王芳，白云，龍建宇，曾波

（1.重慶工商大學(xué) 管理科學(xué)與工程學(xué)院，重慶 400067；2.東莞理工學(xué)院 機械工程學(xué)院，廣東 東莞 523808）

0 引 言

2019年新冠肺炎病毒被發(fā)現(xiàn)以來，迅速席卷各地并延續(xù)至今，給我國社會生活、經(jīng)濟發(fā)展和人民群眾的生命和財產(chǎn)安全造成了巨大的影響和干擾，被世界衛(wèi)生組織列為國際關(guān)注的突發(fā)公共衛(wèi)生事件，嚴重威脅社會公眾的日常生活工作。經(jīng)過艱苦抗疫，我國進行入了疫情防控常態(tài)化階段，疫情防控與經(jīng)濟復(fù)蘇同步推進。但是自2022年3月以來，全國各地再次爆發(fā)了不同程度的疫情，多個高校和地區(qū)深受其影響，必須實行“非必要”不出門、公共場所暫不開放等防疫政策。

公共服務(wù)是現(xiàn)代政府的基本職能，服務(wù)型政府建設(shè)是我國行政管理體制改革的重要目標之一，公共服務(wù)體系是政府部門為居民提供公共產(chǎn)品與公共服務(wù)的一整套體系。在新冠肺炎疫情應(yīng)對中，人民群眾的生產(chǎn)生活需求發(fā)生重大變化，公共服務(wù)的供給必須既要保障基本民生需求也要考慮疫情控制需要。隨著進入后疫情時代，為滿足人民群眾的各項需求，公共場所逐漸對外開放，開始正常運營。公共場所是面向社會大眾開放的，人員密集、流動量較大等使得公共場所成為疫情防控工作體系重要的環(huán)節(jié)之一。由于新冠病毒傳播存在復(fù)雜性和不確定性，在新形態(tài)危機下保障人民群眾的生命安全，公共場所管理尤其是公共場所的人員調(diào)度問題面臨著前所未有的挑戰(zhàn)。

以高校圖書館為例，因其服務(wù)功能和定位，使得其具有人群密集程度高、流動性大、場館相對封閉、書籍資料等全面消毒難度大等特點，所以圖書館極易成為疫情感染的場所。在疫情發(fā)生前，其可面向全社會各個階層讀者免費開放，具有社會性，與社會發(fā)展現(xiàn)狀緊密聯(lián)系；在疫情發(fā)生后其是面向全校師生免費開放，提供查詢、借閱及相關(guān)服務(wù)，開展社會教育的公共文化設(shè)施。因此，后疫情時期需要圖書館在新形態(tài)危機下積極應(yīng)對，保障學(xué)生、館員等人員的生命安全，故提出在考慮新冠病毒感染風險的條件下，針對圖書館員工排班、學(xué)生進館流量控制等工作，需要不斷完善圖書館的管理制度的要求。

近年來，由于運籌優(yōu)化算法的發(fā)展和計算機技術(shù)的應(yīng)用，關(guān)于任務(wù)指派和人員調(diào)度問題的研究得到了進一步的拓展?，F(xiàn)有的關(guān)于公共場所的員工調(diào)度的研究主要集中在交通、制造業(yè)、呼叫中心、醫(yī)療衛(wèi)生等系統(tǒng)中，李建斌將“巡檢路線排班最佳”轉(zhuǎn)化為TSP 動態(tài)規(guī)劃問題，用貪婪算法分析每班每人近似最佳路線，考慮錯時交班得出遍歷圖，應(yīng)用Mathematica 編輯對路線進行模擬分析。在新冠肺炎疫情蔓延期間，考慮到病毒傳播的因素，國內(nèi)外對人員調(diào)度優(yōu)化的研究主要集中在醫(yī)療系統(tǒng)中。Mehmet等人研究了新冠肺炎流行期間土耳其一家醫(yī)院醫(yī)生輪班表的準備工作，提出了一個混合整數(shù)規(guī)劃模型并將其轉(zhuǎn)化為一個決策支持系統(tǒng)，在減少病毒傳染的風險下，維持了所有部門的醫(yī)療保健服務(wù)。Kosasih Bai Asmita等人在疫情爆發(fā)期間對雅加達一家公立醫(yī)院的急診室護士調(diào)度進行了研究，在保證急診室護士和患者的比例保持在1：4 的最低比例的前提下，通過改進的Tribrewala、Phillipe 和Browne（TPB）算法對輪班模式進行了優(yōu)化。劉亞蘭等人研究了新型冠狀病毒性肺炎疫情期間基于多目標整數(shù)規(guī)劃模型的護理人員排班，在滿足不同班型人數(shù)需求及患者救治所需的前提下，以最大限度減少護理人力資源和防護用品的消耗為目標，確立目標函數(shù)、約束條件及相應(yīng)的參數(shù)，通過MATLAB 軟件建立多目標整數(shù)規(guī)劃模型并運用CPLEX 求解器求解。Giorgio Zucchi等人研究了在新冠肺炎疫情蔓延背景下，意大利一家大型藥品配送倉庫人員調(diào)度問題，他為降低病毒感染的風險將員工分成相互排斥的組進行工作。Selman Aslan等人通過使用多目標遺傳算法和資源受限的項目調(diào)度技術(shù)，使用COVID-19 感染率建模來解決建設(shè)項目案例的項目工期、大流行風險和項目成本。

