閆文浩，姜子敬，黃欣，朱淑娟，丁群

（1.黑龍江大學(xué)電子工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150080；2.澳大利亞佛林德斯大學(xué)科學(xué)與工程學(xué)院，通斯利 SA 5042）

0 引言

非線性動(dòng)力系統(tǒng)在許多研究領(lǐng)域都受到越來越多的關(guān)注[1-2]?；煦缬成涫且环N典型的非線性映射，其具有初值敏感性、內(nèi)稟隨機(jī)性、遍歷性、拓?fù)鋫鬟f性和正的Lyapunov 指數(shù)等優(yōu)良特性[3-5]。這些特性使混沌映射更適用于密碼學(xué)、信號(hào)處理、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域[6-9]。

現(xiàn)有混沌映射在工程應(yīng)用中存在許多缺點(diǎn)。1)由于經(jīng)典混沌映射結(jié)構(gòu)比較簡單，隨著計(jì)算機(jī)計(jì)算能力的提升，混沌映射的控制參數(shù)，甚至整個(gè)序列都可以被估計(jì)出來。2) 這些混沌映射都存在弱混沌現(xiàn)象，即控制參數(shù)發(fā)生微小的變化，就會(huì)造成混沌現(xiàn)象的消失。3) 由于動(dòng)力學(xué)退化的問題，這些混沌映射會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的安全缺陷，從而影響基于混沌的應(yīng)用[10-11]。

為了改善混沌映射的動(dòng)力學(xué)特性，許多新的混沌映射被提出。新的混沌映射大致分為兩類，第一類是基于現(xiàn)有混沌映射提出的改進(jìn)混沌映射，文獻(xiàn)[12]提出了離散憶阻器模型耦合一維混沌映射，得到了新的二維混沌映射，文獻(xiàn)[13]提出了將3個(gè)不同的一維映射嵌套生成分段函數(shù)，文獻(xiàn)[14-15]將2 個(gè)一維混沌耦合生成二維混沌映射；第二類是基于線性函數(shù)或非線性函數(shù)構(gòu)建新的混沌映射，文獻(xiàn)[16]基于“周期三蘊(yùn)含混沌”提出了新的二維混沌映射并研究了該映射的動(dòng)力學(xué)特性，文獻(xiàn)[17]提出了三維超混沌映射并基于該混沌映射提出了一個(gè)混沌傳輸方案，文獻(xiàn)[18]基于三維分段映射提出了一個(gè)圖像加密方案。上述研究都比較特殊，沒有一種廣義的表達(dá)式，不具有一般性。文獻(xiàn)[19]根據(jù)相似矩陣的觀點(diǎn)，提出了一個(gè)高維離散混沌映射，但該映射只針對(duì)高維混沌映射，不適用于二維混沌映射。文獻(xiàn)[20]根據(jù)Lyapunov 指數(shù)的定義反向構(gòu)造了一個(gè)二維多項(xiàng)式混沌映射，基于這種構(gòu)造方法，映射中的一個(gè)方程必為線性映射。如果初始值和控制參數(shù)選取特殊值，那么映射的維數(shù)就會(huì)降低，映射所產(chǎn)生序列的復(fù)雜度不能滿足要求。為此，本文提出一種二維多項(xiàng)式混沌映射，其可以產(chǎn)生具有穩(wěn)健性和既定復(fù)雜行為的二維混沌映射。理論仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明了該映射的優(yōu)越性。本文的主要工作總結(jié)如下。

1) 本文提出了一個(gè)廣義二維多項(xiàng)式混沌映射，通過一個(gè)命題給出不同控制參數(shù)和多項(xiàng)式最高次數(shù)，得到一系列具體的二維混沌映射。

2) 理論分析結(jié)果表明，二維多項(xiàng)式混沌映射可以產(chǎn)生穩(wěn)健混沌和期望的Lyapunov 指數(shù)。

3) 為了闡述該映射的有效性，本文給出了一個(gè)具體的數(shù)值實(shí)例，特性分析表明，本文提出的混沌映射比Hénon 映射、2D-SLM 和 2D-LSMCM 動(dòng)力學(xué)特性更為復(fù)雜。

4) 本文將不同混沌映射應(yīng)用于RM-DCSK 通信方案，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文映射更適合于信息傳輸。

