金 焱，楊 敏

(南京郵電大學(xué) 自動化學(xué)院、人工智能學(xué)院，江蘇 南京 210023)

0 引 言

相位恢復(fù)(phase retrieval，pr)是在信號的相位信息缺失的情況下，利用信號的振幅或強度信息復(fù)原相位信息，從而恢復(fù)出完整圖像信息的技術(shù)。因為傳統(tǒng)相位恢復(fù)算法通常使用正反傅里葉變換反復(fù)迭代恢復(fù)出丟失的相位。但是隨著壓縮感知技術(shù)的流行，眾多算法開始使用各種先驗知識結(jié)合迭代算法實現(xiàn)恢復(fù)效果。傳統(tǒng)的算法包括使用稀釋、平滑等先驗結(jié)合交替映射、半正定松弛進行恢復(fù)，但是這類算法通常只能對特定噪聲魯棒。

將先驗知識引入相位恢復(fù)的另一種方式是使用模型重構(gòu)[1]構(gòu)建正則化模型。通過融合數(shù)據(jù)保真項和蘊含圖像先驗知識的正則化項建立pr優(yōu)化問題，使用優(yōu)化算法進行求解。此類算法根據(jù)噪聲不同的分布構(gòu)建數(shù)據(jù)保真項，因此通常對不同的噪聲都具有魯棒性。正則化模型將圖像先驗融入迭代過程，從而提高重建質(zhì)量和迭代速度。例如即插即用先驗[2](plug-and-play priors，PnP)和去噪正則化[3](regularization by denoising，RED)等基于去噪器先驗的正則化模型。由于先進去噪器應(yīng)用成熟且廣泛，該類方法潛力巨大。例如Bm3d-prgamp[4]算法融合數(shù)據(jù)保真項與PnP模型和BM3D[5]相結(jié)合的正則化項，求解對應(yīng)的優(yōu)化問題。但是傳統(tǒng)的去噪器表征能力不足，限制了基于去噪器先驗的正則化模型的重建效果。

卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(convolutional neural networks，CNN)解決了傳統(tǒng)去噪器先驗表征能力不足的問題。深度學(xué)習(xí)的快速發(fā)展為解決各類逆問題提供了全新的視角：許多精心設(shè)計的網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)在應(yīng)用中都具有最先進的性能[6-8]。CNN去噪器先驗廣泛應(yīng)用于各類不適定圖像恢復(fù)問題[9]。在相位恢復(fù)問題中，目前提出的prDeep[10]恢復(fù)算法使用DnCNN[11]與去噪正則化模型結(jié)合。綜合了模型優(yōu)化算法的靈活性和泛用性、判別式學(xué)習(xí)對復(fù)雜先驗的強的優(yōu)勢，對噪聲魯棒性強且應(yīng)用廣泛。但是由于DnCNN對不同噪聲等級泛用性不是很好，恢復(fù)過程依賴多次多套參數(shù)的迭代，限制迭代效率的進一步提升。

針對上述恢復(fù)算法中存在的問題，該文提出了一種使用FFDNet[12]網(wǎng)絡(luò)作為去噪器先驗結(jié)合去噪正則化模型的恢復(fù)算法。FFDNet網(wǎng)絡(luò)具有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)強大表征能力，同時提高了對復(fù)雜噪聲的處理能力，使用圖像下采樣作為輸入?yún)?shù)的方式保證了結(jié)果精度和網(wǎng)絡(luò)效率，提高了改進算法的噪聲魯棒性，提高了重構(gòu)質(zhì)量以及迭代效率。

1 使用去噪正則化構(gòu)建優(yōu)化模型

使用各式先驗知識解決圖像不適定問題已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用。相位恢復(fù)問題通?？梢詷?gòu)建成如下的優(yōu)化模型。

(1)

其中，x∈Rn或x∈Cn，l(x)表示數(shù)據(jù)保真項，s(x)表示正則化項。構(gòu)建優(yōu)化模型依賴數(shù)據(jù)保真項和正則化項的實現(xiàn)。下面兩小節(jié)分別介紹文中算法對這兩項的具體實現(xiàn)。

1.1 模型重建中數(shù)據(jù)保真項的實現(xiàn)

在圖像處理中，問題的解往往不唯一，所以不適定性相當(dāng)常見。一般描述如下：

y=Hx+e

(2)

