王燁花 何美娟

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院,蘭州 730070)

研究了高斯色噪聲和周期信號(hào)共同作用下非對(duì)稱雙穩(wěn)耦合網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的協(xié)同效應(yīng).此系統(tǒng)是由大量振蕩器組成的網(wǎng)絡(luò)模型,個(gè)體與個(gè)體之間的相互運(yùn)作、變化產(chǎn)生出復(fù)雜的非線性行為模式.為了進(jìn)行深入研究,首先,運(yùn)用平均場(chǎng)理論、統(tǒng)一色噪聲近似理論和等效非線性化等方法對(duì)原始 N 維系統(tǒng)進(jìn)行降維近似.其次,借助役使原理得到簡(jiǎn)化模型的郎之萬方程,進(jìn)一步根據(jù)兩態(tài)模型理論推導(dǎo)出信噪比的理論表達(dá)式,基于此發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)產(chǎn)生了尺度隨機(jī)共振現(xiàn)象.最后,分析了高斯色噪聲、系統(tǒng)參數(shù)和周期信號(hào)等對(duì)非對(duì)稱耦合網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)隨機(jī)共振行為的影響.結(jié)果表明,高斯色噪聲自關(guān)聯(lián)時(shí)間和噪聲強(qiáng)度的增大,能夠促進(jìn)尺度隨機(jī)共振現(xiàn)象;選取合適的耦合系數(shù)能使系統(tǒng)隨機(jī)共振效應(yīng)達(dá)到最佳.此外,還比較了高斯色噪聲和高斯白噪聲分別驅(qū)動(dòng)下系統(tǒng)的隨機(jī)共振問題,發(fā)現(xiàn)高斯色噪聲更有利于增強(qiáng)隨機(jī)共振現(xiàn)象.

1 引言

1981 年,學(xué)者Benzi 等[1]模擬地球大約以10 萬年的冰川期和相對(duì)溫暖期之間交替標(biāo)志著隨機(jī)共振的出現(xiàn).此概念被引入后,掀起了科學(xué)家研究隨機(jī)共振的熱潮.McNamara 等[2]在1989 年將絕熱近似理論運(yùn)用于雙穩(wěn)系統(tǒng)兩態(tài)模型的研究;之后,著名學(xué)者 Dykman 等[3]利用線性響應(yīng)理論描述了過阻尼雙穩(wěn)系統(tǒng)的隨機(jī)共振現(xiàn)象;Zhou 等[4]提出了駐留時(shí)間分布理論.隨著隨機(jī)共振理論和方法的逐漸成熟,其被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域,如基因調(diào)控[5]、化學(xué)突觸[6]、故障診斷[7]等,且隨機(jī)共振在越來越多的系統(tǒng)中被發(fā)現(xiàn).靳艷飛和李貝[8]在分段非線性模型中發(fā)現(xiàn)存在傳統(tǒng)和真實(shí)兩種隨機(jī)共振現(xiàn)象;張曉燕等[9]在噪聲誘導(dǎo)的雙穩(wěn)系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)不僅產(chǎn)生了單隨機(jī)共振,還出現(xiàn)了多重隨機(jī)共振;H?nggi 等[10]研究過阻尼系統(tǒng)時(shí)證實(shí)高斯色噪聲會(huì)削弱隨機(jī)共振效應(yīng);焦尚彬等[11]探究了α穩(wěn)定噪聲與時(shí)滯項(xiàng)結(jié)合下單穩(wěn)系統(tǒng)的共振問題,仿真表明時(shí)滯項(xiàng)不影響隨機(jī)共振的產(chǎn)生.隨機(jī)共振的發(fā)生不僅與系統(tǒng)、噪聲有緊密聯(lián)系,還和信號(hào)密不可分.Zhang 和Zheng[12]研究了周期矩形信號(hào)和高斯色噪聲共同作用下的時(shí)滯雙穩(wěn)系統(tǒng),發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)產(chǎn)生了多重隨機(jī)共振現(xiàn)象.楊建華等[13]討論了受二進(jìn)制非周期信號(hào)和周期方波信號(hào)激勵(lì)的分?jǐn)?shù)階雙穩(wěn)系統(tǒng)的非周期振動(dòng)共振問題,并將其應(yīng)用于檢測(cè)微弱信號(hào).俞瑩丹等[14]對(duì)正弦信號(hào)和高斯白噪聲協(xié)同作用下四穩(wěn)系統(tǒng)進(jìn)行分析,證實(shí)系統(tǒng)存在著雙重隨機(jī)共振現(xiàn)象.