傳統(tǒng)的研究方法可以解決員工的排班問題，但是目前新冠病毒的傳播仍具有復(fù)雜性和不可確定性，以上對新冠肺炎期間的人員調(diào)度研究大多集中在醫(yī)療系統(tǒng)，其他系統(tǒng)的員工排班研究也必須提上日程。所以在疫情常態(tài)化階段，人員調(diào)度問題的研究需要結(jié)合防控要求，盡量減少人員的流動性，從而減少感染風險。結(jié)合以上研究，本文根據(jù)研究問題的特征結(jié)合后疫情防疫要求建立了混合整數(shù)線性規(guī)劃模型，用于解決后疫情時期公共場所的人員調(diào)度問題，將員工分成互相排斥的小組，通過感染因子來衡量排班后員工感染病毒的風險，使用數(shù)學(xué)規(guī)劃求解器GUROBI 在短時間內(nèi)獲得問題的最優(yōu)解，不僅可以對提高員工滿意度和服務(wù)對象滿意度，而且對圖書館的運營效率和成本也有著顯著影響。

1 問題模型構(gòu)建

1.1 模型假設(shè)

模型的假設(shè)條件為：（1）所有的員工，對各部門的工作內(nèi)容與業(yè)務(wù)流程都熟悉，即任意員工都可勝任任意部門的工作；（2）默認周天為所有員工的休息日，圖書館閉館不進行開放。

1.2 模型參數(shù)及變量定義

1.2.1 參數(shù)與集合

計劃周的排班方案，一周24 個班次，則作出以下定義：

：班次的集合，其中∈｛1，2，…，24}；

：員工的集合，其中∈｛1，2，…，}；

：部門的集合，其中∈｛1，2，3}；

e：第∈班次的開始時間；

l：第∈班次的結(jié)束時間；

d：第∈班次中需要辦理業(yè)務(wù)的學(xué)生人數(shù)；

P：員工∈辦理業(yè)務(wù)的效率（單位小時內(nèi)能夠服務(wù)的學(xué)生人數(shù)）；

C：單位最大最小工時差成本；

C：平均人力成本。

1.2.2 決策變量

：所有員工中最大的總工作時數(shù)；

：所有員工中最小的總工作時數(shù)；

x：員工∈若在部門∈的班次∈中工作，則x=1，否則為0；

y：員工∈若在部門∈中工作，則y=1，否則為0。

1.3 模型目標函數(shù)及約束條件

考慮到公共場所人員調(diào)度問題是一個復(fù)雜的問題，由于服務(wù)質(zhì)量、人力成本和學(xué)生滿意度是影響排班的主要因素，而且服務(wù)質(zhì)量和人力成本存在二律背反的關(guān)系，所以在建立模型時，將總成本分為排班出現(xiàn)怠工現(xiàn)象導(dǎo)致的人力成本和不能達到服務(wù)水平要求的懲罰成本，以總成本最小為目標，以各班次中學(xué)生到館辦理業(yè)務(wù)的數(shù)量等作為輸入?yún)?shù)，以員工在某一部門的某一班次中工作等作為決策變量，建立排班優(yōu)化模型，目標函數(shù)為：