1 二維混沌映射

本節(jié)介紹3 種典型的二維混沌映射，并通過分岔圖和相空間運(yùn)動(dòng)軌跡分析其動(dòng)力學(xué)特性。由于現(xiàn)有映射只在一定的參數(shù)范圍內(nèi)存在混沌行為，且混沌序列的輸出不均勻，本文提出了一個(gè)二維多項(xiàng)式混沌映射。首先，通過設(shè)計(jì)一個(gè)命題，從理論上給出了系統(tǒng)存在混沌行為的參數(shù)取值。然后，選擇不同控制參數(shù)和多項(xiàng)式最高次數(shù)，得到許多具有穩(wěn)健混沌和既定復(fù)雜行為的二維混沌映射。最后，通過平衡點(diǎn)分析研究了該映射的穩(wěn)定性。

1.1 現(xiàn)有二維混沌映射

Hénon 映射作為經(jīng)典的二維離散混沌映射，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

其中，xn和yn為映射的狀態(tài)變量，a和b為映射的控制參數(shù)。當(dāng)參數(shù)時(shí)，映射為混沌狀態(tài)。近年來，許多學(xué)者也提出了改進(jìn)的二維混沌映射，文獻(xiàn)[14]以一維Logistic 映射和Sine 映射為基礎(chǔ)，提出了一種新的二維混沌映射（2D-SLM,two dimensional sine-logistic map），其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

其中，xn和yn為映射的狀態(tài)變量，a和b為映射的控制參數(shù)。當(dāng)參數(shù)時(shí)，映射為混沌狀態(tài)。文獻(xiàn)[15]同樣以一維Logistic 映射和Sine 映射為基礎(chǔ)，提出了另一種新的二維混沌映射（2D-LSMCM,two dimensional logistic-sine-modulated-coupling map），其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

其中，xn和yn為映射的狀態(tài)變量，a和b為映射的控制參數(shù)。當(dāng)參數(shù)時(shí)，映射為混沌狀態(tài)。對(duì)于一個(gè)混沌映射，其分岔圖刻畫了不同參數(shù)情況下的運(yùn)動(dòng)軌跡。通過分岔圖可以直觀地衡量混沌映射在不同控制參數(shù)下的遍歷性和非周期性。圖1的前兩列展示了3 個(gè)混沌映射的2 個(gè)狀態(tài)變量xn和隨控制參數(shù)b變化的分岔圖（控制參數(shù)a固定），可以看出3 個(gè)映射的分岔圖只有在很小的區(qū)域內(nèi)才表現(xiàn)出混沌狀態(tài)，并且出現(xiàn)了周期窗。若控制參數(shù)發(fā)生偏差，映射就有可能從混沌態(tài)退化為周期運(yùn)動(dòng)。圖1 的最后一列描繪了3 個(gè)映射在固定參數(shù)下的相空間運(yùn)動(dòng)軌跡，可以看出Hénon 映射的輸出序列只分布在二維平面的一小塊區(qū)域，而其他映射的輸出序列也分布在特定區(qū)域。這說明3 個(gè)映射的輸出序列分布不具有均勻性，會(huì)使混沌映射在圖像加密、信息傳輸、信息安全領(lǐng)域受到影響。

圖1 二維混沌映射的分岔圖和運(yùn)動(dòng)軌跡

1.2 廣義二維多項(xiàng)式混沌映射

為了增強(qiáng)混沌映射的動(dòng)力學(xué)特性，本文提出了一種二維多項(xiàng)式混沌映射。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

其中，xn和yn是映射的狀態(tài)變量，a,b,c,r是映射的控制參數(shù)，γ是多項(xiàng)式最高次數(shù)，β是取模系數(shù)。為防止?fàn)顟B(tài)變量yn塌陷為一個(gè)固定值，本文將rn取為隨機(jī)擾動(dòng)量。下面，通過一個(gè)命題來討論該映射何時(shí)處于混沌狀態(tài)。

1.3 混沌行為證明

Lyapunov 指數(shù)是用來證明一個(gè)映射是否為混沌最有效的手段。本文采用Lyapunov 指數(shù)來判別所構(gòu)造的映射。

定義1[21]若一個(gè)二維映射是全局有界的，且至少有一個(gè)正的Lyapunov 指數(shù)，則該映射處于混沌狀態(tài)；若具有2 個(gè)正的Lyapunov 指數(shù)，則處于超混沌狀態(tài)。

