李瓊芳，許樹(shù)洪，周正模，和鵬飛，杜 堯，虞美秀，陳啟慧

(1.河海大學(xué)水文水資源學(xué)院，江蘇 南京 210098；2.長(zhǎng)江保護(hù)與綠色發(fā)展研究院，江蘇 南京 210098)

高精度的暴雨強(qiáng)度公式是城市防洪排澇基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)規(guī)劃設(shè)計(jì)的重要依據(jù)，事關(guān)城市地區(qū)人民生命財(cái)產(chǎn)安全和社會(huì)經(jīng)濟(jì)的可持續(xù)發(fā)展[1]。在過(guò)去幾十年的探索與實(shí)踐中，已經(jīng)形成了暴雨選樣、頻率分析、公式擬合的一套完善的暴雨公式編制流程。隨著新的優(yōu)化算法的應(yīng)用，公式參數(shù)的求解發(fā)展出多種方法[2-4]，葉姍姍等[5]分別用粒子群算法、高斯-牛頓法、遺傳算法、麥夸爾特法推導(dǎo)得到淮安市暴雨強(qiáng)度公式，并對(duì)比分析了不同算法得到的結(jié)果；白慶芹等[6]選用麥夸爾特全局優(yōu)化法、準(zhǔn)牛頓全局優(yōu)化法、模擬退火法、粒子群算法及遺傳算法求解得到暴雨強(qiáng)度公式參數(shù)；張小潭等[7]等基于改進(jìn)的實(shí)時(shí)編碼加速遺傳算法(real coding-based accelerated genetic algorithm, RAGA)求解暴雨強(qiáng)度公式參數(shù)，并與傳統(tǒng)求解方法(牛頓迭代法、高斯-牛頓法)和優(yōu)化算法(RAGA、蟻群算法)得到的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。盡管不同學(xué)者在求解暴雨強(qiáng)度公式參數(shù)時(shí)使用的優(yōu)化方法有所不同，但在求解過(guò)程中均需要設(shè)定參數(shù)收斂的目標(biāo)函數(shù)，如給殘差分配相等權(quán)重的絕對(duì)均方誤差、不等權(quán)重的相對(duì)均方誤差等，這類(lèi)目標(biāo)函數(shù)都與誤差平方和目標(biāo)函數(shù)的本質(zhì)相同。使用此類(lèi)目標(biāo)函數(shù)，一方面會(huì)由于非線(xiàn)性模型的參數(shù)平方而出現(xiàn)額外解[8]；另一方面此類(lèi)目標(biāo)函數(shù)的響應(yīng)面存在大量局部最優(yōu)值，使智能算法很容易陷入局部最優(yōu)，無(wú)法得到真正的全局最優(yōu)解[9]。因此，智能算法求解非線(xiàn)性問(wèn)題時(shí)會(huì)普遍出現(xiàn)參數(shù)等價(jià)性、模糊性、非唯一性、病態(tài)性和不可識(shí)別性現(xiàn)象[10]，如暴雨強(qiáng)度公式參數(shù)求解中的“異參同效”問(wèn)題[11]。針對(duì)以上問(wèn)題，亟須論證智能算法求解暴雨強(qiáng)度公式參數(shù)能否收斂到全局最優(yōu)[12]，并探索在不考慮其他可行參數(shù)集的情況下能有效獲取唯一最優(yōu)參數(shù)集[13]的新的暴雨強(qiáng)度公式參數(shù)求解方法。

本文以國(guó)家海綿城市建設(shè)試點(diǎn)城市——鎮(zhèn)江市為研究對(duì)象，解析暴雨強(qiáng)度公式參數(shù)求解常用目標(biāo)函數(shù)響應(yīng)面上參數(shù)解的空間分布特征，論證分析傳統(tǒng)智能算法在暴雨強(qiáng)度公式參數(shù)求解中的效果，提出基于系統(tǒng)微分響應(yīng)的暴雨強(qiáng)度公式參數(shù)優(yōu)化方法并分析其應(yīng)用效果。研究成果可為優(yōu)化求解暴雨強(qiáng)度公式參數(shù)和提升暴雨強(qiáng)度公式精度提供新的思路。