周一至周六為工作日，三個部門的各班次必須有員工上班，故需滿足以下約束條件：

在沒有疫情時，圖書館排班制度允許員工串部門輪班，但在后疫情時期，為配合疫情防控工作從而降低病毒感染的風險，要求員工始終在某一部門工作，不進行串部門輪班，故需滿足：

為提升員工的工作積極性與工作效率，要求員工不允許連上兩個班次，且上晚班的員工次日不再安排早班，保證員工有充足的休息時間，故需滿足：

決策變量x與決策變量y的耦合關(guān)系應(yīng)滿足以下關(guān)系：

x≤y?，∈，∈

為平衡員工之間的工作時長，提升員工的滿意度，故要求所有員工∈在部門中的最大總工作時數(shù)U 與最小總工作時數(shù)V 之間的差越小越好，即員工之間的工作量達到均衡，故員工中的最大總工作時數(shù)U 與最小總工作時數(shù)V可表示為：

不僅如此，還要盡量滿足學(xué)生辦理業(yè)務(wù)的需求，即員工排班既要避免出現(xiàn)怠工的現(xiàn)象，又要在規(guī)定的上班時間內(nèi)避免因工作效率低下而未達到學(xué)生期望的服務(wù)水平。

2 實驗設(shè)置

2.1 案例數(shù)據(jù)收集與處理

本文所有測試是在3.40 GHz CPU 計算機上進行，使用Python 和9.1.2 版本的GUROBI 優(yōu)化軟件，平均求解時間為15.062 s。以圖書館信息服務(wù)部為例，利用實際數(shù)據(jù)對模型進行驗證。

2.1.1 部門數(shù)

圖書館信息服務(wù)部分為3 個部門，包括信息服務(wù)中心，負責辦理相關(guān)一卡通業(yè)務(wù)，如一卡通掛失、補卡等；服務(wù)管理臺1，負責檢查監(jiān)督學(xué)生入館、前臺咨詢和逾期圖書繳費等其他圖書館前臺管理工作；服務(wù)管理臺2 歸還圖書的分類和歸放等工作，故=1,2,3。

2.1.2 員工數(shù)及效率

三個部門總共需要8 個員工，故={1,2,…,8}，每個員工辦理業(yè)務(wù)的效率如表1所示，其中辦理業(yè)務(wù)的效率為單位小時內(nèi)辦理的業(yè)務(wù)數(shù)量。

表1 員工編號及效率

2.1.3 班次

通過對辦理業(yè)務(wù)的學(xué)生數(shù)量進行過統(tǒng)計和分析，發(fā)現(xiàn)原有的輪班制度不僅存在未將疫情防控要求考慮在內(nèi)的缺陷，而且排班方案也不合理。故對班次做出調(diào)整，一天分為早班、中班、下午班以及晚班4 個班次，一周共有24 個班次，具體的上班時間如表2所示。

表2 上班時間表

2.1.4 辦理業(yè)務(wù)學(xué)生數(shù)

對原始數(shù)據(jù)處理后，本文測試的各班次辦理業(yè)務(wù)學(xué)生數(shù)是從實際統(tǒng)計數(shù)據(jù)中隨機生成的。一周24 個班次辦理業(yè)務(wù)的學(xué)生數(shù)如表3所示。

表3 24 個班次辦理業(yè)務(wù)的學(xué)生數(shù)

2.2 模型效果評價

高校圖書館根據(jù)學(xué)生的各項需求，成立了信息服務(wù)中心、服務(wù)管理臺等部門。但在后疫情時期，病毒傳染路徑存在復(fù)雜性和差異性，傳統(tǒng)的排班會使得感染風險大大增加。因此，通過描繪各部門員工的網(wǎng)絡(luò)圖，基于圖的平均頂點度，計算感染因子值以衡量感染病毒的風險，并將此作為該模型的效果評價指標。

員工網(wǎng)絡(luò)圖的頂點代表員工，邊代表員工在同一部門至少在一起工作過一次。其中，G是第周的部門∈的網(wǎng)絡(luò)圖，每個圖都有頂點集（G）和邊集（G），設(shè)（）為網(wǎng)絡(luò)圖的每個頂點∈對應(yīng)的度，R為部門∈在第周的感染因子，R為部門∈的感染因子值，部門∈在第周的感染因子計算公式為：

