王 豪，黃艷松，李科鋒

(1.海軍裝備部，北京 100070； 2.中國航發(fā)湖南動力機械研究所，湖南 株洲 412000)

0 引言

螺旋錐齒輪具有高承載能力、高傳動平穩(wěn)性、高重合度等優(yōu)勢，廣泛應用于直升機傳動系統(tǒng)、航空發(fā)動機等重載高速齒輪傳動中。目前，螺旋錐齒輪加工方法主要為五刀法與雙重螺旋法。相較于五刀法，雙重螺旋法具有高效率、低成本、同批次齒輪幾何精度一致性好、高速干切削等優(yōu)點。由于螺旋錐齒輪齒面形貌較為復雜，在設計加工中質量控制較為困難，容易產生動態(tài)性能和振動噪聲問題。經(jīng)研究證明，工作載荷下的實際重合度和傳動誤差是影響振動噪聲的主要因素。降低齒輪振動和改善接觸性能，可采用增大齒輪副嚙合重合度的方法。

目前提高重合度的方法主要為局部綜合法：通過控制接觸跡傾斜程度，大輪加工參數(shù)和小輪齒坯參數(shù)無需調整,僅對小輪加工參數(shù)進行設計,即可實現(xiàn)提高重合度的目的。但該方法主要針對五刀法，不適用于雙重螺旋法。

本文針對雙重螺旋法加工的螺旋錐齒輪，通過齒面主動設計的方法，控制齒面接觸跡的傾斜程度以及傳動誤差曲線幅值，實現(xiàn)提高重合度，改善接觸性能的目的。

1 重合度的基本概念

1.1 重合度定義

螺旋錐齒輪理論上為點接觸齒面，在齒面為完全剛性的情況下，嚙合跡線在齒面形成一條連續(xù)的點列，即為接觸跡。在實際滾檢和加載運行過程中，由于齒面的接觸變形，在接觸點周圍形成瞬時接觸橢圓，齒面的接觸印痕由一系列的瞬時接觸橢圓沿接觸跡排列構成。齒輪在嚙合過程中的重合度(Contact Ratio)定義為：

=

(1)

式中，為小輪單齒從開始進入嚙合到退出嚙合所轉過的角度(時間)，=360°為小輪的嚙合周期角度(時間)，為小輪齒數(shù)。

1.2 設計重合度與實際重合度

螺旋錐齒輪齒面具有準共軛特性，在傳遞載荷很小(趨于零)的情況下，實際重合度不受設計重合度影響，始終為1.0。此時齒面上的接觸跡只有中間的一段參與嚙合(圖1中a- a′段)。當載荷增大，相應的齒面變形補償了第二對齒間的間隙，潛在接觸區(qū)發(fā)生齒面接觸。參與嚙合的接觸跡長度增加，使得重合度增大,當齒輪副接觸印痕達到齒頂時(圖1中e點/ e′點)，重合度達到設計的最大值。當傳遞載荷繼續(xù)增大，則會產生邊緣接觸，雖然重合度會略有增加，但過度的邊緣接觸容易造成振動噪音和強度破壞，應盡量避免。

1.3 接觸跡與重合度的關系

接觸跡的長度在一定程度上反映了齒輪的重合度，增長嚙合過程中的接觸跡能夠提高重合度。當齒面接觸跡與齒根夾角減小時，接觸跡長度增加，增大，使得重合度增加。

1.4 傳動誤差曲線與重合度

在圖1中，交叉點a和a′為輪齒傳動過程中的嚙合轉換點，端點e和e′為齒面潛在接觸跡的開始點和結束點，即實際重合度達到設計最大值，可得設計最大重合度可表示為：

=

(2)

式中，為小輪單齒從e點到e′點轉過的角度(時間)。

圖1 齒面接觸分析示意圖

2 重合度設計

根據(jù)齒面接觸跡和傳動誤差曲線與重合度的關系，通過齒面主動設計的方法，在已有的大輪齒面方程的基礎上，根據(jù)嚙合關系獲得與其完全共軛的基準齒面，確定所需接觸跡和傳動誤差。在基準齒面的基礎上獲得小輪目標齒面，以小輪加工參數(shù)調整量為設計變量構建求解模型，求解獲得期望重合度的齒面。

2.1 構建小輪基準齒面

如圖2建立大輪和小輪之間嚙合位置關系。其中，={;;;}為機床坐標系，固連于滾檢機。={;;;}為大輪坐標系，隨大輪轉動，={;;;}為小輪坐標系，隨小輪轉動，和為輔助坐標系。在齒輪嚙合過程中，小輪轉角為，大輪轉角為，為小輪相對于大輪的偏置距，為軸交角。

依據(jù)參考文獻[4]，可得大輪齒面矢量方程(,)及其對應的法式()，分別轉換到機床坐標系中，可得：

(3)

式中，

圖2 嚙合坐標系

大輪齒面與小輪齒面之間滿足完全共軛關系，則有

(4)

根據(jù)完全共軛嚙合關系，可將大輪齒面方程轉換至小輪坐標系下，從而獲得滿足完全共軛關系的小輪齒面如下：

(5)

式中，

2.2 構建小輪目標齒面

在本文中，為了降低振動和沖擊所帶來的影響，將傳動誤差曲線設計為左右對稱、開口向下的拋物線，傳動誤差可表示為：

(6)

式中是嚙合轉換點處的傳動誤差幅值。

在齒面接觸分析中，根據(jù)傳動誤差的定義可得實際傳動誤差曲線方程如下：

(7)

