張彥玲， 程 藝， 王澤涵， 王昂洋

(1.石家莊鐵道大學(xué) 道路與鐵道工程安全保障省部共建教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 石家莊 050043;2.石家莊鐵道大學(xué) 土木工程學(xué)院，河北 石家莊 050043；3.國網(wǎng)河北省電力有限公司 滄州市供電分公司，河北 滄州 061000)

0 引言

由于新材料的使用和更現(xiàn)代化的施工和設(shè)計(jì)方法，以及充分考慮建筑與環(huán)境的融合，人行橋向輕質(zhì)、細(xì)柔方向逐步發(fā)展，這也導(dǎo)致橋梁自振頻率較低，可能會(huì)引起行人的舒適性下降，甚至發(fā)生人橋共振現(xiàn)象危及人身安全，當(dāng)舒適度不滿足要求時(shí)則需采用必要的減振措施。

減振方法主要分為2種：一種是通過改變橋梁結(jié)構(gòu)自重與剛度從而達(dá)到降低振動(dòng)響應(yīng)的效果；另一種是利用調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(TMD)進(jìn)行減振。Den[1]提出了TMD概念，分析了無阻尼吸振器的理論，并對(duì)不同參數(shù)的單個(gè)TMD系統(tǒng)減振效果進(jìn)行分析，得到了最優(yōu)的控制參數(shù)求解方法，并總結(jié)了最優(yōu)的參數(shù)表達(dá)式；基于TMD，王立彬等[2]對(duì)某大跨鋼結(jié)構(gòu)人行橋、劉夢(mèng)渝[3]對(duì)人行拱橋和人行懸索橋進(jìn)行了減振分析。1984年，Iwanami et al[4]提出了由多個(gè)TMD組成的STMD系統(tǒng)的概念，但其減振效果依賴于自身頻率與主結(jié)構(gòu)頻率精確接近，導(dǎo)致其自身控制的有效頻率范圍受限。1987年，Clark et al[5]設(shè)計(jì)出了多重調(diào)諧質(zhì)量阻尼器裝置(簡稱MTMD)，其設(shè)計(jì)原理與TMD一致，主要不同在于MTMD選取多個(gè)STMD子結(jié)構(gòu)控制多種頻率，從而改進(jìn)了TMD系統(tǒng)的控制穩(wěn)定性和控制帶寬較小的問題。肖學(xué)雙[6]、Li et al[7]分別采用MTMD對(duì)鋼結(jié)構(gòu)人行橋進(jìn)行舒適度及振動(dòng)控制研究，提出了此類人行橋的舒適度評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)；高飛[8]針對(duì)小半徑曲線梁橋的彎扭耦合受力特性，研究了TMD和MTMD對(duì)其在地震作用下震動(dòng)的控制效果；Domizio et al[9]研究了地震作用下結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力響應(yīng)，進(jìn)行了MTMD減振系統(tǒng)的參數(shù)優(yōu)化。

針對(duì)不同橋梁的獨(dú)特性，MTMD的設(shè)置效果也不相同。以某帶風(fēng)纜的大跨徑人行玻璃懸索橋?yàn)楣こ瘫尘?，采用Midas建立有限元模型，首先進(jìn)行自振特性和主梁的人致振動(dòng)分析，并對(duì)行人舒適度進(jìn)行評(píng)價(jià)，然后基于多重調(diào)諧質(zhì)量阻尼器裝置MTMD對(duì)主梁進(jìn)行豎向減振措施研究，通過MTMD系統(tǒng)的參數(shù)選取和優(yōu)化，得到最佳減振效果，驗(yàn)證MTMD在大跨徑人行玻璃懸索橋上的減振效果。

1 工程背景

某地錨式單跨簡支玻璃人行懸索橋，橋面寬度4.6 m，主纜跨徑布置為(40+580+40)m，矢跨比為1/10.8，矢高53.3 m。主纜采用19股91絲Φ5.1 mm的鍍鋅高強(qiáng)度平行鋼絲成品索；吊桿沿順橋向布置，間距為3 m，采用61絲Φ5 mm的平行鋼絲成品索?？癸L(fēng)纜跨度516 m，面內(nèi)矢跨比為1/17.2，采用3股91絲Φ5.1 mm的鍍鋅高強(qiáng)度平行鋼絲成品索；抗風(fēng)拉索采用Φ30 mm的ZAA6-7+WSC1 770鋼絲繩，平行布置，自距離索鞍38 m起，每隔6 m布置一根抗風(fēng)拉索?？癸L(fēng)拉索所在平面與主梁水平面夾角為30°。采用無塔式結(jié)構(gòu)，將塔索鞍設(shè)立在山頭上。主梁標(biāo)準(zhǔn)節(jié)骨架由縱梁和橫梁構(gòu)成，縱、橫梁皆為箱型截面，鋼材采用Q345。標(biāo)準(zhǔn)節(jié)高為0.6 m，寬為3 m。橋面板采用特制鋼化玻璃安裝在2個(gè)縱梁之間。橋梁布置如圖1所示。

