陳凱杰 施卉輝 陳強(qiáng)

（浙江工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院 杭州310023）

0 引言

迭代學(xué)習(xí)控制（iterative learning control,ILC）對(duì)于有限區(qū)間內(nèi)的重復(fù)跟蹤問題有著良好的控制性能。早期的迭代學(xué)習(xí)控制方法主要包括P 型、D 型等學(xué)習(xí)算法[1-3],利用壓縮映射進(jìn)行收斂性分析,但往往要求滿足全局Lipschitz 條件?；贚yapunov-Like 的迭代學(xué)習(xí)控制算法[4-6]引起了大家的關(guān)注,該方法不但不受全局Lipschitz 條件限制,并且能更充分地利用已知系統(tǒng)信息。

傳統(tǒng)ILC 方法往往要求系統(tǒng)滿足初值一致條件[7-8],即系統(tǒng)狀態(tài)初值與期望軌跡初值嚴(yán)格一致。但是,在系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行過程中,由于建模的不確定性、環(huán)境因素影響和機(jī)械精度不足等原因,系統(tǒng)初值一致條件不能被滿足。文獻(xiàn)[9]利用狀態(tài)初值設(shè)計(jì)誤差函數(shù)和時(shí)變邊界層函數(shù),并利用時(shí)變邊界層的衰減特性,實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的漸近收斂。文獻(xiàn)[10]討論了ILC 中的5 種初值情況并提出了修正期望軌跡方法,利用系統(tǒng)初值和期望軌跡設(shè)置過渡軌跡,保證系統(tǒng)初值與修正后的期望軌跡初值一致。文獻(xiàn)[11]提出了誤差跟蹤方法,通過設(shè)計(jì)期望誤差軌跡和迭代學(xué)習(xí)控制器,保證誤差軌跡沿預(yù)設(shè)的期望誤差軌跡收斂。誤差跟蹤方法避免了對(duì)期望軌跡的依賴,當(dāng)期望軌跡發(fā)生變化時(shí),期望誤差軌跡的形式不發(fā)生改變。此外,對(duì)于接入點(diǎn)的位置和導(dǎo)數(shù)可以簡(jiǎn)單設(shè)置為0,減小了計(jì)算量。文獻(xiàn)[12]利用定積分的起始點(diǎn)為0 的特點(diǎn),構(gòu)造了積分形式的期望誤差軌跡。文獻(xiàn)[13]把誤差跟蹤方法推廣到更加一般的非線性嚴(yán)格反饋系統(tǒng),使得系統(tǒng)誤差沿著預(yù)設(shè)的誤差期望軌跡收斂到零附近一個(gè)很小的鄰域內(nèi)。

死區(qū)是一種很常見的非線性環(huán)節(jié),比如對(duì)于直流電機(jī)、伺服閥等,死區(qū)的存在會(huì)降低控制精度,限制控制性能,對(duì)控制設(shè)計(jì)增加難度。逆模型補(bǔ)償[14]通過直接加入死區(qū)的逆模型,從而抵消死區(qū)的影響。文獻(xiàn)[15]將線性死區(qū)擴(kuò)展到了非對(duì)稱的死區(qū),并設(shè)計(jì)一種自適應(yīng)補(bǔ)償算法,實(shí)現(xiàn)對(duì)期望軌跡的精確跟蹤。文獻(xiàn)[16]針對(duì)一類具有非對(duì)稱致動(dòng)器死區(qū)的多輸入多輸出系統(tǒng),提出了一種新型的近似模型,并設(shè)計(jì)魯棒自適應(yīng)律,實(shí)現(xiàn)誤差漸近收斂。文獻(xiàn)[17]針對(duì)帶有死區(qū)輸入非嚴(yán)格反饋系統(tǒng),提出一種有限時(shí)間在線最優(yōu)跟蹤控制算法,實(shí)現(xiàn)跟蹤誤差的有限時(shí)間收斂。但是,當(dāng)系統(tǒng)為有限區(qū)間非參數(shù)不確定系統(tǒng)時(shí),單一自適應(yīng)難以實(shí)現(xiàn)高精度的跟蹤控制。因此,本文采用迭代學(xué)習(xí)控制,通過迭代學(xué)習(xí)進(jìn)一步提高精度。