1 常用暴雨強(qiáng)度公式參數(shù)求解方法存在的問(wèn)題

1.1 參數(shù)求解常用目標(biāo)函數(shù)合理性分析

目前國(guó)內(nèi)常用的4參數(shù)城市暴雨強(qiáng)度公式為

(1)

式中：I為暴雨強(qiáng)度；A1為雨力參數(shù)；C為校正參數(shù)；T為重現(xiàn)期；t為降雨歷時(shí)；b為修正參數(shù)；n為暴雨衰減指數(shù)。

《城市暴雨強(qiáng)度公式編制和設(shè)計(jì)暴雨雨型確定技術(shù)導(dǎo)則》(下文簡(jiǎn)稱(chēng)《導(dǎo)則》)中規(guī)定需要按編制公式計(jì)算暴雨強(qiáng)度并進(jìn)行精度檢驗(yàn)，不同于絕大多數(shù)非線(xiàn)性函數(shù)參數(shù)優(yōu)化是以計(jì)算與實(shí)測(cè)樣本的誤差平方和為目標(biāo)函數(shù)；GB 50014—2006《室外排水設(shè)計(jì)規(guī)范》(2011年版)(下文簡(jiǎn)稱(chēng)《規(guī)范》)則要求把計(jì)算值與實(shí)測(cè)值的平均絕對(duì)均方誤差(AMSE)和平均相對(duì)均方誤差(RMSE)作為評(píng)價(jià)暴雨強(qiáng)度公式精度的指標(biāo)。因此，為使所得暴雨公式參數(shù)反映樣本統(tǒng)計(jì)特征，將AMSE或RMSE作為參數(shù)優(yōu)選目標(biāo)函數(shù)。

以一般p次非線(xiàn)性函數(shù)為例：

y=x+ax+(ax)2+…+(ax)p

(2)

式中：y為模型輸出；x為模型輸入；a為參數(shù)。

L個(gè)樣本的函數(shù)計(jì)算值與實(shí)測(cè)值的AMSE為

(3)

式中xi、yi分別為每組樣本的模型輸入和實(shí)測(cè)值。

將AMSE作為目標(biāo)函數(shù)，對(duì)式(3)求一階偏導(dǎo)，得到

(4)

令上式等于0時(shí)會(huì)額外增加了p-1個(gè)參數(shù)解，因此將AMSE作為目標(biāo)函數(shù)，求解此目標(biāo)函數(shù)最小值時(shí)會(huì)顯著增加參數(shù)求解的不確定性。

假設(shè)暴雨強(qiáng)度公式參數(shù)值分別為A1=5、C=1、b=1、n=0.7，該暴雨強(qiáng)度公式可以表示為

(5)

以式(5)得到的暴雨強(qiáng)度為實(shí)測(cè)暴雨強(qiáng)度。假設(shè)存在4個(gè)樣本，分別為(T=10 a，t=5 min)、(T=10 a，t=6 min)、(T=100 a，t=5 min)、(T=100 a，t=6 min)，并假定在參數(shù)C和b已知的條件下以AMSE為目標(biāo)函數(shù)確定參數(shù)A1和n。假定A1在[0，10]內(nèi)每間隔1取1個(gè)值，n在[0，1]內(nèi)每間隔0.1取1個(gè)值，生成11×11的網(wǎng)格，計(jì)算網(wǎng)格點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)值，繪制得到網(wǎng)格化目標(biāo)函數(shù)曲面,如圖1(a)所示，可以看到局部最優(yōu)解沿深色區(qū)域呈曲線(xiàn)延展至全局最優(yōu)，局部最優(yōu)解共7個(gè)。

(a)2個(gè)未知參數(shù)