圖1 人行懸索橋布置圖(單位：m)

2 人致振動(dòng)及行人舒適度分析

2.1 有限元模型

采用Midas/Civil建立有限元模型，其中主纜、吊桿、抗風(fēng)纜和抗風(fēng)拉索采用索單元，主梁和橫梁采用梁單元。邊界條件為：① 主纜錨碇處、抗風(fēng)纜錨碇和索鞍底部處做固結(jié)處理；② 主纜在索鞍處釋放X軸(縱橋向)方向的位移約束；③ 主梁一端為固定鉸支座，另一端為活動(dòng)鉸支座；④ 主纜和吊桿、吊桿和主梁、抗風(fēng)拉索和主梁、抗風(fēng)纜和抗風(fēng)拉索之間均采用剛接。由于懸索橋?qū)儆谌嵝越Y(jié)構(gòu)體系，表現(xiàn)為非線性大變形，因此進(jìn)行了合理成橋狀態(tài)的主纜和抗風(fēng)攬精確線形。找形后得到的有限元模型共1 912個(gè)節(jié)點(diǎn)，2 760個(gè)單元，其中梁單元1 729個(gè)，索單元1 031個(gè)。全橋模型及主梁局部模型如圖2所示。

圖2 有限元模型圖

2.2 人致振動(dòng)分析

2.2.1 行人荷載

行人荷載依據(jù)文獻(xiàn)[10]選取，計(jì)算公式為

P(t)=P0cos(2πfpt)n′ψ

(1)

2.2.2 行人步頻范圍內(nèi)的振型及頻率

依據(jù)文獻(xiàn)[10]規(guī)定，行人豎向一階頻率在1.25～2.3 Hz之間；橫向一階頻率在0.5～1.2 Hz。當(dāng)行人荷載頻率與橋梁頻率一致時(shí)易引起共振，因此需選擇行人步頻范圍內(nèi)的振型進(jìn)行舒適度研究。通過特征值分析，可以得到不考慮人群密度，以及取行人密度n分別為0.5、1.0、1.5、2.0人/m2時(shí)，行人步頻范圍內(nèi)的橫彎及豎彎自振頻率，以及行人頻率取該頻率時(shí)的折減系數(shù)ψ，見表1所示。

表1 豎向和橫向步頻范圍內(nèi)的自振頻率及折減系數(shù)ψ

2.2.3 人致振動(dòng)響應(yīng)

根據(jù)式(1)所示的行人諧波荷載模型，取fp為表1中各階模態(tài)所對(duì)應(yīng)的頻率，行人密度n分別取0.5、1.0、1.5、2.0人/m2，并根據(jù)圖3計(jì)算橫向及豎向振動(dòng)折減系數(shù)ψ值，得出不同頻率下的行人諧波荷載，然后根據(jù)相應(yīng)的主梁振型圖按最不利方式施加到主梁節(jié)點(diǎn)上，計(jì)算各諧波荷載下主梁各節(jié)點(diǎn)的加速度時(shí)程，并識(shí)別出加速度時(shí)程中的最大加速度值，再通過比較取出各節(jié)點(diǎn)中最大加速度值的極大值，簡稱為加速度極大值。重復(fù)以上計(jì)算過程，求得不同行人密度下主梁的加速度極大值，見圖3和圖4。

圖3 不同行人密度下主梁橫向加速度最大值

圖4 不同行人密度下主梁豎向加速度最大值

由圖3和圖4可知，主梁橫向和豎向加速度極值隨行人密度的增加而增大；計(jì)入人群質(zhì)量后，加速度極值下降；行人步頻取橋梁不同階固有頻率時(shí)引起的主梁加速度極值不同，這與所加載的模態(tài)振型形狀、不同步頻時(shí)所對(duì)應(yīng)的荷載折減系數(shù)ψ這2種因素有關(guān)。

