顧宇萌,史振霞

(蘭州交通大學 數(shù)理學院,甘肅 蘭州 730070)

0 引言

近年來,由于全球氣候變化,許多物種開始慢慢向極地遷移.為了更好地解釋遷移對物種生存產(chǎn)生的影響,學者們開始研究隨著棲息地的變化物種的動力學行為[1-10],從而判斷這一物種在未來是持續(xù)存在還是走向滅絕,如果走向滅絕,就需要采取保護措施,這對自然界的生態(tài)平衡有著重要的現(xiàn)實意義.對這一問題的研究可以追溯到2009年,Berestycki在文獻[1]中應用最大值原理和比較原理研究了下列方程：

ut=Duxx+f(x-ct,u)

(1)

行波解的存在性及解的漸近行為,從而研究氣候變化對種群的影響.

2018年,Li等[2-3]利用單調半流方法證明了非局部擴散方程：

ut(t,x)=d(J*u-u)(t,x)+
u(t,x)(r(x-ct)-
u(t,x)),t>0,x∈R

(2)

行波解的最小波速c*的存在性,從而證明了強迫波的存在性、唯一性和穩(wěn)定性以及當c

ut(t,x)=
d[u(t,x+1)-2u(t,x)+u(t,x-1)]+
u(t,x)(r(x-ct,t)-u(t,x))

(3)

強迫波的存在性,并應用滑動技巧及比較原理證明了強迫波的唯一性和全局指數(shù)穩(wěn)定性.

受文獻[5]的啟發(fā),考慮二維格微分方程

(ui,j(t))′=(ui+1,j(t)+
ui-1,j(t)+ui,j+1(t)+ui,j-1(t)-
4ui,j(t))-ui,j(t)(r-ui,j(t)),
i,j∈Z,t∈R.

(4)

將(4)變換形式，得

ut(x,t)=d[u(x+cosθ,t)+
u(x-cosθ,t)+u(x+sinθ,t)+
u(x-sinθ,t)-4u(x,t)]+
u(x,t)(r(x-ct,t)-u(x,t))
x=icosθ+jsinθ,i,j∈Z.

(5)

研究二維格微分方程(5)，滿足邊界條件

(6)

的周期強迫波u(x,t)=U(x-ct,t)的穩(wěn)定性,其中：θ∈[0,π/2]是波的傳播方向；q(t)為空間齊次方程u′(t)=u(t)[r(+∞,t)-u(t)]的唯一正周期解,且是全局漸近穩(wěn)定的；u(x,t)表示在位置x上t時刻的種群密度；d>0為種群擴散率；c∈R是棲息地變化的速度；r是與時空相關的種群增長率；u(x,t)(r(x-ct,t)-u(x,t))可以理解為種群在棲息地變化時做出的反應.假設r(x,t)滿足以下條件：

(H)r(ξ,t)是連續(xù)函數(shù)且關于ξ是非減的,并滿足-∞

同時考慮將空間區(qū)域分為對種群生存有利的區(qū)域(r(x-ct,t)>0)和對種群生存不利的區(qū)域(r(x-ct,t)≤0).

1 預備知識

首先給出周期強迫波的定義.

定義1對于任意的c>-c*,若U(ξ,t),ξ=x-ct滿足

Ut=d[U(ξ+cosθ,t)+U(ξ-cosθ,t)+
U(ξ+sinθ,t)+U(ξ-sinθ,t)-
4U(ξ,t)]+cUξ+U(ξ,t)(r(ξ,t)-U(ξ,t))

(7)

及U(ξ,t)=U(ξ,t+ω),c為環(huán)境變化的速度,則稱u(x,t)=U(x-ct,t),x=icosθ+jsinθ，i,j∈Z為方程(5)的周期強迫波.

定理1[9]設(H)成立,對于?c>-c*,方程(5)存在連接0和q(t)的周期強迫波U(x-ct,t),x=icosθ+jsinθ,i,j∈Z,其中:

利用上下解方法結合單調迭代技巧可以證明二維格微分方程周期強迫波的存在性,此定理在文獻[9]中定理4.7已給出了相應的證明過程,此處省略.

令X=BC(R,R),且u(x,t;φ) 是方程(5)滿足初值條件u(x,0;φ)=φ∈X+{0}的唯一解,

X+:={φ∈X:φ≥0,

?x=i(cosθ+jsinθ,i,j∈Z}.

2 二維格微分方程周期強迫波的穩(wěn)定性

首先給出假設條件(G):

4d>maxt∈[0,ω]r(+∞,t).

