效率。

4 結(jié) 語

本文建立了梁單元節(jié)點作為從節(jié)點時的廣義位移表達(dá)式。從渡槽簡化模型入手，分析了梁單元廣義位移法和埋置梁單元廣義位移法兩種分析方法的計算特性，討論了網(wǎng)格尺寸和地基模量對結(jié)構(gòu)分析的影響。上部結(jié)構(gòu)分析為主時，可直接采用埋置梁廣義位移法提高計算效率；需要研究軟基內(nèi)下部結(jié)構(gòu)受力變化時，可采用地基與樁斷面相當(dāng)?shù)挠邢拊W(wǎng)格并結(jié)合埋置梁廣義位移法來進(jìn)行計算分析。

在某渡槽工程中應(yīng)用埋置梁廣義位移法，進(jìn)一步驗證了本文所提方法在實際工程中的實用性。在渡槽受力分析時，通過合理選用埋置梁廣義位移法，可以在保證計算精度的同時提高計算效率。