2.3 行人舒適度分析

文獻(xiàn)[10]根據(jù)結(jié)構(gòu)加速度，將行人舒適度分為4個(gè)等級(jí)：加速度在橫向小于0.1 m/s2、豎向小于0.5 m/s2時(shí)為很舒適狀態(tài)；橫向在0.1～0.3 m/s2、豎向在0.5～1.0 m/s2時(shí)為中等舒適狀態(tài)；橫向在0.3～0.8 m/s2、豎向在1.0～2.5 m/s2時(shí)為不舒適狀態(tài)；橫向大于0.8 m/s2、豎向大于2.5 m/s2時(shí)為不可忍受狀態(tài)。

在圖3和圖4中，針對(duì)每一種行人密度，取出由不同步頻下行人荷載所激勵(lì)起的加速度最大值中的極值進(jìn)行舒適度評(píng)價(jià)，如圖5所示。

圖5 豎直吊桿模型主梁加速度極值及舒適度評(píng)價(jià)

由圖5可知，在行人密度區(qū)間[0.5人/m2, 2.0人/m2]內(nèi)，該人行懸索橋在橫向和豎向的人致振動(dòng)均未進(jìn)入不舒適區(qū)，但只有在行人密度為0.5人/m2下橫向和豎向均處于很舒適區(qū)間，橫向舒適度在行人密度為2.0人/m2時(shí)進(jìn)入中等舒適區(qū)間，而豎向舒適度在行人密度為1.0人/m2時(shí)已進(jìn)入中等舒適區(qū)?？傮w來說，該懸索橋的橫向舒適度優(yōu)于豎向舒適度，雖然豎向舒適度在行人密度為2.0人/m2時(shí)仍處于中等舒適區(qū)，但加速度極大值已達(dá)到0.8 m/s2，若在景區(qū)行人特別密集時(shí)仍可能進(jìn)入不舒適區(qū)，因此需進(jìn)行豎向減振分析。

3 基于MTMD的減振措施研究

3.1 調(diào)諧質(zhì)量阻尼器系統(tǒng)減振原理

當(dāng)主結(jié)構(gòu)受到簡諧荷載p(t)=p0sinωt時(shí)，安裝TMD的無阻尼結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)放大系數(shù)可表示為[1]

(2)

當(dāng)ξα=0 (即TMD阻尼為零)及α=β(主結(jié)構(gòu)和TMD頻率相等)時(shí)，A≡0，則主結(jié)構(gòu)達(dá)到了最優(yōu)的控制效果。Den[1]給出了最優(yōu)頻率比αopt和最優(yōu)阻尼比ξpot的具體計(jì)算公式

(3)

TMD的自振頻率只有與主體結(jié)構(gòu)的自振頻率保持一致，才會(huì)表現(xiàn)出良好的減振效果，但實(shí)際運(yùn)營過程中，橋梁結(jié)構(gòu)在一定頻率范圍內(nèi)會(huì)產(chǎn)生多種共振情況，因此單一的TMD系統(tǒng)并不能滿足實(shí)際的減振需要，而MTMD系統(tǒng)由多個(gè)子結(jié)構(gòu)TMD組成，每個(gè)TMD分別控制不同的振動(dòng)頻率，故可以控制多個(gè)模態(tài)的振動(dòng)響應(yīng)。MTMD系統(tǒng)需滿足2個(gè)條件：①每個(gè)TMD控制相應(yīng)的模態(tài)振動(dòng)，即TMD自振頻率與受控模態(tài)自振頻率相同；②TMD分別放置在不同模態(tài)的振型位移最大處。主體結(jié)構(gòu)施加MTMD后，在外界荷載激勵(lì)p(t)作用下，設(shè)C為主結(jié)構(gòu)阻尼，則橋梁結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程可表示為[11-12]

(4)

第i個(gè)TMD運(yùn)動(dòng)方程為

(5)

將MTMD和橋梁結(jié)構(gòu)視作耦合運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)，合并方程可得到整體的運(yùn)動(dòng)耦合方程

(6)

根據(jù)式(6)，結(jié)合Newmark-β法可以在時(shí)域內(nèi)進(jìn)行行人簡諧波荷載作用下整體結(jié)構(gòu)耦合系統(tǒng)的動(dòng)力時(shí)程分析，也就是安裝MTMD系統(tǒng)后橋梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)分析。

3.2 MTMD系統(tǒng)布置

由圖5可知，在各種行人密度下，與行人步頻產(chǎn)生共振并激起較大豎向加速度的振型主要包括第15、16、17、18階豎向振動(dòng)模態(tài)，故選取這4個(gè)豎向振動(dòng)模態(tài)進(jìn)行控制，針對(duì)每一階振型設(shè)置一個(gè)子結(jié)構(gòu)STMD，共4個(gè)。由于每個(gè)STMD系統(tǒng)質(zhì)量較大，故分成4個(gè)頻率相同的TMD阻尼器，如圖6所示。

