黃 倩，劉 升，李萌萌，郭雨鑫

上海工程技術(shù)大學(xué) 管理學(xué)院，上海 201620

黑猩猩優(yōu)化算法（chimp optimization algorithm，COA）是由Khishe和Mosavi[1]于2020年提出的一種啟發(fā)式優(yōu)化算法。作為一種新型的進化算法，相比于其他群智能算法，COA 除了參數(shù)少、易于理解之外，還擁有最重要的兩大特點：一是將種群劃分成獨立個體，模擬其狩獵時的分工行為，而個體的多樣性可以使算法更加徹底的搜索空間以提高算法的勘探能力；二是引入混沌因子來代表黑猩猩在圍獵過程中受到群體激勵而帶來的個體混亂捕獵行為，從而提高了算法在開發(fā)階段的收斂速度。

在研究中發(fā)現(xiàn)，黑猩猩優(yōu)化算法（COA）與鯨魚優(yōu)化算法（WOA）、灰狼優(yōu)化算法（GWO）的運行原理有一定相通性，但其在收斂精度和收斂速度上又明顯優(yōu)于兩個算法，因而對黑猩猩優(yōu)化算法的改進具有很高的研究價值?；镜膯l(fā)式優(yōu)化算法普遍具有易陷入局部最優(yōu)和收斂精度不高的問題，對此，眾多學(xué)者在此類算法的改進策略研究對黑猩猩優(yōu)化算法在尋優(yōu)精度和收斂速度上的提升有一定借鑒意義。肖子雅等[2]提出一種基于精英反向?qū)W習(xí)策略和黃金正弦算法的改進WOA 算法（EGolden-SWOA），在尋優(yōu)精度上提高了原始算法的性能，但收斂速度上仍有進步的空間。顧清華等[3]提出了一種基于遺傳算法的改進GWO 算法，在提高全局收斂性和收斂精度上取得極大成果。Mohammad等[4]提出了一種基于維度學(xué)習(xí)的狩獵搜索策略的改進GWO 算法（IGWO），在增強種群多樣性和平衡算法局部和全局搜索上基礎(chǔ)上增強算法的開發(fā)能力，但在收斂過程中仍容易陷入局部最優(yōu)。徐辰華等[5]提出一種將混沌理論與灰狼優(yōu)化算法結(jié)合的Cat 混沌與高斯變異的改進灰狼優(yōu)化算法，證明了混沌理論在提高算法收斂速度上突出表現(xiàn)。

盡管上述學(xué)者在算法的改進中取得了一定成果，但在如何平衡收斂精度和收斂速度上仍有一定不足，因此本文提出一種多策略黑猩猩優(yōu)化算法（EOSMICOA）。運用無限折疊迭代混沌映射改進精英反向?qū)W習(xí)策略初始化種群，增加種群的多樣性；利用單純形法提高算法在局部搜索時跳出局部最小值的尋優(yōu)能力；引入群個體記憶機制提高算法的尋優(yōu)速度和精確度。通過20個測試函數(shù)實驗對比，結(jié)果表明，無論在低維和高維實驗，EOSMICOA 在全局尋優(yōu)的精度以及收斂速度上都表現(xiàn)優(yōu)秀。最后，通過將EOSMICOA、EGolden-SWOA 與CPSOGSA[6]改進算法應(yīng)用于焊接梁的復(fù)雜工程優(yōu)化問題上，結(jié)果證明EOSMICOA 能更有效地應(yīng)用于工程實際問題中。

1 黑猩猩優(yōu)化算法

在黑猩猩群落中，根據(jù)個體在狩獵過程中所顯現(xiàn)出的智力和能力的多樣化，對黑猩猩群分類為：驅(qū)趕者（Driver）、阻攔者（Barrier）、追捕者（Chaser）和攻擊者（Attacker）。每一類黑猩猩都有自己的獨立思考能力，并用自己的搜索策略探索和預(yù)測獵物的位置，他們擁有各自任務(wù)的同時，還會由于受到獲得性行為和好處的社會激勵使他們在狩獵的最后階段會出現(xiàn)混亂個體捕獵行為。