考慮如下方程

ut(x,t)=d[u(x+cosθ,t)+
u(x-cosθ,t)+u(x+sinθ,t)+
u(x-sinθ,t)-4u(x,t)]+uf(u,t),

(8)

其中:x=icosθ+jsinθ,i,j∈Z,f(u,t+ω)=f(u,t),f(u,t)關于u是非增的.

此引理的證明過程與文獻[4]中Lemma 5.1的證明類似,此處省略.

引理3設(H)和(G)成立,對于任意的c>-c*,令U(x-ct,t)為方程(5)唯一連接0和q(t)的周期強迫波,則對于任意的M>q(0),x=icosθ+jsinθ，i,j∈Z,有

證明由于U(x,t)關于x是非減的,故對于x=icosθ+jsinθ,i,j∈Z,有

U(x,0)≤U(+∞,0)=q(0)≤M.

根據(jù)比較原理得,

U(x-ct,t)≤u(x,t;M),
(x,t)∈R×[0,+∞).

(9)

令w(t)是w′(t)=w(t)[r(+∞,t)-w(t)]并滿足初值條件w(0)=M>0的解,因為對于ξ=x-ct,有r(ξ,t)≤r(+∞,t).所以根據(jù)比較原理得u(x,t;M)≤w(t).又因為q(t)是全局漸近穩(wěn)定的,故有

(10)

又U(+∞,t)=q(t),故存在x0?1,使得對于x-ct≥x0,有

(11)

則需去證明對于x-ct≤x0,式(11)仍成立.隨著t→+∞,u(x,t;M)依ξ=x-ct局部一致收斂于U(x-ct,t),說明當ξ=x-ct為負的充分大時式(11)成立.若不成立,根據(jù)U(-∞,t)=0，可以設：存在m0>0,xn,tn,使得xn-ctn→-∞,u(xn,tn;M)=m0.令[tn/ω]是小于或等價于tn/ω的最大整數(shù),則tn-[tn/ω]∈[0,ω).為了不失一般性,設

limn→∞(tn-[tn/ω]ω)=t*.

令

wn(x,t):=u(x+xn,t+tn;M).

易驗證wn(x,t)滿足方程

(wn(x,t)=d[wn(x+cosθ,t)+
wn(x-cosθ,t)+wn(x+sinθ,t)+
wn(x-sinθ,t)-4wn(x,t)]+
wn(x,t)(r(x-ct+xn-ctn,t+tn)-
wn(x,t)).

(12)

下面給出關于wn(x,t)的先驗估計.根據(jù)u(x,t;M)有界得:存在K>0,使得對于t∈[-tn,+∞),有0≤wn(x,t)≤K,則有

|(wn)t|≤8dK+K(Lr+K):=C1,

0≤(Pn)t=(wn)(x+η,t)-(wn)(x,t)≤
dwn(x+η+cosθ,t)+dwn(x+η-cosθ,t)+
dwn(x+η+sinθ,t)+dwn(x+η-sinθ,t)+
r(x+η-ct+xn-ctn,t+tn)Pn(x,t)+
wn(x,t)×(r(x+η-ct+xn-ctn,t+tn)-
r(x-ct+xn-ctn,t+tn))-
(4d-Lr)Pn(x,t).

又因為r(x,t)關于(x,t)是連續(xù)的,故存在δ>0,使得對于|η|<δ，有

|r(x+η-ct+xn-ctn,t+tn)-
r(x-ct+x-ct,t+tn)|≤ε,

因此有

(Pn)t≤(4d+ε)K-(4d-Lr)Pn.

又由于假設條件(G)：4d>maxt∈[0,ω]r(+∞,t)及

|Pn(x,t)|=
|wn(x+η,t)-wn(x,t)|?
|Pn(x,-tn)|=
|wn(x+η,0)-wn(x,0)|≤2K,

得:對于|η|≤δ,

Pn≤2K+(4d+ε)K/(4d-Lr):=C2ε,

進一步可以得到,對于|η|≤δ和某個整數(shù)C3,有

|(wn)t(x+η,t)-(wn)t(x,t)|≤C3ε.

同理，可以得到,對于|η|≤δ和某個整數(shù)C4,有

|(wn)t(x,t+η)-(wn)t(x,t)|≤C4ε.

因此,隨著n→∞,wn(x,t)依(x,t)局部一致收斂于w(x,t)≥0.故由方程(12)以及

r(·,t+tn)=r(·,t+tn-[tn/ω]ω)

得,w(x,t)滿足下列方程：

wt(x,t)=d[w(x+cosθ,t)+
w(x-cosθ,t)+w(x+sinθ,t)+
w(x-sinθ,t)-4w(x,t)]+
w(x,t)[r(-∞,t+t*)-w(x,t)].

