劉慧敏，蒲學(xué)科

（1.山西財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，太原 030006；2.廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣州 510006）

引 言

等離子體模型是指在研究復(fù)雜的非平衡態(tài)等離子體時(shí)，經(jīng)常遇到多參變量的情況，為了從理論上定量地或定性地描述它們，利用一些互相補(bǔ)充的簡化模型常常是很有益的[1-2].本文在一維直線上考慮下列等離子體中的簡化雙流體模型：

其中n表示離子的密度，v表示離子的速度，E 表示高頻電場，?是低頻電場的勢函數(shù)，這些函數(shù)均定義在(x,t)∈R×R+上.此模型描述了離子聲波與等離子體波的相互作用，來源于Euler-Maxwell 系統(tǒng)，即由離子和電子的Euler 方程，以及電場和磁場的Maxwell 方程耦合的雙流體模型.模型(1)的推導(dǎo)過程可參考文獻(xiàn)[3]及其相關(guān)文獻(xiàn).

對于雙流體模型(1)，Guo 和Huang[4]利用常微分方程方法證明了孤立波的存在性、唯一性以及無窮遠(yuǎn)處的漸近行為.Han、Zhang 和Guo[5]證明了三維空間中平衡態(tài)附近擾動(dòng)解的整體存在性，該結(jié)果推廣了Guo 和Pausader[6]關(guān)于離子Euler-Poisson 模型(2)在三維空間中的小振幅整體光滑無旋解.事實(shí)上，當(dāng)忽略高頻電場效應(yīng)時(shí)，雙流體模型(1)退化為下列離子Euler-Poisson 模型：

對于離子Euler-Poisson 模型(2)，Guo 和Pu[7]首次嚴(yán)格建立了一維冷離子以及熱離子兩種情形的KdV 極限.Pu[8]對高維的情形，即二維的KP-II 極限以及三維的ZK 極限進(jìn)行了研究.之后，Liu 和Pu[9]嚴(yán)格證明了帶量子效應(yīng)的退化雙流體模型的量子KdV 極限.由于KdV 方程的解恰是非線性Schr?dinger (NLS)方程在小波數(shù)區(qū)域的解，故考慮色散模型的NLS 逼近是很有意義的事情.作為著名的非線性逼近方程，NLS 方程在一維直線上是完全可積的Hamilton 系統(tǒng)，可以借助反散射方法對其求解[10].1968年，Zakharov[11]從流體動(dòng)力學(xué)方程推導(dǎo)出了NLS 方程，用于考慮具有無限深度的自由表面理想流體.隨著研究的深入，學(xué)者們發(fā)現(xiàn)了一些重要的非線性波動(dòng)現(xiàn)象（如等離子體中的離子聲波、電場中超導(dǎo)電子的運(yùn)動(dòng)以及非線性光學(xué)的自陷現(xiàn)象等）都可以用NLS 方程進(jìn)行描述[12-13].最近，Liu 和Pu[14]利用normal-form 變換以及修正能量的方法嚴(yán)格證明了離子Euler-Poisson 模型(2)的NLS 逼近.本文將此結(jié)果[14]推廣到雙流體模型(1)的調(diào)制逼近.雙流體模型(1)是一個(gè)高度耦合的雙曲方程組，其線性色散關(guān)系有兩個(gè)：

因而在研究調(diào)制逼近過程中，需要尋找合適的滿足耦合方程組兼容性的形式逼近解.本文考慮下列基本空間波數(shù)k0=0的關(guān)于時(shí)間震蕩的形式波列解：

其中 0＜? ?1是一個(gè)小擾動(dòng)參數(shù)，A表示復(fù)值振幅，c.c.表示復(fù)共軛.將式(4)代入模型(1)中，可得復(fù)振幅A滿足下列NLS 方程：

其中X=?x∈R，T=?2t∈R，即時(shí)間和空間的調(diào)制尺度分別為O (1/?2)和 O (1/?)，系數(shù)滿足νj∈R,j∈{1,2}.

