劉 暢，蔡曉江，安慶龍，陳 明

（1.上海交通大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200240；2.上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201108）

1 引言

飛輪儲(chǔ)能技術(shù)因其儲(chǔ)能密度高、功率密度大，與傳統(tǒng)發(fā)電機(jī)組兼容，受環(huán)境溫度影響小，使用壽命長(zhǎng)，綠色環(huán)保等一系列優(yōu)點(diǎn)，已經(jīng)被運(yùn)用到電力調(diào)峰、不間斷供電、電網(wǎng)運(yùn)輸、電動(dòng)汽車(chē)、衛(wèi)星供電等多個(gè)領(lǐng)域[1]。飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)是利用飛輪的加速和減速旋轉(zhuǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)電能與機(jī)械能相互轉(zhuǎn)換的裝置，主要由飛輪轉(zhuǎn)子、發(fā)電機(jī)/電動(dòng)機(jī)及控制器、磁懸浮軸承和真空容器等組成，飛輪轉(zhuǎn)子是飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)中最為核心的儲(chǔ)能部件[2]。

儲(chǔ)能密度是衡量飛輪轉(zhuǎn)子性能的重要指標(biāo)之一，由于轉(zhuǎn)子的儲(chǔ)能密度正比于材料的比強(qiáng)度，因此，要想獲得較大的儲(chǔ)能量和儲(chǔ)能密度，必須采用高比強(qiáng)度的材料。目前國(guó)際上應(yīng)用成熟的產(chǎn)品都是基于鋁、高強(qiáng)度鋼等金屬材料制作，如文獻(xiàn)[3]中的飛輪不間斷能源系統(tǒng)產(chǎn)品。相比于金屬材料，復(fù)合材料因具有高比強(qiáng)高度、剛性好、比重小等優(yōu)良特性，是制作高速儲(chǔ)能飛輪的首選材料[4]。復(fù)合材料由兩種或兩種以上不同材料通過(guò)專門(mén)的制造和成型工藝復(fù)合而成，材料的力學(xué)性能復(fù)雜，因此求解復(fù)合材料的非線性優(yōu)化問(wèn)題比較困難。

目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者大多通過(guò)簡(jiǎn)單控制幾個(gè)參數(shù)優(yōu)化飛輪儲(chǔ)能密度。文獻(xiàn)[5]通過(guò)研究多層飛輪轉(zhuǎn)子間的材料排列順序及過(guò)盈量對(duì)飛輪儲(chǔ)能的影響，提出了一種多層飛輪轉(zhuǎn)子的優(yōu)化算法。文獻(xiàn)[6]則以層間過(guò)盈量和各層纖維鋪設(shè)角度為優(yōu)化變量，以轉(zhuǎn)子的儲(chǔ)能密度為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行了多層飛輪轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[7]利用平面應(yīng)力各向異性假設(shè)和模擬退火優(yōu)化算法，針對(duì)圓柱形飛輪轉(zhuǎn)子的纖維種類(lèi)和各層的內(nèi)外徑比，以最大儲(chǔ)能密度為目標(biāo)求解出最優(yōu)解。在國(guó)內(nèi)，文獻(xiàn)[8]研究了三種結(jié)構(gòu)的飛輪轉(zhuǎn)子，通過(guò)改變不同參數(shù)來(lái)研究飛輪轉(zhuǎn)子儲(chǔ)能密度的變化。

這里針對(duì)碳纖維復(fù)合材料轉(zhuǎn)子，建立了儲(chǔ)能密度優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型，利用粒子群優(yōu)化算法（PSO）實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)合材料轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)優(yōu)化。結(jié)論可對(duì)以后的復(fù)合材料飛輪儲(chǔ)能密度優(yōu)化設(shè)計(jì)提供理論指導(dǎo)。

2 建立復(fù)合材料飛輪轉(zhuǎn)子的儲(chǔ)能密度優(yōu)化模型

儲(chǔ)能飛輪轉(zhuǎn)子既要滿足高儲(chǔ)能量的要求又要達(dá)到高儲(chǔ)能密度的性能指標(biāo)。

針對(duì)飛輪轉(zhuǎn)子的儲(chǔ)能密度優(yōu)化設(shè)計(jì)主要從兩個(gè)方面進(jìn)行考慮，一是提高飛輪轉(zhuǎn)子的極限轉(zhuǎn)速，進(jìn)而提高系統(tǒng)的儲(chǔ)能量，即飛輪轉(zhuǎn)子的動(dòng)能；二是改善飛輪轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)，保證轉(zhuǎn)子的低應(yīng)力水平。

對(duì)于一般儲(chǔ)能飛輪轉(zhuǎn)子，其儲(chǔ)能量和儲(chǔ)能密度由下式計(jì)算：

式中：E—飛輪轉(zhuǎn)子的動(dòng)能即飛輪的儲(chǔ)能量；I—飛輪轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ω—轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度；U—飛輪轉(zhuǎn)子的儲(chǔ)能密度；m—飛輪轉(zhuǎn)子的質(zhì)量。