黑猩猩優(yōu)化算法的基本過程如下：假設(shè)有N只黑猩猩，第i只黑猩猩的位置為Xi，群體最優(yōu)解為XAttacker，次優(yōu)解為XBarrier，第三最優(yōu)解為XChaser，第四最優(yōu)解為XDriver。

首先描述黑猩猩接近并包圍獵物的行為，其位置更新公式如下：

2 多策略黑猩猩優(yōu)化算法

2.1 混沌反向?qū)W習(xí)策略初始化種群

由于啟發(fā)式優(yōu)化算法多存在過度依賴種群初始位置的問題，而以隨機方式初始種群會使其分布不均勻，影響算法的求解精度。為此，本文提出一種基于無限折疊迭代混沌映射（Iteration映射）和精英反向?qū)W習(xí)混合的混沌反向?qū)W習(xí)策略來對種群初始化，以增加種群的多樣性和質(zhì)量。混沌運動具有遍歷性和不重復(fù)性等特點，所以大多被學(xué)者用來生成種群的初始位置，而文獻[7-10]中大多使用的是Logistic映射和Tent映射。通過圖1的4個混沌映射對比，可以發(fā)現(xiàn)在1 000次迭代下，Logistic映射生成的混沌變量具有一定的雙峰分布特征，在混沌吸引域的中間分布較為均勻，而兩端分布較為稠密；Tent 映射在0～0.2 的取值范圍內(nèi)存在小周期現(xiàn)象、容易陷入不動點的問題；Sine映射和Logistic映射類似，在接近0 的底端也存在著分布相對稠密的問題；而相比之下，Iteration映射在0～1的分布最為均勻。為此，本文采用Iteration混沌映射。

圖1 混沌映射Fig.1 Chaotic map

Iteration映射數(shù)學(xué)表達式如下：

最后，將混沌生成的所有初始解和混沌精英反向解合并進行排序，選取前N個較優(yōu)的解作為初始種群。

2.2 單純形法

單純形法是一種不受目標(biāo)函數(shù)連續(xù)性和可導(dǎo)性影響的直接搜索算法，其主要通過迭代判斷最差頂點Xs向優(yōu)運動的方向向量g是否正確，并通過對最差頂點進行反射、擴張、外收縮和內(nèi)收縮操作來控制其運動。單純形法步驟如圖2所示。

圖2 單純形法示意圖Fig.2 Diagram of simplex method

具體流程如下：

（1）計算種群的適應(yīng)度值，并將最優(yōu)的4 個位置分別記為XAttacker、XBarrier、XChaser和XDriver，對應(yīng)的適應(yīng)度值為f(XAttacker)、f(XBarrier)、f(XChaser)和f(XDriver)，設(shè)中心位置為Xc=(XAttacker+XBarrier)/2。

（2）將剩下黑猩猩個體的適應(yīng)度值進行排序，選擇適應(yīng)度值最差的個體作為較差點Xs。

通過運用單純形法的4種操作，可以讓最差點在反射操作下搜索到所有可行的解，內(nèi)外收縮操作可以使最差點擺脫當(dāng)前位置，而在擴張操作下可以讓最優(yōu)解跳出局部最小值，向距離最差點更遠的反方向繼續(xù)搜索，從而提高了算法整體的局部開發(fā)能力和尋優(yōu)能力。由于單純形法針對的是種群中最差的個體，對于種群中其他個體仍然執(zhí)行黑猩猩原始算法中的隨機搜索，故而在提高算法的局部搜索能力的同時，不會降低種群的多樣性。

2.3 群個體記憶機制

在原始COA算法中，通過對群體歷史前4個最優(yōu)位置的加權(quán)記憶，實現(xiàn)了黑猩猩種群間信息交流，最終促使個體在搜索空間快速移動尋優(yōu)，但這一做法并未考慮到每個黑猩猩個體自身的搜索經(jīng)驗，因而，在結(jié)合COA算法群體信息交流表達式（5）的基礎(chǔ)上，引入粒子群算法的個體記憶策略，具體表達式變?yōu)椋?/p>