類(lèi)似地，假定參數(shù)C已知，通過(guò)尋找AMSE最小的參數(shù)組合來(lái)確定未知參數(shù)A1、b、n。假定A1和b都在[0，10]內(nèi)每間隔1取1個(gè)值，n在[0，1]內(nèi)每間隔0.1取1個(gè)值，生成11×11×11的網(wǎng)格，計(jì)算網(wǎng)格點(diǎn)AMSE，得到的網(wǎng)格化目標(biāo)函數(shù)曲面如圖1(b)所示，相應(yīng)的局部最優(yōu)解共21個(gè)。

隨著參數(shù)個(gè)數(shù)的增加和參數(shù)組合樣本的增多，目標(biāo)函數(shù)曲面上的局部最優(yōu)值數(shù)量越來(lái)越多，可以發(fā)現(xiàn)大量局部最優(yōu)的目標(biāo)函數(shù)值近似相同。因此可以推斷，當(dāng)參數(shù)范圍越大，間隔步長(zhǎng)越小(目標(biāo)函數(shù)曲面越光滑)，參數(shù)組合越多，局部最優(yōu)參數(shù)解的個(gè)數(shù)會(huì)趨于無(wú)窮多個(gè)，并且在參數(shù)真值附近的局部最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值會(huì)與參數(shù)真值的目標(biāo)函數(shù)值近似相等，“異參同效”現(xiàn)象非常顯著。

這些問(wèn)題的存在表明暴雨強(qiáng)度公式參數(shù)求解常用的目標(biāo)函數(shù)有缺陷，無(wú)法保證推求得到的參數(shù)解為真值。下面將結(jié)合具體案例進(jìn)一步分析暴雨強(qiáng)度公式目標(biāo)函數(shù)曲面上參數(shù)解的分布特征，并結(jié)合一些常用智能算法評(píng)價(jià)其求解能力。

1.2 基于具體案例的目標(biāo)函數(shù)響應(yīng)面參數(shù)解分布特征

1.2.1研究區(qū)選取及設(shè)計(jì)暴雨強(qiáng)度推求

選取國(guó)家海綿城市試點(diǎn)城市——鎮(zhèn)江市作為研究區(qū)。相關(guān)研究表明鎮(zhèn)江市短歷時(shí)暴雨發(fā)生次數(shù)呈顯著增長(zhǎng)趨勢(shì)[14]，因此編制高精度的城市暴雨強(qiáng)度公式對(duì)城市防洪至關(guān)重要?；阪?zhèn)江市國(guó)家基本氣象站丹徒站1981—2016年逐分鐘實(shí)測(cè)雨量資料，采用年最大值選樣方法構(gòu)建5 min、10 min、15 min、20 min、30 min、45 min、60 min、90 min、120 min、150 min、180 min共11個(gè)歷時(shí)的暴雨資料統(tǒng)計(jì)樣本。考慮到P-Ⅲ型分布相較于耿貝爾分布和指數(shù)型分布更適用于研究區(qū)[15]，選用P-Ⅲ型分布對(duì)各歷時(shí)年最大降水量樣本進(jìn)行頻率分析，得到100 a、50 a、30 a、20 a、10 a、5 a、3 a、2 a共8個(gè)不同重現(xiàn)期不同歷時(shí)的設(shè)計(jì)暴雨強(qiáng)度(表1)。