在隨機(jī)共振的研究過程中,大多是針對(duì)單個(gè)變量的一維系統(tǒng),而在實(shí)際現(xiàn)實(shí)中,事物之間往往是相互關(guān)聯(lián)的,表現(xiàn)出復(fù)雜的動(dòng)力行為,并不是孤立、單一的.因此,更能描述實(shí)際問題的耦合網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)受到越來越多的關(guān)注和研究.如馬圣楠[15]討論了耦合網(wǎng)絡(luò)的捕食系統(tǒng)的復(fù)雜行為,對(duì)生態(tài)學(xué)的發(fā)展具有重要的意義;何傳磊[16]研究了軌道交通網(wǎng)絡(luò),分析網(wǎng)絡(luò)之間的耦合協(xié)調(diào)度以提高交通網(wǎng)絡(luò)的安全性;劉小強(qiáng)[17]分析了耦合時(shí)滯和電磁感應(yīng)共同作用下神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的隨機(jī)共振行為,在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域?yàn)樘岣呋颊吒兄芰μ峁┝艘环N思路;孫中奎等[18]對(duì)高斯白噪聲作用下非對(duì)稱雙穩(wěn)耦合網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)進(jìn)行探索.然而,對(duì)于網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的研究,大多數(shù)成果集中在高斯白噪聲上.由于高斯白噪聲的產(chǎn)生需要提供無窮大的功率,這是無法實(shí)現(xiàn)的,屬于一個(gè)理想情形.具有有限功率的高斯色噪聲更符合實(shí)際需要,且能夠更好地闡述客觀實(shí)際,會(huì)使相關(guān)研究更具現(xiàn)實(shí)意義,故研究具有關(guān)聯(lián)時(shí)間的高斯色噪聲誘導(dǎo)下耦合網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象雖然復(fù)雜,卻更有必要.

本文研究了高斯色噪聲與周期信號(hào)共同作用下非對(duì)稱雙穩(wěn)耦合網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的隨機(jī)共振(stochastic resonance,SR)現(xiàn)象.考慮到原系統(tǒng)的復(fù)雜性和非線性,首先對(duì)原始模型進(jìn)行降維處理,之后求得簡(jiǎn)化模型的郎之萬方程,在絕熱近似條件下,計(jì)算出信噪比(signal-to-noise ratio,SNR)的理論表達(dá)式,并發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在尺度隨機(jī)共振現(xiàn)象;最后分別討論系統(tǒng)隨機(jī)共振行為隨著高斯色噪聲自關(guān)聯(lián)時(shí)間、噪聲強(qiáng)度、耦合系數(shù)、非對(duì)稱性系數(shù)、周期信號(hào)幅值等參數(shù)變化而不同的演化情況.

2 非對(duì)稱雙穩(wěn)耦合網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)

本文考慮一組由N個(gè)相互作用的雙穩(wěn)態(tài)振蕩器組成的模型[19],其中每一個(gè)xi都是單自由度的,同時(shí)受到高斯色噪聲和周期信號(hào)的共同作用,可用如下隨機(jī)微分方程表示:

其中i=1,2,···,N;r是非對(duì)稱性系數(shù);N是系統(tǒng)尺度;θ定義為振蕩器之間相互作用的耦合參數(shù);ηi(t)是自關(guān)聯(lián)時(shí)間為τ、噪聲強(qiáng)度為D的高斯色噪聲,且滿足性質(zhì)

周期信號(hào)S(t)=Acos(ωt),A是信號(hào)幅值,ω是信號(hào)頻率.

