費(fèi)時(shí)龍，任雅柔

（宿州學(xué)院，安徽 宿州 234000）

0 引言

常見(jiàn)的數(shù)學(xué)分析教材中討論了函數(shù)列一致收斂的極限函數(shù)的連續(xù)性、可微性與可積性，獲得了極限與積分、求導(dǎo)交換次序的充分條件，并在此基礎(chǔ)上研究了函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)的連續(xù)性、可微性與可積性，獲得了求和與極限、導(dǎo)數(shù)、積分交換次序的充分條件，但對(duì)一致收斂的函數(shù)列與一致收斂的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的反常積分卻未見(jiàn)涉及。本文將在一致收斂的函數(shù)列極限函數(shù)的可積性與一致收斂的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)可積性的基礎(chǔ)上，分別討論它們的反常積分性質(zhì)與斂散性。

1 一致收斂的函數(shù)列極限函數(shù)反常積分性質(zhì)

引理1.1［1］設(shè)函數(shù)列f n(x)在[a,b]上一致收斂于函數(shù)f(x)，且對(duì)任意n,f n(x)在區(qū)間[a,b]上可積，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積,且

注：引理1.1給出了定積分與極限號(hào)交換次序的條件,下面定理1.2研究無(wú)窮積分與極限號(hào)交換次序的條件,定理1.4研究一致收斂的函數(shù)列極限函數(shù)瑕積分的斂散性并討論瑕積分與極限號(hào)交換次序的條件。

定理1.2 設(shè)函數(shù)列f n(x)在[a,+∞)上一致收斂于函數(shù)f(x)，且滿足下列條件:

（1）對(duì)任意n,f n(x)在任何有限區(qū)間[a,u]上可積；

（3）對(duì)任意ε>0,?M>a,使得對(duì)任意n,有

證明由條件（2）及（3）知對(duì)任意ε>0,?M>a,使得對(duì)任意n,有

2 一致收斂的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)的反常積分性質(zhì)

注：引理2.1給出了無(wú)窮求和與定積分交換次序的條件,下面定理2.3與定理2.4分別研究無(wú)窮求和與無(wú)窮積分交換次序以及無(wú)窮求和與瑕積分交換次序的充分條件。

3 結(jié)語(yǔ)

常見(jiàn)的教材在一致收斂的基礎(chǔ)上討論了定積分與極限號(hào)交換次序及定積分與求和號(hào)（無(wú)窮求和）交換次序的條件，本研究在此基礎(chǔ)上分別獲得了反常積分與極限號(hào)交換次序及反常積分與求和號(hào)（無(wú)窮求和）交換次序的條件。本文的研究結(jié)論豐富了函數(shù)列及函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在積分學(xué)中的應(yīng)用范圍，后續(xù)工作中，還可以進(jìn)一步研究極限號(hào)、求和號(hào)與其他積分（如曲線積分、曲面積分等）交換次序的條件。