李顯皓 徐 穎 任 麗 唐躍進(jìn) 彭思思

非均勻高溫超導(dǎo)帶材對(duì)CORC電纜失超特性的影響研究

李顯皓1徐 穎1任 麗1唐躍進(jìn)1彭思思2

（1. 強(qiáng)電磁工程與新技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（華中科技大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院） 武漢 430074 2. 武漢船用電力推進(jìn)裝置研究所 武漢 430070）

高溫超導(dǎo)CORC（conductor on round core）電纜失超時(shí)的熱負(fù)荷嚴(yán)重威脅了低溫系統(tǒng)和電纜本體的安全穩(wěn)定運(yùn)行。受微米級(jí)超導(dǎo)薄膜制備工藝等的影響，CORC電纜并繞的多根高溫超導(dǎo)帶材不均勻。為分析不均勻臨界電流對(duì)CORC電纜失超特性的影響，該文搭建了基于三維T-A方程的有限元模型。以降維的帶材曲面為求解區(qū)域，以等效的電流密度為求解變量，失超模型在同一幾何中表達(dá)超導(dǎo)和常導(dǎo)兩種屬性，構(gòu)建電流和電勢兩種約束。在導(dǎo)體域建立降維的熱模型，用以考慮損耗和傳熱的影響；在全局建立等效的電路模型，用以控制并聯(lián)導(dǎo)體的分流。進(jìn)一步地，耦合模型考慮溫度依賴的接頭電阻以模擬CORC電纜帶材的燒斷和電流的突變。結(jié)果表明，非均勻高溫超導(dǎo)帶材影響了電流重分配的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，加快了局部失超的發(fā)展過程。

高溫超導(dǎo)CORC電纜 局部失超 不均勻性 臨界電流 有限元法

0 引言

面對(duì)我國電力資源和負(fù)荷資源分布不均的矛盾，超導(dǎo)輸電技術(shù)是實(shí)現(xiàn)大規(guī)模遠(yuǎn)距離輸電的潛在解決方案之一[1-2]。隨著第二代高溫超導(dǎo)帶材的發(fā)展，為了滿足高載流量需求，目前主要發(fā)展了三種主流的電纜拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)：羅貝爾（Roebel）電纜[3]、TSTC電纜（twisted stacked-tape cable）[4]和CORC（conductor on round core）電纜[5]。其中，由高溫超導(dǎo)帶材螺旋繞制的CORC電纜，具有損耗小、容量大、柔韌性高、機(jī)械性能強(qiáng)和電磁環(huán)境友好等優(yōu)點(diǎn)，因此被廣泛應(yīng)用于電力輸送[6]、高場磁體[7]和軍工國防[8]等領(lǐng)域。

雖然超導(dǎo)帶材在正常通流情況下幾乎沒有損耗，但局部缺陷、熱設(shè)計(jì)和外部環(huán)境變化等因素，都可能加重制冷系統(tǒng)的負(fù)擔(dān)，從而引起帶材溫升、臨界電流（c）下降，最終導(dǎo)致超導(dǎo)設(shè)備失超甚至燒毀[9]。因此，為了保障超導(dǎo)電纜的安全穩(wěn)定運(yùn)行，對(duì)于其局部失超特性的研究十分關(guān)鍵。目前，雖然已對(duì)單根超導(dǎo)帶材的失超行為開展了大量的實(shí)驗(yàn)研究和基于H方程的仿真分析[10-12]，但CORC電纜并聯(lián)導(dǎo)體的失超行為與單根帶材有所不同。在實(shí)驗(yàn)研究方面，測量了超導(dǎo)帶材并聯(lián)結(jié)構(gòu)的失超傳播特性[13]，研究了CORC電纜的穩(wěn)定性和正常區(qū)傳播[14]；在仿真分析方面，模擬了不均勻接頭電阻對(duì)CORC電纜失超的影響[15-16]；在解析計(jì)算方面，通過電熱耦合對(duì)高溫超導(dǎo)電纜的失超恢復(fù)特性進(jìn)行了一維模型基礎(chǔ)研究[17]。

實(shí)際上，受高溫超導(dǎo)薄膜制備工藝的影響，帶材不同批次甚至不同長度處的載流能力有差異，在CORC電纜中即表征為整體不均勻的臨界電流[18]；而受機(jī)械損傷、冷卻工況和電磁環(huán)境等的影響，帶材難免產(chǎn)生外源性的局部弱點(diǎn)[19]，在電纜中即可視為引起失超的局部熱點(diǎn)。因此，研究不均勻臨界電流下的失超特性，對(duì)超導(dǎo)電纜的監(jiān)控與保護(hù)具有重要應(yīng)用意義。

