何紀輝，王 倩，趙 瑛

(內(nèi)蒙古科技大學信息工程學院，內(nèi)蒙古 包頭 014010)

0 引言

在圖像信息加密的過程中，信息加密的速度、空間的占用率、密文的復雜程度、抗噪能力以及抗攻擊性都是反映圖像加密算法優(yōu)劣性的重要指標。

1 傳統(tǒng)加密技術(shù)

1.1 對稱加密

對稱加密機制是目前研究當中應用最為廣泛的一種，也是理論研究和現(xiàn)實應用中使用較多的一種，整個加密解密流程呈對稱的狀態(tài)。又因為整個過程中只使用了一種密鑰，故對稱密鑰加密也被稱為單鑰體制。1977 年，美國國家標準局發(fā)布了數(shù)據(jù)加密標準（DES），該加密算法是由IBM 公司研制，是迄今為止運用最為廣泛的分組密碼算法。伴隨著時間的推移和密碼破解技術(shù)的不斷進步，DES 的安全性能不足以滿足后續(xù)的需求，于是新加密標準（AES）被推出。而DES 仍是一項具有里程碑意義的技術(shù)，其對于后續(xù)技術(shù)的發(fā)展與設(shè)計有著很大的參考價值。

1.2 非對稱加密

非對稱加密的原理大體上與對稱加密相似，主要區(qū)別在于：對稱加密機制中加密密鑰和解密密鑰是相同的，而非對稱加密機制中加密密鑰為公鑰，解密密鑰為私鑰。其中公鑰的信息是可以公開的，同時，信息的接收者只有擁有私鑰才能獲得明文信息，因此非對稱加密也稱為雙鑰體制或者公鑰體制。1978 年，RSA 算法由R.Rivest、L.Adleman 和A.Shamir 提出，該算法是目前最具影響力的公鑰加密算法，被ISO 列為公鑰數(shù)據(jù)加密標準。在對RSA 算法的攻擊上，只有短長度的RSA 密鑰才能被暴力破解，理論上只要RSA密鑰長度夠長，就無法實現(xiàn)對加密信息的破獲。

2 基于矩陣變換[3]和像素置換的加密技術(shù)

2.1 Arnold變換

Arnold 變換是由俄國數(shù)學家Vladimir Igorevich Arnold提出的一種矩陣變換方式。Arnold變換在矩陣變換技術(shù)當中占有極高的地位，并在加密算法的使用層面有著非常成熟的體系，其變換公式為：

其中(x，y)為矩陣變換前的值且取值范圍為1至N-1的整數(shù)，(x'，y')為進行一次置亂變換的值，而Arnold 變換的本質(zhì)其實就是置亂系統(tǒng)不斷迭代的過程，左側(cè)輸出的(x'，y')將作為下一次迭代的初值輸入該系統(tǒng)。當Arnold 變換迭代到一定次數(shù)時，得到的輸出圖像會與原始圖像重新吻合。在Arnold 變換的周期性研究當中，F(xiàn).J.Dyson 和H.Falk 的實驗結(jié)果給出了這樣的答案，當?shù)螖?shù)N＞2 時，變換的周期T＜(N)/2，這也是目前為止得到的最好的結(jié)果。2021年，Liu Xingbin等人曾提出過將Arnold 變換與混沌映射相結(jié)合的加密算法，得到了良好的效果。

2.2 幻方變換

幻方的定義為一個n 階的幻方矩陣，在此基礎(chǔ)之上，該n 階矩陣還需滿足一項條件，即n 階矩陣的行元素總和、列元素總和、對角線元素總和相等，且總和數(shù)值都等于n(n+1)/2，這個值被稱為幻和，其公式為：

幻方變換的方案當中，將明文圖像對應于n 階的幻方矩陣，將幻方矩陣中元素1 的位置移動到元素2的位置，逐數(shù)位增加，以此類推，元素n的位置再歸為1，由此完成一輪的變換操作。每進行完一輪變換過后得到新的幻方矩陣，下一次變換又基于新的幻方矩陣。經(jīng)過這樣的矩陣變換，打亂了原本像素之間的排列順序，從而達到圖像加密的效果。幻方矩陣的周期為T=n，當?shù)螖?shù)達到n時，加密圖像又將重新恢復為明文圖像。但在實際應用中，有時會出現(xiàn)密文圖像在視覺上顯現(xiàn)出明文圖像中部分信息的情況，在不同階別的幻方矩陣類型當中會有不同程度的現(xiàn)象產(chǎn)生?；诖祟惽闆r，會降低攻擊方的破譯難度，影響到明文圖像的安全性。2019 年，胡克亞等人提出的分塊壓縮感知和改進幻方變換的算法很好的解決了這一問題。在此也能看出，糅合更為成熟的加密技術(shù)，能有效提高保證算法的抗攻擊性。