基于上述討論,本文針對(duì)具有非對(duì)稱死區(qū)輸入的非參數(shù)不確定系統(tǒng),提出一種誤差跟蹤迭代學(xué)習(xí)控制算法,在指定區(qū)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)對(duì)期望軌跡的高精度跟蹤。利用中值定理將非對(duì)稱死區(qū)轉(zhuǎn)換為線性形式,并利用徑向基函數(shù)（radial basis function,RBF）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)系統(tǒng)的不確定性進(jìn)行逼近。針對(duì)ILC 初值問題,設(shè)計(jì)新型期望誤差軌跡,使得系統(tǒng)迭代初始值可任意設(shè)置,放寬經(jīng)典ILC 的初值一致條件。此外,本文基于Lyapunov-Like 理論,構(gòu)造迭代學(xué)習(xí)控制器和組合自適應(yīng)律,實(shí)現(xiàn)跟蹤誤差沿預(yù)設(shè)的期望誤差軌跡收斂到0 的鄰域附近。

1 問題的提出和預(yù)備知識(shí)

1.1 問題的提出

考慮一類具有非對(duì)稱死區(qū)輸入的非參數(shù)不確定系統(tǒng),其表達(dá)式為

其中,k（k=0,1,2,…） 表示迭代次數(shù),t∈[0,T]表示運(yùn)行時(shí)間,T為迭代長(zhǎng)度,xk=[x1,k,x2,k]T∈R2表示系統(tǒng)狀態(tài),f（x） 為未知光滑但有界的非線性函數(shù),f（x） 反映了系統(tǒng)中的非參數(shù)不確定性,b表示未知的常數(shù)控制增益且滿足b >0,yk∈R表示系統(tǒng)輸出,vk=vk（t） ∈R表示系統(tǒng)控制輸入,D（vk） 表示非對(duì)稱死區(qū)環(huán)節(jié),其模型具體為

其中,mr（vk）和ml（vk） 表示未知且光滑的非線性函數(shù),br >0和bl <0 為常數(shù),表示未知的死區(qū)寬度。如圖1 所示。

圖1 非對(duì)稱死區(qū)

本文控制目標(biāo)是針對(duì)具有非對(duì)稱死區(qū)輸入的非參數(shù)系統(tǒng)式（1）,設(shè)計(jì)誤差跟蹤迭代學(xué)習(xí)控制器vk,使得當(dāng)?shù)螖?shù)k趨向無(wú)窮時(shí),在任意初態(tài)下,實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)輸出x1,k對(duì)期望軌跡xd的高精度跟蹤。

1.2 預(yù)備知識(shí)

RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)未知的光滑非線性函數(shù)有良好的逼近作用,因此RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)經(jīng)常被用于估計(jì)光滑的非線性函數(shù)。對(duì)于任意光滑的未知函數(shù)h（x）,存在一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)使得

其中,X∈ΩZ為輸入向量,ΩZ∈R為一緊湊子集;ε為逼近誤差,存在一個(gè)正常數(shù)εN,滿足| ε|≤εN;?（X）=[?1（X）,…,?l（X）]T∈Rl為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基函數(shù),l（l >1） 為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù);W?∈Rl為理想權(quán)重矩陣,定義為

其中,W∈Rl為權(quán)重矩陣,選擇高斯函數(shù)

其中,wi為中心點(diǎn),ηi表示寬度。

2 誤差跟蹤迭代學(xué)習(xí)控制

2.1 誤差定義與系統(tǒng)轉(zhuǎn)換

定義跟蹤誤差如式（6）所示。

其中,xd表示期望輸出軌跡,表示期望軌跡的一階導(dǎo)數(shù)。

根據(jù)跟蹤誤差的定義,將系統(tǒng)式（1）轉(zhuǎn)換為誤差形式:

