沈 威， 范峻銘， 喬 亮

（深圳市燃?xì)廨斉浼案咝Ю霉こ碳夹g(shù)研究中心, 深圳市燃?xì)饧瘓F(tuán)股份有限公司, 廣東 深圳 518049）

隨著人民生活水平的日益提高，居民對(duì)家庭生活熱水有了新的需求，希望能夠?qū)崿F(xiàn)出水即熱“零等待”。對(duì)于使用普通燃?xì)鉄崴?、即熱式燃?xì)獗趻鞝t等快速燃?xì)鉄崴鞯男粜陀脩?，由于沒(méi)有儲(chǔ)熱水箱，無(wú)法直接安裝生活熱水循環(huán)系統(tǒng)，從而無(wú)法提供即開(kāi)即用的生活熱水，這樣不僅會(huì)浪費(fèi)大量的水資源，而且使用不便，這種不便對(duì)于廚房與衛(wèi)生間布局間隔較遠(yuǎn)的用戶更為明顯。目前的措施僅停留在以經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的改善上，如在熱水管外表包裹保溫材料，或者在熱水器入水口裝設(shè)熱水微循環(huán)泵，構(gòu)建生活熱水循環(huán)系統(tǒng)[1-6]。目前，鮮見(jiàn)從理論上建立燃?xì)鉄崴鼽c(diǎn)火后，相隔較遠(yuǎn)（10 m 左右）熱水管出水溫度隨時(shí)間變化的函數(shù)。事實(shí)上，在熱水器啟動(dòng)并將管里的殘余冷水排完后，熱水管出水溫度隨時(shí)間變化并不是線性的，建立熱水管出水溫度隨時(shí)間變化的函數(shù)模型，并以此為基礎(chǔ)進(jìn)行熱水零等待、冷水零浪費(fèi)優(yōu)化設(shè)計(jì)，是值得探索的課題。

本文通過(guò)建立燃?xì)鉄崴鲝拇蚧瘘c(diǎn)燃到穩(wěn)態(tài)時(shí)浴室出水溫度隨時(shí)間變化的函數(shù)模型，計(jì)算在沒(méi)有循環(huán)泵和管道保溫材料的情況下，流水和燃?xì)獾暮馁M(fèi)情況，并和實(shí)際情況進(jìn)行了對(duì)比。并以此為基礎(chǔ)，在加設(shè)保溫材料和熱水循環(huán)泵的情況下，對(duì)出水即熱時(shí)能量的節(jié)省情況進(jìn)行計(jì)算分析，最后提出了解決問(wèn)題的實(shí)用方案。

1 無(wú)保溫材料和循環(huán)泵情況下出水溫度隨時(shí)間變化函數(shù)的建模計(jì)算

1.1 研究對(duì)象

為簡(jiǎn)化計(jì)算，便于建立模型，進(jìn)行以下設(shè)定：燃?xì)鉄崴靼惭b在廚房，出水溫度設(shè)定為48 ℃不變；浴室龍頭安裝在離廚房最遠(yuǎn)的主臥衛(wèi)生間；燃?xì)鉄崴骱驮∈引堫^用一根鋼水管連接，設(shè)水管為直線型，在墻壁和地板埋設(shè)部分忽略轉(zhuǎn)彎角影響；室溫為25 ℃（298 K）不變，所有條件均在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下運(yùn)行（按照國(guó)家建設(shè)部管網(wǎng)供水壓力服務(wù)規(guī)范要求，城市供水服務(wù)壓力為0.14 MPa）。無(wú)保溫層和循環(huán)泵時(shí)的水流向見(jiàn)圖1，埋在墻體或者地板中的水管橫截剖面圖見(jiàn)圖2，并假設(shè)：（1）無(wú)論鋼管埋設(shè)在墻體內(nèi)，還是樓板內(nèi)，兩側(cè)空氣溫度均為298 K。墻體和樓板的建筑材料相同，均為混凝土材質(zhì)，墻體和樓板的導(dǎo)熱系數(shù)(ks) 均為0.79 W/(m-1·K-1)（25 ℃時(shí)的取值）；（2）墻體、樓板厚度均取0.2 m，管道埋在正中間，和兩側(cè)表面距離相等。以打開(kāi)燃?xì)鉄崴骱鬅崴芾锏睦渌畡偤门艃魰r(shí)的時(shí)間記為t=0。

圖1 無(wú)保溫層和循環(huán)泵時(shí)的水流向Fig.1 Current direction without insulation layer and circulating pump

