劉碩碩，戚萬領(lǐng)，王志濤，高楚銘

（哈爾濱工程大學(xué)動力與能源工程學(xué)院，哈爾濱 150001）

0 引言

航空發(fā)動機(jī)控制系統(tǒng)根據(jù)當(dāng)前飛行條件和油門桿角度（Power Lever Angle，PLA）調(diào)節(jié)被控參數(shù)的設(shè)定值，如轉(zhuǎn)速、壓比等，閉環(huán)調(diào)節(jié)達(dá)到目標(biāo)推力。但是隨著發(fā)動機(jī)長時間服役，造成葉片積垢、葉尖磨損、高溫蠕變，從而使發(fā)動機(jī)部件性能退化，PLA與推力等參數(shù)的對應(yīng)關(guān)系改變，以至無法實現(xiàn)目標(biāo)推力。為實現(xiàn)發(fā)動機(jī)推力恢復(fù)，需探究有效的發(fā)動機(jī)狀態(tài)參數(shù)估計方法，對部件健康參數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確評估。自20世紀(jì)80年代以來，國內(nèi)外基于發(fā)動機(jī)線性模型和部件級非線性模型開展了多種優(yōu)化估計算法研究，其中尤以卡爾曼濾波估計算法使用最為廣泛?；诰€性狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波參數(shù)估計最早成功使用。在全包線內(nèi)運(yùn)行時，通過將設(shè)計好的各穩(wěn)態(tài)點(diǎn)卡爾曼增益預(yù)先存為矩陣，進(jìn)行插值調(diào)度使用。但由于狀態(tài)空間模型為線性化近似模型，對非線性系統(tǒng)動態(tài)特性近似有限，當(dāng)其進(jìn)行多個健康參數(shù)退化估計時，雖能定位到退化部件，但卻存在較大的穩(wěn)態(tài)誤差；而基于部件級模型的非線性卡爾曼濾波參數(shù)估計則受限于部件級模型復(fù)雜程度，計算量大、實時精度差，早期根本無法作為機(jī)載模型使用。平衡流形展開（Equilibrium Manifold Expansion，EME）模型的提出，則可有效彌補(bǔ)線性空間模型以及部件級模型的不足。

EME模型是1個原非線性系統(tǒng)的近似非線性模型，與線性模型相比具有良好的近似性。2011年，趙輝對此模型進(jìn)行全面分析，界定了與其他模型的聯(lián)系與區(qū)別之后，基于EME模型開展控制算法研究，并逐漸成為熱點(diǎn)；呂鋮坤、馬欣彤在其后將該模型應(yīng)用于控制領(lǐng)域，也佐證了該模型具有良好的適用性和較大的應(yīng)用潛力。然而，EME模型在參數(shù)估計方面的應(yīng)用研究卻鮮有報道。2013年，陳可嘗試用未考慮退化的EME模型代替部件級模型進(jìn)行氣路故障診斷，但其采用線性卡爾曼濾波器進(jìn)行估計，忽略了平衡流形模型為非線性模型這一事實；此外，只給出了單個健康參數(shù)退化時的估計結(jié)果，而對發(fā)動機(jī)運(yùn)行過程中最常見的參數(shù)退化方式——多健康參數(shù)同時退化并未進(jìn)行討論。

本文基于EME模型采用非線性卡爾曼濾波器進(jìn)行多個健康參數(shù)退化估計。

1 平衡流形展開模型

1.1 平衡流形展開模型建模理論

在飛行條件一定時，航空發(fā)動機(jī)的非線性系統(tǒng)方程為

式中：x∈R，為狀態(tài)向量；u∈R，為控制向量；y∈R，為輸出向量；f和g為連續(xù)可微的非線性函數(shù)。

定義非線性系統(tǒng)（式（1））的平衡流形為系統(tǒng)平衡點(diǎn)的集合

平衡流形用調(diào)度變量α表示為

則將式（1）在由α決定的平衡點(diǎn)( x,u,y)處進(jìn)行泰勒展開，保留1階項，可得該點(diǎn)的線性化模型族

式中：A,B,C,D為4個雅克比矩陣，Δx=x-x(α)，Δu=u-u(α)。

為使式（4）成為非線性模型，需另外建立調(diào)度參數(shù)α與當(dāng)前工作點(diǎn)( x,u,y)的聯(lián)系，由于y與x和u之間為代數(shù)關(guān)系，只需建立α與x和u之間的關(guān)系式

式（5）實質(zhì)是建立當(dāng)前工作點(diǎn)(x,u,y)向平衡流形點(diǎn)(x,u,y)的映射。這一映射的設(shè)計具有一定的自由度，其惟一的約束要求是能夠?qū)⑷我夥€(wěn)態(tài)點(diǎn)映射到該穩(wěn)態(tài)點(diǎn)本身，即α=a (x(α),u(α))。