一個(gè)二維離散動(dòng)力學(xué)映射的2 個(gè)Lyapunov 指數(shù)計(jì)算表達(dá)式為

其中，J(·) 是系統(tǒng)第i次迭代時(shí)的Jacobian 矩陣。

命題1若式(4)的控制參數(shù)則該映射是混沌的。若則該映射是超混沌的。

證明式(4)第i次迭代的Jacobian 矩陣為

那么該映射的2 個(gè)Lyapunov 指數(shù)的推導(dǎo)過程為

同理，LE2=lnb。由于式(4)加入了取模運(yùn)算，因此映射的輸出必定是全局有界的。若控制參數(shù)，則必有一個(gè)正的Lyapunov 指數(shù)，則該映射處于混沌狀態(tài)。若控制參數(shù)且則2 個(gè)Lyapunov 指數(shù)都是正的，則該映射處于超混沌狀態(tài)。證畢。

1.4 平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性

平衡點(diǎn)是指動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)下一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)一致，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為二維混沌映射所有的平衡點(diǎn)都是方程式(11)的解。

通過對(duì)式(11)進(jìn)行求解，可以得到許多不同的平衡點(diǎn)。顯然，(0，0) 是上述方程的一個(gè)解，因?yàn)椴煌膮?shù)設(shè)置，上述方程會(huì)出現(xiàn)很多非零平衡點(diǎn)。不妨設(shè)系統(tǒng)的非零平衡點(diǎn)為，混沌映射的Jacobian矩陣為式(7)。從式(7)可以看出，Jacobian 矩陣的2個(gè)特征值為λ=a，λ=b，即特征值只取決于控制參數(shù)，而與狀態(tài)變量無關(guān)。當(dāng)參數(shù)a＞1 且b＞1 時(shí)，Jacobian 矩陣的2 個(gè)特征值始終為那么二維混沌映射模型所有非零平衡點(diǎn)都是不穩(wěn)定的，從而系統(tǒng)可以表現(xiàn)出混沌狀態(tài)甚至超混沌狀態(tài)。

2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

本節(jié)按照命題1 給出的結(jié)論，構(gòu)造了一個(gè)具體的二維多項(xiàng)式混沌映射。目前，判斷混沌特性的主要方法主要有相軌跡（相圖）分析法、分岔圖、Lyapunov 特征指數(shù)法、分?jǐn)?shù)維分析法、復(fù)雜度測(cè)度法、自功率譜譜分析法等[22]。本文通過相圖、分岔圖、Lyapunov 指數(shù)、樣本熵（SE,sample entropy）、關(guān)聯(lián)維數(shù)（CD,correlation dimension）分析其動(dòng)力學(xué)行為，并通過與現(xiàn)有二維混沌映射進(jìn)行對(duì)比，以闡述該映射的優(yōu)良特性。

2.1 數(shù)值實(shí)例

為了方便計(jì)算，本文取γ=2，該二維多項(xiàng)式混沌映射的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

由命題1 可知，若要使式(12)處于混沌狀態(tài)，則令a=2，b=3，c=1.7，β=1，rn是(0,1)范圍的一個(gè)隨機(jī)數(shù)。為了方便討論，本文將控制參數(shù)的范圍取為a,b,c∈(1,5)。

2.2 分岔圖與運(yùn)動(dòng)軌跡

對(duì)于一個(gè)混沌映射，其分岔圖刻畫了不同參數(shù)情況下的運(yùn)動(dòng)軌跡。通過分岔圖，可以直觀地衡量混沌映射在不同控制參數(shù)下的遍歷性和非周期性。動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的分岔圖顯示了在不同參數(shù)下系統(tǒng)在相空間中所經(jīng)過的點(diǎn)，為研究混沌的性質(zhì)提供了一種直觀的方法。圖2 以三維視角展示了該映射隨2 個(gè)參數(shù)變化的分岔圖。從圖2 中可以看出，狀態(tài)變量xn在不同的控制參數(shù)下都均勻地分布在整個(gè)空間。圖3 展示了映射在固定參數(shù)下的運(yùn)動(dòng)軌跡，隨著迭代次數(shù)的增加，系統(tǒng)的輸出范圍為[0,1) 。

