杭保健,張海仲,趙衍剛,
(1.北京工業(yè)大學(xué)城市建設(shè)學(xué)部,北京 100124;2.神奈川大學(xué)工學(xué)部建筑學(xué)科,日本橫濱221-8686)
近一個世紀(jì)以來,反應(yīng)譜理論經(jīng)過不斷的發(fā)展和完善,已被廣泛應(yīng)用于工程結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計中。如今,基于反應(yīng)譜的設(shè)計方法已經(jīng)成為用于結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計最主要的方法之一。世界多數(shù)抗震規(guī)范都是以反應(yīng)譜的形式來表征地震作用力的。我國抗震規(guī)范[1]用加速度反應(yīng)譜標(biāo)定了地震影響系數(shù)[2-3]。加速度反應(yīng)譜表示最大加速度響應(yīng)隨自振周期變化的關(guān)系,它對應(yīng)于作用在結(jié)構(gòu)上的慣性力[4-6],在數(shù)值上等于恢復(fù)力和粘性力之和。然而,歐美及其他一些國家的抗震規(guī)范使用的則是偽加速度反應(yīng)譜[7]。偽加速度反應(yīng)譜是在小阻尼比的假設(shè)下由加速度反應(yīng)譜近似得到的[8],它忽略了粘性力的作用,因此恰好對應(yīng)于作用在結(jié)構(gòu)上的恢復(fù)力。既往研究[9-12]表明,加速度反應(yīng)譜與偽加速度反應(yīng)譜在阻尼比相對較小時非常接近,能夠互換使用。然而當(dāng)阻尼比較大時,例如基礎(chǔ)隔震系統(tǒng)和附加阻尼結(jié)構(gòu)[13],兩者相差很大,互換使用會帶來很大誤差。具體地,在大阻尼比情況下,用加速度反應(yīng)譜代替?zhèn)渭铀俣确磻?yīng)譜來估算恢復(fù)力會造成設(shè)計過于保守,反之用偽加速度反應(yīng)譜代替加速度反應(yīng)譜來估算慣性力則會使設(shè)計力偏小。為了能夠從規(guī)定譜得到另一種譜(加速度反應(yīng)譜或偽加速度反應(yīng)譜),從而能夠同時合理地評價慣性力和恢復(fù)力,并且避免構(gòu)建新的規(guī)范反應(yīng)譜,有必要明確加速度反應(yīng)譜與偽加速度反應(yīng)譜的關(guān)系。
加速度反應(yīng)譜與偽加速度反應(yīng)譜的相關(guān)研究已經(jīng)取得了一些研究成果。Sadek 等[9]、Song 等[11]和Mentrasti[4]分別基于實際地震動記錄的統(tǒng)計分析和振動理論探討了加速度反應(yīng)譜與偽加速度反應(yīng)譜的關(guān)系。這些研究專注于結(jié)構(gòu)阻尼比ξ和周期T對兩個譜之間關(guān)系的影響。Papagiannopoulos 等[12]通過分析866條地震加速度時程,發(fā)現(xiàn)震級、震中距和場地類別對加速度反應(yīng)譜與偽加速度反應(yīng)譜關(guān)系也存在影響。然而,這些地震參數(shù)具體如何影響兩者的關(guān)系在其研究中并未討論。而這些具體的關(guān)系對于合理地確立兩個譜之間的關(guān)系式卻是重要的信息。文中旨在通過對大量地震動記錄的統(tǒng)計分析,系統(tǒng)地探討震級、震中距和場地類別對加速度反應(yīng)譜與偽加速度反應(yīng)譜關(guān)系的影響,并且提出一個考慮這些參數(shù)的將這兩種譜進行互相轉(zhuǎn)換的表達式。
為了闡明加速度反應(yīng)譜和偽加速度反應(yīng)譜的關(guān)系,本節(jié)從理論定義出發(fā)簡單地討論了兩個譜和他們的工程應(yīng)用。對于線性單自由度體系考慮粘滯阻尼并遭受地震動加速度時程的運動方程可以表示為式(1)或式(2),
式中:m、c、k、ξ、ω分別為質(zhì)量、阻尼系數(shù)、剛度、臨界阻尼比(ξ=,以下簡稱為阻尼比)和固有圓頻率,分別為相對位移、相對速度和相對加速度響應(yīng)。由于反應(yīng)譜對應(yīng)于單自由度體系響應(yīng)的最大值,相對位移反應(yīng)譜Sd、相對速度反應(yīng)譜Sv和絕對加速度反應(yīng)譜Sa(以下簡稱加速度反應(yīng)譜)分別定義為Sd=|x(t)|max、。
偽加速度反應(yīng)譜PSa是在小阻尼比假設(shè)下對Sa的近似,可表示為,
從Sa的定義可知,Sa對應(yīng)于結(jié)構(gòu)的慣性力,并且計算結(jié)構(gòu)基底剪力V時需要確定慣性力[5],所以Sa適合于結(jié)構(gòu)基底剪力V的計算,表示為,