根據(jù)格里森技術標準，將齒面劃分為5行9列共45點，并建立坐標系，如圖3所示設置接觸跡線。其方程可表示為：

(,)=-+(-)tan()=0

(8)

即在坐標系中，接觸點跡線為一直線，其與方向夾角為，和為參考點坐標。

圖3 齒面網(wǎng)格定義

為了能夠使嚙合過程中傳動誤差滿足預置的條件，用式(6)和式(7)代替滿足完全共軛關系時的運動關系式(4)，可得到滿足公式(6)的新齒面，表達式如下：

(9)

所得齒面大、小輪之間為線嚙合，還需進行齒面修正，才能獲得點接觸齒面。取公式(9)齒面上的任意網(wǎng)格點，設置其沿法矢量方向上的齒面修正量為：

(10)

式中，為彈性變形量；為瞬時接觸橢圓長半軸尺寸；為齒面任意網(wǎng)格點與預置接觸跡線在切平面上的投影距離。

可得目標齒面上任意網(wǎng)格點的表達式為：

(11)

2.3 小輪加工參數(shù)求解

本文對小輪原齒面的加工參數(shù)進行調整以達到與目標齒面相逼近的目的。在實際加工中，刀具齒形角不易調整，故在此不予考慮。將小輪加工參數(shù)調整量Δ作為設計變量，小輪加工參數(shù)可表示為：

=+Δ

(12)

以求目標齒面和解獲得齒面之間的偏差平方之和最小作為優(yōu)化目標，上述齒面間在任意網(wǎng)格點上的法向偏差可表示為：

(13)

其中，角標和表示小輪凸面和凹面。將式(13) 中小輪原齒面加工參數(shù)用式(12)代替，即可獲得優(yōu)化的目標函數(shù)：

(14)

根據(jù)在實際應用中齒輪副兩種轉向的時長比確定加權系數(shù)。

本文采用MATLAB軟件中的fmincon程序來對所建模型進行求解。對求解獲得的齒輪加工參數(shù)通過MATLAB軟件進行齒面接觸分析，得到齒面接觸印痕和傳動誤差曲線，進而檢驗齒面重合度情況；同時，根據(jù)大、小輪加工參數(shù)，通過齒面方程求解獲得大輪和小輪的齒面三維坐標點，在三維軟件完成模型構建后導入ABAQUS軟件中開展有限元仿真，檢驗齒面接觸性能情況。

3 算例分析

選取一對8×43準雙曲線齒輪副作為原齒面，其為采用雙重螺旋法加工。齒輪副基本參數(shù)和加齒參數(shù)如表1和表2所示。

表1 齒輪副基本參數(shù)

表2 齒輪副加工參數(shù)

傳動誤差曲線上的嚙合轉換點幅值反映了齒輪副對安裝和加工誤差的敏感性。本文針對低速重載的工況，改善齒輪副的嚙合性能。滿足該性能需加大齒面的接觸跡傾斜程度，加大傳動誤差的嚙合轉換點幅值。如表3所示進行接觸跡和傳動誤差曲線參數(shù)設置，其中實例一以原齒面為起始齒面，實例二以求解獲得的實例一齒面為起始齒面，以小輪凹面為工作面，小輪凸面為非工作面。

表3 參數(shù)設置

為保證兩側齒面的嚙合質量，對取值0.5，由式(14)的優(yōu)化模型可獲得實例一相應的小輪加工參數(shù)調整量，如表4所示；將實例一所得的小輪齒面作為實例二的起始齒面，求得的小輪加工參數(shù)調整量如表5所示。

表4 實例一小輪加工參數(shù)調整量

表5 實例二小輪加工參數(shù)調整量

對求解獲得的齒輪副進行齒面接觸分析，結果如圖4和表6所示。

圖4 齒面接觸分析結果

表6 結果參數(shù)

經(jīng)分析可得：①原齒面、實例一齒面及實例二齒面之間，工作面和非工作面的接觸跡線傾斜程度按設計逐漸加大；②原齒面、實例一齒面及實例二齒面之間，工作面和非工作面的設計最大重合度和嚙合轉換點處的傳動誤差幅值按設計逐漸加大。

圖5為原齒面齒輪副、實例一齒輪副以及實例二齒輪副的工作面、非工作面在1000 N·m的負載下，齒輪副嚙合過程中大輪齒面的接觸壓力情況。

圖5 1000 N·m下齒輪副接觸壓力情況

分析圖5可得：①圖中，工作面及非工作面均發(fā)生了邊緣接觸，潛在接觸區(qū)參與了整個嚙合過程，且邊緣接觸在大輪齒根部分較為明顯；②在原齒面齒輪副中，接觸壓力較大區(qū)域主要集中在大輪齒根部分，在實例一齒輪副與實例二齒輪副中，接觸壓力較大區(qū)域有往齒面中部移動的趨勢；③從圖5中可得，原有實際齒輪副的最大接觸壓力最大，實例二齒輪副中的接觸壓力最小。

由此可得，針對低速重載工況下重合度設計的實例一和實例二達到了改善接觸性能的效果，降低了最大接觸壓力，并對嚙合傳動過程中的邊緣接觸問題有所改善，達到了本文重合度設計的目的。

4 結論

本文針對采用雙重螺旋法加工的螺旋錐齒輪，通過齒面主動設計的方法，預置接觸跡傾斜角度和傳動誤差曲線幅值，設計出重合度高、接觸性能好的螺旋錐齒輪。經(jīng)齒面接觸分析和計算機仿真，驗證了所提方法的有效性。