將系統(tǒng)(1)看作一個(gè)整體,定義xi的全局變量階波動(dòng)矩

對(duì)于(1)式分別運(yùn)用平均場(chǎng)理論[20]和 It隨機(jī)微分法則[21]降維可得關(guān)于X與Mk(t)的隨機(jī)微分方程為

由于方程(2)和方程(3)具有non-Markovian,基于統(tǒng)一色噪聲近似原理[22,23],簡(jiǎn)化可得如下模型:

其中c(X)=X ?M3?3M2X ?3M1X2?X3+r+S(t);c′(X) 是關(guān)于X的導(dǎo)數(shù);ξ(t)為高斯白噪聲,且滿足性質(zhì)

d′(X)是關(guān)于X的導(dǎo)數(shù);ζ(t)為高斯白噪聲,且滿足〈ζ(t)〉=0,〈ζ(t)ζ(t′)〉=2Dδ(t ?t′) .

進(jìn)一步,對(duì)(4)式與(5)式的非線性函數(shù)進(jìn)行等效線性化,令

將(4)式和(5)式在X=0 處泰勒展開,得到近似模型:

依據(jù)Kn與Mn的關(guān)系,可得X和K2的隨機(jī)微分方程:

運(yùn)用高斯近似[24]和役使原理[25],化簡(jiǎn)(8)式與(9)式得到Langevin 方程:

令V ′(X)=0,計(jì)算得到方程(10)的兩個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)為

一個(gè)不穩(wěn)定點(diǎn)為

3 信噪比

隨機(jī)共振是一種噪聲對(duì)于微弱信號(hào)起到協(xié)助并促進(jìn)輸出作用的非線性現(xiàn)象.目前,衡量隨機(jī)共振的測(cè)度指標(biāo)主要有信噪比、信噪比增益、駐留時(shí)間分布、互相關(guān)系數(shù)、統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度等.對(duì)于信噪比這一指標(biāo)傾向于體現(xiàn)出輸入或輸出信號(hào)的特性,故本文采用信噪比來反映系統(tǒng)發(fā)生隨機(jī)共振的效果.信噪比 SNR 定義為功率譜中信號(hào)特征頻率處的幅值與噪聲之間的比值,公式如下:

式中,SS(ω)和SN(ω) 分別表示信號(hào)和噪聲功率譜密度.

接下來推導(dǎo)系統(tǒng)(10)的信噪比表達(dá)式.

利用Novikov 定理[26]等經(jīng)典理論,得到方程(10)的近似FPK 方程如下:

根據(jù)平均首通時(shí)間的概念和最速下降法[27,28],可得粒子分別由X1和X2所在勢(shì)阱的逃逸速率±為

運(yùn)用兩態(tài)模型理論[29],關(guān)于±小參數(shù)Acos(ωt)展開取到A的一次項(xiàng)為

在絕熱近似條件[30]下,兩勢(shì)阱的總概率量n±滿足如下方程:

由于絕熱近似要求振幅A ?1,略掉A的二次項(xiàng)之后,得到信噪比表達(dá)式為

4 隨機(jī)共振

接下來,基于信噪比理論表達(dá)式(15)對(duì)高斯色噪聲和周期信號(hào)共同作用下耦合網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)隨機(jī)共振行為隨色噪聲參數(shù)、系統(tǒng)參數(shù)和周期信號(hào)等參數(shù)的變化情況進(jìn)行詳細(xì)討論.

4.1 隨機(jī)共振的產(chǎn)生

信噪比 SNR 作為高斯色噪聲強(qiáng)度D的函數(shù),其演化情形如圖1 所示,其他參數(shù)固定為N=3,θ=2,τ=0.15,A=0.01,r=0.01 時(shí),從 圖1 可以發(fā)現(xiàn),隨著噪聲強(qiáng)度D從0 逐漸增大到1,SNR曲線先逐漸增大后減小,出現(xiàn)了單峰狀態(tài),由此表明系統(tǒng)產(chǎn)生了隨機(jī)共振現(xiàn)象.

圖1 SNR 關(guān)于噪聲強(qiáng)度D的演化圖Fig.1.Evolution of SNR with noise intensity D.