圖2 埋在墻體中的水管橫截剖面圖Fig.2 Cross-section of water pipe buried in the wall

圖3 為微元控制容積傳熱示意圖。根據(jù)熱力學(xué)第一定律，在Δt時(shí)間內(nèi)儲(chǔ)存在控制容積內(nèi)的能量增量，必定等于進(jìn)出控制容積的能量之差。本研究對(duì)象中的控制容積為圖3 中虛線所示的一段圓柱體，長(zhǎng)dx，管道內(nèi)徑為Di，管道外徑為Do。

圖3 微元控制容積傳熱示意圖Fig.3 Schematic diagram of the microelement control volume heat transfer

1.2 達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)的熱傳導(dǎo)

達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，水管各處的水溫保持不變，對(duì)圖3中的微元控制容積進(jìn)行分析，有：

適用于水管水流中微元控制容積的傳熱方程為：

寫(xiě)成微分形式為：

微元控制容積從水管中向外傳遞熱量，由3 部分組成，分別是水和水管內(nèi)壁的對(duì)流換熱、水管內(nèi)外壁的熱傳導(dǎo)，水管外壁和墻壁之間的熱傳導(dǎo)，墻壁和空氣之間的對(duì)流換熱，則：

式中Rconv為管內(nèi)水流與管壁之間的對(duì)流換熱熱阻，K/W；Rcond,i為水管的導(dǎo)熱熱阻，K/W；Rcond,s為從水管外管壁到墻壁表面的熱阻，K/W；Rcond,e為樓板表面與大氣的對(duì)流換熱熱阻，K/W。

于是：

假設(shè)水管埋在墻壁中間，與墻壁的兩個(gè)表面距離相等，且這個(gè)距離z遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于水管半徑r，水管長(zhǎng)度Lz，那么查表可得[8]：

式中z為墻體中的熱水管中心軸線到墻壁之間的距離，參考值為0.1 m。

將式（6）代入式（5）可得：

式中，由于樓板長(zhǎng)度Le!1 ，那么可認(rèn)為!0 ，式（7）簡(jiǎn)化為：

由式（3）和式（7）可得：

燃?xì)鉄崴鳠崴隹诘剿堫^出水口積分可得：

為計(jì)算給定條件下的Tm,o，首先應(yīng)該確定換熱系數(shù)。由于熱水器出水溫度為48 ℃，因此，取48 ℃時(shí)水的物性參數(shù)。

由雷諾公式[9]可得：

聯(lián)立式（12）和式（13）可得Re=1.19×104。

由于水的普朗特?cái)?shù)(Pr)為3.54[7]，可以確定水管內(nèi)水的流動(dòng)狀態(tài)為湍流。且滿足條件Re為104～1.2×105，Pr為0.7～120，L/Di≥60，因此，對(duì)于Pr>0.6 的常規(guī)流體，可用最普遍的Dittus-Boelter 公式[7]：

式中：Nuf為努塞爾數(shù)，量綱為—。

由于流體加熱時(shí)，n=0.4；流體冷卻時(shí)，n=0.3。本文管道內(nèi)的水處于冷卻狀態(tài)，因此取n=0.3。

將已知參數(shù)代入式（14），可計(jì)算得到出水管內(nèi)水的努塞爾數(shù)為61.22。

根據(jù)計(jì)算式（其中k為水的導(dǎo)熱系數(shù)，48 ℃時(shí)參考值為0.648 W/(m·K)）：

求得h=1653 W/(m2·K) ，代入式（8）得=0.44 km/W ，代入式（11）得Tm,o=320.0 K ，即為燃?xì)鉄崴鼽c(diǎn)火后，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的出水溫度47 ℃（從理論上講，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的該溫度需要的時(shí)間為無(wú)窮大）。

調(diào)節(jié)燃?xì)鉄崴鞯臒崴疁囟确謩e為45、50、55、60 ℃，同理分別計(jì)算浴室熱水管穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的出水溫度，結(jié)果列于表1?？梢钥闯鰺崴芊€(wěn)定狀態(tài)時(shí)的出水溫度和熱水器的設(shè)定溫度呈線性關(guān)系。

表1 浴室熱水管出水溫度隨燃?xì)鉄崴鞒鏊疁囟鹊淖兓疶able1 Outlet temperature changes of bath hot pipe with the gas water heater

由式（10）可以看出，改變積分的上限值，可以得到熱水管任意一處的水溫。管道長(zhǎng)度x處的溫度和x呈指數(shù)關(guān)系變化，即

1.3 從熱水管中冷水排凈開(kāi)始非穩(wěn)態(tài)時(shí)的熱傳導(dǎo)