表1 不同歷時(shí)不同重現(xiàn)期的暴雨強(qiáng)度

1.2.2目標(biāo)函數(shù)響應(yīng)面參數(shù)解分布特征

由于樣本數(shù)量較大，目標(biāo)函數(shù)較為復(fù)雜，很難通過(guò)對(duì)公式及目標(biāo)函數(shù)的理論分析來(lái)獲取參數(shù)解數(shù)量和位置信息，因此采用隨機(jī)抽樣的方法分析參數(shù)解的信息。根據(jù)鎮(zhèn)江市暴雨強(qiáng)度公式現(xiàn)有的參數(shù)取值：A1=38.362 3、C=1.017 3、b=19.137 7和n=0.975，將各參數(shù)初始范圍設(shè)置為A1∈(0,50)、C∈(0,1.1)、b∈(0,30)、n∈(0,1)，然后在參數(shù)范圍內(nèi)通過(guò)均勻分布生成10萬(wàn)組隨機(jī)樣本。根據(jù)《導(dǎo)則》要求編制的暴雨強(qiáng)度公式，其精度應(yīng)滿(mǎn)足AMSE小于0.05 mm/min，RMSE小于5%，因此分別統(tǒng)計(jì)滿(mǎn)足精度要求的樣本組數(shù)，并確定相應(yīng)的參數(shù)取值范圍，在此范圍內(nèi)繼續(xù)進(jìn)行抽樣，重復(fù)上述步驟直至滿(mǎn)足精度要求的參數(shù)范圍不再變化為止，最后點(diǎn)繪出該參數(shù)范圍內(nèi)樣本參數(shù)值-目標(biāo)函數(shù)值關(guān)系圖，并分析參數(shù)解的分布特征。

表2給出了均勻隨機(jī)抽樣結(jié)果。在沒(méi)有有效確定參數(shù)初始值范圍的情況下，10萬(wàn)組樣本中僅有2組樣本滿(mǎn)足AMSE小于0.05 mm/min，即隨機(jī)抽樣法求解參數(shù)能滿(mǎn)足精度要求的概率僅為0.000 02。經(jīng)過(guò)第一次抽樣，縮小了參數(shù)初始值范圍，在第二次采用隨機(jī)抽樣法時(shí)，滿(mǎn)足精度要求的概率則達(dá)到了0.108 69，有了明顯提升，但滿(mǎn)足精度要求的參數(shù)范圍與前一次抽樣確定的參數(shù)范圍基本相同，說(shuō)明能滿(mǎn)足AMSE小于0.05 mm/min的穩(wěn)定的參數(shù)范圍已基本確定。想要通過(guò)進(jìn)一步約束參數(shù)范圍來(lái)獲得最優(yōu)解，需要加強(qiáng)約束條件。序號(hào)3給出了在第2次抽樣確定的參數(shù)范圍內(nèi)隨機(jī)抽樣，統(tǒng)計(jì)滿(mǎn)足AMSE小于0.045 mm/min和RMSE小于4%的樣本個(gè)數(shù)及參數(shù)范圍。可以看出滿(mǎn)足AMSE小于0.045 mm/min的樣本數(shù)為3 118，即滿(mǎn)足精度要求的概率為0.031 18，但也發(fā)現(xiàn)滿(mǎn)足精度要求的參數(shù)范圍較初始范圍沒(méi)有較明顯的變化。此外，案例還表明滿(mǎn)足AMSE精度要求的樣本均能滿(mǎn)足RMSE的精度要求，因此下文均以AMSE作為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行分析。

表2 均勻隨機(jī)抽樣結(jié)果

圖2為第3次抽樣獲得的10萬(wàn)組樣本的AMSE與各參數(shù)的關(guān)系。從圖2可以看出，約束參數(shù)范圍后抽樣所得到的樣本中仍有一部分無(wú)法滿(mǎn)足AMSE的精度要求；但滿(mǎn)足精度要求的參數(shù)解數(shù)量眾多，且不同參數(shù)樣本的目標(biāo)函數(shù)值近乎相同；同時(shí)滿(mǎn)足AMSE最小的樣本有無(wú)窮多個(gè)，“異參同效”特征非常明顯，進(jìn)一步證實(shí)了第1.1節(jié)的結(jié)論。此外，未發(fā)現(xiàn)能夠決定目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解的參數(shù)，但相對(duì)而言，AMSE對(duì)參數(shù)A1、n較為敏感，其值的合理界定能夠有效過(guò)濾導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)值相對(duì)較大的無(wú)用樣本。當(dāng)A1∈(37,38)、n∈(0.94,0.95)時(shí)，AMSE變化區(qū)間明顯縮窄，由樣本信息可知，當(dāng)A1=37.877 9、n=0.943 8時(shí)，AMSE最小，因此A1、n范圍的有效界定對(duì)模型參數(shù)的優(yōu)化求解尤為重要。通過(guò)上述抽樣分析方法可以不斷縮小參數(shù)范圍，最終選取對(duì)應(yīng)于樣本中目標(biāo)函數(shù)最小的參數(shù)組合作為最優(yōu)解，但此方法相對(duì)繁瑣，建議慎用。