本文在T-A方程的基礎(chǔ)上，以超導(dǎo)層和常導(dǎo)層厚度相等為假設(shè)，耦合失超模型以考慮帶材各層間分流；利用均質(zhì)化等效降維的材料物性參數(shù)，耦合熱模型以引入溫度和熱效應(yīng)；基于電纜的等效電路和阻抗特性，耦合分流模型以計(jì)算動(dòng)態(tài)響應(yīng)中電纜各帶材間電流的轉(zhuǎn)移。對(duì)于臨界電流不均勻的單層CORC電纜，模型分析了帶材單個(gè)局部熱點(diǎn)引起的電流重分配，以及對(duì)電纜整體失超速度的惡化。

1 CORC電纜與T-A方程

1.1 電纜模型

CORC電纜一般由多根高溫超導(dǎo)帶材螺旋并繞而成，為便于分析，本文選取了最典型的單層三根并繞結(jié)構(gòu)，如圖1所示。其中，三根帶材在空間中的相對(duì)位置完全對(duì)稱，使得各帶材的自感和互感分別相等，從而減少了模型中的變量。

圖1 三根并繞CORC電纜局部失超幾何模型

電纜模型的參數(shù)見表1。其中，帶材參數(shù)取自上海上創(chuàng)超導(dǎo)的商業(yè)化帶材，經(jīng)測試其既具有較好的抗彎性能，又滿足電纜對(duì)過電流能力和熱穩(wěn)定性的需求。根據(jù)對(duì)帶材和電纜應(yīng)力應(yīng)變的計(jì)算[20]，CORC電纜的繞制角度設(shè)計(jì)為25°。此外，在77K自場環(huán)境下，假設(shè)電纜受損后各帶材的平均臨界電流由標(biāo)稱值146A衰退至136A。

表1 電纜模型參數(shù)

Tab.1 The parameters of cable model

1.2 T方程

在超導(dǎo)域求解的T方程的狀態(tài)變量為電流矢量勢。參考磁矢勢，它的旋度定義為[21]

由于電流密度主要沿導(dǎo)體的長度方向流動(dòng)，電流矢量勢為導(dǎo)體面的法線方向。若為電流矢量勢的幅值，則電流密度可以表示為

對(duì)于第二代高溫超導(dǎo)帶材，可以通過power law描述電場和電流密度的關(guān)系為

式中，c為臨界判據(jù)，1×10-4V/m；norm為電流密度模；c為臨界電流密度；為常數(shù)，本文取為30。

超導(dǎo)域內(nèi)的法拉第定律為

式中，為法向量，=[nn n]T。

超導(dǎo)帶材的電流等于帶材截面電流密度的積分。根據(jù)式（1）對(duì)電流矢量勢的定義，利用斯托克斯定理，可以得到電流與電流矢量勢的關(guān)系為

式中，為帶材截面積；為帶材截面的周長。

如前所述，電流矢量勢為導(dǎo)體面的法線方向，即平行于帶材表面的分量為0。因此

式中，1和2分別為帶材兩側(cè)的值；sc為超導(dǎo)層的厚度。

1.3 A方程

在空氣域求解A方程計(jì)算磁場，其控制方程由安培定理推導(dǎo)得到

此外，可以通過對(duì)空氣域外邊界施加狄利克雷-紐曼邊界條件[22]，以分析外加磁場下的電纜特性。

由磁場方程計(jì)算的磁通密度反饋至式（4），影響了帶材表面的電流密度分布，從而實(shí)現(xiàn)了T方程和A方程的耦合。

2 失超分流模型

當(dāng)超導(dǎo)帶材發(fā)生過電流失超或者過熱失超時(shí)，帶材總電流超過超導(dǎo)層的臨界電流，從而向常導(dǎo)層分流。由于T-A方程不僅將涂層導(dǎo)體超導(dǎo)層視為無限薄的曲面，還忽略了基帶、鍍銅和銀等構(gòu)成層，因此常規(guī)的T-A方程只能用于超導(dǎo)態(tài)的分析。例如，超導(dǎo)層損耗與其電流密度緊密相關(guān)，常用的均質(zhì)化方法不適用于不完全失超狀態(tài)；超導(dǎo)層在帶材寬度方向上的電阻率具有非線性，無法用并聯(lián)電阻公式進(jìn)行等效。此外，當(dāng)超導(dǎo)帶材發(fā)生失超時(shí)，受阻抗特性影響的電流會(huì)在電纜導(dǎo)體間發(fā)生轉(zhuǎn)移，常規(guī)的T-A方程預(yù)設(shè)了各帶材的電流，無法表征這一場路綜合作用下的動(dòng)態(tài)過程。因此，為了準(zhǔn)確描述超導(dǎo)帶材的失超過程，研究超導(dǎo)電纜的過電流特性，構(gòu)建高效普適的電磁熱模型，需要在T-A方程的基礎(chǔ)上搭建失超分流模型。