4.2 高斯色噪聲對(duì)隨機(jī)共振的影響

本小節(jié)研究高斯色噪聲自關(guān)聯(lián)時(shí)間τ和噪聲強(qiáng)度D對(duì)系統(tǒng)(10)隨機(jī)共振響應(yīng)的影響.圖2 描述了 SNR 作為系統(tǒng)尺度N的函數(shù)隨著自關(guān)聯(lián)時(shí)間τ變化的演化情況.從圖2 可以得出,當(dāng)其他參數(shù)選取為θ=3,D=0.3,A=0.01,r=0.02 時(shí),每一條 SNR 曲線隨著N的增加都呈現(xiàn)出非單調(diào)的演化趨勢(shì),即在某個(gè)N值處產(chǎn)生明顯的峰值,意味著系統(tǒng)出現(xiàn)了尺度隨機(jī)共振現(xiàn)象;進(jìn)一步,隨著τ從0.05 逐漸增大到0.4,可以發(fā)現(xiàn) SNR 曲線的峰值逐漸增大,且位置向右發(fā)生偏移,峰值對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)尺度N也從4 變化到6,說明τ的增大能夠促進(jìn)尺度隨機(jī)共振的產(chǎn)生.

圖2 SNR 作為系統(tǒng)尺度N的函數(shù)關(guān)于不同自關(guān)聯(lián)時(shí)間τ的關(guān)系圖Fig.2.Relationship of SNR as a function of system scale N with different correlation time τ .

圖3 給出了 SNR 在不同系統(tǒng)尺度N的條件下,隨著輸入噪聲強(qiáng)度D的改變而產(chǎn)生的不同輸出情況.從圖3(a)可以觀察到,針對(duì)每一個(gè)噪聲強(qiáng)度D,SNR曲線伴隨著N的增加都呈現(xiàn)出單峰狀,說明原始系統(tǒng)出現(xiàn)了 SR 現(xiàn)象.當(dāng)其他參數(shù)為θ=3,τ=0.1,A=0.01,r=0.02 時(shí),隨 著D從0.17 變化到0.5,SNR的峰值逐漸增大,峰值所對(duì)應(yīng)的N值向右移動(dòng),表明噪聲強(qiáng)度D的增大能夠增強(qiáng) SR 現(xiàn)象.

為了比較高斯色噪聲與高斯白噪聲對(duì)于非對(duì)稱耦合網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng) SR 行為的影響,取定參數(shù)為θ=4,τ=0.1,A=0.01,r=0.03 時(shí)圖3(b)給出兩種噪聲分別誘導(dǎo)下系統(tǒng) SNR的演化圖形,其中粉色曲線表示高斯色噪聲作用下 SNR的演化圖,藍(lán)色曲線表示高斯白噪聲作用下 SNR的演化圖,從圖3(b)可以看到D=0.3,D=0.5 時(shí),高斯色噪聲驅(qū)動(dòng)下系統(tǒng)輸出 SNR 數(shù)值均比高斯白噪聲驅(qū)動(dòng)下系統(tǒng)輸出的SNR 數(shù)值要大.由此表明,在同一噪聲強(qiáng)度D下高斯色噪聲能夠增強(qiáng)尺度隨機(jī)共振現(xiàn)象.

圖3 噪聲強(qiáng)度D 對(duì)輸出信噪比SNR的影響 (a) SNR 作為系統(tǒng)尺度N的函數(shù)關(guān)于D 變化的曲線;(b) 分別由高斯色噪聲、高斯白噪聲驅(qū)動(dòng)下系統(tǒng)輸出SNR的對(duì)比Fig.3.The influence of noise intensity D on the output SNR: (a) Curve of SNR as a function of the system scale N with the change of D;(b) comparison of system output SNR driven by Gaussian colored noises and Gaussian white noises respectively.

4.3 系統(tǒng)參數(shù)對(duì)隨機(jī)共振的影響

為了進(jìn)一步考慮系統(tǒng)參數(shù)的改變對(duì)隨機(jī)共振動(dòng)力學(xué)行為的影響,下面給出了耦合系數(shù)、非對(duì)稱性系數(shù)和系統(tǒng)尺度的SNR 演化趨勢(shì)圖,結(jié)果如圖4—圖6 所示.