圖6 MTMD系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

STMD安裝的位置根據(jù)4個(gè)頻率下主梁的模態(tài)位移幅值來決定，從有限元模型提取出行人密度為2.0 人/m2時(shí)每個(gè)頻率對(duì)應(yīng)的振型最大位移正則化圖，如圖7所示。

圖7 不同頻率下的豎向位移模態(tài)組合圖

由圖7可以看出，在縱向距離左索鞍74 m和527 m處，每個(gè)頻率下主梁節(jié)點(diǎn)的豎向位移均產(chǎn)生了最大位移幅值，因此在這兩處設(shè)置STMD子系統(tǒng)減振效果更明顯。為了使結(jié)構(gòu)受力更加對(duì)稱，在每個(gè)位置附近設(shè)置2個(gè)子系統(tǒng)TMD，在74 m處設(shè)置TMD1系統(tǒng)和TMD4系統(tǒng)；在527 m處設(shè)置TMD2系統(tǒng)和TMD3系統(tǒng)，見圖8。

圖8 MTMD系統(tǒng)安裝布置圖

3.3 MTMD初始參數(shù)確定

MTMD主要設(shè)計(jì)參數(shù)包括質(zhì)量、剛度和阻尼。一般情況下質(zhì)量和剛度對(duì)主結(jié)構(gòu)的影響較大，應(yīng)優(yōu)先考慮。通常MTMD系統(tǒng)總質(zhì)量為控制模態(tài)廣義質(zhì)量的1%～5%，此范圍內(nèi)MTMD成本低、效果好?；诘?節(jié)的人致振動(dòng)分析，采用加速度為優(yōu)化目標(biāo)，按如下步驟確定MTMD參數(shù)：①選取MTMD與廣義模態(tài)質(zhì)量的比值μ；②依據(jù)式(2)并結(jié)合μ值，確定MTMD的最優(yōu)頻率比αopt和最優(yōu)阻尼比ξopt；③確定對(duì)應(yīng)于第n階振動(dòng)模態(tài)的子結(jié)構(gòu)STMD的質(zhì)量、剛度、阻尼，計(jì)算公式為[3]

(7)

式中，md為STMD的質(zhì)量；Mn為第n階受控模態(tài)的廣義質(zhì)量；ωs為受控模態(tài)頻率；kd為子結(jié)構(gòu)STMD最優(yōu)剛度；cd為子結(jié)構(gòu)STMD最優(yōu)阻尼。

考慮到本橋跨度長，自重大等情況，MTMD系統(tǒng)與橋梁廣義質(zhì)量比μ取3%，故每個(gè)STMD系統(tǒng)初始質(zhì)量按照橋梁廣義質(zhì)量的0.075%設(shè)置，則根據(jù)式(6)可得每個(gè)STMD系統(tǒng)的αopt=0.992 6，ξopt=0.052 8。再由式(7)計(jì)算出每個(gè)STMD系統(tǒng)的總剛度和總阻尼，如表2所示。由于橋梁頻率受人群質(zhì)量的影響，而MTMD的參數(shù)只能取固定數(shù)值，因此表2中的頻率采用了不考慮行人質(zhì)量時(shí)的數(shù)值。

表2 MTMD的初始參數(shù)

3.4 MTMD參數(shù)優(yōu)化

MTMD系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化目的是使橋梁振動(dòng)得到最優(yōu)控制，同時(shí)MTMD系統(tǒng)參數(shù)達(dá)到最優(yōu)。優(yōu)化過程中應(yīng)保持STMD自振頻率與被控模態(tài)頻率一致，故參數(shù)優(yōu)化過程中，應(yīng)使剛度參數(shù)與質(zhì)量參數(shù)的變化比例相同；阻尼參數(shù)的選取主要與質(zhì)量有關(guān)，因此阻尼參數(shù)變化應(yīng)隨著質(zhì)量參數(shù)變化而變化。參數(shù)優(yōu)化步驟如下。