2.1 帶材失超模型

基于T-A方程的失超模型，需在一個(gè)導(dǎo)體面內(nèi)表達(dá)超導(dǎo)和常導(dǎo)兩種屬性，考慮電流和電勢的約束關(guān)系。此時(shí)，T方程的源項(xiàng)為帶材受控的總電流，因變量為帶材的工程電流密度。由式（6）可得

式中，sc和nc分別為帶材超導(dǎo)層和常導(dǎo)層的電流。

假設(shè)常導(dǎo)層厚度與超導(dǎo)層厚度相等，則有限元模型中式（9）所示的電流的積分約束[12]轉(zhuǎn)換為式（10）所示的電流密度的逐點(diǎn)約束[15-16]。

進(jìn)一步地，考慮電勢的約束關(guān)系[23]，假設(shè)帶材寬度方向上常導(dǎo)層電勢與超導(dǎo)層電勢處處相等。由式（3）可得

式中，nc_x、nc_y和nc_z分別為常導(dǎo)層、和三個(gè)方向的電勢；sc_x、sc_y和sc_z分別為超導(dǎo)層、和三個(gè)方向的電勢；sc_x、sc_y和sc_z分別為超導(dǎo)層、和三個(gè)方向的電流密度。

此外，常導(dǎo)層電阻率由并聯(lián)電阻公式計(jì)算?？紤]常導(dǎo)層厚度與超導(dǎo)層厚度相等的假設(shè)，常導(dǎo)層的等效電阻率為

將式（11）和式（12）代入式（10），即可得到帶材表面任意點(diǎn)超導(dǎo)層和常導(dǎo)層的分流比。

2.2 降維熱模型

與超導(dǎo)層相比，主要由哈氏合金和銅構(gòu)成的常導(dǎo)層具有良好的導(dǎo)熱性，帶材厚度方向的溫度梯度可以忽略不計(jì)?；谠摐囟染鶆蚍植技僭O(shè)，導(dǎo)體域熱模型既表征超導(dǎo)層溫度，也表征常導(dǎo)層溫度。根據(jù)熱平衡方程，熱模型的控制方程為

利用體積平均法，帶材的等效密度、等效比熱容和等效熱導(dǎo)率分別為

最重要的是，熱模型引入了溫度變量。根據(jù)超導(dǎo)基本原理，超導(dǎo)體的臨界電流與溫度有關(guān)。T-A方程、失超模型和熱模型中的臨界電流密度c均需表示為溫度依賴的函數(shù)，即

式中，c為高溫超導(dǎo)帶材的臨界溫度，一般為92K；0為帶材的初始溫度，77K；表征溫度對(duì)臨界電流的影響，一般為1～2；c0為帶材在77K自場下的臨界電流密度。

2.3 電纜分流模型

對(duì)于CORC電纜，當(dāng)超導(dǎo)帶材發(fā)生失超時(shí)，受電阻和電感影響的電流會(huì)在電纜導(dǎo)體間發(fā)生轉(zhuǎn)移。由T方程模型已知，各導(dǎo)體域的電流通過式（6）所示狄利克雷邊界條件逐個(gè)給定。為了表征這一過程，需要構(gòu)建電纜分流模型，使其根據(jù)場路耦合關(guān)系實(shí)時(shí)更新電流矩陣，并自動(dòng)分配給各帶材。

單層三根帶材并繞的CORC電纜等效電路模型如圖2所示。其中，sum為電纜運(yùn)行電流；I為各支路電流；teri為終端接頭電阻；nci為帶材常導(dǎo)層電阻；sci為帶材超導(dǎo)層電阻；L為帶材自感；M,j為帶材間互感；=1,2,3。

圖2 CORC電纜等效電路模型

根據(jù)圖2所示的等效電路，其支路電壓的數(shù)學(xué)模型為

式中，U和I分別為各支路的電壓和電流，也是分流模型的狀態(tài)變量，其對(duì)應(yīng)的控制方程為

此外，根據(jù)表1中的電纜模型參數(shù)，利用磁場能量法，計(jì)算可得帶材自感L為6.48×10-7μH/m，帶材間互感M,j為3.24×10-7μH/m。