(13)

引理4設(H)和(G)成立.若-c*

其中：x=icosθ+jsinθ，i,j∈Z.

證明對于任意的σ∈(0,c*-c),只需要證明：對于任意的ε>0,存在t0>0,使得

(14)

由于對于t∈R,U(+∞,t)=q(t),所以存在x0>0,使得

U(x,t)>q(t)-ε/2,t∈R,x≥x0,
c1>c*-σ/2,

其中c1為下面初值問題解的傳播速度，

(15)

根據(jù)[9,Theorem 5.2.1]易知常微分方程(u1)t(t)=u1(t)[r(x0,t)-u(t)]有唯一正周期解q1(t)，滿足q1(t)>q1(t)-ε/4.為了證明式(14)成立,將x∈(-∞,c*-σ)t分成兩部分：

(i)x∈(-∞,x0+ct].

(ii)x∈[x0+ct,(c*-σ)t].

在(i)中，由引理3證明的相似方法可得,當x-ct≤x0時,u(x,t;φ)一致收斂于U(x-ct,t),因此可以找到一常數(shù)t0使得式(14)成立.

在(ii)中，由x-ct≥x0,可得U(x-ct,t)≥U(x0,t)≥q(t)-ε/2,故只需證明：存在t0>0,使得

(16)

由于r(ξ,t)關于ξ是非減的,故對于x≥x0+ct,有r(x-ct,t)≥r(x0,t).

設u1(x,t;φ)為初值問題(15)的解,則u(x0+ct,t)和u1(x0+ct,t)均可以通過解下面的方程獲得，

vt(ζ,t)=d[v(ζ+cosθ,t)+
v(ζ-cosθ,t)+v(ζ+sinθ,t)+
v(ζ-sinθ,t)-4v(ζ,t)]+
cvζ(ζ,t)+v(ζ,t)[r(x0,t)-v(ζ,t)],

(17)

其中：ζ=x0+ct；u(x0,0)=φ(x0)=u1(x0,0).根據(jù)方程(17)解的唯一性可得，

u(x0+ct,t)=u1(x0+ct,t).

進一步,根據(jù)比較原理得,對于任意的x≥x0+ct,有

u(x,t;φ)≥u1(x,t;φ).

因為c1為方程(15)的解u(x,t;φ)的傳播速度,所以對于任意的μ∈(0,c1)，有

令μ=c*-σ,則μ

(18)

另外,可以選擇α>1，使得αsupx∈Rφ(x)>q(0).根據(jù)引理3得,對于某個常數(shù)t2,任意的t≥t2,x=icosθ+jsinθ,i,j∈Z,有

(19)

令t0=max{t1,t2},聯(lián)立式(18)和(19),得式(16)成立.證畢.

引理5設(H)和(G)成立.對于任意的c∈(-c*,c*),有

limt→+∞supx∈R|u(x,t;φ)-

U(x-ct,t)|=0,

其中x=icosθ+jsinθ,i,j∈Z.

證明根據(jù)引理4知,對于任意的μ∈(c,c*),只需證明

limt→+∞supx≥μt|u(x,t;φ)-
U(x-ct,t)|=0.

因為U(ξ,t)=U(ξ,t+ω),U(ξ,t)關于ξ是非減的,且U(+∞,t)=q(t),所以有

又因為μ-c>0,U(+∞,t)=q(t),所以有

limt→+∞supx≥μt|q(t)-
U(x-ct,t)|=0.

根據(jù)三角不等式,還需證明

(20)

設x0>0,取σ0∈(0,min{μ,μ-c}),則有

令h(x,t):=u(x+(μ-σ0)t,t;φ),則h(x,t)滿足

ht(ζ,t)=d[h(x+cosθ,t)+h(x-cosθ,t)+
h(x+sinθ,t)+h(x-sinθ,t)-4h(x,t)]+
h(x,t)[r(x+(μ-σ0-c)t,t)-h(x,t)]

(21)

下面證明對于任意的ε>0,存在x0>0,t0>0,使得對于任意的t≥t0,

(22)

因為u(·,0;φ)=φ∈X+{0},lim infx→+∞φ(x)>0,故可以選擇正數(shù)κ使得對于所有的x≥x0,有φ(x)>κ.定義非負連續(xù)非減函數(shù)φ-(x),對于某個δ>0,滿足

β′(t)=β(t)(r(+∞,t)-β(t)-τ)

滿足初值條件β(0)=φ-(x)的唯一正周期解.對于上述的τ,存在x0>0使得對于t∈R,有

r(x0+(μ-σ0-c)t,t)≥r(+∞,t)-τ.

