蔡照遠，吳旭東

(同濟大學(xué) 汽車學(xué)院，上海 201804)

氣體箔片軸承是以氣體作為潤滑劑并采用箔片作為彈性支承元件的一種動壓軸承，具有運轉(zhuǎn)平穩(wěn)，安全可靠等優(yōu)點，目前已廣泛應(yīng)用于航空航天、低溫制冷、空氣循環(huán)等領(lǐng)域[1-4]。

氣體箔片軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是一個耦合復(fù)雜的系統(tǒng)[5]，軸承承載特性將極大地影響轉(zhuǎn)子的運轉(zhuǎn)性能。承載特性主要包含靜態(tài)承載特性和動態(tài)承載特性，靜態(tài)承載特性往往表征了氣膜力對轉(zhuǎn)子的承載能力，動態(tài)承載特性則反映了氣膜力在轉(zhuǎn)子受到外界激勵時保證轉(zhuǎn)子穩(wěn)定運轉(zhuǎn)的能力。關(guān)于氣體箔片軸承的靜態(tài)承載特性進行了一定的試驗研究[6-9]，但動態(tài)承載特性則難以通過試驗進行研究，學(xué)者大多通過理論進行分析：文獻[10-11]給出了氣體箔片軸承的完全氣彈耦合解，分析了軸承的靜態(tài)承載特性、動態(tài)剛度和阻尼特性；文獻[12]通過迭代方法耦合求解了氣體箔片軸承的氣膜壓力和氣膜厚度，分析了兩者在軸承周向上的分布特點，發(fā)現(xiàn)氣膜力較大區(qū)域的箔片會發(fā)生凹陷變形；文獻[13]通過理論推導(dǎo)分析了氣體箔片軸承的靜、動態(tài)特性，并通過試驗驗證了其正確性；文獻[14]通過理論建模分析了滑移邊界對氣體箔片軸承氣膜承載力的影響，發(fā)現(xiàn)箔片結(jié)構(gòu)可以顯著降低滑移效應(yīng)對氣膜承載力的影響；文獻[15]分析了潤滑介質(zhì)對氣體箔片軸承靜態(tài)承載分布特性的影響，與R134a介質(zhì)相比，空氣會使氣膜承載能力更強。

上述理論均未考慮轉(zhuǎn)子與軸承不對中的情況，即忽略了氣體箔片軸承氣膜厚度在軸向上的變化，故無法準(zhǔn)確分析氣體箔片軸承的動態(tài)承載特性。文獻 [16-19]考慮了轉(zhuǎn)子不對中的工況，但主要考慮轉(zhuǎn)子二維偏心，部分文獻考慮了轉(zhuǎn)子三維偏心，但僅限于分析靜態(tài)承載特性，轉(zhuǎn)子實際運轉(zhuǎn)狀態(tài)是二維偏心和三維偏心的復(fù)合，氣體箔片軸承較小的名義間隙將放大轉(zhuǎn)子三維偏心的影響。鑒于此，通過引入2個偏心角來描述轉(zhuǎn)子三維偏心狀態(tài)，并建立模型分析三維偏心下氣體箔片軸承的靜、動態(tài)承載特性及軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)特性。

1 氣體箔片軸承靜、動態(tài)承載特性分析模型

1.1 流體潤滑雷諾方程

氣體箔片軸承結(jié)構(gòu)如圖1所示，由軸承殼、頂箔、波箔組成，潤滑氣膜產(chǎn)生于頂箔與轉(zhuǎn)子之間的狹小間隙中。

1—轉(zhuǎn)子；2—頂箔；3—軸承殼；4—波箔。

可壓縮氣體潤滑雷諾方程為

(1)

式中：p為氣膜壓力；h為氣膜厚度；x為軸承周向坐標(biāo)；z為軸承軸向坐標(biāo)；μ為氣體動力黏度；U為軸頸轉(zhuǎn)速；t為時間。

轉(zhuǎn)子偏心示意圖如圖2所示，任意點處的氣膜厚度為

h=C0-ecosφ，

(2)

式中：C0為名義間隙；e為偏心距；φ為偏位角。

圖2 轉(zhuǎn)子偏心示意圖

為簡化運算，對以下參數(shù)進行量綱一化處理

(3)