其中表示期望軌跡的二階導(dǎo)數(shù)。

在進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性分析之前,需要對(duì)死區(qū)環(huán)節(jié)進(jìn)行如下假設(shè)。

假設(shè)1函數(shù)ml（vk）和mr（vk） 光滑且存在未知的正常數(shù)ml0、ml1、mr0和mr1,使得

考慮到ml（bl）=mr（br）=0,根據(jù)微分中值定理,非對(duì)稱死區(qū)環(huán)節(jié)式（2）可以重寫為

根據(jù)假設(shè)1 和式（10）～（14）,可以證明時(shí)變參數(shù)mk和dk的有界性。

由此,可以將式（7）進(jìn)一步寫成

注1當(dāng)-bl=br,ml（vk）和mr（vk） 為常數(shù)時(shí),非對(duì)稱死區(qū)環(huán)節(jié)式（2）表示為傳統(tǒng)的對(duì)稱線性死區(qū)。因此,非對(duì)稱死區(qū)更具有代表性,對(duì)非對(duì)稱死區(qū)進(jìn)行研究具有理論意義。

2.2 期望誤差軌跡設(shè)計(jì)

傳統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制器設(shè)計(jì)需要系統(tǒng)滿足初值一致條件[6-7],具體為

式（18）需要在每次迭代中都要恒成立,即對(duì)?k成立。但是,系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行過程中,由于建模的不確定性、外部干擾、機(jī)械精度等原因,導(dǎo)致條件式（18）不能在任意次迭代中恒成立。

因此,本文設(shè)計(jì)了一種新型的期望誤差軌跡,有效避免了條件式（18）的限制,表達(dá)式如式（19）所示。

期望誤差軌跡式（19）滿足下列等式性質(zhì):

式（19）的構(gòu)造只需要知道系統(tǒng)的誤差初值e1,k（0） 及其導(dǎo)數(shù)的初值e2,k兩個(gè)信息,此外,接入點(diǎn)（t=Δ）的導(dǎo)數(shù)設(shè)置為0,簡(jiǎn)化了期望誤差軌跡接入點(diǎn)時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)信息。由于期望誤差軌跡的設(shè)置與期望軌跡xd無(wú)關(guān),因此對(duì)于不同的期望軌跡,期望誤差軌跡的形式無(wú)需改變。

圖2 反映了期望誤差軌跡的變化情況。當(dāng)誤差軌跡跟蹤上期望誤差軌跡時(shí),由于期望誤差軌跡在[Δ,T] 為0 誤差軌跡,因此狀態(tài)軌跡能在指定區(qū)間[Δ,T] 實(shí)現(xiàn)對(duì)期望軌跡的高精度跟蹤。對(duì)比式（18）和式（19）,可以發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)迭代學(xué)習(xí)控制中是對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)初值進(jìn)行限制,而本文所提方法是通過限制期望誤差軌跡來(lái)避免限制系統(tǒng)狀態(tài)初值。期望誤差軌跡可以隨迭代變化,而系統(tǒng)狀態(tài)初值的精確重置由于環(huán)境因素難以保證。

圖2 期望誤差軌跡

2.3 誤差跟蹤迭代學(xué)習(xí)控制設(shè)計(jì)

對(duì)式（26）求導(dǎo),得到:

3 收斂性分析

定理1針對(duì)系統(tǒng)式（1）,給定期望軌跡xd,設(shè)計(jì)期望誤差軌跡式（19）,虛擬控制器式（24）,實(shí)際控制器式（30）,組合自適應(yīng)律式（31）,跟蹤誤差在任意初態(tài)下沿著預(yù)設(shè)軌跡收斂以L2范數(shù)的形式收斂到0 點(diǎn)附近的鄰域內(nèi)。

證明定義復(fù)合能量函數(shù):

對(duì)式（33）進(jìn)行求導(dǎo),由第2 節(jié)的分析,可得:

