福建省莆田第五中學(xué) (351199) 吳來杰

一、試題呈現(xiàn)

該題是平面向量與基本不等式應(yīng)用相結(jié)合的一道填空壓軸題，將直線過重心G轉(zhuǎn)化為向量表示，再結(jié)合已知的向量關(guān)系，推導(dǎo)出關(guān)于m,n的式子，最后利用基本不等式求解答案.

二、解題探究

1.解法賞析

圖1

圖2

點(diǎn)評(píng)：解法2通過建立直角坐標(biāo)系，將問題用向量坐標(biāo)表示，通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使問題程序化，其目標(biāo)明確，思路清晰，思維難度小，但坐標(biāo)法的運(yùn)算量較大，對數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)要求較高.

圖3

點(diǎn)評(píng)：解法3利用了平行線分線段成比例定理，得到線段的比例關(guān)系后，將已知條件的向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段長的比例關(guān)系求解.幾何法別出心裁，過程簡捷、條理清晰，對邏輯推理素養(yǎng)要求較高.

2.方法比較

向量所具有的“數(shù)”與“形”的雙重特征，為數(shù)形結(jié)合提供了良好的載體.求解向量有關(guān)問題通常有兩種思路：一是“形化”，即從向量基底法的角度思考，基底法是解決向量問題的通性通法；二是“數(shù)化”，即從坐標(biāo)法的角度思考，坐標(biāo)法是解決向量問題的常用方法.上述給出的四種方法，孰優(yōu)孰劣？比較得到如下結(jié)論：

方法知識(shí)方法優(yōu)勢不足基底法(解法1)三角形重心性質(zhì),三點(diǎn)共線定理通性通法線性運(yùn)算要求高坐標(biāo)法(解法2)標(biāo)化思想、圖形一般化建系設(shè)點(diǎn)、直線方程思維量小、易于入手運(yùn)算量大幾何法(解法3)平行線分線段成比例定理直觀性強(qiáng),減少運(yùn)算讀圖要求高

上述思路方法體現(xiàn)的均是中學(xué)數(shù)學(xué)解題的思想和方法.雖然在高考復(fù)習(xí)備考的臨考階段時(shí)間緊、任務(wù)重，但對典型試題的解答要主動(dòng)歸納總結(jié)各種不同方法，并熟練掌握處理問題的通性通法，在掌握基本方法的同時(shí)，要學(xué)會(huì)分析、比較、優(yōu)化解題方法，唯有如此，當(dāng)我們遇到不同問題時(shí)，才會(huì)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，使解題少走彎路.

3.延伸結(jié)論

上面解題過程中，其實(shí)蘊(yùn)含著直線過三角形重心的一個(gè)充要條件的結(jié)論，即：

三、變式探究

探究1 若上述問題中直線EF不過重心G，會(huì)有怎樣的關(guān)系呢？探究如下.

圖4

進(jìn)一步，由變式1可得：

根據(jù)命題1′，也可得：

命題1′及推論將三角形中的某些線段的長度之比統(tǒng)一到一個(gè)公式中，其結(jié)構(gòu)、形式與解析幾何中的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式一致，簡捷、整齊、易記，故稱為幾何“分點(diǎn)坐標(biāo)公式”，利用該定理可以解決“幾何中，三角形被直線所截，所得的線段比”的一類問題(見下面練習(xí)1-2).

探究2若將變式1研究的方向改為求向量的數(shù)量積，又會(huì)是怎樣的情形呢？探究如下.

特別地，我們可以得到一般性結(jié)論：

特別地，若D為△ABC的BC邊的中點(diǎn)，即λ=1，則有：

相比較而言，命題2的推論更具有廣泛的應(yīng)用.

四、應(yīng)用舉例

圖5

圖6

圖7

A.-6 B.-3 C.3 D.6

五、結(jié)語

對典型試題進(jìn)行多視角思考、探析，實(shí)際上是對這些題目的“二次開發(fā)”，即通過一道題，明晰一類題.對典型試題，尤其是涉及核心知識(shí)內(nèi)容的典型試題的剖析和思考更是必不可少的，通過對典型試題的靈活變式和多角度思考，展開問題的來龍去脈和知識(shí)間的縱橫聯(lián)系，讓學(xué)生站在一定的高度去思考問題，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，使學(xué)生的思維得到升華，使知識(shí)達(dá)到融會(huì)貫通.唯有如此，無論考題的構(gòu)思多么新穎，學(xué)生也能達(dá)到以不變應(yīng)萬變.