相似地,從PSa的定義可以發(fā)現(xiàn)PSa與恢復(fù)力對應(yīng),并且在確定上層主體結(jié)構(gòu)的地震作用力時需要計算恢復(fù)力[4],所以PSa適用于結(jié)構(gòu)恢復(fù)力F的計算,即
圖1 不同阻尼比情況下Sa與PSa結(jié)果對比Fig.1 Comparison of Sa and PSa with different damping ratios
文中為了分析震級、震中距和場地類別對Sa與PSa關(guān)系的影響,從日本K-NET 和KiK-net 臺網(wǎng)(https://www.kyoshin.bosai.go.jp/kyoshin/)選取了大量的實際地震動記錄。K-NET 和KiK-net 臺網(wǎng)是由日本國家地球科學(xué)與災(zāi)害預(yù)防研究所(NIED)建設(shè)和管理的強震動臺網(wǎng),有豐富的地震動記錄和翔實的臺站場地資料,為探討震級、震中距和場地類別對Sa與PSa的關(guān)系提供了必要的條件。文中選取了338個觀測站的8 330條地震動記錄,其中每條地震動記錄的2 個水平分量(EW 和NS 方向)被選用,共計16 660 條地震加速度時程,選定震級M為4.0~9.0,震中距R為10~200 km,不考慮近場地震的影響,最大加速度大于20 Gal。為簡化起見,采用分組的形式進行討論。根據(jù)NEHRP[15]規(guī)定的30 m 覆蓋土層平均剪切波速將場地分為A、B、C、D、E這5 類。KiK-net 臺網(wǎng)觀測站的土層剪切波速數(shù)據(jù)超過30 m,可直接計算30 m 覆蓋土層平均剪切波速。K-NET 臺網(wǎng)僅提供了至多20 m 覆蓋土層剪切波速信息,文中根據(jù)現(xiàn)有資料計算了20 m 覆蓋土層平均剪切波速。根據(jù)Kanno[16]的研究,可通過下式轉(zhuǎn)換為
整理發(fā)現(xiàn)A 類場地很少,所以只分析場地B、C、D、E 的情況。在場地分組內(nèi),考慮到各組數(shù)據(jù)數(shù)量上的平衡,根據(jù)震級分為4.0≤M<5.5,5.5≤M<6.5 和M≥6.5,再根據(jù)震中距分為10≤R<50 km,50≤R<100 km 和100≤R≤200 km。基于場地類別、震級和震中距的共計36組地震動記錄分組見表1。
表1 基于震級、震中距和場地類別的地震加速度時程分組Table 1 Seismic acceleration time histories grouping based on magnitude,epicentral distance and site class
續(xù)表
根據(jù)以上分組,文中對結(jié)構(gòu)周期T=0.01 s~10 s(間隔取0.01 s)、阻尼比ξ=5、10、20、30、40、50%的彈性單自由度體系進行計算,得到Sa與PSa,并對兩反應(yīng)譜取平均值,系統(tǒng)分析了震級、震中距和場地類別對Sa與PSa關(guān)系的影響。
圖2~圖5分別展示了不同場地類別條件下震級對Sa/PSa的影響,可以得到:(1)Sa/PSa值在4.0≤M<5.5時最大,在M≥6.5時最小,Sa/PSa值隨著震級的增大而減小,即Sa與PSa的差異隨著震級的增大而縮??;(2)隨著震級的增大,Sa/PSa值衰減速率變小,即Sa與PSa的差異在小震級時對周期的變化更為敏感;(3)任意場地類別、震中距情況下的Sa/PSa值趨勢相同,且不同場地類別下的Sa/PSa值差異很小,可知震級相對于震中距和場地類別起主導(dǎo)作用。從圖中還可以觀察到與以往研究相似的結(jié)果,具體體現(xiàn)為:Sa/PSa值在ξ=10%時最小,在ξ=50%時最大,Sa/PSa值隨著阻尼比的增大而增大,即Sa與PSa的差異隨著阻尼比的增大而增大;Sa/PSa值隨著周期的增大而增大,即Sa與PSa的差異隨著周期的增大而增大。50≤R<100 km、100≤R≤200 km的對比結(jié)果與上述結(jié)論相同,限于篇幅原因不再贅述。
圖2 B類場地不同阻尼比情況下的Sa/PSa值Fig.2 Sa/PSa values of site class B with different damping ratios
圖3 C類場地不同阻尼比情況下的Sa/PSa值Fig.3 Sa/PSa values of site class C with different damping ratios
圖4 D類場地不同阻尼比情況下的Sa/PSa值Fig.4 Sa/PSa values of site class D with different damping ratios