(a)A1-AMSE散點(diǎn)圖

從以上分析發(fā)現(xiàn)，在參數(shù)范圍未有效確定的情況下，滿(mǎn)足精度要求的有效樣本數(shù)目較少，而在縮小參數(shù)范圍后，滿(mǎn)足精度要求的參數(shù)解數(shù)量又較多，信息混雜。因此利用隨機(jī)搜索類(lèi)優(yōu)化算法推求暴雨強(qiáng)度公式參數(shù)無(wú)法保證所獲得的參數(shù)值是其真值。

在最終確定的參數(shù)范圍內(nèi)生成多維度參數(shù)組合的離散化網(wǎng)格，并計(jì)算網(wǎng)格點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)值。將A1、C、b、n參數(shù)中任意兩個(gè)作為x和y軸，目標(biāo)函數(shù)作為z軸，繪制參數(shù)-目標(biāo)函數(shù)值三維空間圖(圖3)；將A1、C、b、n參數(shù)中任意3個(gè)作為x、y和z軸，繪制參數(shù)-目標(biāo)函數(shù)值切片圖(圖4)?；谌S空間圖和切片圖，分析參數(shù)變化對(duì)目標(biāo)函數(shù)值的影響特征以及滿(mǎn)足精度要求的參數(shù)解數(shù)量及分布情況。

(a)A1、C

(a)A1、C、b

從圖3中可以看出，任意兩參數(shù)組合對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)響應(yīng)面呈現(xiàn)U形，滿(mǎn)足精度要求的參數(shù)解分布在響應(yīng)面底部深色區(qū)域，深色區(qū)域呈線(xiàn)性延展至全局最優(yōu)點(diǎn)。響應(yīng)面底部存在間隔分布的凹槽，凹槽底部為局部最優(yōu)值。從圖4中可以看出，目標(biāo)函數(shù)值較小的參數(shù)組合樣點(diǎn)分布在圖中深色區(qū)域，存在無(wú)窮多個(gè)，在參數(shù)變化范圍內(nèi)均有分布。從其分布位置與參數(shù)的相互關(guān)系來(lái)看，A1、C、b參數(shù)中，目標(biāo)函數(shù)值隨A1變化而變化，而基本不隨C、b變化而變化；A1、C、n參數(shù)中，參數(shù)A1、n對(duì)目標(biāo)函數(shù)值影響程度大于參數(shù)C，尤其是當(dāng)A1、n同時(shí)減小時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值也減?。籄1、b、n參數(shù)中，A1、n對(duì)目標(biāo)函數(shù)值影響程度大于參數(shù)b，目標(biāo)函數(shù)值也是隨著A1、n的減小而減小，但不隨b變化而變化；C、b、n參數(shù)中，n對(duì)目標(biāo)函數(shù)值的影響程度大于C、b，目標(biāo)函數(shù)值隨著n的減小而減小，但不隨C、b變化而變化?？傮w來(lái)看，目標(biāo)函數(shù)值對(duì)A1和n的敏感程度較高，此結(jié)論與采用Sobol法[16]的敏感性分析結(jié)果(表3)一致。