3 仿真結(jié)果分析

失超作為一種局部過熱現(xiàn)象，是超導(dǎo)裝置運(yùn)行過程中可能發(fā)生的最嚴(yán)重的故障之一。失超時(shí)超導(dǎo)帶材向阻性狀態(tài)的轉(zhuǎn)變，伴隨著溫度和電壓的升高，產(chǎn)生的焦耳熱引起低溫環(huán)境的失穩(wěn)，從而可能導(dǎo)致超導(dǎo)磁體的燒毀[25-26]。因此，失超監(jiān)控與保護(hù)系統(tǒng)是超導(dǎo)電力裝置的重要組成部分。

由式（3）和式（16）可知，帶材的臨界電流會(huì)影響其阻性電壓，從而影響失超過程中電纜的分流。因此，本節(jié)首先分析了臨界電流不均勻程度對(duì)失超過程中電流重分配動(dòng)態(tài)過程的影響；接著，分析了響應(yīng)末態(tài)，即并聯(lián)導(dǎo)體的失超速度；最后，考慮長電纜電感和帶材燒斷的影響，比較了CORC電纜的失超時(shí)間，以指導(dǎo)失超監(jiān)控與保護(hù)系統(tǒng)的研制。

3.1 局部失超的電流重分配

電纜在0～6ms內(nèi)線性升流至運(yùn)行電流321A并保持不變，2mm長的局部熱源區(qū)域在10～100ms內(nèi)以恒定功率產(chǎn)生約414.3mJ的熱量。之后，電纜進(jìn)入局部失超的動(dòng)態(tài)變化過程。為便于區(qū)分，本文假設(shè)局部熱源所在的帶材為1號(hào)，另外兩根帶材分別為2號(hào)和3號(hào)。

當(dāng)2號(hào)帶材臨界電流c2最大，3號(hào)帶材臨界電流c3最小，即c2＞c1＞c3時(shí)，臨界電流不均勻程度（Δc=2%，5%和8%）對(duì)2號(hào)和3號(hào)帶材的影響如圖3所示。圖3中U為帶材阻性電壓；U為帶材自感電壓；U為帶材互感電壓；teri為終端接頭電阻電壓；,=2, 3且≠。模型雖然考慮了失超時(shí)常導(dǎo)層的分流，但受傳熱的影響，帶材軸向和徑向各點(diǎn)的溫度并不相等。因此，帶材失超模型計(jì)算的超導(dǎo)層和常導(dǎo)層的分流比不相等，即帶材表面各點(diǎn)的電流密度不相等。同樣地，超導(dǎo)層損耗與其溫度和電流有關(guān)，常導(dǎo)層損耗與其電流幾乎成正比，則帶材表面各點(diǎn)的損耗功率也不相等。綜上所述，與細(xì)化的各構(gòu)成層局部分流情況相比，各帶材整體的分流情況能更加直觀地反映其電磁熱特性，如圖3a所示。

圖3 不均勻臨界電流對(duì)CORC電纜失超特性的影響（Ic2＞Ic1＞Ic3）

在＜10ms的穩(wěn)態(tài)，各帶材電流與臨界電流幾乎成正比。在10～100ms的局部熱源發(fā)熱過程中，1號(hào)帶材向2號(hào)和3號(hào)帶材分流。此時(shí)，受臨界電流大小的影響，1號(hào)帶材向2號(hào)和3號(hào)帶材轉(zhuǎn)移的電流并不相等。

為了分析臨界電流大小對(duì)電流增量的影響，首先假設(shè)兩根帶材的電流增量Δ相等。因?yàn)棣橐粋€(gè)極小值，其對(duì)帶材寬度方向上電流密度的分布沒有影響，即Δ∝Δ。根據(jù)式（3），超導(dǎo)層電阻率正比于電流密度與臨界電流密度比值的次方。由于超導(dǎo)帶材載流量小于臨界電流，且?guī)Р牡闹笖?shù)為30，利用不等式關(guān)系易知，臨界電流越大，電阻率增量越小，阻性電壓增量也就越小。因此，根據(jù)式（16），臨界電流較大的帶材需分得更多的電流，以滿足電路模型的控制方程。

圖3a所示的仿真結(jié)果與上述分析一致，電流峰值時(shí)刻臨界電流最大的2號(hào)帶材的分流更多。當(dāng)臨界電流不均勻程度Δc從2%增大到8%，電流峰值時(shí)刻2號(hào)和3號(hào)帶材的電流差值從0.59A增大到2.35A。此后，2號(hào)和3號(hào)帶材的電流逐漸恢復(fù)至相等。

