周春梅

(寧夏師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，寧夏 固原 756000)

隨著材料科學(xué)的發(fā)展,智能材料被研究者廣泛關(guān)注.壓電壓磁材料作為一種新型的智能材料，具有特殊的磁電耦合作用，這種作用是其任何一種單一材料所不具備的. 由于其特殊的感應(yīng)功能、 傳導(dǎo)功能以及磁-電機(jī)械能的相互轉(zhuǎn)換功能等，壓電壓磁復(fù)合材料被廣泛應(yīng)用于生物醫(yī)療、 軍事、 航天航空、 建筑等領(lǐng)域.

吳桂玲[1]總結(jié)了幾種智能材料的應(yīng)用，文章概括了記憶合金、 智能變色材料、 壓電、 壓磁材料，以及它們的原理、 作用等. 田文祥等[2]研究了層狀磁電復(fù)合材料界面共線裂紋平面問(wèn)題，結(jié)果表明，在面內(nèi)極化方向上施加面內(nèi)磁勢(shì)載荷時(shí)共線裂紋尖端區(qū)域的法向應(yīng)力場(chǎng)互相干涉增強(qiáng). 李純鍵等[3]分析了磁電復(fù)合材料結(jié)構(gòu)對(duì)磁電系數(shù)的影響，得出穩(wěn)態(tài)時(shí)、 共振時(shí)磁電復(fù)合材料的磁電情況，還進(jìn)一步討論了不同層疊順序?qū)Υ烹娤禂?shù)的影響情況. 周勇等[4]利用有限元分析軟件建立了磁電復(fù)合材料三維模型，分析了直流偏置磁場(chǎng)對(duì)磁電復(fù)合材料的影響，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果基本吻合. 許亮亮等[5]討論了基于高階剪切變形理論的磁電彈性梁的非線性靜力響應(yīng)，具體分析了外部荷載、 跨高比、 磁場(chǎng)和電場(chǎng)等因素對(duì)非線性靜力響應(yīng)的影響. 張振振等[6]提出了一種新型的低頻壓電-壓磁復(fù)合振動(dòng)俘能裝置，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明復(fù)合俘能器相較于單一俘能器裝置提高了俘能效率，并具有寬頻俘能特性. 李飛等[7]介紹了一種鐵電材料壓電效應(yīng)的發(fā)展進(jìn)程，并討論了鐵電材料的結(jié)構(gòu)、 極化狀態(tài)等與壓電效應(yīng)之間的關(guān)系. 安明等[8]研究了異質(zhì)結(jié)中鐵電場(chǎng)效應(yīng)及單項(xiàng)多鐵性材料中電荷的磁電物理機(jī)制，為基礎(chǔ)研究和實(shí)際應(yīng)用拓寬了思路； 并指出磁電耦合效應(yīng)并不局限于鐵電極化裝置，還可以涉及電控磁交換偏置等. 郭俊宏等[9]分析了狹長(zhǎng)磁電彈性體中的半無(wú)限裂紋，通過(guò)數(shù)值算例給出了裂紋面受裂紋長(zhǎng)度、 材料高度以及能量釋放率的影響情況. GUO等[10]研究了反平面剪切作用下的磁電彈性納米復(fù)合材料的三相圓柱模型，推導(dǎo)出具有界面效應(yīng)的彈性場(chǎng)、 電場(chǎng)和磁場(chǎng)的封閉解. GUO等[11]對(duì)磁電彈性基體中納米裂紋反平面問(wèn)題進(jìn)行了研究，研究表明，表面層與增強(qiáng)層的材料性能對(duì)納米裂紋的場(chǎng)集中有很大的影響. 徐燕等[12]研究了壓電壓磁材料中正n邊形孔邊裂紋的反平面問(wèn)題，得到了裂紋尖端強(qiáng)度因子和能量釋放率的解析解，并給出了具體的影響規(guī)律. 謝軍等[13]對(duì)梯度壓電壓磁圓柱軸對(duì)稱(chēng)的靜力學(xué)響應(yīng)問(wèn)題進(jìn)行了分析，得到了在不同邊界條件下的不同參數(shù)及不同厚度下的應(yīng)力、 電勢(shì)和磁勢(shì)的分布規(guī)律.