表3 Sobol法靈敏度分析結(jié)果

1.3 常用智能算法的暴雨強(qiáng)度公式參數(shù)求解能力

從以上分析結(jié)果來(lái)看，當(dāng)采用隨機(jī)搜索的智能算法求解暴雨強(qiáng)度公式參數(shù)時(shí)存在以下問(wèn)題：①在參數(shù)范圍沒(méi)有得到有效界定的情況下，基于隨機(jī)生成的參數(shù)個(gè)體/種群來(lái)篩選信息進(jìn)而尋優(yōu)，很難隨機(jī)生成包含全局最優(yōu)參數(shù)信息的種群；②即使在參數(shù)范圍確定的情況下，由于局部最優(yōu)值數(shù)量過(guò)多，當(dāng)初始生成的參數(shù)種群不包含全局最優(yōu)信息時(shí)，算法會(huì)陷入局部最優(yōu)，避免陷入局部最優(yōu)的辦法是增加新的參數(shù)樣本更新種群，但如果新的參數(shù)樣本仍然不能包含全局最優(yōu)信息，算法又會(huì)陷入下一個(gè)局部最優(yōu)；③由于全局最優(yōu)附近的局部最優(yōu)和全局最優(yōu)的目標(biāo)函數(shù)差別太小，而數(shù)學(xué)軟件能識(shí)別的小數(shù)位數(shù)有限，算法將局部最優(yōu)等同于全局最優(yōu)處理，最終得到的結(jié)果可能只是目標(biāo)函數(shù)近似最小的局部最優(yōu)參數(shù)解，即“異參同效”。

結(jié)合前面的實(shí)際案例，本文采用粒子群算法和SCE-UA(shuffled complex evolution algorithm)算法優(yōu)化求解了鎮(zhèn)江市暴雨強(qiáng)度公式參數(shù)。表4給出了在參數(shù)初始范圍A1∈(0,50)、C∈(0,1)、b∈(0,30)和n∈(0,1)條件下兩種方法尋優(yōu)得到的最終參數(shù)解及目標(biāo)函數(shù)值。可以看出粒子群算法尋優(yōu)效果相對(duì)較好，5次參數(shù)尋優(yōu)對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)均滿(mǎn)足精度要求(<0.05 mm/min)，但每次參數(shù)解卻不盡相同。需要指出的是，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)最小值落在參數(shù)范圍邊界時(shí)，算法不能夠自動(dòng)折返，而會(huì)陷入局部尋優(yōu)。SCE-UA算法在求解具有區(qū)間約束的非線(xiàn)性問(wèn)題時(shí)較為有效[17]，但在參數(shù)范圍沒(méi)有得到有效約束的情況下，尋優(yōu)效果相對(duì)較差。

表4 優(yōu)化算法參數(shù)解及目標(biāo)函數(shù)值

2 暴雨強(qiáng)度公式參數(shù)系統(tǒng)微分響應(yīng)求解方法

上述分析表明，以AMSE/RMSE為目標(biāo)函數(shù)，在目標(biāo)函數(shù)響應(yīng)面上進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)存在諸多問(wèn)題。由于暴雨強(qiáng)度公式本身在參數(shù)鄰域內(nèi)連續(xù)且可求導(dǎo)，因此可通過(guò)樣本(Xi,Yi)與參數(shù)函數(shù)y(Y)=f(θ,Xi)相交的位置獲取參數(shù)真值信息，從而使得在參數(shù)函數(shù)曲面上尋優(yōu)的系統(tǒng)微分響應(yīng)方法[18]具有較大的應(yīng)用價(jià)值。

假設(shè)非線(xiàn)性函數(shù)模型可以表示為

Y=f(θ,X)

(6)

其中

θ=(θ1,θ2,…,θq)T

X=(x1,x2,…,xk)T

式中：θ為模型參數(shù)；X為模型輸入自變量。

在模型參數(shù)優(yōu)化時(shí)，將模型參數(shù)看作自變量，對(duì)函數(shù)模型線(xiàn)性化，即一階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)。其表達(dá)式為

(7)

其中

Y(j)=f(θ(j),X)

式中：j為迭代次數(shù)；θ(j)為參數(shù)θ第j次率定值；e(j)為觀(guān)測(cè)值與計(jì)算值的偏差。

假定共有m組觀(guān)測(cè)樣本，即(X1,Y1)、(X2,Y2)、…、(Xm,Ym)，函數(shù)模型向量形式為

Y=Y(j)+S(θ-θ(j))+E(j)