進(jìn)一步分析臨界電流不均勻程度為8%時(shí)2號(hào)和3號(hào)支路各組分電壓，如圖3b所示。值得注意的是，由于帶材超導(dǎo)態(tài)電阻幾乎為0，且失超時(shí)電阻會(huì)被常導(dǎo)層鉗制，因此除接頭電阻電壓外，帶材自感電壓大于互感電壓大于阻性電壓。其中，根據(jù)2號(hào)和3號(hào)帶材自感和互感的大小，自感電壓約為互感電壓的2倍。而2號(hào)和3號(hào)帶材阻性電壓間的顯著差異也驗(yàn)證了不均勻的電流分配是由阻性電壓引起的。

當(dāng)1號(hào)帶材臨界電流最大，3號(hào)帶材臨界電流最小，即c1＞c2＞c3時(shí)，臨界電流不均勻程度（Δc=2%，5%和8%）對(duì)1號(hào)、2號(hào)和3號(hào)帶材電流的影響如圖4所示。隨著臨界電流不均勻程度的增大，臨界電流較大的1號(hào)和2號(hào)帶材的峰值電流幾乎不變，臨界電流最小的3號(hào)帶材的峰值電流從142.46A減小至141.48A。然而，不均勻的臨界電流主要影響了＞200ms時(shí)電流的分配。在=800ms的末態(tài)，當(dāng)臨界電流不均勻程度為2%時(shí)，1號(hào)帶材電流為96.21A，2號(hào)和3號(hào)帶材電流為112.61A；當(dāng)臨界電流不均勻程度為5%時(shí)，1號(hào)帶材電流為99.72A，2號(hào)和3號(hào)帶材電流為110.86A；當(dāng)臨界電流不均勻程度為8%時(shí)，1號(hào)帶材電流為102.69A，2號(hào)和3號(hào)帶材電流為109.37A。

圖4 不均勻臨界電流對(duì)CORC電纜失超特性的影響（Ic1＞Ic2＞Ic3）

當(dāng)3號(hào)帶材臨界電流最大，1號(hào)帶材臨界電流最小，即c3＞c2＞c1時(shí)，臨界電流不均勻程度（Δc=2%，5%和8%）對(duì)1號(hào)、2號(hào)和3號(hào)帶材電流的影響如圖5所示。此時(shí)，隨著臨界電流不均勻程度的增大，臨界電流較小的1號(hào)和2號(hào)帶材的峰值電流幾乎不變，臨界電流最大的3號(hào)帶材的峰值電流從143.07A增大至143.74A。同樣地，不均勻的臨界電流主要影響了＞0.2s時(shí)電流的分配。在=0.8s的末態(tài)，當(dāng)臨界電流不均勻程度為2%時(shí)，1號(hào)帶材電流為90.99A，2號(hào)和3號(hào)帶材電流為115.22A；當(dāng)臨界電流不均勻程度為5%時(shí)，1號(hào)帶材電流為87.46A，2號(hào)和3號(hào)帶材電流為116.98A；當(dāng)臨界電流不均勻程度為8%時(shí)，1號(hào)帶材電流為84.2A，2號(hào)和3號(hào)帶材電流為118.62A。

綜上所述，電纜失超的動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程中，重分配電流的差異主要是由不均勻帶材的阻性電壓引起的。不同工況下，電纜各帶材的電流重分配情況見表2。局部發(fā)熱的1號(hào)帶材臨界電流越小，其向2號(hào)和3號(hào)帶材轉(zhuǎn)移的電流越多，且2號(hào)和3號(hào)帶材電流增量的不均勻性與臨界電流的不均勻程度一致。另一方面，以仿真末態(tài)=0.8s時(shí)刻的1號(hào)帶材電流和相對(duì)電流作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，其中0為失超前初始穩(wěn)態(tài)電流，局部發(fā)熱帶材的臨界電流越大，其動(dòng)態(tài)響應(yīng)后的電流恢復(fù)速度越快，且當(dāng)局部發(fā)熱帶材的臨界電流為中間值時(shí)，臨界電流不均勻程度對(duì)電流恢復(fù)速度的影響較小。因此，臨界電流較大的帶材或線圈，在超導(dǎo)裝置中應(yīng)承擔(dān)更嚴(yán)苛的電磁和力學(xué)工況，以降低失超的風(fēng)險(xiǎn)。