在打開(kāi)燃?xì)鉄崴骱?，設(shè)定熱水管里的冷水剛好排凈時(shí)為起始時(shí)間t=0，排凈冷水的時(shí)間為t0=L/ω，為了求出非穩(wěn)態(tài)時(shí)出水口溫度隨時(shí)間變化的函數(shù)，引入平均溫度()的概念。

根據(jù)式（16），令a=Tm,i-Ts，b=Ts， β =，則在t時(shí)刻，沿管道長(zhǎng)度x處的水溫可以表示為：

由已知條件：x=0 時(shí)，T(x)=321 K ，即a+b=321 ；Ts即b為 2 98 K ，那么式（18）可以寫(xiě)為

代入式（17）中得：

式中 β 為時(shí)間t的函數(shù)，可以記為 β =f(t) ，或者其反函數(shù)t=f-1(β) 。

對(duì)于從燃?xì)鉄崴鞒鏊诘皆∈覠崴堫^這段水管，從打開(kāi)燃?xì)鉄崴鏖_(kāi)始直至冷水排凈，最后達(dá)到穩(wěn)定態(tài)時(shí)，水管內(nèi)的平均溫度不斷增加。那么取整段熱水管為控制體積，有

式（20）寫(xiě)成微分形式，有

式中：T0為燃?xì)鉄崴鞯脑O(shè)定出水溫度，T0=321 K ；TL為浴室龍頭出水溫度，TL= 2 3e-10β+298 ，K；Ts為大氣環(huán)境溫度，取值25 ℃或298 K。

代入已知數(shù)據(jù)并簡(jiǎn)化為

其中，邊界條件由TL=23e-10β+298 來(lái)確定：

（1）t=0 時(shí)，TL=298 K ，因此 β !1 ；

（2）t!1 時(shí)，TL=320 K ， β =0.004 45 。

微分方程（22）右邊函數(shù)為非初等函數(shù)，無(wú)法以常規(guī)的方法或者數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行積分，因此考慮采用插值擬合的方法在一定區(qū)域內(nèi)求近似解。將式（22）看成是t=f-10(β) 的導(dǎo)數(shù)，即t0==f-10(β) ，在區(qū)間[0.01，0.2]內(nèi)取18 個(gè)數(shù)值，代入式（22），得到與t0相對(duì)應(yīng)的18 個(gè)值。以β為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)，用Excel 繪制得到曲線圖（圖4），用Excel 進(jìn)行曲線擬合，得到在區(qū)間[0.01,0.2]的模擬曲線方程為y=8.3241x-1.266，擬合優(yōu)度為R2=0.998 1，即在此區(qū)間內(nèi)，誤差小于0.2%。那么式（22）可以簡(jiǎn)化為：

圖4 方程 的插值擬合曲線圖Fig.4 Interpolated fit plots of equation

對(duì)式（23）積分可得

由初始條件 β !1 和t=0 ，得C=0

那么此時(shí)式（24）可以表示為：

求反函數(shù)得到

代入溫度公式（19），得到燃?xì)鉄崴髟O(shè)定出水溫度為48 ℃時(shí)，浴室熱水管中冷水排凈后出水溫度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為

同理，計(jì)算得到當(dāng)燃?xì)鉄崴鞯脑O(shè)定出水溫度分別為45、50、55 ℃時(shí)，浴室熱水管中冷水排凈后出水溫度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，分別如式（26）～式（28）所示，變化曲線圖如圖5 所示。

圖5 熱水管出水溫度隨時(shí)間變化的曲線圖Fig.5 Graph of the outlet temperature of hot water pipe over time

T0= 45 ℃時(shí)：

可以看出，此溫度變化的曲線與實(shí)際情況吻合很好，0～40 s 為蓄熱期，水管出水溫度始終保持在25 ℃，并且?guī)缀鯖](méi)有變化；40～100 s 為溫度拉升期，溫度急劇上升，達(dá)到接近穩(wěn)態(tài)溫度的水平；100 s 以后為溫度平穩(wěn)期，溫度緩慢上升，無(wú)限接近穩(wěn)態(tài)溫度。由圖5 還可以看出，提高燃?xì)鉄崴鞯脑O(shè)定出水溫度，并不能改變蓄熱期的時(shí)間，但是能夠顯著改變溫度拉升期的升溫速度，較快達(dá)到沐浴所需的最低溫度。