證畢。

4 仿真結(jié)果及分析

考慮如下系統(tǒng)[18]:

本節(jié)以一個(gè)具有死區(qū)輸入非參數(shù)不確定系統(tǒng)式（44）進(jìn)行驗(yàn)證所提誤差跟蹤迭代學(xué)習(xí)控制方法的有效性,并將本文所提方法（M1）與自適應(yīng)控制方法（M2）進(jìn)行對(duì)比。

M1 為本文提出的誤差跟蹤迭代學(xué)習(xí)控制方法,包括期望誤差軌跡式（19）、虛擬控制器式（24）、實(shí)際控制器式（30）和組合自適應(yīng)律式（31）。

M2 為自適應(yīng)控制方法,其虛擬控制器和實(shí)際控制器分別設(shè)計(jì)為

γ為滿足γ >0 的常數(shù)。

系統(tǒng)期望軌跡設(shè)定為xd（t）=0.2cos（πt）,系統(tǒng)的迭代長(zhǎng)度設(shè)定為T=5 s,采樣時(shí)間為tc=0.001 s?？刂破骱蛯W(xué)習(xí)律參數(shù)如表1 所示。

表1 參數(shù)表

仿真結(jié)果如圖3～圖7 所示。圖3 為M1 和M2 方法的狀態(tài)跟蹤效果圖?？梢园l(fā)現(xiàn),當(dāng)?shù)螖?shù)為50時(shí),本文所提M1 方法比M2 方法具有更高的跟蹤精度。圖4 為M1 和M2 方法的誤差跟蹤效果圖,可以發(fā)現(xiàn)M1 方法的誤差能沿著預(yù)設(shè)的期望誤差軌跡收斂,并且穩(wěn)態(tài)誤差比M2方法更小。圖5為k=1、10、50 時(shí)的誤差跟蹤圖,從圖中可以看出,對(duì)于任意初值,誤差初值都能與期望誤差初值重合,從而避免了初值一致條件,與上述理論一致。圖6 給出了M1和M2 的控制信號(hào)與死區(qū)輸入,可以發(fā)現(xiàn),M1 和M2的實(shí)際輸入信號(hào)相差不明顯。圖7 反映了性能指標(biāo)Jmax的變化情況,由圖可知,隨著迭代次數(shù)的不斷變化,本文所提方法M1 的最大誤差逐漸減小,控制精度不斷提高。綜合圖3～圖7,可以得到以下結(jié)論,針對(duì)具有死區(qū)輸入的非參數(shù)不確定系統(tǒng),本文所提方法M1 能實(shí)現(xiàn)在任意誤差下,誤差沿著期望誤差軌跡收斂,并且在指定區(qū)間[Δ,T] 上實(shí)現(xiàn)對(duì)狀態(tài)的高精度跟蹤。

圖3 狀態(tài)跟蹤效果（k=50）

圖4 誤差跟蹤效果圖（k=50）

圖5 在不同迭代次數(shù)中M1 的誤差跟蹤效果

圖6 控制信號(hào)和死區(qū)輸出

圖7 性能指標(biāo)

5 結(jié)論

本文針對(duì)一類具有死區(qū)輸入的非參數(shù)不確定系統(tǒng)構(gòu)造了一種誤差跟蹤迭代學(xué)習(xí)控制方法。通過設(shè)計(jì)新型期望誤差軌跡,放寬了傳統(tǒng)ILC 的初值一致條件,同時(shí)預(yù)設(shè)了誤差的收斂軌跡。利用RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)系統(tǒng)中的不確定性和死區(qū)參數(shù)進(jìn)行估計(jì),并設(shè)迭代學(xué)習(xí)控制器和組合自適應(yīng)律,使得誤差在指定區(qū)間內(nèi)收斂到0 附近一個(gè)很小的鄰域內(nèi)。最后,基于Lyapunov-Like 理論進(jìn)行穩(wěn)定性分析,并通過仿真驗(yàn)證該方法的有效性。