其中，H表示系統(tǒng)的測量矩陣，e表示系統(tǒng)噪聲。相位恢復(fù)系統(tǒng)通?？梢悦枋鰹橄到y(tǒng)的前向算子作用于輸入圖像，并對輸出向量取模的結(jié)果。其觀測矩陣為非線性映射，可將式(2)替換為：

y=|Ax|+e

(3)

其中，A表示測量系統(tǒng)的前向算子，| · |表示對向量中的每一項取模。將該描述引入式(1)中的數(shù)據(jù)保真項，得到如下的關(guān)于輸入項x的優(yōu)化模型：

(4)

解決此類不適定性問題需要用正則化模型引入先驗知識，傳統(tǒng)方法如Bm3d-prgamp使用PnP模型構(gòu)建正則化項，該文使用RED模型構(gòu)建，1.2節(jié)詳細闡述RED原理，并比較PnP和RED二者的優(yōu)劣。

1.2 去噪正則化

RED使用圖像自適應(yīng)拉普拉斯，依賴平滑約束實現(xiàn)對任意的逆問題建立正則化項。正則化項描述如下：

(5)

其中，f(·)表示去噪器，也就是第1節(jié)中去噪器所引入的位置。

正則化項主要由原始圖像和去噪后的殘差的內(nèi)積組成。作為先驗表達式，帶入可能的原始圖像應(yīng)當(dāng)獲得較低的值。為了滿足該正則化項的最小化，帶入RED的原始圖像x必須滿足以下兩個條件之一：x-f(x)趨向于0，即噪聲殘差相對較小，圖像x在去噪模型f(·)的解附近。xT[x-f(x)]趨向于0，x與去噪殘差的互相關(guān)性較小，即噪聲更傾向于與x非相關(guān)的白噪聲等。

RED對去噪器有所要求。插入RED的去噪器需滿足兩個要求：局部同質(zhì)性和強被動性。強被動性要求去噪器的雅各比矩陣的譜半徑小于等于1，確保迭代的收斂性：

η(xf(x))≤1

(6)

同質(zhì)性要求去噪器對于任意的正數(shù)c≥0，滿足f(cx)=cf(x)，即圖像先縮放再去噪的結(jié)果應(yīng)與先去噪再縮放的結(jié)果一致。

雖然RED對去噪器有所要求，但是絕大多數(shù)的去噪器基本都能滿足。而且由于RED對去噪器的同質(zhì)性要求，使其在迭代方面優(yōu)于PnP。首先RED在迭代算法上不依賴于ADMM算法。根據(jù)RED的同質(zhì)性要求，可推導(dǎo)出如下等式：

(7)

因此，去噪器f(x)有如下等式：

f(x)=xf(x)x

(8)

于是RED目標(biāo)函數(shù)的梯度可以通過如下方式求解：

(9)

(10)

其中，式(9)表示RED的目標(biāo)函數(shù)。將式(8)引入式(10)可以得到：

(11)

根據(jù)式(11)，以梯度下降法為例，RED的迭代公式如下：

xk+1=xk-μ{x(y,x)+λ[x-f(x)]}

(12)

由此可見，不同于PnP模型，RED不僅可以使用ADMM做優(yōu)化，也可以使用傳統(tǒng)的優(yōu)化算法提高迭代速度，且可以獲得確定的迭代公式。相關(guān)工作表明[13-15]，RED模型對各類去噪器先驗普遍具有適用性，在圖像恢復(fù)框架中是最先進的模型之一，并且與深度圖像先驗結(jié)合的研究中擁有更好的恢復(fù)效果[16]。

2 FFDNet去噪器先驗

RED模型為引入去噪器先驗確定下框架基礎(chǔ)。利用迭代公式(12)，可以將其中的f(x)替換成各種去噪器先驗，而不同的去噪器也會帶來不一樣的恢復(fù)效果。Christopher A. Metzler等人結(jié)合RED與DnCNN，提出prDeep算法解決相位恢復(fù)問題。該文將prDeep與BM3D-prGAMP進行對比，結(jié)果顯示prDeep具有更好的PSNR指標(biāo)。相關(guān)研究表明，使用卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為去噪器先驗與RED模型結(jié)合可以獲得更好的恢復(fù)效果。

DnCNN作為去噪器先驗廣泛應(yīng)用于各種圖像逆問題，其結(jié)構(gòu)如圖1所示，整個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)共17或者20層。第一層使用3×3的卷積核并以零填充(no padding)的方式進行卷積運算，之后使用ReLU非線性激活運算獲得第一層的圖像輸出。之后的每一層都在卷積運算和ReLU非線性激活運算中使用批量歸一化(batch normalization，BN)，最后一層只用卷積獲得圖像最終的殘差結(jié)果。

