廣東省中山市桂山中學(xué)(528463) 譚天眾

1 題目呈現(xiàn)

題目(2022年高考理科數(shù)學(xué)甲卷第16題)已知ΔABC中,點(diǎn)D在邊BC上,∠ADB = 120°, AD = 2, CD = 2BD.當(dāng)取得最小值時(shí),.

本題為是填空題的壓軸題,涉及不常見(jiàn)線段比例問(wèn)題,考查余弦定理、基本不等式、對(duì)勾函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)點(diǎn),綜合性強(qiáng),對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定難度,對(duì)學(xué)生的思維能力、運(yùn)算能力、推理能力都提出了要求.

2 一題多解

2.1 求表達(dá)式

解法1(余弦定理)如圖1,設(shè)BD = x,在ΔADC中應(yīng)用余弦定理得: AC2= 4 + (2x)2- 2×2×2xcos60°=4x2-4x+4;在ΔABD中, AB2= x2+4-2x×2cos120°=x2+ 2x + 4.則.

圖1

圖2

2.2 求最值條件

解法1(基本不等式)

解法3(導(dǎo)數(shù)法)

2.3 題目另解

托勒密不等式凸四邊形的兩組對(duì)邊乘積之和大于等于對(duì)角線的乘積,當(dāng)且僅當(dāng)凸四邊形有外接圓時(shí)取得等號(hào).如圖3,已知凸四邊形ABCD中, AB·CD + AD·BC≥AC·BD,當(dāng)且僅當(dāng)A,B,C,D共圓時(shí)取得等號(hào).

圖3

設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線AD的對(duì)稱為點(diǎn)E,如圖4,由對(duì)稱性, AB = AE, DB = DE,∠ADB =∠ADE = 120°,所以∠CDE =∠ADE -∠ADC = 60°,設(shè)BD = x,則

圖4

由托勒密不等式, AB·CE + BE·AC≥AE ·BC,即≥AB·3x,則當(dāng)且僅當(dāng)A,B,E,C共圓時(shí)取得等號(hào).共圓時(shí),由于AD為線段BE的垂直平分線,所以圓心O在AD上,因?yàn)镋B = EC,所以O(shè)E⊥BC,所以∠DOE =∠DEO = 30°,所以DO = DE = x,∠BOE = 60°,從而ΔOBE為等邊三角形,則AD = OA + OD,即2 =+ x,得x =- 1,所以BD =- 1.

3 題目一般化

已知ΔABC中,點(diǎn)D在邊BC上,如圖1,設(shè)∠ADC =α, BD = x, AD = y, CD =μBD,考慮的最值情況,以及當(dāng)其取最值時(shí)的條件.

探究1將t看成變量,μ與α為固定量.

探究2將μ看成變量, t與α為固定量.

易見(jiàn)t2+ (2cosα)t + 1 = (t + cosα)2+ 1 - cos2α＞0.

探究3將α看成變量, t與μ為固定量.

4 題目改編

應(yīng)用以上探究結(jié)論,可以將原題改編,得到以下變式,供學(xué)生練習(xí).