其中，b1和b2是[0，1]間的常數(shù)，分別表示群體交流和個體經(jīng)驗記憶的系數(shù)；rand表示[0，1]間的隨機變量；Xbest表示第i只黑猩猩所經(jīng)歷過的最佳位置，Xj,Xi,(j≠i)是記憶過程中記下的隨機個體位置。通過對b1和b2的調(diào)節(jié)來平衡群體交流和個體記憶對位置更新的影響。

對比原始位置更新方程式（5），式（9）增加了兩個部分：第一個是引入的個體自身記憶信息，進一步提高了算法在局部的開發(fā)能力和收斂速度；第二個是隨機記憶的個體位置，從而起到增強算法種群多樣性和全局勘探的能力。

2.4 算法步驟

綜上所述，本文提出EOSMICOA 算法的運算步驟如下：

步驟1 設(shè)置相關(guān)參數(shù)，種群規(guī)模N、最大迭代次數(shù)tmax、收斂因子f、影響系數(shù)A、C、混沌因子m等。

步驟2 利用Iteration 混沌映射和精英反向?qū)W習(xí)生成初始種群Xi,i=1,2,…,N。

步驟3 計算個體的適應(yīng)度值，并確定歷史前4個最優(yōu)解XAttacker、XBarrier、XChaser和XDriver。

步驟4 利用單純形法改變較差個體Xs的位置。

步驟5 更新A、C，按照公式（5）計算其他黑猩猩的位置。

步驟6 通過粒子群算法改進的群個體記憶機制，按照公式（9）進一步更新黑猩猩位置。

步驟7 判斷算法是否達到最大迭代次數(shù)，若達到，則算法結(jié)束，輸出最優(yōu)位置XAttacker；否則，執(zhí)行步驟3。

3 實驗仿真與結(jié)果分析

3.1 實驗參數(shù)設(shè)置

本文選取了COA、WOA、EOSMICOA 和當(dāng)前最新改進算法EGolden-SWOA、IGWO，在20 個測試函數(shù)上進行實驗對比。

以上算法統(tǒng)一參數(shù)設(shè)置如下：種群規(guī)模N為30，最大迭代次數(shù)tmax為500，運行次數(shù)為30，低維實驗維數(shù)為30，高維實驗維數(shù)為1 000。

3.2 測試函數(shù)

為檢驗EOSMICOA 的優(yōu)化性能，選取表1 的20 個基準(zhǔn)測試函數(shù)進行仿真實驗分析，并給出表達式、搜索范圍和最優(yōu)值，其中f1～f7為7個連續(xù)單模態(tài)測試函數(shù)，用來測試算法的尋優(yōu)精度，f8～f13為6個連續(xù)多模態(tài)測試函數(shù)，f14～f20為7個固定多模態(tài)測試函數(shù)，用來測試算法的全局搜索能力和收斂速度。

表1 基準(zhǔn)測試函數(shù)Table 1 Benchmark functions

3.3 多種啟發(fā)式算法比較

3.3.1 算法實驗結(jié)果對比

表2、3和表4列出COA、WOA、EOSMICOA、EGolden-SWOA、IGWO 在d=30 和d=1 000 的低維、高維狀態(tài)下的7 個單模態(tài)和6 個多模態(tài)測試函數(shù)，以及在7 個固定模態(tài)測試函數(shù)上分別獨立運行30 次實驗后，得出的最優(yōu)值、平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。其中每個測試函數(shù)的最優(yōu)結(jié)果均加粗處理，最優(yōu)值可以顯示出算法的尋優(yōu)能力，平均值可以用來反映算法總體所能達到的收斂精度，標(biāo)準(zhǔn)差則反映出算法的魯棒性和穩(wěn)定性。

