卜 紅 彧

(遼東學(xué)院師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，遼寧 丹東 118003)

1 問題的提出

在種群問題的研究過程中，考慮到種群擁擠和生存環(huán)境限制對種群發(fā)展過程的影響，相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型關(guān)于狀態(tài)函數(shù)就是非線性的.文獻(xiàn)[1]研究了年齡和時(shí)滯的非擴(kuò)散種群系統(tǒng)的最優(yōu)生育率控制；文獻(xiàn)[2]研究了年齡結(jié)構(gòu)和加權(quán)的隨機(jī)種群系統(tǒng)的最優(yōu)邊界控制；文獻(xiàn)[3]研究了一類污染環(huán)境下具有擴(kuò)散和年齡結(jié)構(gòu)的隨機(jī)種群系統(tǒng)強(qiáng)解的存在唯一性；文獻(xiàn)[4]研究了一類非隨機(jī)周期種群系統(tǒng)的最優(yōu)收獲；文獻(xiàn)[5]研究了尺度結(jié)構(gòu)的非擴(kuò)散隨機(jī)種群系統(tǒng)的最優(yōu)輸入率控制；文獻(xiàn)[6-8]研究了個(gè)體尺度結(jié)構(gòu)下競爭種群系統(tǒng)的最優(yōu)收獲控制、最優(yōu)邊界控制和最優(yōu)輸入率控制；文獻(xiàn)[9]研究了非隨機(jī)種群擴(kuò)散系統(tǒng)的最優(yōu)收獲條件.在上述基礎(chǔ)上，基于周期環(huán)境，只有考慮到種群的尺度結(jié)構(gòu)、擴(kuò)散系數(shù)和隨機(jī)因素的影響，才更加符合種群生存的實(shí)際.本文討論如下具有尺度結(jié)構(gòu)的隨機(jī)種群擴(kuò)散系統(tǒng)(P)：

(1)

在上述模型中：固定常數(shù)m，T分別表示種群個(gè)體最大尺度和系統(tǒng)演變周期，00是種群的空間擴(kuò)散系數(shù)；g(s)表示種群個(gè)體尺度的增長率；μ0(s，t，x)≥0是種群的自然死亡率；μ(s，t，x；P)≥0是種群的外界死亡率；β(s，t，x；P)是種群的生育率；g′(s，t，x)dω表示外部環(huán)境對種群系統(tǒng)的隨機(jī)擾動，ω(t)為白噪聲；p0(s，x)≥0是時(shí)刻t=0初始尺度分布；k(s，t，x)為權(quán)函數(shù).在周期環(huán)境下，v(s，t，x)為系統(tǒng)(P)的收獲率，取v為控制量，性能指標(biāo)泛函為

(2)

討論下面的最優(yōu)收獲控制問題：尋找u∈U，使得

(3)

其中容許控制集為

U={v∈L∞(Q)|0≤v(s，t，x)=v(s，t+T，x)≤L<+∞，a.e.于Q內(nèi)}.

2 基本假設(shè)

本文假設(shè)如下條件成立，其中Mi(i=1，2，…，6)為常數(shù)：

(H2)μ(s，t，x；y)與β(s，t，x；y)關(guān)于y二次連續(xù)可微，且

0≤μ(s，t，x；y)，β(s，t，x；y)，|μy(s，t，x；y)|，|βy(s，t，x；y)|≤M2a.e.于Q×+上，

μ(s，t+T，x；P(t+T，x))=μ(s，t，x；P(t，x))，β(s，t+T，x；P(t+T，x))=β(s，t，x；P(t，x))；

(H3) 0≤p0(s，x)≤M3<+∞ a.e.于Ωm內(nèi)，滿足相容性條件：

(H4)g(s)是(0，m)上連續(xù)可微增函數(shù)，0

(H5) 連續(xù)函數(shù)g′(s，t，x)滿足g′(s，t，x)=g′(s，t+T，x)；

(H6) 0≤k(s，t，x)≤M6<+∞于Q內(nèi).

按照文獻(xiàn)[10]引進(jìn)一些記號：設(shè)H1(Ω)是Ω上的一階Sobolev空間，即

V=L2(0，T；H1(Ω))是定義在[0，T]上取值在H1(Ω)中的Hilbert空間.V′為V的對偶空間L2(0，T；(H1(Ω))′).

定理2[4]設(shè)(H1)—(H6)成立，則問題(3)在U中至少存在一個(gè)最優(yōu)控制u∈U.

3 最優(yōu)收獲條件

(4)

其中：

uλ=u+λ(v-u)，0<λ<1；pλ=p(uλ)；p=p(u).

(5)

由(4)和(5)式有

(6)

(7)

(6)與(7)式作差，將所得方程兩端除以λ>0，令λ→0+易得

(8)

定理3 設(shè)u∈U是問題(3)的最優(yōu)收獲控制，則u∈U滿足

(9)

證明由性能指標(biāo)泛函J(v)的結(jié)構(gòu)式(2)和u∈U為最優(yōu)收獲控制及(5)式，對0<λ<1得

為了變換(9)式，定義如下的共軛系統(tǒng)：

(10)

q(s，t，x)=q(s，t+T，x)，在Q內(nèi)；

(11)

q(m，t，x)=0，在ΩT內(nèi)；

(12)

q(s，T，x)=0，在Ωm內(nèi)；

(13)

q(s，t，x)=0，在∑上；

(14)

(15)

上式等號右邊關(guān)于變量s和t分部積分，并注意到(8)和 (11)—(15)式，得

所以有與(9)式等價(jià)的變分不等式：