通過(guò)文獻(xiàn)分析發(fā)現(xiàn)，研究者對(duì)復(fù)合材料中不同形狀的裂紋研究很多，如孔邊形裂紋，表現(xiàn)在模型上是在裂紋端有正多邊形孔口或者橢圓形孔口等，討論了它們的反平面問(wèn)題的解析解及數(shù)值算例； 但是，對(duì)壓電壓磁復(fù)合材料中拼接界面多個(gè)平行裂紋的研究相對(duì)較少. 為此，本文在前期工作的基礎(chǔ)上，基于可導(dǎo)通電邊界條件下，對(duì)梯度壓電壓磁條中的多界面裂紋問(wèn)題進(jìn)行了分析. 采用Fourier積分變換和Gauss-Chebyshev方法求解積分方程，得到應(yīng)力、 電位移和磁通量的解析表達(dá)式，通過(guò)數(shù)值求解給出應(yīng)力強(qiáng)度因子、 電位移強(qiáng)度因子以及磁通量強(qiáng)度因子受材料參數(shù)和裂紋幾何尺寸的影響情況.

1 問(wèn)題描述

如圖 1 所示，帶寬為2h的梯度壓電壓磁材料(Functionally Graded Piezoelectric/Piezomagnetic Material，F(xiàn)GPBM)層合中含有多個(gè)裂紋間距為2c的共線界面裂紋.裂紋的長(zhǎng)度為|bj-aj|=2a0，設(shè)第j個(gè)裂紋的左右尖端在x軸的坐標(biāo)分別為aj,bj，裂紋與上下表面的距離相等.x-y平面為各向同性，即沿z軸極化，且只在裂紋表面處有切應(yīng)力載荷τxy=τ(x)、 平面內(nèi)的電位移Dy=D(x)及平面磁通量By=B(x).

圖 1 梯度壓電壓磁條中的共線多界面裂紋Fig.1 The collinear multi-interface cracks in gradient piezoelectric magnetic strips

壓電壓磁復(fù)合材料的本構(gòu)方程為[14]

(2)

式中：τyz(k)為切應(yīng)力；Dy(k)為平面電位移；By(k)為平面磁通量；wk為位移；φk為電勢(shì)；ψk為磁勢(shì)；c44為剪切模量；e15為壓電系數(shù)；ε11為介電常數(shù)；q15為壓磁系數(shù)；d11為磁電系數(shù)；μ11為導(dǎo)電率； 下標(biāo)k(k=1,2) 分別對(duì)應(yīng)區(qū)域D1和D2.

平衡方程為

(3)

為了方便問(wèn)題的求解,設(shè)材料系數(shù)沿y軸方向按指數(shù)函數(shù)梯度分布為

[c44,e15,ε11,q15,d11,μ11]=

eβy[c440,e150,ε110,q150,d110,μ110]，

(4)

式中：β為功能梯度參數(shù)；c440為剪切模量；e150為壓電系數(shù)；ε110為介電常數(shù)；q150為壓磁系數(shù)；d110為磁電系數(shù)；μ110為導(dǎo)電率.

由式(1)～式(4)，可以得到材料的控制方程為

(7)

由此可得

(8)

2 問(wèn)題的求解

2.1 裂紋面條件

因?yàn)椴牧辖Y(jié)構(gòu)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以只需要考慮右邊平面. 模型的邊界條件[15]為

2.2 強(qiáng)度因子表達(dá)式

采用Fourier及其逆變換法得到位移、 電勢(shì)和磁勢(shì)的表達(dá)式分別為

(12)

(13)

引入3個(gè)位錯(cuò)函數(shù)[16]s1(x),s2(x)和s3(x).

將位移、 電勢(shì)和磁勢(shì)的表達(dá)式代入位錯(cuò)函數(shù)中有式(17)成立.

(17)

x∈[aj,bj]時(shí),可得

A22(α)]e-iαxdα，

(18)

B22(α)]e-iαxdα，

(19)

C22(α)]e-iαxdα.

(20)

應(yīng)用Fourier變換法和邊界條件公式(9)～(11)解出系數(shù)Aij(s),Bij(s),Cij(s)，(i=1,2；j=1,2). 再由本構(gòu)方程和邊界條件得到應(yīng)力、 電位移和磁通量的解析表達(dá)式為

(21)

當(dāng)α→∞時(shí),k的奇異項(xiàng)表示為

(22)

其中，

令

(23)

將式(22)、 式(23)代入式(21), 方程被標(biāo)準(zhǔn)化為

(26)

利用Chebyshev多項(xiàng)式得到裂紋端的強(qiáng)度因子為

式中：Fj(-1)和Fj(1)可以分別從Fj(tn-1),Fj(tn-2),Fj(tn-3)和Fj(t2)，F(xiàn)j(t3)，F(xiàn)j(t4)的二次插值得到，j=1,2,3.