式中：R為軸承半徑；X為量綱一的周向坐標(biāo)；L為軸承寬度；Z為量綱一的軸向坐標(biāo)；pa為環(huán)境壓力；P為量綱一的氣膜壓力；H為量綱一的氣膜厚度；ω為量綱一的軸頸轉(zhuǎn)速；T為量綱一的時間；ε為轉(zhuǎn)子偏心率。

將(3)式代入(1)式得到量綱一化的雷諾方程為

(4)

式中：Λ為軸承數(shù)。

量綱一的氣膜厚度為

H=1-εcosφ。

(5)

1.2 轉(zhuǎn)子三維偏心下的氣膜厚度

轉(zhuǎn)子三維偏心(轉(zhuǎn)子繞軸頸軸線旋轉(zhuǎn)，軸頸軸線與軸承軸線不平行的情況)示意圖如圖3所示，引入轉(zhuǎn)子繞x，y軸的旋轉(zhuǎn)角度θx，θy來描述轉(zhuǎn)子的三維偏心狀態(tài)。

(a) xOy平面 (b) yOz平面

假設(shè)轉(zhuǎn)子無二維偏心，即偏心率ε=0，由二維偏心到三維偏心軸頸軸線坐標(biāo)的變換矩陣為

(6)

由于C0一般為10～50 μm，相對于轉(zhuǎn)子長度較小，故θx，θy為微小量，(6)式可化簡為

(7)

假設(shè)轉(zhuǎn)子無偏心，則轉(zhuǎn)子軸線上任意點的坐標(biāo)為(0,0,z1)，當(dāng)轉(zhuǎn)子三維偏心時，轉(zhuǎn)子軸線上任意點的坐標(biāo)為(z1θy,-z1θx,z1)，考慮轉(zhuǎn)子偏心時，(5)式可轉(zhuǎn)化為

H=1 +(εx+z1θy)sinφ-(εy+z1θx)cosφ，

(8)

式中：εx，εy為偏心率在x，y方向的的分量。

1.3 靜態(tài)承載特性模型

求解靜態(tài)承載特性時，氣膜力的時變特性被忽略，(4)式中氣膜力對時間的偏導(dǎo)數(shù)項為0。采用有限差分法求解雷諾方程，對氣膜力的差分格式為

(9)

(10)

式中：Pi,j為將潤滑氣膜展開為平面并劃分網(wǎng)格后，第(i,j)個節(jié)點上的氣膜力，氣膜厚度的差分格式與氣膜力類似。

當(dāng)考慮箔片變形時，波箔在氣膜力作用下會發(fā)生變形，從而影響氣膜厚度及氣膜力分布，這是一個潤滑氣膜與箔片結(jié)構(gòu)之間的流固耦合問題，此處對耦合箔片變形下的靜態(tài)承載特性進行分析。箔片等效剛度經(jīng)驗公式為[20]

(11)

式中：Eb為箔片材料彈性模量；tb為箔片厚度；l為半波箔波紋長度；ν為箔片材料泊松比。

此時，氣體箔片軸承的氣膜厚度應(yīng)為由幾何關(guān)系得到的剛性邊界氣膜厚度和由氣膜力造成的箔片變形之和，即

H=Hg+Hδ,

(12)

式中:Hg為剛性邊界的氣膜厚度;Hδ為箔片變形量(每個氣膜節(jié)點的箔片變形量可認為是該節(jié)點上的氣膜力除以箔片等效剛度，然后再計算箔片變形量)。

1.4 動態(tài)承載特性模型

動態(tài)承載特性是了解氣體箔片軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的重要基礎(chǔ)，其剛度特性、阻尼特性是影響轉(zhuǎn)子振動的關(guān)鍵因素，在此采用小擾動法計算動態(tài)承載特性。假設(shè)轉(zhuǎn)子在轉(zhuǎn)動時偏心率和偏位角存在擾動量ε0和θ0，氣膜厚度和氣膜力可表示為

H=H0+Hd=H0+Hd0eiΩT，

(13)

P=P0+Pd=P0+Pd0eiΩT，

(14)

式中：H0，P0分別為穩(wěn)態(tài)條件的氣膜厚度和氣膜力；Hd，Pd分別為氣膜厚度擾動值和氣膜力擾動值；Hd0，Pd0分別為氣膜厚度擾動幅值和氣膜力擾動幅值；Ω為量綱一的擾動頻率。