表2 電流重分配

Tab.2 Current redistribution

3.2 短電纜的失超時(shí)間

除了局部失超過程中的電流重分配，不均勻的臨界電流還會(huì)影響電纜的失超時(shí)間。假設(shè)在各種因素的影響下，CORC電纜受損后三根帶材的平均臨界電流減小為136A，而臨界電流的不均勻程度仍選取為8%，以保證臨界電流較小的帶材在穩(wěn)態(tài)通流情況下不失超。為了縮短模型的計(jì)算時(shí)間，電纜的運(yùn)行電流提高到360A。對(duì)于8cm長的電纜模型，CORC電纜各帶材的最高溫度和電流如圖6所示。

當(dāng)c2＞c1＞c3時(shí)，隨著1號(hào)帶材溫度的持續(xù)上升，1號(hào)帶材的電流不斷減小，并轉(zhuǎn)移至2號(hào)和3號(hào)帶材。當(dāng)=1.4s時(shí)，臨界電流最小的3號(hào)帶材的溫度開始上升，此時(shí)其電流約為160.19A，1號(hào)帶材的電流幾乎全部向臨界電流最大的2號(hào)帶材轉(zhuǎn)移。此后，隨著3號(hào)帶材溫度的升高，其臨界電流逐漸下降，更多的電流向2號(hào)帶材轉(zhuǎn)移。當(dāng)=2.15s時(shí)，2號(hào)帶材的電流達(dá)到峰值200.06A，此時(shí)其溫度開始迅速升高，大部分電流向即將失超的1號(hào)帶材轉(zhuǎn)移。此后，1號(hào)帶材、3號(hào)帶材和2號(hào)帶材依次失超。

圖6 不均勻臨界電流對(duì)8cm長的CORC電纜失超時(shí)間的影響

當(dāng)c1＞c2＞c3時(shí)，各帶材溫度和電流的轉(zhuǎn)移過程與c2＞c1＞c3時(shí)類似。由于2號(hào)帶材的臨界電流為136A，在=2.01s時(shí)，臨界電流相對(duì)更大的2號(hào)帶材的電流達(dá)到峰值183.2A，在超導(dǎo)層損耗和常導(dǎo)層損耗的作用下，此時(shí)其最大溫度為77.6K并開始迅速升高。此后，1號(hào)帶材、3號(hào)帶材和2號(hào)帶材依次失超。

當(dāng)c3＞c2＞c1時(shí)，由于1號(hào)帶材的臨界電流最小，當(dāng)=2.2s時(shí)，2號(hào)帶材的溫度開始上升，此時(shí)其電流已超過170A，1號(hào)帶材的電流幾乎全部向臨界電流最大的3號(hào)帶材轉(zhuǎn)移。此后，隨著2號(hào)帶材溫度的升高，其臨界電流逐漸下降，更多的電流向3號(hào)帶材轉(zhuǎn)移。當(dāng)=3.56s時(shí)，2號(hào)帶材的電流達(dá)到峰值197.46A，此時(shí)其溫度開始迅速升高，大部分電流向即將失超的1號(hào)帶材轉(zhuǎn)移。然而，由于2號(hào)帶材臨界電流也較大，其在3號(hào)帶材電流轉(zhuǎn)移過程中的發(fā)熱功率較小。在=3.74s時(shí)，3號(hào)帶材的最大溫度反超2號(hào)帶材，同樣使得1號(hào)帶材最先失超，3號(hào)帶材先于2號(hào)帶材失超。

3.3 長電纜的失超時(shí)間

受帶材電感續(xù)流作用的影響，長電纜可以抑制電纜的失超過程。然而，基于上述失超模型，當(dāng)帶材完全失超時(shí)其電壓會(huì)被失超電阻鉗制，從而使得局部發(fā)熱帶材的電流和溫度持續(xù)上升，其他并聯(lián)導(dǎo)體受到的影響較小。實(shí)際上，當(dāng)溫度或瞬時(shí)溫升到達(dá)一定程度時(shí)，帶材會(huì)被燒斷且電流驟降為0，帶材原有的電流會(huì)全部轉(zhuǎn)移至其他并聯(lián)導(dǎo)體[27]。對(duì)于這一過程和現(xiàn)象，在有限元軟件中一般是無法直接模擬的，這主要是因?yàn)槟Ｐ蛥?shù)，尤其是自變量的突變極易造成求解器的不收斂。

為了解決這一問題，根據(jù)式（16）所描述的CORC電纜支路電壓方程，本節(jié)提出了基于溫度依賴的接觸電阻定義方法，以模擬并聯(lián)結(jié)構(gòu)中帶材的燒斷。該電阻定義為