圖1 DnCNN結(jié)構(gòu)

DnCNN創(chuàng)造性地使用殘差學(xué)習(xí)與批量歸一化訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)，使得網(wǎng)絡(luò)較深時仍然有較快的收斂速度。在傳統(tǒng)CNN中通常使用SGD(隨機梯度下降法)訓(xùn)練，但是受內(nèi)部協(xié)變量偏移的影響，訓(xùn)練速度會變慢。BN在激活函數(shù)進行非線性處理之前加入歸一化處理，避免層輸入逐漸偏移導(dǎo)致激活函數(shù)的取值接近上下限，從而發(fā)生反向傳播時梯度消失的情況[17]。CNN的訓(xùn)練常使用mini-batch，BN通過計算mini-batch的均值和方差再將其歸一化。對于一個d維輸入x={x1,x2,…,xd}，將每一項歸一化：

(13)

(14)

最終將yk作為結(jié)果傳播到網(wǎng)絡(luò)的其他層。而殘差學(xué)習(xí)又解決了深層網(wǎng)絡(luò)引起的收斂困難以及性能退化的問題[18]，二者相輔相成，使得DnCNN具有良好的去噪效果。

但是DnCNN仍存在一些缺陷，對不同噪聲類型和等級自適應(yīng)性差。在prDeep算法中，為平衡DnCNN在不同噪聲水平的恢復(fù)效果，不得不使用10個對應(yīng)不同噪聲等級的DnCNN網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，在迭代過程中需遍歷10個網(wǎng)絡(luò)以獲得最佳重建效果。該缺陷限制了迭代速度和恢復(fù)效果。

FFDNet在DnCNN的基礎(chǔ)上進行改進，它不僅繼承了DnCNN的以上特點，還解決了DnCNN對噪聲要求苛刻的問題。DnCNN可以有效地去除均勻高斯噪聲，且對一定噪聲等級范圍的噪聲都有抑制作用。但是實際的噪聲通常信號依賴、與各顏色信道相關(guān)且不均勻，甚至隨空間位置變化。FFDNet額外添加了噪聲估計圖作為輸入，結(jié)構(gòu)如圖2所示。添加的噪聲估計圖改進了DnCNN主要針對高斯噪聲去噪的問題，使FFDNet可以處理更加真實的噪聲。由于DnCNN針對不同噪聲等級只能訓(xùn)練多個不同的網(wǎng)絡(luò)，在恢復(fù)過程中需要提前確定圖像的噪聲等級，或者在不知道輸入圖像的噪聲等級的前提下需要把圖像代入眾多網(wǎng)絡(luò)中進行對比，而FFDnet對于不同等級的噪聲只需要訓(xùn)練一個網(wǎng)絡(luò)。除此之外，F(xiàn)FDNet將輸入圖像下采樣，再將輸出的圖像上采樣，這樣做的好處是在不影響結(jié)果精度的情況下增加感受野，一個15層和3×3卷積的FFDNet網(wǎng)絡(luò)擁有62×62的感受野，相比之下一個普通的15層CNN網(wǎng)絡(luò)只有31×31的感受野，而大部分先進去噪方法的感受野一半都在35×35到61×61之間。同時，F(xiàn)FDNet的卷積層數(shù)為15層，與17或20層的DnCNN相比減少了網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，使得FFDNet更有效率。

圖2 FFDNet結(jié)構(gòu)

綜合上述優(yōu)點，該文創(chuàng)新性地將FFDNet與RED相結(jié)合，在prDeep算法的基礎(chǔ)上改進去噪器，不再使用多個DnCNN網(wǎng)絡(luò)(prDeep中使用了10個不同參數(shù)的DnCNN網(wǎng)絡(luò)應(yīng)對各種噪聲等級)，而使用一個FFDNet網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)圖像相位恢復(fù)。

3 實 驗

為了測試文中方法與prDeep以及基于其他去噪器先驗方法的相位恢復(fù)效果，選取BSD(Berkeley segmentation dataset)中部分圖片數(shù)據(jù)進行對比實驗。硬件環(huán)境選用Matlab2019b，CPU為Intel Core i7-8750H，8 GB內(nèi)存，Windows 10系統(tǒng)的筆記本。該文用5組測試圖像，分別為barbara(512×512)、cameraman(256×256)、boat(512×512)、peppers(512×512)、Pollen(512×512)，測試圖像如圖3所示。