根據(jù)式（25）～式（28），時(shí)刻t一定時(shí)，熱水管道任意x處的溫度（以T0= 48 ℃為例）為：

2 實(shí)現(xiàn)熱水零等待的優(yōu)化設(shè)計(jì)

由圖5 可以看出，將熱水管里的冷水排凈后，還需等待40 s 水溫才會(huì)明顯上升，如果再加上排凈冷水的時(shí)間t0，等待時(shí)間會(huì)更長(zhǎng)。

為了縮短等待時(shí)間和節(jié)約用水，可以在熱水管外壁包裹一層絕熱保溫材料，以及在燃?xì)鉄崴鬟M(jìn)水口安裝一個(gè)熱水循環(huán)泵，并增加一個(gè)回水管（這兩種方法僅限于新建或者新裝修的住宅）。如圖6 所示，該系統(tǒng)的操作方法及原理如下：用水前，打開(kāi)熱水循環(huán)泵P，熱水循環(huán)泵自動(dòng)檢測(cè)進(jìn)入循環(huán)泵的水溫T，若T小于設(shè)定的溫度T0，那么，閥門A 關(guān)閉，閥門B 打開(kāi)，熱水管和回水管及燃?xì)鉄崴餍纬梢粋€(gè)閉合的回路（圖中紅色線形成的回路），在水泵P 的作用下按圖示方向循環(huán)流動(dòng)，同時(shí)熱水器開(kāi)啟加熱回路中的水，直到水泵P 檢測(cè)到回水管的水溫達(dá)到設(shè)定的溫度T0，那么閥門B 關(guān)閉，閥門A 打開(kāi)，水路不再循環(huán)。之后冷水從閥門A 進(jìn)入燃?xì)鉄崴?，熱水從燃?xì)鉄崴鞒鏊诹鞒?，此時(shí)打開(kāi)浴室閥門龍頭即可得到需要的熱水。

圖6 增加熱水循環(huán)泵的燃?xì)鉄崴鞴┧到y(tǒng)示意圖Fig.6 Schematic diagram of gas water supply system for adding hot water circulation pump

設(shè)浴室出水管在整個(gè)熱水管路的最末端（離熱水器最遠(yuǎn)），那么增加的回水管也是從熱水管的最末端開(kāi)始，長(zhǎng)度為10 m。由于熱水器出水溫度保持不變，始終為48 ℃，可以看出，在沒(méi)有增加熱水管保溫材料情況下，增加了循環(huán)泵之后，等待的時(shí)間取決于循環(huán)泵的抽水速度。如果抽水速度，則等待時(shí)間會(huì)縮短；如果抽水速度，則等待時(shí)間不變，也應(yīng)該為77 s，但是卻避免了水資源的浪費(fèi)，在等待77 s 之后，打開(kāi)水龍頭即可得到熱水。

若在熱水管外壁包裹一層保溫材料（假設(shè)保溫材料為膨脹珍珠巖散料，其導(dǎo)熱系數(shù)為 0.021W/(m·K)[5]，那么由于保溫材料的導(dǎo)熱系數(shù)足夠小，可以視為絕熱[10-12]。對(duì)于鋼管而言：

式中：Bi為熱水管傳熱的畢渥數(shù)，量綱為一；h為水管水流與管壁間的換熱系數(shù)，W/(m2·K)； δ 為水管壁厚度，m。

由于Bi≤0.1 ，因此1.3 節(jié)中的非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)推理將不再適用，可采用集中參數(shù)法（集總熱容法）對(duì)水管傳熱進(jìn)行分析[7-10]。由于管壁的厚度比其內(nèi)外徑和長(zhǎng)度小得多，因此可合理認(rèn)為傳熱只發(fā)生在徑向上，軸向傳熱可忽略不計(jì)。同時(shí)，根據(jù)集總熱容法的算法要求，x坐標(biāo)軸徑向上管內(nèi)壁和外壁之間任一處溫度相同，無(wú)溫度梯度。

圖7 所示為增加保溫層的熱水管傳熱分析示意圖。在打開(kāi)熱水器時(shí)，取最先流出的一段微小水柱Δx1進(jìn)行分析。雖然在從熱水管起始端流到浴室水龍頭末端時(shí)， Δx1水柱的管壁外表面空氣溫度始終為25 ℃ ，但是由于不停地和管壁進(jìn)行換熱而導(dǎo)致溫度不斷降低。設(shè)t時(shí)刻， Δx1水柱的溫度為Tt1，那么有：

圖7 增加保溫層的熱水管傳熱分析示意圖Fig.7 Schematic diagram of heat transfer analysis of adding insulation layer