由式(29)～式(34)可知裂紋左右端點(diǎn)的強(qiáng)度因子具有如下的線性關(guān)系：

(38)

3 數(shù)值結(jié)果

以裂紋面y=0的材料BaTiO3-CoFe2O4[17]為基礎(chǔ)，材料參數(shù)為c440=4.4×1010Pa，e150=5.8(C·m-2)，ε110=56.4×10-10(C2·N-1·m-2)，d110=5.2×10-12(N·s·V-1·C-1)，q150=275(N·A·m)-1，μ110=297×10-6(N·s2·C-2) . 數(shù)值算例結(jié)果如圖 2～圖 4 所示.

圖 2 不同梯度參數(shù)下強(qiáng)度因子K3隨帶寬h變化的情況Fig.2 Variations of K3 with bandwidth h under different gradient parameters

圖 2 中,β取3個(gè)不同的值，總體來(lái)看，當(dāng)梯度參數(shù)β逐漸增大時(shí)，裂紋端的強(qiáng)度因子也隨之增大； 當(dāng)β從0.5增大到1時(shí)，尖端的應(yīng)力集中變化較小，但當(dāng)β從1增大到2時(shí)，尖端的應(yīng)力集中變化較大，說(shuō)明梯度參數(shù)對(duì)裂紋尖端的影響較大.裂紋端的強(qiáng)度因子隨著材料帶寬h的增大而減小，最后趨近于一個(gè)定值,這與文獻(xiàn)[9]的結(jié)果一致.

圖 3 不同帶寬下強(qiáng)度因子K3隨裂紋長(zhǎng)度a0變化的情況Fig.3 Variations of K3 with crack length a0 under different bandwidths

圖 3 中，材料帶寬h取3個(gè)不同的值，在h值不變的情況下，裂紋長(zhǎng)度a0逐漸增大時(shí),裂紋端強(qiáng)度因子也隨之增大； 當(dāng)a0值不變時(shí),裂紋端強(qiáng)度因子隨著帶寬h的增大而減?。?隨著h的逐漸增大，尖端的應(yīng)力集中變化趨勢(shì)幾乎一樣，這說(shuō)明帶寬h對(duì)應(yīng)力集中的影響會(huì)越來(lái)越弱.

圖 4 不同梯度參數(shù)下強(qiáng)度因子K3隨裂紋長(zhǎng)度a0變化的情況Fig.4 Variations of K3with crack length a0 under different gradient parameters

由圖 4 可知，尖端的強(qiáng)度因子隨著梯度參數(shù)β和裂紋長(zhǎng)度a0的逐漸增大而增大.當(dāng)β取0.5時(shí)，裂紋左右端應(yīng)力集中變化非常明顯，但當(dāng)β取1和2時(shí)，應(yīng)力集中變化較小且趨于平緩，最后趨近于一個(gè)定值.

4 結(jié) 論

本文分析了梯度壓電壓磁條中的共線多界面裂紋問(wèn)題. 文中給出電滲透型邊界條件，采用Fourier及其逆變換技術(shù)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，給出對(duì)應(yīng)的奇異積分方程，通過(guò)積分方程的求解,得到位移、 電勢(shì)和磁勢(shì)的表達(dá)式及強(qiáng)度因子的表達(dá)式. 最后，通過(guò)數(shù)值算例分析了梯度參數(shù)、 裂紋長(zhǎng)度和材料帶寬對(duì)強(qiáng)度因子的影響. 裂紋左端的強(qiáng)度因子比裂紋右端的強(qiáng)度因子大. 由數(shù)值算例得到，梯度參數(shù)增大，裂紋端的強(qiáng)度因子隨之也增大，并且隨著梯度參數(shù)變化幅度的增大會(huì)有更明顯的增大趨勢(shì). 對(duì)于同一梯度參數(shù)值,隨著裂紋長(zhǎng)度的增大逐漸增大； 隨著材料帶寬的增大逐漸減小，并且隨著帶寬變化幅度的增大，應(yīng)力集中的變化趨勢(shì)越來(lái)越小，說(shuō)明材料越寬越安全. 本文研究為工程中的材料拼接提供了理論參考依據(jù).