(8)

其中

Y=(Y1,Y2,…,Ym)T

要使函數(shù)計(jì)算值與觀(guān)測(cè)值誤差最小，校正后的參數(shù)θ滿(mǎn)足：

(9)

因此，式(8)變換為Y-Y(j)=S(θ-θ(j))，由此可得

θ(j+1)=θ(j)+(STS)-1ST(Y-Y(j))

(10)

通過(guò)上述過(guò)程可由初始參數(shù)值一步步迭代計(jì)算得到參數(shù)最優(yōu)值。但是由于式(7)只是對(duì)實(shí)際函數(shù)的線(xiàn)性近似，忽略了高階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)項(xiàng)。因此引入校正系數(shù)c(c>1)，將式(8)修正為

Y=Y(j)+cS(θ-θ(j))+E(j)

(11)

相應(yīng)地，式(10)可變化為迭代式：

θ(j+1)=θ(j)+B(STS)-1ST(Y-Y(j))

(12)

式中0

(13)

計(jì)算迭代過(guò)程中止應(yīng)同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)原則：

a.函數(shù)收斂原則。當(dāng)算法在一次或多次迭代中不能明顯改善目標(biāo)函數(shù)值時(shí)，迭代過(guò)程停止，即|Y(j+1)-Y(j)|<ε，其中ε為收斂性控制常數(shù)，ε≥0。

基于系統(tǒng)微分響應(yīng)優(yōu)化方法的暴雨強(qiáng)度公式參數(shù)優(yōu)化求解步驟為：①參數(shù)A1、C、b、n的初始化，即隨機(jī)生成一組參數(shù)初始值θ(0)；②將初始參數(shù)θ(0)與樣本結(jié)合，計(jì)算靈敏度矩陣S以及每個(gè)樣本的Y-Y(0)；③根據(jù)式(10)確定搜索方向，根據(jù)式(12)(13)確定參數(shù)B；④利用式(12)計(jì)算得到θ(1)；⑤判斷是否滿(mǎn)足收斂性原則，若滿(mǎn)足則終止尋優(yōu)，若不滿(mǎn)足則令θ(1)=θ(0)轉(zhuǎn)步驟②。

3 實(shí)例應(yīng)用與討論

3.1 實(shí)例應(yīng)用

為進(jìn)一步分析系統(tǒng)微分響應(yīng)參數(shù)優(yōu)化方法的應(yīng)用效果，利用該方法推求鎮(zhèn)江市暴雨強(qiáng)度公式。圖5給出了按照第2節(jié)步驟進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化求解的迭代收斂過(guò)程(不同顏色代表參數(shù)不同初始值的優(yōu)化過(guò)程)。由圖5可知，對(duì)于不同參數(shù)初始值，最后都能收斂到同一結(jié)果，即參數(shù)真值，且各參數(shù)迭代次數(shù)均在15次以?xún)?nèi)，表明算法優(yōu)化效率較高。當(dāng)參數(shù)初始值接近參數(shù)范圍下邊界時(shí)，在優(yōu)化求解過(guò)程中，參數(shù)取值逐漸增加，逐漸逼近參數(shù)真值，且算法能夠通過(guò)靈敏度矩陣自動(dòng)縮小步長(zhǎng)，逐漸收斂到真值；而當(dāng)參數(shù)取值接近參數(shù)范圍上邊界時(shí)，經(jīng)過(guò)尋優(yōu)，參數(shù)取值會(huì)向下邊界逼近，直至小于參數(shù)真值，再逐漸增大向真值逼近。由此可知，該方法更擅長(zhǎng)于從參數(shù)取值范圍下邊界逼近參數(shù)真值，但當(dāng)參數(shù)取值靠近上邊界時(shí)，算法都能有效折返，可以避免陷入局部最優(yōu)。

