汪勢(shì)杰，王 健，代家昆，尤啟龍

（1.國(guó)能長(zhǎng)源湖北新能源有限公司，湖北隨州 432700；2.武漢大學(xué)動(dòng)力與機(jī)械學(xué)院，湖北武漢 430072）

引言

齒輪箱是機(jī)組中故障發(fā)生率最高的部件，故障百分比已超過60%[1]，動(dòng)力學(xué)分析是進(jìn)行齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)狀態(tài)監(jiān)測(cè)與故障診斷的理論基礎(chǔ)。作為齒輪傳動(dòng)的關(guān)鍵參數(shù)，時(shí)變嚙合剛度會(huì)引起顯著的振動(dòng)響應(yīng)特征，因此從嚙合剛度角度出發(fā)對(duì)齒輪振動(dòng)和噪聲的進(jìn)行研究具有重要的意義。

國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者針對(duì)齒輪的動(dòng)力學(xué)和系統(tǒng)響應(yīng)做了很多研究。萬(wàn)志國(guó)等[2]提出了一種考慮齒根圓與基圓不重合時(shí)嚙合剛度求解方法，建立動(dòng)力學(xué)模型并求解。WU 等[3]建立了6 自由度動(dòng)力學(xué)模型，并分析了齒輪剛度隨裂紋程度的變化趨勢(shì)。李亞鵬等[4]針對(duì)提出了改進(jìn)的石川公式，同時(shí)討論了多齒嚙合時(shí)齒輪綜合時(shí)變嚙合剛度的計(jì)算方法。Chen 等[5]提出了一個(gè)融合了齒寬和裂紋深度的裂紋分析模型，以研究齒輪裂紋對(duì)齒輪嚙合剛度的影響。針對(duì)風(fēng)電行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)變速變載的工作特點(diǎn),謝福起等[6]基于風(fēng)速功率譜密度模型，建立系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型。向玲等[7]采用集中參數(shù)模型建立了風(fēng)電齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)平移-扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型，結(jié)合時(shí)間歷程圖、FFT 頻譜圖、相圖、Poincaré 截面圖、分岔圖及最大Lyapunov 指數(shù)圖分析了系統(tǒng)在隨激勵(lì)頻率變化和隨支承剛度變化下的動(dòng)力學(xué)特性。本研究以一級(jí)直齒輪為研究對(duì)象，建立了該齒輪副在齒輪裂紋生長(zhǎng)的不同階段的時(shí)變嚙合剛度模型，并進(jìn)一步建立了具有扭轉(zhuǎn)和橫向振動(dòng)的六自由度動(dòng)力學(xué)模型。通過計(jì)算齒輪裂紋不同生長(zhǎng)階段下系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)，實(shí)現(xiàn)了齒輪裂紋程度與動(dòng)態(tài)響應(yīng)之間的定性匹配，得到了齒輪裂紋故障對(duì)系統(tǒng)傳動(dòng)性能的影響，能夠?yàn)辇X輪副的設(shè)計(jì)和故障診斷提供一定的理論指導(dǎo)。

1 齒輪裂紋狀態(tài)下的時(shí)變嚙合剛度建模

在直齒輪傳動(dòng)中，存在齒輪單雙齒交替嚙合并導(dǎo)致嚙合剛度會(huì)發(fā)生突變，稱為時(shí)變嚙合剛度[8]。齒輪的剛度包含為接觸剛度，彎曲剛度以及徑向剛度。其中，接觸剛度往往通過赫茲理論計(jì)算，而徑向剛度與齒輪的齒廓參數(shù)有關(guān)，這兩者受裂紋的影響較小。

齒輪的裂紋與發(fā)生是一個(gè)緩慢而復(fù)雜的過程，本文在這里對(duì)裂紋的生長(zhǎng)與表征進(jìn)行簡(jiǎn)化建模。假設(shè)齒輪裂紋的拓展方式如圖1 所示，齒輪裂紋從齒根處開始，與齒輪中心線成一夾角v，假設(shè)v 為一常數(shù)。兩段裂紋與齒輪中心線成中心對(duì)稱分布。裂紋的長(zhǎng)度為q1,q1從0 逐漸以0.1 mm 的增量增加到與齒輪中心線相交，這時(shí)，q1的長(zhǎng)度達(dá)到其最大值。根據(jù)假設(shè)，q2的長(zhǎng)度應(yīng)該與q1相同，但是在實(shí)際情況下，齒輪會(huì)在q2沒有達(dá)到最大值時(shí)斷裂，因此，假設(shè)q2最大長(zhǎng)度為q1最大長(zhǎng)度的60%。

圖1 齒根裂紋示意圖

實(shí)際中，齒輪的彎曲剛度剪切剛度較易受裂紋影響。根據(jù)文獻(xiàn)[8]中的結(jié)論，在引入齒根裂紋前后，根據(jù)齒根裂紋發(fā)展的不同階段，可以分為四種情況計(jì)算齒輪副的彎曲剛度Kb和剪切剛度Ks。