由于μ-σ0-c>0,r(x,·)關于x是非減的,故對于任意的t∈R,x≥x0,有

r(x+(μ-σ0-c)t,t)≥
r(x0+(μ-σ0-c)t,t)≥r(+∞,t)-τ.

又因為

h(x,0)=u(x,0)=φ(x)>φ-(x),

則根據(jù)比較原理得,對于t≥T0,x≥x0,有

h(x,t)≥β(t)>q(t)-ε/2,

因此式(21)成立.證畢.

引理6設(H)和(G)成立.令

ν±(x,t):=U(x-ct,t)±
ρe-τ(t-τ1)(1+NU(x-ct,t)),
x=icosθ+jsinθ,
((i,j)t)∈Z2×[0,+∞),

其中τ1∈R,N,ρ和τ為合適的正實數(shù),則ν±為方程(5)的上下解.

證明

d[ν+(x+cos,t)+ν+(x-cos,t)+
ν+(x+sin,t)+ν+(x-sin,t)-
4ν+(x,t)]+ν+(x,t)(r(x-ct,t)-
ν+(x,t))-(ν+(x,t)=
d[U(x+cosθ-ct,t)+U(x-cosθ-ct,t)+
U(x+sinθ-ct,t)+
U(x-sinθ-ct,t)-4U(x-ct,t)]-
Ut(x-ct,t)+cUx(x-ct,t)+
Nρe-τ(t-τ1){d[U(x+cosθ-ct,t)+
U(x-cosθ-ct,t)+U(x+sinθ-ct,t)+
U(x-sinθ-ct,t)-4U(x-ct,t)]-
Ut(x-ct,t)+cUx(x-ct,t)+
U(x-ct,t)(r(x-ct,t)-U(x-ct,t))}+
ρe-τ(t-τ1)[r(x-ct,t)-NU2(x-ct,t)-
ρe-τ(t-τ1)(1+NU(x-ct,t)-
2U(x-ct,t)-ρe-τ(t-τ1)NU(x-ct,t)
(1+NU(x-ct,t)+τ(1+NU(x-ct,t))]=
ρe-τ(t-τ1)[r(x-ct,t)-
2U(x-ct,t)-NU2(x-ct,t)-
(1+NU(x-ct,t)(ρe-τ(t-τ1)+
ρe-τ(t-τ1)NU(x-ct,t)-τ)]≤0

取N>0充分大,使得

2U(x-ct,t)+

NU2(x-ct,t)>r(x-ct,t).

令ρ,τ>0充分小,則對于?t≥0,x=icosθ+jsinθ,i,j∈Z,

d[ν+(x+cosθ,t)+ν+(x-cosθ,t)+
ν+(x+sinθ,t)+ν+(x-sinθ,t)-
4ν+(x,t)]+ν+(x,t)(r(x-ct,t)-
ν+(x,t))≤(ν+)(x,t),

故ν+(x,t)方程為(5)的上解,同理可證ν-(x,t)為方程(5)的下解.

定理2設(H)和(G)成立.對于任意的c∈(-c*,c*),令U(x-ct,t)為方程(5)連接0和q(t)的唯一周期強迫波.存在實數(shù)μ>0,使得對于任意的φ∈X+{0},則方程(5)滿足初值條件u(x,0;φ)=φ的唯一解u(x,t;φ)滿足:

證明由引理5知,存在T0>0,使得對于任意的x∈R,有

|u(x,T0;φ)-U(x-cT0,t)|<ρ.

取τ1=T0,通過計算驗證了ν±(x,t)分別為式(5)的上下解,根據(jù)比較原理得,

ν-(x,t)≤u(x,t;φ)≤
ν+(x,t),?t≥T0,x∈R,

故

則對于0<μ<τ,limt→+∞supx∈R|u(x,t;φ)-U(x-ct,t)|eμt=0成立.證畢.

4 結語

本文利用比較原理及上下解方法, 研究了二維格微分方程周期強迫波的指數(shù)穩(wěn)定性, 由x與μt的關系分兩部分討論, 得到當條件(H)和(G)成立且c∈(-c*,c*),μ∈(c,c*)時, 該周期強迫波是全局漸近穩(wěn)定的，進而利用上下解方法得到該周期強迫波是全局指數(shù)穩(wěn)定的.