2.3 Gray變換

Gray 碼最初由貝爾實驗室的Frank Gray 提出，其變換進程主要在二進制數(shù)上進行。對于任意非負整數(shù)u，與之相對應的二進制碼為u=(uu???)，非負整數(shù)u 的Gray 碼為()=(gg…)。其中Gray碼的最高位u=g，其余位數(shù)當中g= u⊕u，其中i的取值范圍為從0 到p-1 的整數(shù)。Gray 變換實際運用過程中主要是對圖像灰度值進行數(shù)值變換，但因其最高位與原二進制相同，而使得最終圖像變換幅度有限。

基于Gray碼變換，后續(xù)研究中又推出了廣義Gray碼變換。廣義Gray 碼變換中原始數(shù)值u 的二進制碼表現(xiàn)形式仍與Gray 碼相同，區(qū)別于u 值與g 值的變換過程，其定義變換如下：

其中q 為大于等于2 的整數(shù)，且a為整數(shù)，i 和j 的取值范圍是從0 到p 的整數(shù)，在系數(shù)矩陣的行列式| (a) |與q互素時，此時上述變換稱為廣義Gray變換，最終得到的列向量轉(zhuǎn)置后得到u的廣義Gray碼。

廣義Gray 碼在Gray 碼的基礎(chǔ)上雖有改進，但距理想的數(shù)值幅度仍有差距，于是又產(chǎn)生了置亂廣義Gray 碼變換。u 值二進制表達形式仍不變，變換的定義式為g=⊕⊕…⊕u，g= u ，i 取值區(qū)間為1到p-1 的整數(shù)，計算得出的g(u)值即為置亂廣義Gray碼，且置亂廣義Gray 碼變換為可逆變換。2021 年，Wang Xingyuan 等人提出了Gray 碼與蛇形擴散混合的加密算法，使得擴散效果更加突出。

三種Gray 碼變換中置亂廣義Gray 碼變換的性能最為優(yōu)越，數(shù)值序列分布雜亂無章，置亂效率高，相鄰數(shù)值相關(guān)性較低，擁有較好的離散性。同時，該變換能滿足矩陣變換加密中的基本要求，具有良好的應用前景。

3 混沌圖像加密技術(shù)

3.1 混沌理論

于20 世紀初期，美國數(shù)學家Pocicare J.H 提出了Pocicare 猜想，這一猜想的提出，為混沌理論的發(fā)展埋下了種子，同時，該猜想結(jié)合了動力學和拓撲學這兩個領(lǐng)域，證明了混沌存在的可能性。到了1963 年，美國氣象學家Lorenz 在《大氣科學》上發(fā)表了一篇名為“決定性非周期流”的文章，該文章的出現(xiàn)徹底打開了混沌學的大門，隨即，Lorenz 提出了經(jīng)典的Lorenz系統(tǒng)。此后，有越來越多的混沌系統(tǒng)被提出，其中就包括Logistic映射、Chen系統(tǒng)、Rossler系統(tǒng)等。

在理論科學界，對混沌理論仍然沒有一個完整統(tǒng)一的定義，相對符合的看法是，混沌是在明確固定的系統(tǒng)中產(chǎn)生的一種看似無法預測，且具有隨機性的現(xiàn)象。而對于混沌系統(tǒng)的解，更多的認為是在對確定性的非線性系統(tǒng)中隨機性部分的求解。在對解的預測上，只能做到對短期迭代部分的預測，一旦時間線拉長，就很難對解進行預測。同時，系統(tǒng)能預測到的只是確定的解，對于隨機性的部分，即便是短期的預測都很難實現(xiàn)。實際上，混沌的不可預測性并不能理解為完全的隨機散列，混沌現(xiàn)象也并非是簡單的無序表現(xiàn)，而是沒有明顯的周期性和線性過程。從混沌的內(nèi)部看，結(jié)構(gòu)層次更偏向于有規(guī)律的序列走向，是非線性系統(tǒng)的的一種新的存在形式。