圖4(a)描述了系統(tǒng)輸出 SNR 在不同系統(tǒng)尺度N條件下,隨著耦合系數(shù)θ變化而發(fā)生的不同輸出情況.可以看出,對(duì)給定的θ值,每條 SNR 曲線都呈現(xiàn)出開始隨著D的增加而增加,之后隨著D的增大而減小的非單調(diào)演化趨勢(shì),表明系統(tǒng)出現(xiàn) SR 現(xiàn)象.另外,給定D=0.3,τ=0.1,A=0.01,r=0.02,當(dāng)θ從1.85 逐漸增大到2.5 時(shí),SNR 曲線的峰值逐漸變大,且輸出 SNR的最大值所需N向N增加的方向移動(dòng),也就是說,θ的增加可促進(jìn)系統(tǒng) SR的產(chǎn)生;但是當(dāng)θ再逐漸增大至28 時(shí),觀察到 SNR 曲線的峰值卻在減小,且 SNR的最大值所對(duì)應(yīng)的N向N減小的方向移動(dòng),即較大的θ抑制了系統(tǒng)產(chǎn)生 SR .換言之,選取合適的耦合系數(shù)θ能夠使系統(tǒng) SR 效應(yīng)達(dá)到最佳效果.

圖4 耦合系數(shù) θ 對(duì)輸出信噪比SNR的影響 (a) SNR 作為系統(tǒng)尺度N的函數(shù)關(guān)于 θ的變化曲線;(b) 分別由高斯色噪聲、高斯白噪聲驅(qū)動(dòng)下系統(tǒng)輸出SNR的對(duì)比Fig.4.The influence of coupling coefficient θ on the output SNR: (a) Curve of SNR as a function of the system scale N with the change of θ ;(b) comparison of system output SNR driven by Gaussian colored noises and Gaussian white noises respectively.

圖4(b)分析了耦合系數(shù)對(duì)高斯色噪聲和高斯白噪聲分別誘導(dǎo)下系統(tǒng) SR 行為的影響.固定其他參數(shù)為D=0.3,τ=0.1,A=0.01,r=0.03,無論耦合系數(shù)θ=3 還是θ=8,高斯色噪聲激勵(lì)下耦合網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)輸出 SNR 曲線數(shù)值均高于高斯白噪聲下SNR值.由此表明,在相同耦合系數(shù)θ下,高斯色噪聲能加強(qiáng)尺度隨機(jī)共振現(xiàn)象.

圖5 討論了 SNR 作為系統(tǒng)尺度N的函數(shù)隨著非對(duì)稱性系數(shù)r變化的演化趨勢(shì).可以觀察到,隨著N的增大,每條 SNR 曲線都出現(xiàn)了共振峰,即系統(tǒng)出現(xiàn)了 SR 現(xiàn)象.當(dāng)θ=3,D=0.3,τ=0.1,A=0.01時(shí),隨著r從0.03 變化到0.1 時(shí),SNR 曲線峰值的高度明顯上升.又注意到,在r=0.03 和r=0.05時(shí) SNR 峰值對(duì)應(yīng)系統(tǒng)尺度N=4,而r=0.07與r=0.1 處峰值對(duì)應(yīng)的N=3 保持不變,換句話說,非對(duì)稱性系數(shù)r對(duì)高斯色噪聲作用下系統(tǒng)尺度隨機(jī)共振的影響是緩慢變化的.

圖5 SNR 作為系統(tǒng)尺度N的函數(shù)關(guān)于不同非對(duì)稱性系數(shù)r的關(guān)系圖Fig.5.Relationship of SNR as a function of system scale N with different asymmetric coefficient r.