部門∈的感染因子值計算公式為：

3 結(jié)果分析

3.1 數(shù)據(jù)分析

首先對一周24 個班次、8 個員工的算例進行測試，測試結(jié)果如圖1所示。與優(yōu)化前的排班方案如圖2所示進行比較，優(yōu)化后的最大工作時長為54 h，最小工作時長為37 h，最優(yōu)目標值為166，大大降低了總成本。

圖1 優(yōu)化后的排班方案

圖2 優(yōu)化前的排班方案

以一周的優(yōu)化結(jié)果為例進行分析，優(yōu)化后的排班方案的總成本比優(yōu)化前明顯降低，如表4所示。最大最小工時差（-）代表員工工作量分配是否均衡，浪費的人力成本代表員工有怠工的現(xiàn)象，懲罰成本是對未按時完成業(yè)務(wù)辦理使得學(xué)生滿意度降低的成本。

表4 優(yōu)化前后成本對比

然后對連續(xù)兩周48 個班次進行排班，可以得出如圖3所示的排班方案，驗證了該模型的有效性。

圖3 優(yōu)化后的兩周排班方案

在優(yōu)化前的排班中，員工可串部門輪班，不考慮交叉感染的風險，所以各部門的感染風險值相同。在優(yōu)化后的排班中，為降低員工之間感染的風險則不允許員工串部門輪班，所以各部門的感染風險值不同。根據(jù)圖4所示的員工網(wǎng)絡(luò)圖，計算出在優(yōu)化前后各部門的感染因子值，如表5所示，優(yōu)化后的各部門感染因子值小于優(yōu)化前的感染因子值，說明優(yōu)化后的排班方案不僅降低了成本，還降低了員工之間感染的風險。

圖4 員工網(wǎng)絡(luò)圖

表5 優(yōu)化前后各部門感染風險值

3.2 靈敏度分析

3.2.1 員工數(shù)量對目標函數(shù)的影響

根據(jù)圖書館的規(guī)定，3 個部門最多招錄共10 名員工，最少招錄共8 人。在最少員工數(shù)為8 人的基礎(chǔ)上，分別增加1 名員工和2 名員工，以原有8 位員工的平均工作效率作為增加員工的工作效率，得到了如表6所示的數(shù)據(jù)。結(jié)果顯示當員工數(shù)量為9 人的時候，總成本最小。

表6 不同員工數(shù)量下的總成本

3.2.2 工作時長對目標函數(shù)的影響

在優(yōu)化前的排班中，每個班次以4 h 為單位進行輪班。結(jié)合實際需要辦理業(yè)務(wù)的數(shù)量與員工工作的靈活性，優(yōu)化后的班次以4.5 h 和3.5 h 進行輪班，結(jié)果顯示，優(yōu)化后的班次使得總成本最小。如表7所示。

表7 不同工作時長下的總成本

4 結(jié) 論

（1）針對疫情常態(tài)化階段的公共場所人員調(diào)度的問題，將感染因子作為模型的效果評價指標，來衡量員工之間感染病毒的風險，構(gòu)建了以排班出現(xiàn)怠工現(xiàn)象導(dǎo)致的人力成本與不能達到服務(wù)水平要求的懲罰成本之和最小化為目標的人員調(diào)度優(yōu)化模型，并用數(shù)學(xué)規(guī)劃求解器GUROBI 進行求解。

（2）算例結(jié)果表明，本模型可解決圖書館工作人員的排班問題，能夠?qū)崿F(xiàn)在降低感染風險的同時還能使圖書館正常開放，驗證了該模型的有效性。對影響目標值的兩個因素（員工數(shù)量和工作時長）進行分析，得出了在員工數(shù)量為9時目標值最優(yōu)的結(jié)論，同時驗證了當前模型的工作時長更符合現(xiàn)實情況，使得總成本最低。

（3）GUROBI 求解器可在短時間內(nèi)求解出該模型的最優(yōu)解，但是在求解大規(guī)模案例（員工數(shù)量、班次數(shù)量等較多）時，求解時間過長。因此，在以后的研究中，考慮將求解器與智能優(yōu)化算法相結(jié)合，提高大規(guī)模案例的求解效率。