針對(duì)圓柱型或圓盤(pán)型中心通孔形狀的飛輪轉(zhuǎn)子，假設(shè)其軸向厚度為h，那么其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：

式中：ro—飛輪轉(zhuǎn)子的外徑；ri—轉(zhuǎn)子的內(nèi)徑。

因此有：

式中：λ—飛輪轉(zhuǎn)子的內(nèi)外徑比，且λ=

針對(duì)復(fù)合材料飛輪轉(zhuǎn)子的儲(chǔ)能密度優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，可建立以下數(shù)學(xué)模型：

（1）建立基本數(shù)學(xué)優(yōu)化模型

目標(biāo)函數(shù)：

約束條件：

式中：X=(x1，x2，...，xm)x1，x2，...，xm≥0，顯然，上述模型為單目標(biāo)的非線性規(guī)劃問(wèn)題，X—可優(yōu)化參數(shù)。

（2）確定約束條件

由于復(fù)合材料層合板具有各向異性，常用蔡-希爾（Tsai-Hill）準(zhǔn)則作為材料的失效準(zhǔn)則，表達(dá)式如下式所示：

式中：σL—沿纖維向（縱向）拉伸應(yīng)力；σT—垂直纖維向（橫向）拉伸應(yīng)力；τLT—纖維兩向（縱橫向）剪切應(yīng)力；FL—纖維向（縱向）拉伸強(qiáng)度；FT—垂直纖維向（橫向）拉伸強(qiáng)度；FLT—纖維兩向（縱橫向）剪切強(qiáng)度。

對(duì)于單環(huán)纖維纏繞飛輪轉(zhuǎn)子，Tsai-Hill強(qiáng)度準(zhǔn)則采用二維應(yīng)力狀態(tài)形式（式（6））即可表達(dá)單環(huán)纖維纏繞飛輪轉(zhuǎn)子的破壞。對(duì)于多環(huán)纖維纏繞復(fù)合材料飛輪轉(zhuǎn)子，由于每一層纖維鋪設(shè)角度不同，可能會(huì)導(dǎo)致軸向應(yīng)力的增大，因此需要三維應(yīng)力狀態(tài)下的Tsai-Hill強(qiáng)度準(zhǔn)則[9]：

為了統(tǒng)一起來(lái)，可以將約束條件式（5）改寫(xiě)為：

式中：SR—強(qiáng)度比，即飛輪轉(zhuǎn)子某點(diǎn)的應(yīng)力值與強(qiáng)度準(zhǔn)則中該點(diǎn)的應(yīng)力強(qiáng)度之比，顯然，當(dāng)強(qiáng)度比SR大于1 時(shí)，表明材料失效。

強(qiáng)度比SR可通過(guò)Tsai-Hill強(qiáng)度準(zhǔn)則求得。

復(fù)合材料儲(chǔ)能飛輪轉(zhuǎn)子的儲(chǔ)能密度優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，其實(shí)就是目標(biāo)函數(shù)式（4）在可行域式（8）上尋求最優(yōu)解的問(wèn)題。

由此，復(fù)合材料飛輪轉(zhuǎn)子儲(chǔ)能密度優(yōu)化問(wèn)題可以簡(jiǎn)化為多變量單目標(biāo)的非線性規(guī)劃問(wèn)題。

3 飛輪轉(zhuǎn)子儲(chǔ)能密度優(yōu)化設(shè)計(jì)流程

從飛輪轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)角度分析，當(dāng)轉(zhuǎn)速確定時(shí)，影響轉(zhuǎn)子儲(chǔ)能密度的因素主要有飛輪轉(zhuǎn)子的幾何形狀和構(gòu)造方式及其工藝參數(shù)。

幾何參數(shù)主要包括飛輪轉(zhuǎn)子的外徑ro、厚度h、內(nèi)徑ri（即內(nèi)外徑比λ）等，工藝參數(shù)主要包含層間過(guò)盈量t、各層單環(huán)纖維鋪設(shè)角度θ等。因此各種構(gòu)造方式的飛輪轉(zhuǎn)子的可優(yōu)化變量，如表1所示。

表1 各構(gòu)造方式的飛輪轉(zhuǎn)子可優(yōu)化變量Tab.1 Optimized Variables of the Flywheel Rotor

在給定飛輪轉(zhuǎn)子的碳纖維復(fù)合材料、輪轂材料、轉(zhuǎn)速等條件下，結(jié)合通用算法的結(jié)構(gòu)及流程，設(shè)計(jì)得出針對(duì)飛輪轉(zhuǎn)子儲(chǔ)能密度多變量的優(yōu)化計(jì)算流程圖，如圖1所示。

圖1 復(fù)合材料飛輪轉(zhuǎn)子儲(chǔ)能密度結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)流程圖Fig.1 Flow Chart of Optimization Design of the Composite Flywheel Rotor

