張加興

(廈門實(shí)驗(yàn)中學(xué) 福建 廈門 361100)

電子自旋假設(shè)是獨(dú)特的微觀世界電子運(yùn)動(dòng)圖景，它完全不同于經(jīng)典物理學(xué)中地球自轉(zhuǎn)模型.物理理論來源于實(shí)踐，在實(shí)踐的過程中，物理理論又是對以往理論的揚(yáng)棄與革新，呈現(xiàn)一定的螺旋上升的過程.電子自旋假設(shè)提出是一段凝聚眾多物理學(xué)家心血的科學(xué)探索旅程，也是近代物理學(xué)發(fā)展過程中激動(dòng)人心的篇章.本文從物理學(xué)史的角度，闡釋電子自旋假設(shè)發(fā)展過程中對我們的啟示.

1 電子自旋假設(shè)提出的歷史背景

1.1 原子光譜實(shí)驗(yàn)的反常現(xiàn)象與麥克斯韋電磁統(tǒng)一理論

(1)

w0為未加磁場時(shí)的電子繞原子核運(yùn)動(dòng)的固有輻射頻率.可得式(1)的通解為

r(t)=a(ex-iey)e-iw+t+
b(ex+iey)e-iw-t+ceze-iw0t

(2)

從式(2)，可以看出在磁場中一條譜線除本身外多了兩條譜線，可以判斷沿各個(gè)方向觀察每個(gè)分裂譜線的偏振情況，也可以從實(shí)驗(yàn)結(jié)果計(jì)算出電子的荷質(zhì)比.這個(gè)值正好與湯姆森在幾個(gè)月后從陰極射線得到的“載荷子”的荷質(zhì)比數(shù)值相差很少[1].塞曼只解釋了光譜三分裂的現(xiàn)象，對于不同原子在不同磁場強(qiáng)度作用下的譜線分裂規(guī)律呈現(xiàn)出各種復(fù)雜的分裂現(xiàn)象是行不通的.1897年，普林斯頓用一個(gè)強(qiáng)大的電磁體觀察鎘原子譜線分裂的實(shí)驗(yàn)時(shí)就看到其中一條譜線劈裂成4條[2].在電子自旋假設(shè)提出之前，它是個(gè)令所有嘗試解釋這種物理現(xiàn)象的物理學(xué)家感到頭疼的難題.

1.2 施特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)與舊量子論

1920年由施特恩-蓋拉赫兩個(gè)人在容器中加熱到1 000 ℃(約為103K數(shù)量級(jí))使銀原子變成蒸汽發(fā)射出來，通過狹縫S1,S2形成細(xì)束，經(jīng)過一個(gè)抽成真空的不均勻的磁場區(qū)域(磁場垂直于射束方向)，最后到達(dá)照相底片上，顯像后的底片上出現(xiàn)了兩條黑斑.處在熱平衡狀態(tài)有[3]

(3)

由式(3)可知，在T=103K溫度下，原子平均動(dòng)能才達(dá)到0.13 eV，值低于銀原子從基態(tài)躍遷到最近的激發(fā)態(tài)的能量(約為1～10 eV數(shù)量級(jí))，根據(jù)溫度T熱平衡下的原子按能級(jí)的玻爾茲曼分布[4]

(4)

在基態(tài)的銀原子的數(shù)目遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于第一激發(fā)態(tài)的數(shù)目.在處于熱平衡的容器上開一個(gè)小孔，在用兩個(gè)0.03 mm寬的準(zhǔn)直狹縫導(dǎo)入長為3.5 cm的偏轉(zhuǎn)磁場，磁場大小為0.1 T，梯度為10 T/cm[5]，在通過準(zhǔn)直狹縫后變成原子束，原子束中的銀原子速率的分布[7]

(5)

根據(jù)式(5)可求出原子束的平均速率[3]

(6)

射出后的銀原子通過在極小尺度內(nèi)的非均勻磁場，由原子物理學(xué)可知，一個(gè)磁矩在不均勻磁場中感受到一個(gè)力，其公式如下[4]

(7)

原子在穿過長l的不均勻磁場中偏轉(zhuǎn)的距離為[4]

(8)

在式(8)中除μz外，其他都是常數(shù)，這就說明銀原子有兩個(gè)μz值，也就是說有兩個(gè)β值，說明銀原子在磁場中只有兩個(gè)取向.

隨著波爾提出的舊量子論以及愛因斯坦提出的相對論，在1916年，索末菲考慮了相對論效應(yīng)后的氫原子能量推廣了玻爾的理論，提出了量子化通則以及電子橢圓軌道運(yùn)動(dòng).對于氫原子光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)，索末菲考慮相對論效應(yīng)的修正后氫原子能量可表示為[4]

(9)

第二，此時(shí)，郎德和海森堡合作從塞曼效應(yīng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的經(jīng)驗(yàn)公式分析推出的原子實(shí)矢量模型，即考慮一個(gè)原子實(shí)的角動(dòng)量和軌道角動(dòng)量的合成，得到了不同原子的總角動(dòng)量的合成g因子.這種模型應(yīng)用于雙線和三線光譜及塞曼效應(yīng)時(shí)，結(jié)果出人意料地使人滿意，但是它在解釋多電子原子光譜現(xiàn)象時(shí)遇到了困難[2].多電子原子需要考慮到Pauli不相容原理，Pauli也在這時(shí)引入了一個(gè)表征電子在磁場中二值性的量子數(shù)ms，這樣表示原子狀態(tài)的量子數(shù)有4個(gè)，既要考慮電子自旋的量子數(shù)是分?jǐn)?shù)，思想上，物理科學(xué)家似乎都朝著一個(gè)共同的方向奔去，盡管有一些不同.