從表2的低維單模態(tài)測試函數(shù)的比較結(jié)果可知，總體看，無論是在低維30維還是高維1 000維上EOSMICOA在f1～f7這7 個測試函數(shù)上均顯現(xiàn)出最好的尋優(yōu)能力。對于f1、f3，EOSMICOA的尋優(yōu)性能最好，甚至可以直接尋到最優(yōu)值0，在f2、f4上，EOSMICOA 的平均尋優(yōu)精度均在10-200以上，且EOSMICOA在這4個函數(shù)上的標(biāo)準(zhǔn)差均為0，說明EOSMICOA 不論高維還是低維，算法的穩(wěn)定性和魯棒性都同樣良好；其次，是改進算法EGolden-SWOA的尋優(yōu)能力，在f1～f7函數(shù)上也表現(xiàn)出優(yōu)良的尋優(yōu)效果，甚至在低維情況下的f1和f3，可以直接收斂到最優(yōu)值，在低維的f4、f5、f7的平均尋優(yōu)精度僅次于EOSMICOA，甚至在低維的f5、f7上可以達到幾個算法最高的精度，但標(biāo)準(zhǔn)差卻高于EOSMICOA，但是，在高維實驗中的表現(xiàn)依然劣于EOSMICOA；其次表現(xiàn)較好的是標(biāo)準(zhǔn)COA 算法，其尋優(yōu)效果和算法的穩(wěn)定性在f1～f7函數(shù)上均比改進算法IGWO 要好，可見標(biāo)準(zhǔn)COA 算法在算法的設(shè)計上具有一定優(yōu)越性，而對COA的改進研究也更具有重大意義。最后表現(xiàn)較好的是IGWO，除了低維的f1、f2實驗上的尋優(yōu)精度比不過WOA，但在高維實驗中，IGWO 的表現(xiàn)比較穩(wěn)定，在剩下的f3、f4、f5、f6、f7中的高、低維實驗中均比WOA的尋優(yōu)效果理想，而WOA的表現(xiàn)相對較差。

表2 單模態(tài)測試函數(shù)實驗結(jié)果Table 2 Experimental results of single mode test functions

從表3的多模態(tài)測試函數(shù)的實驗結(jié)果比較可知，在f8～f13函數(shù)的高維和低維實驗中上，EOSMICOA 依然表現(xiàn)出不同尋常的尋優(yōu)能力。尤其是在f9～f11函數(shù)上，EOSMICOA 的尋優(yōu)精度極佳，可以直接尋到最優(yōu)值0，在f10、f12、f13的高、低維實驗上，EOSMICOA最優(yōu)值、平均值和標(biāo)準(zhǔn)差均是4個算法最小的，說明EOSMICOA在多模態(tài)測試函數(shù)高、低維實驗上上仍然具有相對最優(yōu)良的尋優(yōu)能力和算法穩(wěn)定性；其次，表現(xiàn)優(yōu)良的是改進算法EGolden-SWOA，在f8上的最優(yōu)值是幾個算法中的最優(yōu)結(jié)果，但其標(biāo)準(zhǔn)差也最大，在f9、f10、f11這3個函數(shù)上可以和EOSMICOA 一樣達到最優(yōu)結(jié)果；接著，表現(xiàn)最好的是IGWO，在f9、f10、f11函數(shù)上，IGWO 在高維實驗的尋優(yōu)能力和穩(wěn)定性甚至比在低維實驗上的要好，可以從中發(fā)現(xiàn)IGWO 比起低維函數(shù)，更適合用于高維函數(shù)問題，在剩下的4個函數(shù)中的尋優(yōu)表現(xiàn)均要勝于標(biāo)準(zhǔn)的COA和WOA算法；最后，WOA在f8～f13的低維和高維實驗中，尋優(yōu)精度和穩(wěn)定性均比COA要好，甚至在f9、f11兩個函數(shù)的高、低維實驗上的最優(yōu)值均可以和EOSMICOA 一樣直接收斂到0，而相對其他幾個算法在多模態(tài)測試函數(shù)上實驗結(jié)果而言，COA 的表現(xiàn)最差。

表3 多模態(tài)測試函數(shù)實驗結(jié)果Table 3 Experimental results of multimodal test functions

在表4固定多模態(tài)測試函數(shù)的實驗結(jié)果對比中，可以發(fā)現(xiàn)EOSMICOA在7個固定模態(tài)的測試函數(shù)上的尋優(yōu)精度都達到了最高，在前面13 個復(fù)雜函數(shù)的高維實驗中表現(xiàn)不好的IGWO 在這7 個固定模態(tài)的測試函數(shù)上的表現(xiàn)也發(fā)生變化，擁有較高的算法穩(wěn)定性，而EGolden-SWOA的表現(xiàn)則位列第三。