嚴(yán)格證明上面闡述的NLS 逼近過程不是一件容易的事情.Kalyakin[15]首次真正意義上地證明了擬線性色散系統(tǒng)的NLS 逼近結(jié)果，然而該系統(tǒng)中擬線性二次項(xiàng)被完全排除在外.目前，帶有擬線性二次項(xiàng)色散系統(tǒng)的NLS 逼近已取得了部分重要結(jié)果.具體來說，可以針對系統(tǒng)本身特點(diǎn)，尋找特殊變換將二次項(xiàng)消除，例如忽略表面張力且考慮無限深度的二維和三維水波問題[16-17].再如擬線性KdV 方程，Schneider[18]利用Miura 變換得到了NLS 逼近結(jié)果.另外，當(dāng)原系統(tǒng)中右端二次項(xiàng)只丟失1 /2階導(dǎo)數(shù)時(shí)，可以借助normal-form 變換消除二次項(xiàng)，如忽略表面張力且考慮有限深度的二維水波問題.此時(shí)，由于變換后系統(tǒng)的右端項(xiàng)會(huì)丟失一階導(dǎo)數(shù)，從而通過Cauchy-Kowalevskaya 定理便可得到NLS 逼近結(jié)果[19-20].利用normal-form 變換消除雙曲系統(tǒng)中半線性二次項(xiàng)的方法最早在文獻(xiàn)[21]中被介紹.Kalyakin[15]首次利用normal-form 變換證明了NLS 逼近理論.另外，當(dāng)二次項(xiàng)丟失一階導(dǎo)數(shù)時(shí)，可以利用normal-form 變換修正能量泛函的方法，有效處理由擬線性項(xiàng)丟失導(dǎo)數(shù)引起的困難，例如Düll[22]證明了擬線性Klein-Gordon 方程在Sobolev 空間中的NLS 逼近結(jié)果，注意到這里的擬線性Klein-Gordon 方程的線性色散關(guān)系不會(huì)引起共振點(diǎn).此外，Liu 和Pu[14]得到了離子Euler-Poisson 方程組的NLS 逼近結(jié)果，與上述模型不同，離子Euler-Poisson 方程組不僅二次項(xiàng)丟失一階導(dǎo)數(shù)，而且會(huì)出現(xiàn)非平凡共振點(diǎn)，他們在Fourier 空間中利用截?cái)嗪瘮?shù)修正誤差，并通過投影算子將誤差的高低頻部分分開，對低頻部分直接應(yīng)用normal-form 變換，對高頻部分則利用此變換定義新的能量泛函，從而解決了由導(dǎo)數(shù)丟失以及共振點(diǎn)出現(xiàn)帶來的雙重困難.最近，Bian、Liu 和Pu[23]嚴(yán)格證明了一維帶量子效應(yīng)的退化雙流體模型的NLS 逼近結(jié)果，其中量子項(xiàng)會(huì)引起更高階導(dǎo)數(shù)的出現(xiàn).另外，Düll[24]在弧長坐標(biāo)下嚴(yán)格證明了二維有限深度水波的NLS 逼近，其中帶表面張力和不帶表面張力的情形均包含在內(nèi).注意到本文考慮的雙流體模型(1)是一個(gè)高度耦合的色散模型，包含兩種完全不同的色散關(guān)系，既會(huì)出現(xiàn)共振點(diǎn)又會(huì)損失導(dǎo)數(shù)，因而與上述列舉模型均有所不同.本文將利用normal-form 變換消除低階項(xiàng)，結(jié)合方程本身的特點(diǎn)去構(gòu)造合適的修正能量泛函，最終嚴(yán)格論證雙流體模型(1)的NLS 逼近結(jié)果.

定理1固定sA≥6，對于所有的C1,T0＞0，都存在常數(shù)C2＞0,?0＞0，使得當(dāng)NLS 方程(5)的所有解A∈C([0,T0],HsA(R,C))滿足

時(shí)，下面的陳述成立.對于任意的? ∈(0,?0)，模型(1)的解存在

且滿足

注1對于任意的t∈[0,T0/?2]，相對于真實(shí)解 (E,n-1,v)和 逼近解 (?Aeit+c.c.,?2|A|2ζ)來 說，定理1 中階為O(?3/2)和O(?5/2)的誤差是足夠小的.換言之，由于NLS 逼近存在的時(shí)間尺度 ?-2足夠長，從而保證在原系統(tǒng)模型(1)中能夠很好地觀察到NLS 方程的動(dòng)力學(xué)行為.