第三，如果忽略施特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的條數(shù)的反常，再考慮實(shí)驗(yàn)中得到銀的偏轉(zhuǎn)距離為0.2 mm，可以根據(jù)上式反過來求出這個(gè)未知的磁矩在任意方向上的投影值正好約為一個(gè)玻爾所假設(shè)的磁子μB=0.927×10-23A·m2，誤差為10%[5]，是因?yàn)殡娮幼孕慕莿?dòng)量與經(jīng)典的角動(dòng)量完全不相同，不能按照舊的思維方式.

2 電子自旋假設(shè)的提出與對實(shí)驗(yàn)顯現(xiàn)的論證

2.1 電子自旋假設(shè)的內(nèi)容及其內(nèi)涵解釋

在1925年的夏天，兩個(gè)萊頓大學(xué)的學(xué)生Uhlenbeck和Goudsmit總結(jié)了之前其他物理學(xué)家的工作，完整地提出了兩條電子自旋假設(shè)：

(1)每個(gè)電子具有自旋角動(dòng)量S，它在空間上任何方向的投影只能取兩個(gè)

(10)

(2)每個(gè)電子具有自旋磁矩MS,它和自旋角動(dòng)量的關(guān)系是

(11)

電子自旋角動(dòng)量與經(jīng)典軌道磁矩與軌道角動(dòng)量不同，而是有個(gè)2的倍數(shù).這條假設(shè)實(shí)際上是為了符合實(shí)驗(yàn)中分裂譜線間距是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，在當(dāng)時(shí)看來，可以算是個(gè)近似猜測的唯象理論.

2.2 電子自旋假設(shè)與光譜反常實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的解釋

按照上述兩條假設(shè)，先忽略精細(xì)結(jié)構(gòu)項(xiàng)，綜合考慮處在不同狀態(tài)的單個(gè)價(jià)電子的原子的總磁矩可以表示為[4]

(13)

(14)

g稱為朗德因子.其中

這個(gè)g因子包含了單個(gè)電子的自旋磁矩和電子軌道磁矩的耦合作用，又根據(jù)經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)理論，原子總磁矩在磁場中的能量為[4]

ΔE=|μj||B|cosα

(15)

μj在磁場中的取向又是量子化的，所以能量也分裂為[4]

(16)

這樣就可以計(jì)算譜線分裂的間距，如果按照動(dòng)量守恒和選擇定則可以確定譜線的條數(shù)和偏振情況.如圖1所示.

圖譜線的塞曼效應(yīng)

忽略外磁場時(shí)，對于光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)，對氫和類氫原子的能量主要部分的一般公式為[4]

(17)

Z-σ是有效電荷，對氫Z-σ=1，對類氫原子Z-σ是考慮到原子實(shí)極化和軌道貫穿后的等效電荷，一般大于1.

然后可以根據(jù)托馬斯理論以及經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)的理論，計(jì)算出自旋與軌道的相互作用能量[4]

(18)

其中

當(dāng)然，必須考慮到經(jīng)過Heisenberg用量子力學(xué)修正后的Sommerfeld的相對論能量[4]

(19)

從實(shí)驗(yàn)測出的Z-s和Z-σ稍有不同，對堿金屬原子而言都隨著l改變，但對于氫原子都等于1.

僅僅考慮用量子力學(xué)修正后的相對論能量項(xiàng)會(huì)反而不符合精細(xì)結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)事實(shí)，所以必須綜合之前電子自旋角動(dòng)量和軌道角動(dòng)量之間的相互作用，即托馬斯的第二項(xiàng)，所以總的能量為[4]

(20)

圖2 氫原子n=3的能級(jí)演變(不按比例)

3 電子自旋假設(shè)與量子力學(xué)理論

3.1 波動(dòng)量子力學(xué)理論與電子自旋假設(shè)

1925年到1928年之間，量子力學(xué)取得了進(jìn)一步的發(fā)展，形成比舊量子論更嚴(yán)密完整更深刻揭示微觀世界的物理過程的體系，迫使物理學(xué)家重新描述電子自旋假設(shè)及其物理含義.一方面建立的波動(dòng)量子力學(xué)，在波動(dòng)方程中引入了系統(tǒng)哈密頓量的概念，力學(xué)量用力學(xué)算符來代替.然后，對于簡單的系統(tǒng)，如在有心力場中的哈密頓算符得出了表征氫原子原子狀態(tài)的3個(gè)量子數(shù)物理含義.在另一方面，海森堡建立了與Schrodinger等價(jià)的矩陣量子力學(xué).