圖5 E類場地不同阻尼比情況下的Sa/PSa值Fig.5 Sa/PSa values of site class E with different damping ratios
圖6~圖8 分別展示了不同震級條件下場地類別對Sa/PSa的影響,可以得到:(1)在4.0≤M<5.5 的情況下,場地E的Sa/PSa值最小,且明顯低于其他場地;在T<8 s時,Sa/PSa值在場地B條件下最大,其次為場地C和D;在T=8~10 s 時,場地C 的Sa/PSa值最大。(2)在5.5≤M<6.5 的情況下,任意阻尼比情況下,場地E 的Sa/PSa值最小;場地C 和場地D 的Sa/PSa值基本相同;場地B 的Sa/PSa值在短周期時明顯高于其它場地條件,在長周期時與場地C、D 情況下相當(dāng)。(3)在M≥6.5 的情況下,除場地E 外,Sa/PSa值在場地B 條件下最大,在場地C條件下次之,在場地D條件下最?。粓龅谽的Sa/PSa值隨著周期的增大而增大,在T=10 s時達到最大,且增長速率明顯高于其他場地情況。
圖6 4.0≤M<5.5時不同阻尼比情況下的Sa/PSa值Fig.6 Sa/PSa values of 4.0≤M<5.5 with different damping ratios
圖7 5.5≤M<6.5時不同阻尼比情況下的Sa/PSa值Fig.7 Sa/PSa values of 5.5≤M<6.5 with different damping ratios
圖8 M≥6.5時不同阻尼比情況下的Sa/PSa值Fig.8 Sa/PSa values of M≥6.5 with different damping ratios
圖9~圖12分別展示了不同場地類別條件下震中距對Sa/PSa的影響,可以得到:(1)對于場地B,10≤R<50 km條件下的Sa/PSa值在長周期段最小,且明顯低于震中距為50≤R<100 km 和100≤R≤200 km 的情況;對于場地C、D、E,Sa/PSa值在不同震中距情況下的差異不明顯。(2)與震級和場地類別相比,震中距對Sa與PSa關(guān)系的作用很小,可不考慮震中距的影響。
圖9 B類場地不同阻尼比情況下的Sa/PSa值Fig.9 Sa/PSa values of site class B with different damping ratios
圖10 C類場地不同阻尼比情況下的Sa/PSa值Fig.10 Sa/PSa values of site class C with different damping ratios
圖11 D類場地不同阻尼比情況下的Sa/PSa值Fig.11 Sa/PSa values of site class D with different damping ratios
圖12 E類場地不同阻尼比情況下的Sa/PSa值Fig.12 Sa/PSa values of site class E with different damping ratios
通過上述震級、場地類別和震中距對Sa/PSa的分析,可以證實阻尼比和周期對Sa/PSa存在影響。本節(jié)從理論上分析了阻尼比和周期對Sa/PSa的影響。根據(jù)式(2)、式(3)以及Sd、Sa的定義,Sa/PSa可表示為,
設(shè)tx為相對位移反應(yīng)x(t)達到最大值的時刻,這一時刻x(t)的一階導(dǎo)數(shù)為0,則有|x(t)|max=|x(tx)|、=0,由于全局最大值必然大于或等于某一時刻的值,所以將其代入式(6)的分子可得,因此≥1,從而PSa總是小于等于Sa,當(dāng)阻尼比為0 時等號成立。
根據(jù)不等式性質(zhì),式(7)可表示為:
結(jié)合Sd、Sv和偽速度反應(yīng)譜PSv的定義,引入系數(shù)δ使得上式等號成立,式(8)可表示為:
式中0<δ≤1,PSv=ω·Sd。
令β=,上式可表示為,
式中β是關(guān)于阻尼比和周期的函數(shù),且β>0。
文中計算了16 660 條地震加速度時程在不同阻尼比情況下的β值,結(jié)果均顯示β隨周期和阻尼比增大而增大的趨勢。圖13 為16 660 條地震加速度時程在阻尼比為10%、30%和50%情況下β的平均值,從圖中可看出β隨周期和阻尼比的增大而增大。結(jié)合式(9)可知,Sa/PSa與周期和阻尼比呈正相關(guān),即Sa與PSa的差異隨著阻尼比和周期的增大而呈增大趨勢。
圖13 16 660條地震加速度時程在不同阻尼比情況下的β的平均值Fig.13 Average values of 16 660 seismic acceleration time histories β under different damping ratios