4 復(fù)合材料飛輪轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

針對(duì)某種型號(hào)飛輪轉(zhuǎn)子，給定飛輪轉(zhuǎn)子材料為T(mén)700/AG80碳纖維增強(qiáng)基樹(shù)脂復(fù)合材料，輪輻材料為鋁合金。

各材料性能參數(shù)分別，如表2所示。

表2 T700/AG80復(fù)合材料基本物理性能參數(shù)表Tab.2 T700/AG80 Physical Property Parameters

同時(shí)給定飛輪轉(zhuǎn)子基本幾何形狀為圓盤(pán)形，具體幾何尺寸參數(shù)要求，如表3所示。

表3 某型號(hào)飛輪轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)要求Tab.3 Structural Design Requirements of the Flywheel Rotor

飛輪轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)為多環(huán)纖維纏繞，共三層（含鋁合金輪轂），限于制造成本，纖維鋪設(shè)角度均為0°，要求優(yōu)化后的儲(chǔ)能密度在工作狀態(tài)40000r/min下儲(chǔ)能密度提升20%。

采用粒子群優(yōu)化算法，按照?qǐng)D1所示的優(yōu)化流程進(jìn)行飛輪轉(zhuǎn)子的儲(chǔ)能密度結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。

以U的最大化為目標(biāo)函數(shù)，在一個(gè)五維空間中（五個(gè)優(yōu)化變量）尋找最優(yōu)解。

假設(shè)有N個(gè)粒子，以目標(biāo)函數(shù)U（x）為適應(yīng)度函數(shù)：

記第i個(gè)粒子的當(dāng)前所在位置為：

速度為vi=(vi1,vi2,…,vi5)，粒子i所經(jīng)過(guò)的最佳位置（通過(guò)適應(yīng)度函數(shù)U（x）計(jì)算判斷）為pbesti=(pi1,pi2,…,pi5)。而整個(gè)種群所經(jīng)過(guò)的最佳位置gbest=(g1,g2,…,g5)，這就是全局最優(yōu)解，即是所需尋找到的最優(yōu)解解。顯然有：

一般而言，粒子在第d（1 ≤d≤5）維的速度和位置更新過(guò)程描述如下式：

在建立飛輪結(jié)構(gòu)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型及實(shí)現(xiàn)PSO算法的基礎(chǔ)上，在MATLAB中編寫(xiě)算法程序，算法流程圖，如圖2所示。

圖2 粒子群優(yōu)化算法框圖Fig.2 Block Diagram of Particle Swarm Optimization Algorithm

通過(guò)MATLAB粒子群優(yōu)化算法的優(yōu)化計(jì)算，運(yùn)行結(jié)果，如圖3所示。得到的各優(yōu)化參數(shù)，如表4所示。

圖3 粒子群優(yōu)化最優(yōu)結(jié)果適應(yīng)度圖Fig.3 Fitness Graph of Optimal Results of Particle Swarm Optimization

表4 儲(chǔ)能飛輪優(yōu)化前后的數(shù)值比較Tab.4 Numerical Comparison of Energy Storage Flywheel

由上表可知，優(yōu)化后的飛輪轉(zhuǎn)子儲(chǔ)能密度提升約22.8%，主要通過(guò)增加每層轉(zhuǎn)子間的過(guò)盈量減小其徑向應(yīng)力，以此充分利用復(fù)合材料的特性，以達(dá)到提升儲(chǔ)能密度的目的。

5 結(jié)論

這里主要研究復(fù)合材料高速儲(chǔ)能飛輪的儲(chǔ)能密度優(yōu)化設(shè)計(jì)，主要結(jié)論如下：

（1）影響轉(zhuǎn)子儲(chǔ)能密度的因素主要有飛輪轉(zhuǎn)子的材料、幾何形狀和構(gòu)造方式及其工藝參數(shù)。其中幾何參數(shù)主要包括飛輪轉(zhuǎn)子的外徑ro、厚度h、內(nèi)徑ri（即內(nèi)外徑比λ）等，工藝參數(shù)主要包含層間過(guò)盈量t、各層單環(huán)纖維鋪設(shè)角度θ等因素，這些對(duì)飛輪轉(zhuǎn)子的應(yīng)力水平的影響有一定的規(guī)律，可對(duì)飛輪結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)。

（2）將復(fù)合材料飛輪轉(zhuǎn)子儲(chǔ)能密度優(yōu)化問(wèn)題簡(jiǎn)化為多變量單目標(biāo)的非線性規(guī)劃問(wèn)題，通過(guò)粒子群優(yōu)化算法以及MATLAB 計(jì)算，得到輪轂外徑為170mm，輪轂與內(nèi)環(huán)、內(nèi)環(huán)與外環(huán)的過(guò)盈量為0.3mm，內(nèi)、外環(huán)各層徑向厚度為15mm，儲(chǔ)能密度提升22.8%。