如果按照二值的自旋分量，可以構(gòu)造描述電子自旋角動(dòng)量所對應(yīng)的算符，即泡利矩陣.根據(jù)托馬斯計(jì)算的結(jié)果，考慮有單個(gè)電子原子的哈密頓量為

(21)

考慮兩種極端情況，當(dāng)磁場足夠弱時(shí)，即沒有破壞自旋與軌道的耦合時(shí)，可以把總角動(dòng)量與磁場相互作用看成是微擾項(xiàng)，這時(shí)J為好量子數(shù)，采用lsjm表象，則能量的一級(jí)近似為[7]

(22)

當(dāng)磁場足夠強(qiáng)時(shí)，即破壞了自旋與軌道的耦合時(shí)，把自旋與軌道相互作用看成是微擾項(xiàng)，這時(shí)l,m,ml,ms近似看成是好量子數(shù)，可以得到能量一級(jí)近似為[10]

(23)

忽略自旋與軌道的耦合能時(shí)，近似求解在不同條件下的結(jié)果，與經(jīng)典的結(jié)論是一致的.

3.2 相對論量子力學(xué)與電子自旋假設(shè)

1928年狄拉克建立了相對論性量子力學(xué)，他將相對論和量子力學(xué)融合，使之發(fā)展成更加嚴(yán)密的統(tǒng)一的框架.他修正了Schrodinger方程，滿足了洛倫茲變換不變性.在狄拉克理論下，電子自旋的假設(shè)變成了自然而然的性質(zhì)，使得電子自旋擺脫了人為因素.

自由粒子的狄拉克方程為[8]

(24)

其中有

(25)

若是帶電粒子-e在電磁場中的狄拉克方程只要將上述方程進(jìn)行如下代換：其

(26)

在非相對論近似下可得到Pauli方程[8]

(27)

上式一般公式若是處在均勻磁場中條件下

Bx=By=0Bz=B

(28)

并滿足橫波條件?·A=0，可以求得[8]

(29)

最后一項(xiàng)與物質(zhì)順磁性質(zhì)相關(guān).

再考慮在有心力場中的非相對論狄拉克方程有[7]

(30)

從這個(gè)方程中可以看出它包含了之前所分開討論的所有項(xiàng)，其中，第一、二兩項(xiàng)是不包含自旋的薛定諤方程，第三項(xiàng)是由相對論質(zhì)量修正而來，第四項(xiàng)是自旋軌道耦合能，而且也得出了狄拉克方程所特有的達(dá)爾文項(xiàng).

狄拉克方程的優(yōu)勢在于將量子力學(xué)形成一個(gè)規(guī)范的自洽的體系，在各個(gè)不同的條件下可以得出光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)以及微觀原子在磁場中的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，也將所有的電子自旋性質(zhì)統(tǒng)一在這個(gè)體系當(dāng)中，狄拉克理論的正確性已經(jīng)在正電子的預(yù)言中得到了證實(shí).之后，在粒子物理學(xué)中，具有半整數(shù)自旋的粒子遵循費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)，稱為費(fèi)米子，它們必須占據(jù)反對稱的量子態(tài)，這種性質(zhì)要求費(fèi)米子不能占據(jù)相同的量子態(tài)，這被稱為泡利不相容原理[9～14].

4 電子自旋假設(shè)的啟示

4.1 注重實(shí)驗(yàn)與思維

實(shí)驗(yàn)是物理學(xué)大廈的根基.物理學(xué)理論的建立一般都會(huì)經(jīng)歷：實(shí)驗(yàn)—假說—數(shù)學(xué)推理—實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)—建立理論—拓展應(yīng)用等幾個(gè)階段.從實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)問題，從問題中進(jìn)行思考，從思考獲得答案，從答案中反思過程.在浩蕩的物理學(xué)史中，不難發(fā)現(xiàn)很多理論都是人類思維上巨大的轉(zhuǎn)變，如量子力學(xué)和相對論等.提出分?jǐn)?shù)量子數(shù)同樣是這一段旅程中巨大的閃光點(diǎn)，改變一貫的思維慣性，才能獲得柳暗花明又一村的電子微觀世界運(yùn)動(dòng)的圖景，這需要大量的實(shí)驗(yàn)和深度思維的支撐及不懈的努力.

4.2 注重繼承與創(chuàng)新

電子自旋假設(shè)和其他科學(xué)理論一樣，都是科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)水平發(fā)展到一定階段的必然產(chǎn)物．隨著對于光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)條件的改善，才有實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的觀察．就像兩次工業(yè)革命一樣.同時(shí)，理論的成功是很多位科學(xué)家們一起努力的結(jié)果，對于電子自旋假設(shè)而言，經(jīng)歷了從經(jīng)典的地球自轉(zhuǎn)模型到神奇的半數(shù)量子數(shù)的自旋無疑是一種巨大的創(chuàng)新，這種創(chuàng)新某種意義上對分?jǐn)?shù)電荷粒子夸克的提出也具有影響.