圖2 映射隨2 個(gè)參數(shù)變化的分岔圖

圖3 映射在固定參數(shù)下的運(yùn)動(dòng)軌跡

2.3 Lyapunov 指數(shù)

在非線性動(dòng)力學(xué)理論中，Lyapunov 指數(shù)可有效地描述映射隨時(shí)間演化時(shí)映射對(duì)初值的敏感性。對(duì)初始條件的敏感性是混沌的一個(gè)重要特征，即相空間中的2 個(gè)軌道彼此接近，隨著時(shí)間的推移，它們會(huì)以指數(shù)形式分離。若Lyapunov指數(shù)為負(fù)，表明系統(tǒng)的相體積在運(yùn)動(dòng)方向上是收縮的，即該方向的運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的；若Lyapunov指數(shù)為正，表明系統(tǒng)的相體積在某個(gè)方向上是不斷膨脹和折疊的，導(dǎo)致吸引子中本來鄰近的軌跡變得越來越不相關(guān)，從而使初始狀態(tài)不確定的映射隨時(shí)間演化時(shí)，其行為變得不可預(yù)測(cè)，即初值敏感性。此時(shí)，映射的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是混沌的。Lyapunov 指數(shù)的計(jì)算在前文已做過敘述，本節(jié)不做贅述。該映射隨控制參數(shù)變化的Lyapunov指數(shù)譜如圖4 所示。從圖4(a)和圖4(b)可以看出，Hénon 映射和2D-SLM 只有在極小參數(shù)范圍內(nèi)有正的Lyapunov 指數(shù)；從圖4(c)可以看出，系統(tǒng)在(1,5]參數(shù)范圍內(nèi)都有正的Lyapunov 指數(shù)，與前面給出的理論分析一致。如果映射的控制參數(shù)發(fā)生微小變化，前2 個(gè)映射會(huì)出現(xiàn)弱混沌，甚至退化為周期行為，而本文映射仍然保持混沌狀態(tài)。其次，映射在(]1,5 參數(shù)范圍內(nèi)具有2 個(gè)正的Lyapunov 指數(shù)，因此映射在(]1,5 范圍內(nèi)處于超混沌狀態(tài)，相較于前2 個(gè)映射，本文映射展示了穩(wěn)健超混沌行為和更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性。

圖4 映射隨2 個(gè)參數(shù)變化的Lyapunov 指數(shù)譜

2.4 樣本熵

樣本熵是基于近似熵提出的一種新的生物時(shí)間序列復(fù)雜度的分析算法[23-24]。該算法取消了近似熵中的自匹配，使其計(jì)算更為簡單，計(jì)算時(shí)間大大縮短，計(jì)算的條件概率也更加精確。該算法在計(jì)算上采用去除與自身模板比較的方式，擴(kuò)大了與閾值相比較的偏差值，可以更加準(zhǔn)確地估計(jì)新數(shù)據(jù)出現(xiàn)的概率，降低了近似熵的誤差，是時(shí)間序列復(fù)雜度量化更加精確的一種算法。近似熵值越接近0，時(shí)間序列的自相似性越強(qiáng)，產(chǎn)生新數(shù)據(jù)的概率越小，復(fù)雜度越低；近似熵值越大，映射的復(fù)雜度越高。圖5 展示了不同映射隨參數(shù)變化的近似熵值。從圖5(a)和圖5(b)可以看出，2 個(gè)映射在特定范圍內(nèi)可以取得正的近似熵值，且近似熵值都介于(0 1)，；從圖5(c)可以看出，二維多項(xiàng)式映射的近似熵值在整個(gè)區(qū)間都是正的，且近似熵值也大于前2 個(gè)映射。這說明了該映射產(chǎn)生的混沌序列具有很高的復(fù)雜度，可應(yīng)用于圖像加密、信息處理和信息傳輸?shù)阮I(lǐng)域。

圖5 映射隨2 個(gè)參數(shù)變化的近似熵值

2.5 關(guān)聯(lián)維數(shù)

作為分形維數(shù)的一種，關(guān)聯(lián)維數(shù)研究的是時(shí)間序列所占據(jù)空間維數(shù)[25]。時(shí)間序列的關(guān)聯(lián)維數(shù)的表達(dá)式為

其中，m表示序列的嵌入維數(shù)，r表示嵌入空間球的半徑，表示關(guān)聯(lián)函數(shù)，其表達(dá)式為

其中，θ(x) 表示階躍函數(shù)表示歐氏空間中Xi與之間的距離，N表示相空間中點(diǎn)的個(gè)數(shù)。如果一個(gè)非線性映射其輸出序列的關(guān)聯(lián)維數(shù)大于0，則表明該非線性映射具有混沌行為。數(shù)值越接近映射的維數(shù)，映射的混沌行為越復(fù)雜。表1 展示了4 個(gè)混沌映射在給定參數(shù)下的關(guān)聯(lián)維數(shù)。相較于其他映射，二維多項(xiàng)式混沌映射的關(guān)聯(lián)維數(shù)大于其他3 個(gè)系統(tǒng)，表明二維多項(xiàng)式混沌映射產(chǎn)生的時(shí)間序列具有更高空間維數(shù)。