系統(tǒng)信噪比 SNR 在不同噪聲強(qiáng)度D條件下,隨著系統(tǒng)尺度N變化而發(fā)生的不同輸出情況如圖6 所示.可以觀察到,當(dāng)N分別取4,8,12 和16 時(shí),每條 SNR 曲線都出現(xiàn)了單峰,說明系統(tǒng)產(chǎn)生了 SR 現(xiàn)象.詳細(xì)地說,選取參數(shù)為θ=2,r=0.02,τ=0.5,A=0.01 時(shí),隨著N從4 逐漸增加到16,系統(tǒng)輸出 SNR 與N的增大成正比,當(dāng)N取到16時(shí),隨機(jī)共振的效果更顯著,這一結(jié)果表明增大系統(tǒng)尺度N能夠促進(jìn)系統(tǒng)的SR 現(xiàn)象.

圖6 SNR 作為噪聲強(qiáng)度D的函數(shù)關(guān)于不同系統(tǒng)尺度N的關(guān)系圖Fig.6.Relationship of SNR as a function of noise intensity D with different system scale N.

4.4 周期信號(hào)對(duì)系統(tǒng)隨機(jī)共振的影響

本節(jié)討論余弦信號(hào)S(t)=Acos(ωt) 對(duì)耦合網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)隨機(jī)共振行為的影響.圖7 給出了信噪比SNR作為系統(tǒng)尺度N的函數(shù),當(dāng)周期信號(hào)振幅A變化時(shí)的演化趨勢(shì).從圖7 中可以得到,每條SNR曲線都有先增加后減小的變化趨勢(shì),都存在局部最大值,說明系統(tǒng)出現(xiàn)了 SR 現(xiàn)象.具體來看,當(dāng)給定其他參數(shù)為θ=3,D=0.3,τ=0.1,r=0.02 時(shí),A從0.02 逐步增大到0.15 時(shí),SNR 曲線的峰值高度隨之變高.這表明,信號(hào)振幅A的增大能夠使系統(tǒng) SR 效應(yīng)更加強(qiáng)烈.

圖7 SNR 作為系統(tǒng)尺度N的函數(shù)關(guān)于不同周期信號(hào)振幅A的關(guān)系圖Fig.7.Relationship of SNR as a function of system scale N with different periodic signal amplitude A.

5 結(jié)論

本文研究了高斯色噪聲與周期信號(hào)共同驅(qū)動(dòng)下非對(duì)稱雙穩(wěn)耦合網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的隨機(jī)共振現(xiàn)象.由于采用的模型是N維系統(tǒng),直接研究比較困難且具有較強(qiáng)的非線性,故先運(yùn)用平均場(chǎng)理論和統(tǒng)一色噪聲近似原理將高斯色噪聲誘導(dǎo)下的non-Markovian模型進(jìn)行降維近似,再通過等效線性化得到簡(jiǎn)化模型,之后根據(jù)高斯近似和役使原理化簡(jiǎn)得到等價(jià)的Langevin 方程,最后在絕熱近似條件下,利用經(jīng)典隨機(jī)共振理論,推導(dǎo)出包含所有參數(shù)的輸出信噪比函數(shù)關(guān)系式.

結(jié)果表明,在一定的參數(shù)范圍內(nèi),系統(tǒng)出現(xiàn)了隨機(jī)共振現(xiàn)象.高斯色噪聲自關(guān)聯(lián)時(shí)間、噪聲強(qiáng)度的增加能夠促進(jìn)尺度隨機(jī)共振的產(chǎn)生;非對(duì)稱性參數(shù)的增大,抑制了隨機(jī)共振效果;而選取合適的耦合系數(shù)使系統(tǒng)的輸出響應(yīng)達(dá)到最大.另外,信號(hào)幅值的改變不會(huì)影響系統(tǒng)產(chǎn)生隨機(jī)共振的尺度.此外,還對(duì)比分析了在其他參數(shù)一致的前提下,高斯色噪聲和高斯白噪聲分別激勵(lì)下系統(tǒng)的隨機(jī)共振行為.研究發(fā)現(xiàn),高斯色噪聲作用下耦合網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)輸出信噪比的數(shù)值更大,高斯色噪聲較高斯白噪聲更有利于增強(qiáng)系統(tǒng)隨機(jī)共振現(xiàn)象.