從動力學角度上看，混沌系統(tǒng)是存在對稱性和耗散性以及形式上的平衡態(tài)。早在1971年，法國數(shù)學物理學家D.Ruelle 和荷蘭學者F.Takens發(fā)表了著名論文《論湍流的本質(zhì)》，在論文提到了吸引子這一概念。而吸引子的出現(xiàn)做到了對混沌系統(tǒng)的幾何特征描述。大量混沌系統(tǒng)的混沌吸引子，在它們的平面圖中都體現(xiàn)出了系統(tǒng)的對稱性和耗散性。耗散理論中，自組織是混沌系統(tǒng)形成耗散結(jié)構(gòu)的過程，在此過程中，混沌系統(tǒng)向平衡態(tài)轉(zhuǎn)移，整體結(jié)構(gòu)趨于穩(wěn)定。對于確定的初始值，能通過混沌系統(tǒng)得出后續(xù)的數(shù)據(jù)走向。同時由于混沌的初值敏感性，可以通過數(shù)學手段判斷系統(tǒng)是否具有混沌性質(zhì)，其中使用較多的方法為計算混沌系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)。

混沌理論最初被發(fā)現(xiàn)并不是在加密學的研究當中，之所以受到加密領(lǐng)域的關(guān)注，是因為混沌的特性與現(xiàn)代密碼體制設(shè)計的思路相符合。根據(jù)混沌系統(tǒng)自身良好的偽隨機性可以使得圖像信號的分布具有混淆性，這符合Shannon 在現(xiàn)代密碼體制設(shè)計中提出的混淆原則。經(jīng)過混沌系統(tǒng)處理過后的圖像信號，在水平、垂直和對角方向上的像素值分布情況都由明文信號中的強相關(guān)變?yōu)槿跸嚓P(guān)，滿足了Shannon 提出的擴散原則。在雪崩效應中，要求高質(zhì)量的密碼塊能通過較小的輸入變化引發(fā)劇烈的輸出變化，由于混沌理論中的初值敏感性，使得混沌系統(tǒng)也符合雪崩效應的要求。因此，能滿足以上三大原則的混沌系統(tǒng)，適用于加密算法系統(tǒng)的設(shè)計。

為了追求圖像加密的復雜性和抗攻擊性，實際上現(xiàn)有的大部分加密算法都不是單一的混沌加密算法，混沌序列的使用只是完整算法當中的一環(huán)，往往是混沌系統(tǒng)與其他加密方式結(jié)合起來使用的過程。

3.2 基于DNA編碼的混沌圖像加密

20 世紀90 年代，DNA 編碼技術(shù)的提出，受到了許多密碼學研究者的關(guān)注，DNA 信息中的核苷酸堿基匹配二進制當中的00、01、10、11 位，其中有8 種DNA 編碼規(guī)則，每種規(guī)則對應于自身的加法、減法和異或運算規(guī)則。同時，在DNA編碼的運算過程中只有同種規(guī)則的編碼運算才是正確有效的，使用不同規(guī)則進行交互會導致錯誤的結(jié)果。2021年，周紅亮等人通過融合DNA編碼與混沌系統(tǒng)獲得了更好的復雜性。

3.3 基于壓縮感知的混沌圖像加密

壓縮感知理論由Donoho、Candes 和陶哲軒等人提出，該理論受到信息論、模式識別、圖像處理及光學成像等領(lǐng)域的高度關(guān)注。在圖像加密領(lǐng)域中，大多數(shù)研究都偏向于提高加密算法的復雜性，使得明文圖像經(jīng)過加密后得到更高復雜度的、抗攻擊性更強的和相關(guān)性更低的密文圖像，而缺少對密文圖像的空間占用率進行進一步的優(yōu)化。壓縮感知理論的出現(xiàn)，使得加密算法在保證圖像質(zhì)量低損失的情況下，能大幅減少加密過程中存儲空間的占用率，同時，因為這一特性的緣故，該理論同樣適用于多圖像加密的應用當中。2021 年，杜鑫昌等人提出將壓縮感知與混沌系統(tǒng)相結(jié)合的加密方法，有效的實現(xiàn)了這一特性。

信號的表示一般體現(xiàn)在時間域或者空間域。大多數(shù)信號一般不會以絕對稀疏的狀態(tài)呈現(xiàn)出來，因此需要將信號通過變換域轉(zhuǎn)化而達到近似稀疏的狀態(tài)，信號的稀疏性是壓縮感知得以實現(xiàn)的重要前提。常用的稀疏變換有離散余弦變換、離散小波變換和離散傅里葉變換，在實現(xiàn)完變換后，信號會被分為高頻部分和低頻部分，而稀疏圖像的主要能量分布在圖像的左上角部分，通過保留主要能量區(qū)域而舍去其他區(qū)域就能做到讓重構(gòu)信號的質(zhì)量不受大的影響，從而實現(xiàn)節(jié)約空間的情況下保證圖像的質(zhì)量。