1.2 考慮退化的渦扇發(fā)動機(jī)平衡流展開模型

在飛行條件為H=0、Ma=0時，選擇如下參數(shù)來建立EME模型：

（1）x=[n,n]，分別表示低壓軸轉(zhuǎn)速和高壓軸轉(zhuǎn)速；

（2）u=[W,A]，分別表示燃油量和尾噴管喉道面積；

（3）η=[η,η,η,η]，分別表示風(fēng)扇、高壓壓氣機(jī)、高壓渦輪和低壓渦輪的絕熱效率；

為保證數(shù)值計算的穩(wěn)定性，各變量均已做相似歸一化處理，限于篇幅不再詳細(xì)闡述。

健康因子的作用等同于輸入?yún)?shù)，則考慮部件性能退化的雙軸渦扇發(fā)動機(jī)線性化模型族式（4）可以展開為

調(diào)度參數(shù)與輸入?yún)?shù)同維度，取之為、、、、、，映射方程在x ()=x ;u ()=u 中任取6個，本文取為

則聯(lián)立式（7）、（8）得到考慮退化的平衡流形展開模型的最終形式

以部件級模型為基礎(chǔ)，采用陸軍等提出的線性擬合法求系數(shù)矩陣各元素值，并采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對平衡流形模型的動態(tài)參數(shù)、靜態(tài)參數(shù)進(jìn)行擬合。

圖1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

由于參數(shù)擬合維度過高，無法可視化展示，限于篇幅，以()矩陣為例，按一定順序列出各點(diǎn)值來展示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合結(jié)果，如圖2所示。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對多維非線性函數(shù)擬合具有獨(dú)特優(yōu)勢

圖2 A矩陣神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合結(jié)果

1.3 模型精度驗證

模型精度直接影響參數(shù)估計結(jié)果。以最常見的多參數(shù)漸變?yōu)槔?，將EME模型和部件級非線性模型的仿真結(jié)果進(jìn)行對比。設(shè)置如圖3所示的健康因子退化過程：4種部件效率在第10 s同時開始漸變；經(jīng)過10 s后，漸變分別降至1.0%、1.5%、2.0%和2.5%；再經(jīng)過10 s穩(wěn)定后，漸變再分別降至2.0%、2.5%、3.0%和3.5%，之后保持穩(wěn)定。

圖3 健康因子退化過程

以高壓軸轉(zhuǎn)速為例，進(jìn)行EME模型與部件級模型響應(yīng)對比，驗證EME模型動態(tài)響應(yīng)，如圖4所示。從圖中可見，2種模型的漸變響應(yīng)基本重合。所建立的EME模型對原非線性系統(tǒng)具有良好的近似性，可用于健康因子退化估計。

圖4 2種模型高壓軸轉(zhuǎn)速響應(yīng)對比

2 卡爾曼濾波參數(shù)估計

卡爾曼濾波器又名最佳狀態(tài)估計器，本質(zhì)上是一種最小方差估計方法。通過模型的估計值與實際測量值之間的誤差對狀態(tài)不斷更新，使得狀態(tài)變量值的誤差方差最小，從而得到最佳估計值。

2.1 擴(kuò)展卡爾曼濾波器

擴(kuò)展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filter，EKF）是在標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，用于非線性系統(tǒng)參數(shù)估計。通過將過程方程和測量方程在某狀態(tài)點(diǎn)處進(jìn)行泰勒展開，求取雅可比矩陣，得到卡爾曼增益后再利用標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波算法進(jìn)行參數(shù)估計。

設(shè)有噪聲的發(fā)動機(jī)離散數(shù)學(xué)模型表示為

式中：和為第1.2節(jié)中建立的EME模型的系統(tǒng)方程和測量（輸出）方程；為系統(tǒng)噪聲，為測量噪聲。

假設(shè)和都是不相關(guān)的高斯白噪聲，則

擴(kuò)展卡爾曼濾波估計方程及預(yù)測方程如下：

2.2 無跡卡爾曼濾波器

無 跡 卡 爾 曼 濾 波（Unscented Kalman Filter，UKF）同樣用于非線性系統(tǒng)估計，其基于無跡變換，通過構(gòu)造1組確定的加權(quán)樣本點(diǎn)來對估計參數(shù)進(jìn)行近似。可避免對非線性模型的線性化建模及雅可比矩陣計算。UKF基本算法描述如下：

初始狀態(tài)統(tǒng)計特性

式中：W 為均值的權(quán)值；W 為協(xié)方差的權(quán)值。

3 健康因子退化估計

本章對健康因子的多種退化模式進(jìn)行仿真，限于篇幅僅以多參數(shù)漸變、多參數(shù)突變?yōu)槔M(jìn)行驗證說明，不再贅述單參數(shù)漸變、單參數(shù)突變這2種參數(shù)退化模式。