2 系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的建模及求解

本章建立了具有扭轉(zhuǎn)和橫向振動(dòng)的單級(jí)齒輪系統(tǒng)模型，包括輸入電機(jī)，負(fù)載電機(jī)，輸入軸，輸出軸，輸入小齒輪，輸出大齒輪。系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型如圖2 所示。該系統(tǒng)由輸入電機(jī)輸入轉(zhuǎn)矩M1進(jìn)行驅(qū)動(dòng)，負(fù)載電機(jī)負(fù)載的轉(zhuǎn)矩為M2?？紤]到本文研究重點(diǎn)為齒根裂紋本身對(duì)齒輪傳動(dòng)造成的影響，因此暫不考慮齒輪對(duì)中潤(rùn)滑與摩擦的影響。

圖2 單級(jí)齒輪系統(tǒng)

Y 方向的小齒輪和大齒輪的位移和轉(zhuǎn)矩方程如下：

輸入電機(jī)和負(fù)載的轉(zhuǎn)矩方程如下：

系統(tǒng)中的力和轉(zhuǎn)矩可以通過下面的等式算出：

在本研究中，由于重點(diǎn)是研究故障下系統(tǒng)的響應(yīng)，因此假設(shè)輸入軸承、彈性聯(lián)軸器的各方向的剛度和阻尼相同。此外，嚙合阻尼系數(shù)ct設(shè)置為與總嚙合剛度kt成正比，即ct=μkt。其中系數(shù)μ 在本研究中設(shè)置為3.99×10-6(s)。齒輪箱系統(tǒng)的其他參數(shù)列于表1 中。

表1 單級(jí)齒輪系統(tǒng)主要參數(shù)

齒輪裂紋的長(zhǎng)度以0.1 mm 的增量從零開始增長(zhǎng)。由于輪齒在裂紋發(fā)展到其全長(zhǎng)之前可能會(huì)突然斷裂，因此假設(shè)最大裂紋水平為80%。圖4 給出了裂紋水平為28%時(shí)嚙合齒輪的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，包含時(shí)域歷程曲線和相圖。圖5 給出了裂紋水平為53%時(shí)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，包含時(shí)域歷程曲線和相圖。圖3 給出了健康狀態(tài)下的齒輪動(dòng)態(tài)響應(yīng)。在圖4 中，故障特征在時(shí)域表現(xiàn)尚不明顯；與健康的齒輪振動(dòng)信號(hào)（0%裂紋）相比，除了振動(dòng)幅值小幅上升外，時(shí)域歷程曲線幾乎完全相同，而僅僅在相圖上表現(xiàn)為更加混沌。然而，隨著裂紋程度的發(fā)展，如圖5 所示，當(dāng)高于40%的齒根裂紋會(huì)使齒輪振動(dòng)信號(hào)產(chǎn)生明顯的變化。隨著裂紋生長(zhǎng)水平的增加，時(shí)域信號(hào)中出現(xiàn)明顯的由裂紋引起的周期性脈沖；該周期性脈沖隨著裂紋的生長(zhǎng)越來(lái)越明顯。此外，由于齒輪裂紋造成的影響在齒輪轉(zhuǎn)一圈時(shí)重復(fù)一次，可以發(fā)現(xiàn)每?jī)蓚€(gè)脈沖之間的持續(xù)時(shí)間等于一個(gè)軸周期。當(dāng)裂紋以及生長(zhǎng)到了后期（裂紋大于50%），系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)產(chǎn)生的故障特征越發(fā)明顯，而且故障處振動(dòng)幅值出現(xiàn)了顯著的增長(zhǎng)。在相圖中，由于齒根裂紋導(dǎo)致的混沌現(xiàn)象更加明顯。

圖3 健康齒輪嚙合的振動(dòng)響應(yīng)及相圖

圖4 齒輪在裂紋生長(zhǎng)水平為28%時(shí)的振動(dòng)響應(yīng)及相圖

圖5 齒輪在裂紋生長(zhǎng)水平為53%的動(dòng)響應(yīng)及相圖

3 結(jié)論

本研究主要研究了一級(jí)直齒輪副在齒輪裂紋生長(zhǎng)的不同階段的時(shí)變嚙合剛度的計(jì)算，以及建立了具有扭轉(zhuǎn)和橫向振動(dòng)的六自由度單級(jí)齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)齒輪裂紋不同生長(zhǎng)階段齒輪y 方向的振動(dòng)響應(yīng)和相圖進(jìn)行了求解。發(fā)現(xiàn)在齒輪裂紋生長(zhǎng)初期（28%裂紋時(shí)），故障特征在時(shí)域表現(xiàn)尚不明顯；與健康的齒輪振動(dòng)信號(hào)（0%裂紋）相比，除了振動(dòng)幅值小幅上升外，時(shí)域歷程曲線幾乎完全相同，而僅僅在相圖上表現(xiàn)為更加混沌。隨著裂紋生長(zhǎng)水平的增加，到齒輪裂紋生長(zhǎng)到中后期（53%裂紋），時(shí)域信號(hào)中出現(xiàn)明顯的由裂紋引起的周期性脈沖；該周期性脈沖隨著裂紋的生長(zhǎng)越來(lái)越明顯。同時(shí)齒根裂紋導(dǎo)致的混沌現(xiàn)象在相圖中表現(xiàn)也更加明顯。