表4 固定多模態(tài)測試函數(shù)實驗結(jié)果Table 4 Experimental results of fixed multimode test functions

EOSMICOA、EGolden-SWOA、IGWO 這3 個算法在f15、f16、f18和f20中都直接收斂到最優(yōu)值0.000 3、-1.031 6、3.000 0和-10.153 2，但相比之下IGWOA的標(biāo)準(zhǔn)差在f16、f18上最小，而EOSMICOA在f15、f20的標(biāo)準(zhǔn)差最小，說明IGWO 和EOSMICOA 的穩(wěn)定性和魯棒性都較好；在f14、f17、f19中，EOSMICOA 均獲得了幾個函數(shù)中的最佳精確度，在f14上的標(biāo)準(zhǔn)差也最?。伙@然，表現(xiàn)較好的IGWO和EGolden-SWOA在算法的穩(wěn)定性和尋優(yōu)能力上各有千秋，IGWO擁有較高的算法穩(wěn)定性，而EGolden-SWOA的收斂精度要高于IGWO；最后，標(biāo)準(zhǔn)COA 和WOA 在固定模態(tài)測試函數(shù)的實驗中表現(xiàn)最弱。

通過EOSMICOA、EGolden-SWOA和IGWO這3個改進算法在13 個單模態(tài)、多模態(tài)復(fù)雜函數(shù)的高維實驗和7個固定模態(tài)函數(shù)的實驗對比中，可以發(fā)現(xiàn)EOSMICOA的尋優(yōu)精度最佳，且迭代和運行過程中表現(xiàn)出優(yōu)秀的穩(wěn)定性和魯棒性。盡管在部分函數(shù)上，EGolden-SWOA和IGWO 也可以收斂到函數(shù)最優(yōu)值，但根據(jù)圖3 的5個函數(shù)收斂圖可以發(fā)現(xiàn)，EOSMICOA 尋到最優(yōu)值所需要的迭代次數(shù)均小于EGolden-SWOA，在f1和f3上，EOSMICOA 尋優(yōu)需要迭代的次數(shù)甚至比EGolden-SWOA少100次，比IGWO則少300次；在f9、f10、f11上，EOSMICOA尋優(yōu)需要迭代的次數(shù)比EGolden-SWOA 少至少50次，比IGWO則少200次。

圖3 函數(shù)收斂圖Fig.3 Function convergence diagram

綜上表明，EOSMICOA 除了取得較高的收斂精度以外，更在收斂速度上有較大的提高，這歸功于改進策略中的單純形法和群個體記憶機制。單純形法通過運用4 種操作改變最差個體的位置并不斷更新最差個體的方法來提高算法跳出局部最優(yōu)解的能力，但并不能大幅提高算法整體的收斂速度，由此，加入的群個體記憶機制可以將最優(yōu)位置信息成功地傳遞給下一代個體并記錄下來，從而減少搜尋較差解的時間，大大加快了算法的尋優(yōu)速度，同時記憶過程中記下的隨機個體位置也可以使算法在后期保持良好的種群多樣性，起到了平衡算法在局部開發(fā)和全局勘探能力的重要作用。

3.3.2 時間復(fù)雜度分析

EOSMICOA 主要由Iteration 映射和精英反向?qū)W習(xí)結(jié)合的混沌反向?qū)W習(xí)策略初始化種群、單純形法和群個體記憶機制等操作組成。當(dāng)算法的種群規(guī)模維N，問題維度維d，最大迭代次數(shù)為tmax，每個操作的時間復(fù)雜度如下：混沌反向?qū)W習(xí)策略初始化種群的復(fù)雜度為O( (N+N×d)×tmax)，單純形法的復(fù)雜度為O(N×tmax)，而群個體記憶機制的復(fù)雜度為O(N×d×d×tmax)，EOSMICOA 整體復(fù)雜度為O(tmax×N×d×d)，而COA和WOA 的復(fù)雜度為O(tmax×N×d)，EGolden-SWOA的復(fù)雜度為O(tmax×N×d×d)，IGWO 的復(fù)雜度同樣為O(tmax×N×d)。因此相比幾個算法，EOSMICOA和EGolden-SWOA 的時間復(fù)雜度相同，而比標(biāo)準(zhǔn)COA、WOA和IGWO高，但也在可以接受的范圍內(nèi)。