式中，burn為帶材燒毀溫度；Δ為帶材燒毀的溫度判據(jù)區(qū)域；為常數(shù)。

該方法的主要思想為：當(dāng)帶材溫度小于燒毀溫度時(shí)，接頭電阻阻值為正常值；當(dāng)帶材溫度大于燒毀溫度時(shí)，接頭電阻阻值按指數(shù)冪迅速升高。假定為與式（3）中相同的常數(shù)，則當(dāng)帶材溫度略大于燒毀溫度時(shí)，接頭電阻阻值趨向于無窮大，電壓一定的情況下電流驟降為0，等效為支路開路。在該模型中，burn為150K，Δ為0.2K，為100。該定義保證了電流截?cái)嗵幍钠交^渡。

因此，在不影響場特性的情況下修改電路模型中電阻和電感項(xiàng)的長度，結(jié)合模擬帶材燒毀的接頭電阻定義方法，10m長的CORC電纜各帶材的最高溫度和電流如圖7所示。由圖6的分析可知，失超對(duì)電纜的影響本質(zhì)上是溫度對(duì)超導(dǎo)帶材臨界特性的影響，因此局部失超時(shí)的溫升會(huì)引起并聯(lián)導(dǎo)體電流重分配，而熱源、熱傳導(dǎo)和換熱的共同作用會(huì)使得系統(tǒng)處于一個(gè)動(dòng)態(tài)的變化中。當(dāng)2號(hào)和3號(hào)帶材的電流上升到一定程度時(shí)，過電流引起的整體損耗超過了冷卻效率，局部溫升及熱量擴(kuò)散使得其阻性電壓迅速增大。在支路電壓相等的電路模型控制方程中，此時(shí)即將失超的1號(hào)帶材電流反而升高，加劇了其失超發(fā)展速度。當(dāng)1號(hào)帶材的最高溫度達(dá)到150K時(shí)，由圖7b可見，1號(hào)帶材的電流迅速驟降至0，2號(hào)和3號(hào)帶材的電流階躍上升。對(duì)應(yīng)圖7a中，1號(hào)帶材的最高溫度維持在150K，2號(hào)和3號(hào)帶材的最高溫度迅速上升。

圖7 不均勻臨界電流對(duì)10m長的CORC電纜失超時(shí)間的影響

當(dāng)c2＞c1＞c3時(shí)，2號(hào)和3號(hào)帶材的電流在=2.072s前后的50ms區(qū)間內(nèi)分別達(dá)到峰值180.93A和154.48A，此時(shí)1號(hào)帶材的電流幾乎達(dá)到最小值24.59A，此后1號(hào)帶材約在=8.79s燒斷；當(dāng)c1＞c2＞c3時(shí)，2號(hào)和3號(hào)帶材的電流在=1.57s前后的10ms區(qū)間內(nèi)分別達(dá)到峰值169.37A和155.99A，此時(shí)1號(hào)帶材的電流幾乎達(dá)到最小值34.642A，此后1號(hào)帶材約在=6.715s燒斷；當(dāng)c3＞c2＞c1時(shí)，2號(hào)和3號(hào)帶材的電流在=2.908s前后的80ms區(qū)間分別達(dá)到峰值165.52A和178.51A，此時(shí)1號(hào)帶材的電流幾乎達(dá)到最小值15.97A，此后1號(hào)帶材約在=11.93s燒斷。此外，與8cm長的電纜相同，在這三種不均勻臨界電流情況下，總是1號(hào)帶材最先失超，3號(hào)帶材其次失超，2號(hào)帶材最后失超。

以臨界溫度c為92K作為失超判據(jù)，不均勻臨界電流對(duì)失超時(shí)間的影響見表3。

對(duì)于8cm長的電纜，當(dāng)CORC電纜各帶材臨界電流相等時(shí)，1號(hào)帶材的失超時(shí)間為3.132s，2號(hào)和3號(hào)帶材的失超時(shí)間平均滯后0.136s。當(dāng)1號(hào)帶材的臨界電流不變，2號(hào)和3號(hào)帶材的臨界電流不均勻，則1號(hào)帶材的失超時(shí)間縮短為2.355s，縮短了0.777s，3號(hào)帶材的失超時(shí)間僅滯后0.019s，2號(hào)帶材的失超時(shí)間最多滯后0.088s。當(dāng)1號(hào)帶材的臨界電流最大時(shí)，其失超時(shí)間進(jìn)一步縮短至2.222s；當(dāng)1號(hào)帶材的臨界電流最小時(shí)，電纜耐局部失超的能力有所提高。