表1 4 個(gè)混沌映射在給定參數(shù)的下的關(guān)聯(lián)維數(shù)

2.6 隨機(jī)性測(cè)試

為了證明混沌輸出序列的偽隨機(jī)性，本文通過NIST SP 800-22 進(jìn)行測(cè)試。對(duì)于NIST 套件中的15項(xiàng)測(cè)試，其顯著性水平設(shè)置為1%。當(dāng)P〉0.01 時(shí)，該二進(jìn)制序列就被認(rèn)為是隨機(jī)的，且其置信度為99%，否則被認(rèn)為是非隨機(jī)的。在本文測(cè)試中，給定初始值和控制參數(shù)，由于混沌序列的輸出都介于本文采用等式，將十值序列轉(zhuǎn)化為二值序列。其中是向下取整函數(shù)，di是混沌輸出序列，α是一個(gè)很大的數(shù)來影響序列的數(shù)值，β是一個(gè)整數(shù)。設(shè)，可以得到8 bit 的二進(jìn)制序列。然后對(duì)2 個(gè)混沌序列進(jìn)行NIST 測(cè)試，測(cè)試結(jié)果如表2 所示。在表2 中，所有測(cè)試均測(cè)試成功，表明所提映射產(chǎn)生的混沌序列具有很強(qiáng)的隨機(jī)性。

表2 混沌序列的NIST 測(cè)試結(jié)果

3 混沌映射在信息傳輸中的應(yīng)用

由于混沌映射的不可預(yù)測(cè)性以及遍歷性，因此其被廣泛用于網(wǎng)絡(luò)傳輸數(shù)據(jù)。利用混沌映射產(chǎn)生的序列進(jìn)行數(shù)據(jù)傳輸時(shí)，其輸出的分布對(duì)傳輸誤碼性能有很大的影響[26-29]。由于本文構(gòu)造的二維多項(xiàng)式混沌映射的輸出較為均勻地分布在整個(gè)取值空間上，因此使該混沌映射在安全通信中可以表現(xiàn)出較高的性能。本節(jié)使用參考調(diào)制差分混沌移位鍵控（RM-DCSK,reference-modulated differential chaos shift keying）[30]來演示本文所提混沌映射在信息傳輸中的性能。

3.1 RM-DCSK 通信方案

RM-DCSK 通信方案由發(fā)送端和接收端兩部分組成。發(fā)送端首先利用混沌序列對(duì)信息比特位進(jìn)行編碼，生成傳輸信號(hào)，然后將傳輸信號(hào)發(fā)送給接收端。接收端對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行解碼，從而恢復(fù)出信息比特位。

1) 發(fā)送端。傳輸信號(hào)的結(jié)構(gòu)如圖6 所示，b2k是第2k個(gè)信息比特位，Xk是一條長度為M的混沌序列，表達(dá)式為為擴(kuò)頻指數(shù)。RM-DCSK 通信方案的發(fā)送端結(jié)構(gòu)如圖7所示。首先，將系統(tǒng)的第一個(gè)時(shí)隙設(shè)置為參考時(shí)隙，混沌信號(hào)xi作為信息載波在第一個(gè)時(shí)隙內(nèi)傳輸比特信息b2k，而第二個(gè)時(shí)隙是兩部分之和，前一部分是將上一個(gè)時(shí)隙傳輸?shù)男畔⒆鳛樾畔⑤d波，然后在第二個(gè)時(shí)隙內(nèi)傳輸比特信息b2k1+，而后一部分是本時(shí)隙的混沌序列，即xi。則第k幀的傳輸信號(hào)si的表達(dá)式為

圖6 傳輸信號(hào)的結(jié)構(gòu)

圖7 RM-DCSK 通信方案的發(fā)送端結(jié)構(gòu)