本節(jié)建立了考慮以上參數(shù)的Sa與PSa互相轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)表達式,由前面分析可知,震級對Sa與PSa關(guān)系的影響最為顯著,場地類別次之,震中距的影響很小。為簡化起見,不考慮震中距對Sa與PSa關(guān)系的影響。使用MATLAB 軟件對同一震級和場地類別情況下的Sa與PSa均值之比進行非線性回歸分析,通過嘗試大量函數(shù)形式確定的Sa/PSa經(jīng)驗公式為:
式中,ξ、T分別為結(jié)構(gòu)阻尼比和周期,a、b、c為回歸參數(shù)。表2 為利用非線性最小二乘法原理,使用MATLAB軟件求出的對應(yīng)于12組情況的回歸參數(shù)以及擬合優(yōu)度R2。當(dāng)阻尼比為0時,上式等于1,符合在小阻尼比情況時Sa與PSa相等的邊界條件。
表2 非線性回歸分析參數(shù)Table 2 Parameters of nonlinear regression analysis
圖14(a)~(c)分別為場地B、C、D,不同震級情況下的實際地震動記錄與擬合曲線之間的對比??梢钥闯觯瑪M合曲線與實際地震動記錄吻合較好,所提經(jīng)驗公式可以很好地反映Sa與PSa之間的關(guān)系。其他的結(jié)果與圖14相似,限于篇幅原因不再贅述。
圖14 實際地震動記錄與擬合曲線的Sa/PSa值對比Fig.14 Comparison of Sa/PSa values between actual ground motion records and fitting curves
最后,文中通過與以上實際地震動記錄結(jié)果對比,對現(xiàn)有Sa與PSa的轉(zhuǎn)換式進行了檢驗,其代表性結(jié)果如圖15 所示。Sadek 等[9],Song 等[11]和Mentrasti[4]所提轉(zhuǎn)換式均只與阻尼比和周期有關(guān),對于不同的震級和場地類別,Sa/PSa的值不變。Papagiannopoulos 等[12]給出了一個統(tǒng)一的經(jīng)驗公式,按照震級、震中距和場地類別的不同分組給出了回歸參數(shù)的值,圖中是其震級分別為6.6~6.6,6.7~7.3,7.4~8.0的結(jié)果。文中選取了阻尼比為30%,場地類別為C,震級為4.0≤M<5.5,5.5≤M<6.5,M≥6.5的實際地震動記錄作為對比??梢园l(fā)現(xiàn),現(xiàn)有轉(zhuǎn)換式均與實際地震動記錄偏差較多,不能較好的反映Sa與PSa之間的關(guān)系。
圖15 現(xiàn)有Sa/PSa轉(zhuǎn)換式與實際地震動記錄的對比Fig.15 Comparison between existing Sa/PSa transformation and actual ground motion records
文中通過分析16 660條地震加速度時程,對結(jié)構(gòu)周期范圍T=0.01 s~10 s間隔取0.01 s,阻尼比為5、10、20、30、40、50%的單自由度結(jié)構(gòu)體系的反應(yīng)譜進行計算,系統(tǒng)分析了震級、震中距和場地類別對加速度反應(yīng)譜和偽加速度反應(yīng)譜關(guān)系的影響,提出了兩者互相轉(zhuǎn)換的經(jīng)驗公式。文中的主要結(jié)論歸納如下:
(1)加速度反應(yīng)譜與偽加速度反應(yīng)譜的差異隨著結(jié)構(gòu)阻尼比和周期的增大而呈增大趨勢。
(2)震級對加速度反應(yīng)譜與偽加速度反應(yīng)譜關(guān)系有顯著影響。在任意阻尼比下,加速度反應(yīng)譜和偽加速度反應(yīng)譜的差異隨著震級的增大而縮小,且在小震級時對周期的變化更為敏感。
(3)場地類別對加速度反應(yīng)譜和偽加速度反應(yīng)譜關(guān)系的影響弱于震級且受震級大小影響。震級較小時,加速度反應(yīng)譜和偽加速度反應(yīng)譜的差異在場地E條件下最小,在場地B、C、D 條件下無明顯差異;震級較大時,加速度反應(yīng)譜和偽加速度反應(yīng)譜的差異在場地B條件下最大,在場地E條件下的增長速率明顯高于其他場地情況。
(4)與震級和場地類別相比,震中距對加速度反應(yīng)譜與偽加速度反應(yīng)譜關(guān)系的影響很小,可不考慮其影響。
(5)與實際統(tǒng)計數(shù)據(jù)相比,提出的經(jīng)驗公式表現(xiàn)良好,可實現(xiàn)加速度反應(yīng)譜與偽加速度反應(yīng)譜之間的互相轉(zhuǎn)換。