圖3 測試圖像

由于在眾多的相位恢復(fù)的應(yīng)用中，散粒噪聲是噪聲的主要來源[19]，因此本次實驗噪聲使用泊松噪聲來模擬。實驗的輸入信號分別采用編碼衍射[20](coded diffraction)和傅里葉變換，從而獲得輸入信號的幅值，模擬以圖像為信號的相位恢復(fù)。之后對幅值信號分別加入不同強度的泊松噪聲，并分別使用不同的恢復(fù)算法恢復(fù)出完整圖像。本實驗的測試的算法為HIO、BM3D-prGAMP、RED-BM3D、prDeep以及文中算法。實驗的部分恢復(fù)圖像如圖4所示，它們分別為128×128的原始圖像通過編碼衍射獲取的幅值信號，并加入噪聲強度α=27的泊松噪聲后各個算法的恢復(fù)效果。

圖4 各算法恢復(fù)效果對比

為評價算法的整體性能，使用恢復(fù)圖像的PSNR以及算法的迭代速度作為評價標(biāo)準(zhǔn)。峰值信噪比PSNR主要通過輸入真實圖像和恢復(fù)后的圖像，基于二者的誤差對恢復(fù)的圖像效果進行評價，PSNR值越大，代表圖像越不失真。

對cameraman圖像在不同噪聲強度下不同恢復(fù)算法的對比如表1所示。每個算法進行4×200次迭代，PSNR取最優(yōu)效果，時間為4次的平均值，α表示cameraman圖像的噪聲強度。所有算法都處于相同的硬件環(huán)境下。

表1 相位恢復(fù)算法對比 s

所有測試圖像在各個算法中的恢復(fù)效果如表2所示。每個算法每張圖片進行4×200次迭代，PSNR和時間分別取最優(yōu)值和平均值，所有測試圖像的噪聲強度統(tǒng)一為α=27，所有算法使用相同的硬件環(huán)境。

表2 不同測試圖像的算法對比 s

對比表1和表2可以發(fā)現(xiàn)，RED-BM3D、prDeep和文中算法都是使用去噪正則化模型和各自的去噪器結(jié)合的算法，它們相較于傳統(tǒng)的HIO算法和BM3D-prGAMP算法在峰值信噪比(PSNR)上恢復(fù)效果更好。文中算法使用的去噪器為FFDNet，相較于RED-BM3D的去噪器BM3D和prDeep的去噪器DnCNN具有更優(yōu)的峰值信噪比和更短的迭代時間，說明先進的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)去噪器在表征圖像特征和先驗上的優(yōu)勢。文中算法對比prDeep，在保證圖像基本優(yōu)于prDeep的同時，在迭代速度上有明顯的優(yōu)勢，說明FFDNet很好地解決了DnCNN使用多套網(wǎng)絡(luò)參數(shù)應(yīng)對不同噪聲等級從而限制prDeep算法迭代速度的問題。綜上所述，文中算法在處理各噪聲等級下的相位恢復(fù)問題都略優(yōu)于以上算法。

正則化模型與去噪器先驗的結(jié)合在現(xiàn)階段具有很好的重建效果和對噪聲的自適應(yīng)性，且關(guān)于去噪器先驗在相位恢復(fù)中的應(yīng)用肯定還遠不止這些。更多更先進的去噪器例如CBNet、RIDNet等作為先驗知識，在處理相位恢復(fù)等圖像反問題上可能獲得更好的恢復(fù)效果。

4 結(jié)束語

相位恢復(fù)問題是僅獲取幅值信號的情況下恢復(fù)出原信號的相位信息從而恢復(fù)出完整的輸入信號?，F(xiàn)階段相位恢復(fù)算法仍存在對圖像特征和先驗知識提取不足導(dǎo)致重建效果不充分，或者對復(fù)雜噪聲自適應(yīng)性較差限制迭代效率等問題。文中算法在RED與去噪器先驗的框架下，利用FFDNet網(wǎng)絡(luò)的特征表征能力和復(fù)雜噪聲的自適應(yīng)性嘗試解決這些問題。相比prDeep等算法，迭代更為簡單。仿真實驗結(jié)果表明，該算法在信噪比和效率上都有所提升。在后續(xù)研究中，可以嘗試引進新的去噪器先驗。