4 EOSMICOA算法的焊接梁設(shè)計應(yīng)用研究

為驗證EOSMICOA 在解決實際問題中的有效性，將其應(yīng)用于機械設(shè)計中的復(fù)雜優(yōu)化問題，即焊接梁最小費用問題，其設(shè)計原理示意圖如圖4所示。

圖4 焊接梁設(shè)計原理Fig.4 Design principle of welded beam

焊接梁設(shè)計問題的目標(biāo)是使其制作成本最小，圖4為焊接梁設(shè)計圖，其約束變量為剪切應(yīng)力τ，梁彎曲應(yīng)力σ，桿曲載荷Pc和梁端撓度δ，此設(shè)計問題所需要優(yōu)化的變量為焊縫厚度h、夾條長度l、梁長t和梁寬b，這4個優(yōu)化變量的目標(biāo)函數(shù)和約束條件如下：

分別利用EOSMICOA 算法、EGolden-SWOA 算法和CPSOGSA算法進行求解，參數(shù)設(shè)置相同，3種算法分別運行30次求解結(jié)果的最優(yōu)值、平均值和標(biāo)準(zhǔn)差如表5所示，圖5 為3 種改進算法求解焊接梁設(shè)計問題的收斂曲線。

從表5 的對比結(jié)果，可以清楚地發(fā)現(xiàn)，在求解焊接梁工程設(shè)計這一復(fù)雜優(yōu)化問題時，EOSMICOA 的表現(xiàn)最佳，其設(shè)計出的焊接梁成本最優(yōu)情況下可以達到1.695 6，遠低于EGolden-SWOA 和CPSOGSA 的最優(yōu)值，且總體平均也要優(yōu)于其他兩個改進算法；雖然從求解結(jié)果的穩(wěn)定性來看，EOSMICOA 的標(biāo)準(zhǔn)差要高于EGolden-SWOA，但相差并不太大，且仍然比CPSOGSA的標(biāo)準(zhǔn)差要低。從圖5的3種算法的求解結(jié)果收斂曲線也可以發(fā)現(xiàn)，EOSMICOA的收斂速度是3種改進算法中最快的，在200次迭代后就基本尋到最優(yōu)值，而EGolden-SWOA和CPSOGSA在500次的迭代內(nèi)無法收斂到比較好的結(jié)果。

圖5 焊接梁設(shè)計問題求解結(jié)果收斂曲線Fig.5 Convergence curve of solution result of welding beam design problem

表5 焊接梁設(shè)計問題3種算法求解結(jié)果對比Table 5 Comparison of three algorithms for welding beam design

5 結(jié)束語

本文針對原始黑猩猩優(yōu)化算法存在的依賴初始種群、收斂精度不高、容易陷入局部最優(yōu)等問題，提出來一種多策略黑猩猩優(yōu)化算法：EOSMICOA。利用無限折疊迭代混沌映射（Iteration映射）和精英反向?qū)W習(xí)策略的結(jié)合初始化種群，并應(yīng)用單純形法和群個體記憶機制改進個體的位置，使得原始算法在提高尋優(yōu)精度的同時大大提高收斂速度，也為進一步改進啟發(fā)式優(yōu)化算法提供新的改進優(yōu)化策略方案。EOSMICOA這一改進策略的效果，通過在13 個復(fù)雜測試函數(shù)的低維和高維實驗以及7 個固定多模態(tài)復(fù)雜函數(shù)上與多種算法的比較中得以展現(xiàn)，但EOSMICOA在面對函數(shù)f5～f7、f12時，仍有進一步提升收斂精度的空間。同時，將EOSMICOA 應(yīng)用于焊接梁設(shè)計這一復(fù)雜工程優(yōu)化問題中也得到比較好的結(jié)果，說明改進的EOSMICOA 在實際工程問題中也具有良好的適用性。下一步的研究內(nèi)容將考慮繼續(xù)提升EOSMICOA 算法在全局尋優(yōu)的能力，并將其與深度學(xué)習(xí)結(jié)合起來應(yīng)用于現(xiàn)實問題中。