對(duì)于10m長的電纜，受電感續(xù)流作用的影響，整體上1號(hào)帶材的失超時(shí)間略有縮短，但2號(hào)和3號(hào)帶材的失超時(shí)間顯著增長。當(dāng)1號(hào)帶材的臨界電流為中間值時(shí)，2號(hào)和3號(hào)帶材的失超時(shí)間平均滯后6.273s；當(dāng)1號(hào)帶材的臨界電流最大時(shí)，2號(hào)和3號(hào)帶材的失超時(shí)間平均滯后4.887s；當(dāng)1號(hào)帶材的臨界電流最小時(shí)，2號(hào)和3號(hào)帶材的失超時(shí)間平均滯后8.259s。

表3 失超時(shí)間

Tab.3 Quench time

綜上所述，非均勻高溫超導(dǎo)帶材會(huì)加快CORC電纜的失超發(fā)展過程，且局部發(fā)熱帶材的臨界電流越大，失超速度越快。當(dāng)Δc為8%時(shí)，對(duì)于局部發(fā)熱帶材臨界電流非最小的短電纜，其失超時(shí)間縮短超過25%；對(duì)于局部發(fā)熱帶材臨界電流最大的長電纜，其失超時(shí)間進(jìn)一步縮短約20%。因此，高溫超導(dǎo)帶材的非均勻性，對(duì)基于分布式光纖測溫的超導(dǎo)電纜失超保護(hù)方法研究和監(jiān)測系統(tǒng)研制提出了更高的要求[28-29]。

4 結(jié)論

本文基于三維T-A方程，搭建了CORC電纜的失超分流模型，進(jìn)一步提出了并聯(lián)導(dǎo)體帶材燒斷的模擬方法，從而分析了非均勻高溫超導(dǎo)帶材對(duì)CORC電纜失超特性的影響，得出如下結(jié)論。

1）對(duì)于局部失超的電流重分配過程，重分配電流的差異主要是由不均勻帶材的阻性電壓引起的，且隨臨界電流不均勻程度的增大而增大。局部發(fā)熱帶材的臨界電流越大，其向外轉(zhuǎn)移的電流越小，不完全失超狀態(tài)下的恢復(fù)速度越快。

2）對(duì)于短電纜，非均勻高溫超導(dǎo)帶材顯著加快了并聯(lián)導(dǎo)體的失超速度。當(dāng)Δc為8%且局部發(fā)熱帶材的臨界電流非最小時(shí)，失超時(shí)間縮短超過25%。

3）對(duì)于長電纜，非均勻高溫超導(dǎo)帶材進(jìn)一步加快了CORC電纜的失超速度。當(dāng)Δc為8%且局部發(fā)熱帶材的臨界電流最大時(shí)，失超時(shí)間較短電纜縮短約20%。

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Influence of Non-Uniform High Temperature Superconducting Tapes on Quench Characteristics of CORC Cable

Li Xianhao1Xu Ying1Ren Li1Tang Yuejin1Peng Sisi2

（1. State Key Laboratory of Advanced Electromagnetic Engineering and Technology School of Electrical and Electronic Engineering Huazhong University of Science and Technology Wuhan 430074 China 2. Wuhan Institute of Marine Electric Propulsion Wuhan 430070 China）

The thermal load of the high temperature superconducting (HTS) CORC cable during quenching threatens the safe and stable operation of the cryogenic system and the cable body. Affected by the preparation process of micron-scale superconducting thin films, multiple HTS tapes wound in parallel with the CORC cable are not uniform. To analyze the influence of non-uniform critical current on quench characteristics of CORC cables, a finite element model based on the three-dimensional T-A formulation was built. Taking the reduced-dimensional tape surface as the solution area and the equivalent current density as the solution variable, the quench model expressed two properties of superconductivity and normal-conductivity, and constructed two constraints of current and potential in the same geometry. A reduced-dimensional thermal model was established in the conductor domain to consider the effects of loss and heat transfer; an equivalent circuit model was established globally to control the current redistribution. Further, the coupled model considered the temperature-dependent terminal resistance to simulate the burnout of tape and abrupt changes in current. The simulation results show that non-uniform HTS tapes affect the dynamic response of current redistribution and accelerate the development of local quench.

High temperature superconducting CORC cable, local quench, non-uniformity, critical current, finite element method

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.221256

TM26

GF科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基金資助項(xiàng)目（6142217210207）。

2022-06-30

2022-07-28

李顯皓 男，1997年生，博士研究生，研究方向?yàn)槌瑢?dǎo)電纜多場分析。E-mail：lixh@hust.edu.cn

任 麗 女，1968年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)槌瑢?dǎo)電力。E-mail：renli@mail.hust.edu.cn（通信作者）

（編輯 赫蕾）