(a)A1優(yōu)化過(guò)程

綜上，暴雨強(qiáng)度公式參數(shù)線(xiàn)性化優(yōu)化方法能夠?qū)ふ业奖┯陱?qiáng)度公式參數(shù)的真值，且迭代次數(shù)較少，效率較高，該算法不需要通過(guò)目標(biāo)函數(shù)反推參數(shù)，且能夠解決參數(shù)范圍的確定對(duì)求解結(jié)果的影響問(wèn)題，能夠避免陷入局部最優(yōu)。推求的5～180 min鎮(zhèn)江市暴雨強(qiáng)度公式為

(14)

式(14)所得暴雨強(qiáng)度公式計(jì)算的AMSE為0.042 63 mm/min，RMSE為3.360 1%，精度均滿(mǎn)足《規(guī)范》要求。

3.2 討 論

系統(tǒng)微分響應(yīng)法的理論基礎(chǔ)是系統(tǒng)對(duì)參數(shù)擾動(dòng)的局部敏感性[19],該方法在優(yōu)化求解效率和精度上明顯優(yōu)于粒子群、SCE-UA算法。該方法通過(guò)一階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)將非線(xiàn)性模型轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性模型，同時(shí)利用最小二乘法求解線(xiàn)性逆問(wèn)題，由暴雨強(qiáng)度的計(jì)算誤差推求參數(shù)的估計(jì)誤差，并以此進(jìn)行參數(shù)修正，具有較為清晰的物理解釋?zhuān)Y(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單，性能較為穩(wěn)定。針對(duì)暴雨強(qiáng)度公式參數(shù)求解中遇到的“異參同效”難題，許多優(yōu)化算法可能僅僅得到了滿(mǎn)足精度要求的一種解，而非唯一解，而系統(tǒng)微分響應(yīng)法可以高效獲得暴雨強(qiáng)度公式參數(shù)真值，表現(xiàn)出了明顯的優(yōu)勢(shì)。從推導(dǎo)過(guò)程來(lái)看，該方法應(yīng)適用于其他地區(qū)暴雨強(qiáng)度公式參數(shù)的優(yōu)選求解。此外，如何構(gòu)造新的目標(biāo)函數(shù)來(lái)提高參數(shù)優(yōu)化方法的優(yōu)化性能[20]，同時(shí)反映模型系統(tǒng)參數(shù)本身特性，這是參數(shù)優(yōu)化領(lǐng)域的一大難題。在暴雨強(qiáng)度公式推求應(yīng)用中，新目標(biāo)函數(shù)的確定也具有研究?jī)r(jià)值，李增永等[21]在推求暴雨強(qiáng)度公式參數(shù)時(shí)，采用對(duì)數(shù)離差絕對(duì)值和平均對(duì)數(shù)離差絕對(duì)值作為目標(biāo)函數(shù)，此目標(biāo)函數(shù)反映出雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中暴雨強(qiáng)度-歷時(shí)關(guān)系曲線(xiàn)呈現(xiàn)階段式的線(xiàn)性特征[22]，因此從理論上更能反映暴雨衰減指數(shù)隨歷時(shí)變化的特點(diǎn)，但此目標(biāo)函數(shù)響應(yīng)面的參數(shù)解數(shù)量、分布特征以及目標(biāo)函數(shù)與參數(shù)的關(guān)系值得進(jìn)一步研究論證。

4 結(jié) 論

a.常用的以RMSE或AMSE作為目標(biāo)函數(shù)的暴雨強(qiáng)度公式參數(shù)優(yōu)化方法存在局限性，增加了參數(shù)求解的不確定性，無(wú)法保證推求得到的參數(shù)解為真值。

b.基于隨機(jī)搜索的優(yōu)化算法在優(yōu)化求解暴雨強(qiáng)度公式參數(shù)時(shí)可能僅僅得到了局部最優(yōu)值，而非全局最優(yōu)。

c.基于系統(tǒng)微分響應(yīng)的暴雨強(qiáng)度公式參數(shù)求解方法優(yōu)化求解效率較高，且能獲得參數(shù)真值。