其中，混沌樣點(diǎn)xi滿足

2) 接收端。當(dāng)接收端從發(fā)送端接收到傳輸信號(hào)時(shí)，可以利用相關(guān)器恢復(fù)原始信息比特位。RM-DCSK通信方案在解調(diào)時(shí)主要利用了混沌延遲特點(diǎn)和非相干技術(shù)，接收端結(jié)構(gòu)如圖8 所示。由于信號(hào)在不同網(wǎng)絡(luò)中傳輸時(shí)可能會(huì)受到噪聲的干擾，因此接收到的信號(hào)與原始信號(hào)有所不同。本文主要以加性白高斯噪聲（AWGN，additive white Gaussian noise）信道模型作為主要通信傳輸媒介，信道中的干擾以加性白高斯噪聲ξi為主，且則接收到的信號(hào)ri為

圖8 RM-DCSK 方案的接收端結(jié)構(gòu)

相關(guān)器Zn為

恢復(fù)出信息比特位b2k的相關(guān)器Z2k為

3.2 仿真實(shí)驗(yàn)

為了證明本文構(gòu)造的混沌映射在RM-DCSK 中的優(yōu)良特性，本文對(duì)比了現(xiàn)有的4 種二維離散混沌映射，如經(jīng)典的Hénon混沌映射、2D-SLM、2D-LSMCM、文獻(xiàn)[19]混沌映射。在不同的擴(kuò)頻指數(shù)M及不同等級(jí)噪聲的AWGN 信道模型中，本文使用以上混沌序列發(fā)生器進(jìn)行了RM-DCSK 通信方案的仿真。每次實(shí)驗(yàn)傳輸數(shù)據(jù)是一個(gè)隨機(jī)生成的1×105bit 長度的二進(jìn)制序列。通過計(jì)算接收到的數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)之間的誤碼率（BER,bit error ratio）來驗(yàn)證其抗噪聲能力。第一組研究針對(duì)不同擴(kuò)頻指數(shù)下的誤碼率。對(duì)于每個(gè)混沌映射，實(shí)驗(yàn)設(shè)置如下。

1) 選取5 種混沌映射中的xn序列對(duì)信息比特進(jìn)行編碼。

2) 設(shè)置AWGN 通道的噪聲強(qiáng)度為26 dB，在不同的擴(kuò)頻指數(shù)下，計(jì)算RM-DCSK 通信方案的誤碼率。

3) 在不同初始值下重復(fù)步驟1) 和步驟2) 10 次。

4) 計(jì)算這10 次實(shí)驗(yàn)誤碼率的平均值。

第二組研究針對(duì)不同噪聲等級(jí)下的誤碼率。對(duì)于每個(gè)混沌映射，實(shí)驗(yàn)設(shè)置如下。

1) 選取5 種混沌映射中的xn序列對(duì)信息比特進(jìn)行編碼。

2)設(shè)置AWGN 通道的擴(kuò)頻指數(shù)M=80，在不同的噪聲等級(jí)下，計(jì)算RM-DCSK 通信方案的誤碼率。

3) 在不同初始值下重復(fù)步驟1) 和步驟2) 10 次。

4) 計(jì)算這10 次實(shí)驗(yàn)誤碼率的平均值。

從圖9 中可以看出，在不同擴(kuò)頻指數(shù)M下，RM-DCSK 通信采用本文提出的二維多項(xiàng)式混沌映射總能比其他混沌映射獲得更小的誤碼率。從圖10中可以看出，當(dāng)信噪比較小時(shí)，使用不同混沌映射的RM-DCSK 通信方案可以獲得幾乎相同的誤碼率。但隨著信噪比的增加，使用本文提出的二維多項(xiàng)式混沌映射比使用其他混沌映射可獲得更小的誤碼率。這說明二維多項(xiàng)式混沌映射相較于其他混沌映射更適用于信息傳輸。

圖9 不同擴(kuò)頻指數(shù)下RM-DCSK 方案的誤碼率

圖10 不同噪聲等級(jí)下RM-DCSK 方案的誤碼率

4 結(jié)束語

為了解決離散混沌映射存在著混沌范圍不連續(xù)、輸出分布不完整等缺陷，本文提出了廣義二維多項(xiàng)式混沌映射，并通過理論分析與實(shí)驗(yàn)仿真證實(shí)了該映射的有效性，最后將5 種二維混沌映射應(yīng)用于RM-DCSK 通信方案中。相較于其他混沌映射，本文提出的二維多項(xiàng)式混沌映射可以獲得更小的誤碼率，說明了該映射更適用于信息傳輸。在后續(xù)工作中，本文將基于局域網(wǎng)，利用現(xiàn)場(chǎng)可編程門陣列硬件平臺(tái)搭建通信方案模型，RM-DCSK 通信方案可以為加密端和解密端發(fā)送密鑰。