注2定理1 中誤差的光滑性與復(fù)振幅A的光滑性一致，這一點(diǎn)可以通過修正逼近解使其在Fourier 空間中有緊支集來實(shí)現(xiàn)，這是因?yàn)楸平庠贔ourier 空間中的支集集中在k=0的某個(gè)鄰域.具體細(xì)節(jié)可參見本文第3 節(jié).

注3由于雙流體模型(1) 中出現(xiàn)了擬線性二次項(xiàng)，這會(huì)引起三方面困難.首先，為了在時(shí)間尺度 O(?-2)上嚴(yán)格證明NLS 逼近，需要利用normal-form 變換消去誤差方程中階為O (1)的非線性項(xiàng)，而雙流體模型(1)的色散關(guān)系(3)導(dǎo)致消去過程中出現(xiàn)共振點(diǎn)k=0，本文充分利用了擬線性二次項(xiàng)在k=0處消失的特點(diǎn)來處理共振點(diǎn).其次，擬線性二次項(xiàng)會(huì)損失一階導(dǎo)數(shù)，因此在對誤差進(jìn)行一致能量估計(jì)的過程中，需要充分利用模型的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)解決導(dǎo)數(shù)損失的問題.最后，雙流體模型(1)的高度耦合性以及兩種完全不同的色散關(guān)系，使得在克服前兩種困難時(shí)需要更加細(xì)致的分析.

本文具體結(jié)構(gòu)如下：第1 節(jié)列出本文中需要用到的記號以及預(yù)備引理；第2 節(jié)從形式上將NLS 方程導(dǎo)出，并給出余項(xiàng)的估計(jì)；第3 節(jié)利用normal-form 變換消去誤差方程中的低階項(xiàng)；第4 節(jié)充分利用誤差方程結(jié)構(gòu)，通過構(gòu)造合適的修正能量泛函得到誤差的一致能量估計(jì)，從而嚴(yán)格證明了本文主要結(jié)論.

1 預(yù)備知識

符號說明函數(shù)u∈L2(R,K)的Fourier 變換定義如下：

其中K=R或者K=C.Hs(R,K)表示從R映到K的函數(shù)空間.u∈Hs(R,K) 意著存在常數(shù)C使得

‖u‖Hs(R,K)≤C.

泛函空間Lp(m)的定義如下：

u∈Lp(m)(R,K)?u?m∈Lp(R,K),

引理1(Cauchy-Schwarz 不等式) 設(shè)f,g在 R 上可積，則

引理2(Young 不等式) 設(shè)a,b是非負(fù)實(shí)數(shù)，p＞1,那么

j∈{±1}aj∈H2(R,R)fj∈H1(R,R)

引理3設(shè)，且，則有

引理3的證明可以參考文獻(xiàn)[10]中的引理5.3.

引理4(交換子估計(jì))[25]設(shè)m≥1是一個(gè)整數(shù)，定義交換子如下：

則該交換子有下列估計(jì)：

其中p,p2,p3∈(1,∞)，且有

2 形式推導(dǎo)和余項(xiàng)估計(jì)

為了從雙流體模型(1)中形式推導(dǎo)出NLS 方程，首先將式(1)寫成一階偏微分方程組.為此，取平衡解附近的擾動(dòng)解ρ=n-1，則由模型(1)中的Poisson 方程可知，存在可逆算子(ρ,E)→φ(ρ,E)，使得

進(jìn)一步，令

其中s gn(k)表示k的符號函數(shù).則由模型(1)的最后一個(gè)方程可得

其中M1,M2是三次及高于三次的非線性項(xiàng)，均有很好的性質(zhì).此時(shí)，可將方程(1)重新書寫為一階偏微分方程組，并將其線性項(xiàng)、二次項(xiàng)以及高次項(xiàng)分開：

下面通過變量替換，將式(8)的線性部分進(jìn)行對角化處理.令

將式(9)代入式(8)可得以下對角化方程組：

其中j∈{±1}，H1j(U,V),H2j(U,V)是關(guān)于U,V的三次及高于三次的項(xiàng)，且不會(huì)損失導(dǎo)數(shù)，因而有比較好的估計(jì).