3.4 基于光學成像的混沌圖像加密

首個光學加密系統(tǒng)由Javidi 和Ref.regier 提出，自此以后，光學圖像的加密應用變得越來越頻繁。以往大多數(shù)的圖像加密技術(shù)面向的都是單圖像，到了近些年來，為了提高加密系統(tǒng)的整體加密效率，人們對多圖像加密的關(guān)注度逐漸升高。其中比較典型的就是通過構(gòu)建光場成像系統(tǒng)來完成對多圖像的加密，如韓思敏等人于2020 年提出的光場成像的多圖像加密方法。將n 幅圖像拼接為一幅圖像，光場系統(tǒng)能獲取到目標文件的位置與方向信息，利用微透鏡陣列提取出明文圖像的子孔徑圖像。在系統(tǒng)的解密端，重構(gòu)在陣列中獲得的光場信息，將整體密文圖像分割為n 個子圖像，最終通過光場系統(tǒng)把子圖像恢復為原始圖像。

上述內(nèi)容僅為光場成像技術(shù)在圖像加密中的應用，實際上光學技術(shù)在圖像加密算法中還有許多其他的運用方式，如光學密鑰技術(shù)，光學掃描技術(shù)等等，在未來的理論研究中還有很大的發(fā)展空間。

3.5 研究方向及展望

在未來的研究和探索當中，以上幾項技術(shù)在圖像加密領(lǐng)域可能會有越來越多的應用場景。根據(jù)現(xiàn)有的發(fā)展情況，還有很多地方值得研究者去改進。

⑴DNA 編碼技術(shù)在編碼運算的方式中僅有加減以及異或操作，DNA 編碼運算的變換算法不夠復雜，在運算基礎(chǔ)上如何進一步提高矩陣序列的復雜程度，將會是一個值得關(guān)注的方向。

⑵壓縮感知技術(shù)通過高低頻來獲取圖像重要信息，能有效節(jié)約空間，但是在圖像質(zhì)量和速率上是很難做到兩全其美的。根據(jù)壓縮感知在空間占用和高速率的優(yōu)良特性，在保證圖像質(zhì)量的情況下，加快速率，會有更多的應用場景。

⑶光學圖像加密本身對算法的安全性有較大的依賴。一方面，研究者應該發(fā)揮光場成像在多圖像加密上的優(yōu)勢，在圖像數(shù)量上要有進一步的突破；另一方面，提高加密算法的復雜性，加強多張圖像之間的置亂擴散，使攻擊者對截取到的單張圖像束手無策。

4 結(jié)束語

本文基于傳統(tǒng)的圖像加密技術(shù)、混沌系統(tǒng)的圖像加密技術(shù)以及其他交叉領(lǐng)域所運用的圖像加密技術(shù)做了一個簡單的總結(jié)，根據(jù)每項加密技術(shù)的特性得出各自加密算法的優(yōu)缺點。在近期的圖像加密研究方向當中，混沌系統(tǒng)中所表現(xiàn)出的初值敏感性，偽隨機等特性，在密碼學中將會有很大的應用空間，但同時在未來研究方向上也面臨著許多問題?，F(xiàn)有模式中更多是對于單圖像的混沌系統(tǒng)加密，缺乏對于多圖像的混沌系統(tǒng)加密。多圖像的加密過程中，如何在保證明文圖像的加解密質(zhì)量的同時，提高圖像加密的速率變得尤為關(guān)鍵。離開速率層面，最重要的還是加密算法的復雜性與安全性，有研究表明，混沌系統(tǒng)在經(jīng)過離散處理時會面臨混沌退化現(xiàn)象，這會對算法系統(tǒng)的安全產(chǎn)生威脅。后續(xù)有不少研究者提出了解決方案，但仍沒有完整的理論依據(jù)?？傊谠O(shè)計加密算法時，需盡可能地消除退化現(xiàn)象，或是進一步得出理論成果從根源上解決問題。與此同時，隨著量子計算技術(shù)的不斷提出，使得現(xiàn)有基礎(chǔ)上的所有加密體制都將受到?jīng)_擊，一旦最終量子計算機成果研發(fā)而出，一切受限于算力的加密體制都將存在被破譯的危險。能否提出有效的解決方案，將成為密碼學研究者未來的關(guān)注重點。