將(13)，(14)式代入(4)式中，忽略高階項，可得擾動條件下量綱一化的雷諾方程為

(15)

通過幾何關(guān)系可得

Hd0=E0cosφ+Θ0ε0sinφ，

(16)

式中：E0為偏心率擾動量；Θ0為偏位角擾動量。

將(16)式代入(15)式中，并使氣膜力分別對偏心率和偏位角求導(dǎo)，得到氣體箔片軸承的各向等效剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)為

(17)

式中：Kxε，Kxθ，Kyε，Kyθ為量綱一的動態(tài)氣膜等效剛度系數(shù)；Dxε，Dxθ，Dyε，Dyθ為量綱一的動態(tài)氣膜等效阻尼系數(shù)；PE，PΘ為求解動態(tài)雷諾方程獲得的氣膜力偏導(dǎo)數(shù)解。

2 氣體箔片軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)模型

氣體箔片軸承的靜、動態(tài)承載特性最終會影響轉(zhuǎn)子的運動，因此在研究氣體箔片軸承性能的同時，有必要對其搭載的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)進行研究。氣體箔片軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)如圖4所示。

圖4 氣體箔片軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)示意圖

假設(shè)轉(zhuǎn)子無質(zhì)量偏心，且質(zhì)心距兩端軸承中心距離相等，則系統(tǒng)的轉(zhuǎn)子動力學(xué)方程為

(18)

式中：m為轉(zhuǎn)子質(zhì)量；l為轉(zhuǎn)子長度；lA，lB分別為轉(zhuǎn)子中心距軸承A，B中心的距離；xA，yA分別為轉(zhuǎn)子在軸承A位置x，y方向的位移；xB，yB分別為轉(zhuǎn)子在軸承B位置x，y方向的位移；g為重力加速度；FAx，F(xiàn)Ay為軸承A對轉(zhuǎn)子的作用力在x，y方向的分量；FBx，F(xiàn)By為軸承B對轉(zhuǎn)子的作用力在x，y方向的分量；Iox,Ioy,Ioz分別為轉(zhuǎn)子繞x，y，z軸的轉(zhuǎn)動慣量。

以軸承A為例，軸承對轉(zhuǎn)子的作用力可表示為

(19)

轉(zhuǎn)子初始位置為

(20)

3 實例分析

某氣體箔片軸承的主要參數(shù)見表1。轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為30 000 r/min，轉(zhuǎn)子量綱一的偏心率為0.3，轉(zhuǎn)子繞x軸的偏心角為0.40°，潤滑介質(zhì)為空氣。

表1 氣體箔片軸承主要參數(shù)

3.1 靜態(tài)承載特性

轉(zhuǎn)子三維偏心下剛性邊界氣膜力的靜態(tài)分布如圖5所示：由于轉(zhuǎn)子不對中，氣膜厚度在軸向呈楔形分布，最小氣膜厚度位于軸承端部,在該氣膜厚度分布下氣膜力峰值不再位于軸向中部，而是向最小氣膜厚度位置偏移，從而增大了小間隙處氣膜的承載力,并產(chǎn)生了使轉(zhuǎn)子回正的力矩。

圖5 三維偏心下剛性邊界氣膜力的靜態(tài)分布

通過對氣膜力和氣膜厚度分別迭代計算，可以求解出耦合波箔變形的氣膜力靜態(tài)分布如圖6所示：氣膜厚度在軸向從兩端到中間逐漸增大，這是因為軸承端部與外界連通，氣膜力與大氣壓近似相等，箔片不會發(fā)生變形，但從端部往內(nèi)氣膜力增大,導(dǎo)致箔片變形，氣膜厚度增大，氣膜力峰值減小，但與圖5相比，氣膜承載區(qū)域增大，說明考慮箔片柔性后氣膜的承載性能更好。

圖6 三維偏心下耦合波箔變形時氣膜力的靜態(tài)分布

3.2 動態(tài)承載特性

將量綱一的動態(tài)氣膜剛度系數(shù)、動態(tài)阻尼系數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化到直角坐標(biāo)系下，可以得到氣膜動態(tài)剛度、動態(tài)阻尼與轉(zhuǎn)速、偏心角的關(guān)系。轉(zhuǎn)速對動態(tài)承載特性的影響如圖7所示：氣膜的各向等效剛度、等效阻尼均不接近于0，這是因為與二維偏心相比，三維偏心下氣膜的承載區(qū)域不再位于同一個偏位角處，而呈現(xiàn)扭曲的承載區(qū)域，因此x，y方向的擾動都與氣膜力擾動有關(guān)。