下面從對角化方程組(10)出發(fā)，形式推導(dǎo)NLS 方程.做如下漸近展開：

其中A±1為復(fù)值函數(shù)，且滿足=A-1，B2為實(shí)值函數(shù).將漸近展開式(11)代入對角化方程(10)并取 ?的各階系數(shù)為零.在這個(gè)過程中，遇到如的項(xiàng)，可將 ωu(k)以 及(k)在k=0處Taylor 展開.令 ?3eit的系數(shù)為零，可得

令 ?3的系數(shù)為零，可得

為了證明NLS 方程(14)的逼近性質(zhì)，需要考慮下列余項(xiàng)：這些余項(xiàng)就是將漸近展開式(11) 代入對角化方程(10) 之后所有未被消掉的項(xiàng).通過對形式逼近解進(jìn)行以下兩方面的修正，可以使余項(xiàng)任意小，進(jìn)而有利于后面對誤差進(jìn)行一致能量估計(jì).首先，將式(11)從形式上展開到關(guān)于 ?更高階的項(xiàng)，形式上如式(15).實(shí)際上，展開到高階之后代入方程(10),類似的方法可得(p=2,3,4) 滿足線性非齊次Schr?dinger 方程.該方程的系數(shù)函數(shù)和自由項(xiàng)依賴于，且(q=3,4,5)滿足依賴于的代數(shù)方程，具體推導(dǎo)過程這里不再贅述.其次，利用截?cái)嗪瘮?shù)使逼近解在Fourier 空間中具有緊支集，且集中在k=0的某個(gè)小鄰域內(nèi).通過對逼近解進(jìn)行這兩次修正，可以證明余項(xiàng)任意小，并且修正后的逼近解與修正前的逼近解差值很小.另外，第二步修正使得逼近解成為解析函數(shù)，從而對誤差的能量估計(jì)更有利.此修正過程也可參考文獻(xiàn)[20].具體地說，修正后的逼近解(記為(?Ψ,?2Φ))有下列形式：

其中

引理5令sA≥6，設(shè)∈C([0,T0];HsA(R,C))是NLS 方程(14)的解，且滿足

則對所有的s≥0，存在依賴于CA的常數(shù)CRU,CRV,CΨ,CΦ,?0，使得對所有的? ∈(0,?0)，逼近解(?Ψ,?2Φ)滿足

引理5的證明可參考文獻(xiàn)[20]中的引理5.事實(shí)上，前4個(gè)估計(jì)式成立的原因是修正逼近解 (?Ψ,?2Φ)在Fourier 空間中有緊支集.又由于對于所有的m,M≥0有

其中χ[-δ,δ]是作用在[-δ,δ]上的特征函數(shù).引理5 中第三和第四個(gè)估計(jì)式經(jīng)常被用來估計(jì)下式：

引理6[20]對所有的s≥0，存在常數(shù)C＞0使得下式成立：

3 Normal-form 變換

為了嚴(yán)格證明NLS 逼近，需要對誤差作一致能量估計(jì).為此，先推導(dǎo)誤差滿足的發(fā)展方程.根據(jù)第2 節(jié)得到的修正逼近解? Ψ,?2Φ，可設(shè)模型(10)的真實(shí)解有下列形式：

其中j∈{±1},β=將式(17)代入方程(10)中可得誤差(R,S)滿足的發(fā)展方程為

其中q滿足對于誤差方程(18) 和(19)，線性算子 ?U和 ?V生成一致有界半群，因而不會(huì)產(chǎn)生困難.根據(jù)引理5 中的估計(jì)式以及 β的取值可知，余項(xiàng)滿足

?-βRUj=O(?4),?-β-1RVj=O(?2).

由引理5 中逼近解的估計(jì)以及方程(10)中 H1j,2j的特點(diǎn)可知

H1j,2j(?Ψ,?2Φ,R,S)=O(?2).

另外，二次項(xiàng)滿足

?2(Q1(Φ,R),Q2(Ψ,S),Gj(Φ,S))=O(?2),

?β+1(Gj(S,S),Q2(R,S))=O(?β+1),

?β-1D(R,R)=O(?β-1).