式中 ：As為 Δx1水柱與水管內(nèi)壁接觸的環(huán)面積，m2；為水對(duì)管壁的換熱系數(shù)，W/(m2·K)，根據(jù)式（15）的計(jì)算結(jié)果取 1 653 W/(m2·K) ；U為 Δx1水柱的熱能，J；V為 Δx1水柱的體積，m3。

式（30）進(jìn)一步細(xì)化為：

整理得：

積分得：

式中：tΔ為 Δx1水柱從熱水管起始端流入到末端所需時(shí)間，tΔ=t0，由前述t0=L/ω 得t0=36.3 s ；TΔ1為Δx1水柱從熱水管起始端流入到末端時(shí)的溫度，K；T0為 Δx1水柱的起始溫度48 ℃。

式（31）進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：

代入數(shù)據(jù)后得到：

由表達(dá)式可以看出，在熱水管外壁包裹一層保溫材料后，打開(kāi)燃?xì)鉄崴?，放掉所有的冷水后（用時(shí)36.3 s），理論上出水溫度會(huì)立即上升到27 ℃，此后溫度進(jìn)入拉升區(qū)，溫度會(huì)迅速上升，而不會(huì)像圖5（未加保溫層）那樣有一個(gè)蓄熱期，從而大大減少了等待時(shí)間和流水浪費(fèi)。安裝循環(huán)泵之后，如果抽水速率和水管中水流速率相同時(shí)，只需等待36.3 s 后，即可得到熱水，也不會(huì)造成水的浪費(fèi)。

由以上計(jì)算結(jié)果可以看出，要縮短熱水等待時(shí)間，節(jié)約流水，可以從以下幾個(gè)方面入手：（1）提高燃?xì)鉄崴鞒鏊疁囟龋?（2）縮短燃?xì)鉄崴鞯皆∈引堫^的水管長(zhǎng)度；（3）熱水管道加裝保溫材料；（4）加快熱水循環(huán)泵的抽水速度；（5）一直開(kāi)啟循環(huán)泵，在不用水的情況下保持燃?xì)鉄崴鏖_(kāi)啟和熱水管內(nèi)的水循環(huán)。

對(duì)于老舊住宅，或者已裝修好的家用燃?xì)庀到y(tǒng)，比較好的方法是在浴室安裝一個(gè)小型速熱電熱水器（如圖8 所示）。打開(kāi)燃?xì)鉄崴鲿r(shí)，電熱水器首先檢測(cè)進(jìn)入該熱水器的水溫，若水溫低于設(shè)定溫度（如42 ℃），則電熱水器開(kāi)始工作，此時(shí)出水即熱，直到電熱水器檢測(cè)到燃?xì)鉄崴鹘?jīng)熱水管道輸入的熱水溫度達(dá)到42 ℃，電熱水器關(guān)閉，可實(shí)現(xiàn)熱水零等待。

圖8 燃?xì)鉄崴骱退贌嵝碗姛崴髌ヅ涫褂檬疽鈭DFig.8 Schematic diagram of the matching use of gas water heater and fast-heat electric water heater

3 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)理論模擬計(jì)算，得出熱水管安裝絕熱保溫材料和燃?xì)鉄崴靼惭b循環(huán)泵的經(jīng)濟(jì)性和重要性，其亮點(diǎn)在于：

（1）建立了從打開(kāi)燃?xì)鉄崴鏖_(kāi)始到穩(wěn)態(tài)傳熱時(shí)水管熱傳導(dǎo)的數(shù)學(xué)模型，以及微元控制體積的微分方程，得到最終出水溫度表達(dá)式。

（2）建立了燃?xì)鉄崴鞯姆欠€(wěn)態(tài)水管熱傳導(dǎo)數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)出熱水管出水溫度的微分方程，并用插值擬合法對(duì)該非方程進(jìn)行積分求解，得到出水溫度隨時(shí)間變化的函數(shù)，模擬結(jié)果與實(shí)際情況非常吻合。

（3）計(jì)算了在包裹絕熱保溫材料時(shí)，浴室熱水等待時(shí)間，以及經(jīng)濟(jì)性比較。

（4）比較了當(dāng)同時(shí)使用保溫材料和熱水循環(huán)泵時(shí)，節(jié)水情況和熱水等待時(shí)間，表明安裝熱水循環(huán)泵既能夠增加抽水速度，又能大大減少熱水等待時(shí)間。

（5）提出實(shí)現(xiàn)熱水零等待的最終解決方案。