圖7 轉(zhuǎn)速對動態(tài)承載特性的影響

三維靜態(tài)偏心下氣膜的等效剛度、等效阻尼隨偏心角θx，θy的變化趨勢分別如圖8和圖9所示。

圖8 偏心角θx對動態(tài)承載特性的影響

圖9 偏心角θy對動態(tài)承載特性的影響

由圖8可知：隨偏心角θx增大，各向等效剛度近似呈指數(shù)增大，這是因為θx的增大使端部氣膜厚度迅速減小，從而使剛度迅速增大。且θx的增大會使氣膜承載區(qū)域扭曲，因此各向等效剛度均會隨之變化。等效阻尼的變化趨勢與等效剛度類似，其數(shù)值為負數(shù)的原因如前所述。

由圖9可知：隨偏心角θy增大，各向等效剛度均呈增大趨勢，尤其是承載方向的主剛度，這是因為θy的增大進一步導(dǎo)致轉(zhuǎn)子向承載方向傾斜，從而使氣膜厚度進一步減小。其余各向等效剛度及阻尼的變化趨勢同圖8。

3.3 轉(zhuǎn)子動力學(xué)分析

采用牛頓迭代法求解上述轉(zhuǎn)子動力學(xué)方程，并在每步迭代求解中根據(jù)上步的轉(zhuǎn)子位置重新求解動態(tài)承載特性，獲得新的剛度、阻尼系數(shù)，完成動態(tài)承載特性與轉(zhuǎn)子振動的耦合迭代求解，得到轉(zhuǎn)子的運動軌跡如圖10和圖11所示。

圖10 轉(zhuǎn)子運動軌跡圖(0～13.5s)

圖11 轉(zhuǎn)子運動軌跡圖(6.0～13.5 s)

由圖10和圖11可知：1)轉(zhuǎn)子在經(jīng)歷短暫的運動后，迅速到達平衡位置附近。2)在初始階段軸承A,B位置轉(zhuǎn)子軌跡不重合，這是由于轉(zhuǎn)子在初始運轉(zhuǎn)時存在三維偏心，當(dāng)轉(zhuǎn)子到達平衡位置附近時，軸承A,B處轉(zhuǎn)子軌跡重合，表現(xiàn)出二維偏心，這是由于轉(zhuǎn)子僅受自重的激勵，且認為轉(zhuǎn)子質(zhì)心到軸承A,B中心的距離相等，轉(zhuǎn)子未受到三維偏心的激勵，轉(zhuǎn)子穩(wěn)定運行狀態(tài)為二維偏心。此外，轉(zhuǎn)子在到達平衡位置后，以低頻、小振幅的振動形式穩(wěn)定運轉(zhuǎn)，這也反映了氣體箔片軸承的良好支承特性。

4 結(jié)論

通過引入2個偏心角描述轉(zhuǎn)子三維偏心狀態(tài)，對該狀態(tài)下氣體箔片軸承的靜、動態(tài)承載特性進行分析，并建立了軸承-轉(zhuǎn)子動力學(xué)模型得到了轉(zhuǎn)子的運動軌跡，得出以下結(jié)論：

1)三維偏心下氣體箔片軸承氣膜力在軸向上向氣膜厚度較小端發(fā)生偏移，周向上分布未受影響。考慮箔片柔性時，氣膜厚度增大，在軸向上呈拱形分布，氣膜力峰值減小，承載區(qū)域增大。

2)氣膜力的各向等效剛度、等效阻尼隨轉(zhuǎn)速升高近似呈線性增大，隨偏心角增大近似呈指數(shù)形式增大。由于承載方向為y方向，繞x軸偏心角對動態(tài)承載特性的影響比繞y軸偏心角的大。

3)由于給定了轉(zhuǎn)子初始位置，轉(zhuǎn)子最初運轉(zhuǎn)時呈三維偏心，但由于僅考慮轉(zhuǎn)子自重，轉(zhuǎn)子穩(wěn)定運轉(zhuǎn)時呈二維偏心，且振幅小，頻率低。