因此，為了在時(shí)間尺度 O(?-2)上得到NLS 逼近的有效性，只有誤差方程(19) 右端第二項(xiàng)即jD(Ψ,R)=?x[(Ψ1+Ψ-1)(R1+R-1)]需 要被消去，使其成為O (?2)項(xiàng).下面利用normal-form 變換消去該問題項(xiàng)，令

引理7Normal-form 變換(20)有以下性質(zhì)：

① Normal-form 變換的核函數(shù)滿足

且下列等式成立

② 對于任意的s≥6，存在常數(shù)C，使得

證明將normal-form 變換(20)代入關(guān)于誤差S的發(fā)展方程(19)中可得

故可定義(k)為

注意到當(dāng)k=0,=1時(shí)，分母確實(shí)為零，也就是說k=0是一個(gè)共振點(diǎn)，但由于二次項(xiàng)在k=0也為零，因此k=0為平凡共振點(diǎn).除此之外，無其他共振點(diǎn).因此，此處所做的normal-form 變換是有意義的，可以成功消去誤差方程中的O (1)項(xiàng)，引理7的第①條得證.根據(jù)引理5 關(guān)于逼近解的估計(jì)以及normal-form 變換的核函數(shù)的形式可以直接得到估計(jì)式(22)，引理7的第②條得證.

4 誤差估計(jì)

將normal-form 變換(20)代入誤差方程(18)和(19)中，得到變換后的誤差方程為

其中

其中F1,F2表示不損失導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)，即對于所有的s≥6有下列估計(jì)

為了嚴(yán)格證明NLS 逼近的有效性，只需要得到誤差 (R,)在 時(shí)間尺度 O (?-2)上的一致能量估計(jì).由于誤差方程(28)中二次項(xiàng)損失一階導(dǎo)數(shù)并且有交叉項(xiàng)，故首先介紹以下引理.

引理8誤差方程(28)的兩個(gè)分量方程作差可得

下面對誤差作能量估計(jì).設(shè)

現(xiàn)在分析?tM?.經(jīng)過計(jì)算可得

由于色散算子 ?U,?V是反對稱微分算子，因而等式(33)右端第一項(xiàng)和第三項(xiàng)均為零.又根據(jù)估計(jì)式(29)、引理5、Cauchy-Schwarz 不等式、Sobolev 嵌入H1L∞以及Young 不等式可得，等式(33)右端第二項(xiàng)和最后一項(xiàng)可以被控制.對等式(33)進(jìn)一步利用交換子的定義(6)，可得

回顧式(3)可知，當(dāng)|k|→∞時(shí)，有

對式(34)，利用式(35)、式(30)、分部積分、交換子估計(jì)(7)、引理5、Cauchy-Schwarz 不等式、Sobolev 嵌入H1L∞以及Young 不等式可得

因此，可以定義如下形式的修正能量泛函：

其中

對于封閉的能量估計(jì)式(38)，利用Gronwall不等式可知，對于足夠小的?＞0，在t∈[0,T0/?2]上是一致有界的.另外，根據(jù)normal-form 變換(20)及其估計(jì)(22)可得，因此，對角化模型(10)的真實(shí)解與修正逼近解 ?Ψ,?2Φ 之間的誤差 (R,S)在t∈[0,T0/?2]上是一致有界的.進(jìn)一步地，根據(jù)引理5 中關(guān)于逼近解的估計(jì)，以及可逆變換(9)可得定理1的結(jié)論.

5 結(jié)論與展望

本文研究了一類雙流體模型的調(diào)制逼近，其中調(diào)制逼近解是關(guān)于時(shí)間震蕩的正弦波列.在嚴(yán)格證明該調(diào)制逼近的有效性時(shí)，模型中擬線性二次項(xiàng)會(huì)引起平凡共振點(diǎn)k=0的出現(xiàn)以及導(dǎo)數(shù)的損失.本文通過利用normal-form 變換并構(gòu)造合適的修正能量泛函，最終在時(shí)間尺度O (?-2)上嚴(yán)格證明了誤差的一致能量估計(jì).若考慮關(guān)于時(shí)空的震蕩逼近解，則證明調(diào)制逼近過程中還會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)非平凡共振點(diǎn).尋找合適的權(quán)重函數(shù)有望解決非平凡共振點(diǎn)引起的困難，筆者擬將另文探討.

致謝本文作者衷心感謝山西財(cái)經(jīng)大學(xué)青年基金項(xiàng)目(QN-202021)對本文的資助.