3.1 多參數(shù)漸變估計

對于可測輸出參數(shù)，其傳感器標(biāo)準(zhǔn)差約為0.1%～1%，本文假設(shè)都為0.2%，因此測量噪聲矩陣R=([0.002,0.002,0.002,0.002])·I，系統(tǒng)噪聲矩陣Q通過試湊法確定，采樣時間為20 ms。無跡卡爾曼濾波參數(shù)取值為=0.1 ,=2 ,=0。決定點(diǎn)圍繞均值的分布；用于合并隨機(jī)變量分布的先驗知識。

在實際運(yùn)行中，多個健康因子同時漸變是最常見的退化模式，對此，本文設(shè)計了如下的參數(shù)漸變模式以驗證參數(shù)估計的準(zhǔn)確性：4種部件效率退化因子從第10 s起，經(jīng)30 s后分別漸變至2.0%、2.5%、3.0%和3.5%，之后維持穩(wěn)定。發(fā)動機(jī)的真實退化過程遠(yuǎn)大于所設(shè)定的仿真時間，設(shè)置退化時間為30 s，一方面有助于驗證估計的實時精度，另一方面便于仿真模擬。EKF與UKF多參數(shù)漸變估計結(jié)果分別如圖5、6所示。

圖5 EKF多參數(shù)漸變估計結(jié)果

仿真結(jié)果表明，對于多參數(shù)漸變模式，基于EME模型進(jìn)行非線性卡爾曼濾波估計結(jié)果良好。利用2種非線性卡爾曼濾波器得到的估計結(jié)果基本一致。無論是EKF還是UKF，都能極好地跟蹤參數(shù)漸變過程，穩(wěn)態(tài)相對誤差絕對值不超過3%。

圖6 UKF多參數(shù)漸變估計結(jié)果

3.2 多參數(shù)突變估計

結(jié)合狀態(tài)空間模型和標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波器進(jìn)行多參數(shù)突變估計時，常由于線性模型近似程度低而使估計結(jié)果存在穩(wěn)態(tài)誤差大、退化參數(shù)定位不準(zhǔn)等問題。本節(jié)基于EME模型，設(shè)置3種不同退化程度的多參數(shù)突變模式（見表1）來進(jìn)行參數(shù)估計仿真，以驗證結(jié)合EME模型和非線性卡爾曼濾波器進(jìn)行參數(shù)估計的可靠性。測量噪聲矩陣、系統(tǒng)噪聲矩陣等參數(shù)與上文相同。各模式的EKF與UKF估計結(jié)果分別如圖7～9所示。

表1 多參數(shù)突變退化模式

圖7 EKF、UKF參數(shù)估計結(jié)果（模式1）

圖8 EKF、UKF參數(shù)估計結(jié)果（模式2）

圖9 EKF、UKF參數(shù)估計結(jié)果（模式3）

從圖7～9中可見，基于EME模型，無論是采用EKF還是UKF都能迅速準(zhǔn)確地定位到退化參數(shù)，并估計出部件性能退化程度。二者均沒有出現(xiàn)結(jié)合線性狀態(tài)變量模型和標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波估計時所存在的較大穩(wěn)態(tài)誤差，體現(xiàn)出EME模型對原非線性系統(tǒng)良好的近似性。此外EKF與UKF的收斂速度基本一致，均在5 s以內(nèi)，但UKF的估計參數(shù)變化曲線更平穩(wěn)。考慮到UKF相較于EKF更適用于對強(qiáng)非線性系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)估計，側(cè)面佐證了EME模型是原非線性系統(tǒng)的較佳近似模型。可在保證精度的情況下代替部件級模型進(jìn)行健康參數(shù)退化估計。

4 結(jié)束語

（1）提出基于平衡流形展開模型結(jié)合非線性卡爾曼濾波器的方法進(jìn)行發(fā)動機(jī)健康參數(shù)估計，驗證了發(fā)動機(jī)健康參數(shù)估計新的模型基礎(chǔ)。

（2）得益于EME模型對原非線性系統(tǒng)良好的近似性，多參數(shù)漸變、多參數(shù)突變模式參數(shù)估計結(jié)果準(zhǔn)確高效，穩(wěn)態(tài)誤差不超過3%，彌補(bǔ)了線性狀態(tài)模型近似性差、部件級模型計算量大等不足。為基于EME模型構(gòu)建機(jī)載自適應(yīng)模型奠定了方法基礎(chǔ)。

（3）當(dāng)退化參數(shù)較多，并且需建立整個飛行包線內(nèi)的EME模型時，系數(shù)矩陣求解、調(diào)度參數(shù)擬合等方面工作量大，需進(jìn)一步探索更為高效的方法。