(1)將表2中根據(jù)受控頻率得到的每個(gè)STMDi(i=1,2,3,4)的質(zhì)量mdi、剛度kdi和阻尼cdi的值定為基準(zhǔn)值，取其比例系數(shù)η為1.0，然后變化比例系數(shù)η，使STMDi的各參數(shù)按比例變化。以控制第15階豎向振動(dòng)的STMD1為例，當(dāng)η=0.5時(shí)，質(zhì)量md1、剛度kd1和阻尼cd1的值分別為1 355×0.5=677.5 kg、13 624.4×0.5=68 132.2 N/m、1 614.6×0.5=807.3 Ns/m。通過類似的計(jì)算方式，計(jì)算出每個(gè)STMDi在各種比例系數(shù)下的結(jié)構(gòu)參數(shù)mdi、kdi和cdi。

(2)把相同剛度系數(shù)下的每個(gè)STMDi中的4個(gè)TMD對(duì)應(yīng)的mdi/4、kdi/4和cdi/4輸入到被控振型中進(jìn)行計(jì)算。例如，當(dāng)比例系數(shù)為1.0時(shí)，將表2所列各STMDi的結(jié)構(gòu)參數(shù)除以4，得到各子系統(tǒng)中每個(gè)TMD的參數(shù)，然后在Midas一般連接特性值中設(shè)置TMD參數(shù)，再使用一般連接建立TMD單元。根據(jù)不同的受控振型，按最不利方式在主梁上施加2.0人/m2的人群簡諧波荷載，計(jì)算出比例系數(shù)為1.0時(shí)主梁各節(jié)點(diǎn)的豎向加速度，并取最大值，即主梁豎向加速度最大值。

(3)變化比例系數(shù)，重復(fù)以上計(jì)算步驟，可得到4個(gè)振動(dòng)模態(tài)下主梁豎向加速度最大值隨比例系數(shù)的變化，見圖9(a)。定義減振率為加速度變化值與未施加TMD時(shí)主梁加速度最大值的比值，見圖9(b)。

圖9 主梁豎向加速度最大值及減振率隨比例系數(shù)的變化

根據(jù)圖9可以看出，隨MTMD系統(tǒng)比例系數(shù)的增加，主梁豎向加速度最大值下降，減振率增加。其中，MTMD系統(tǒng)對(duì)第16階豎向振動(dòng)減振效果最明顯，對(duì)第15階減振效果最小。由圖9(b)可見，比例系數(shù)越大，減振效果越好，但減振率并非隨比例系數(shù)的增加而線性增加，而且過大的質(zhì)量也會(huì)影響橋梁結(jié)構(gòu)的正常使用，因此TMD的總質(zhì)量與橋梁廣義質(zhì)量比μ的取值范圍在1%～5%之間為宜。取比例系數(shù)k=1.8，在此工況下，4個(gè)STMD系統(tǒng)總質(zhì)量在橋梁廣義質(zhì)量的5%左右；同時(shí)4個(gè)主控頻率的主梁加速度均在0.5 m/s2附近，滿足行人舒適度的要求。優(yōu)化后MTMD系統(tǒng)中單個(gè)TMD的最終參數(shù)見表3。

表3 MTMD系統(tǒng)中單個(gè)TMD最終優(yōu)化參數(shù)

由于MTMD系統(tǒng)質(zhì)量較大，需將這一部分荷載計(jì)入懸索橋二期荷載中重新進(jìn)行建模找形，精確計(jì)算加入MTMD系統(tǒng)后的懸索橋受力情況。計(jì)入MTMD系統(tǒng)質(zhì)量后，橋梁結(jié)構(gòu)振型未發(fā)生變化；橋梁第15階頻率從1.608 Hz變化為1.607 Hz，其他頻率變化也很小，因此該MTMD系統(tǒng)可以達(dá)到良好的減振效果。

4 MTMD系統(tǒng)減振效果分析

根據(jù)表3中的最優(yōu)參數(shù)建立好MTMD系統(tǒng)后，根據(jù)不同的受控振型，按最不利方式在主梁上施加2.0 人/m2的人群簡諧波荷載，得到在安裝和未安裝MTMD系統(tǒng)的條件下最大主梁節(jié)點(diǎn)豎向加速度，見圖10。

圖10 有無MTMD系統(tǒng)時(shí)主梁最大豎向加速度時(shí)程比較圖

從圖10中可以看出，無MTMD系統(tǒng)時(shí)，主梁最大豎向加速度接近0.8 m/s2，已經(jīng)接近不舒適的行走狀態(tài)；當(dāng)安裝MTMD系統(tǒng)時(shí)，主梁節(jié)點(diǎn)最大加速度最大值在0.5 m/s2附近，已經(jīng)達(dá)到舒適狀態(tài)。由此可以看出，MTMD系統(tǒng)對(duì)主梁加速度最大值的減振效果明顯。

對(duì)每個(gè)頻率的全橋主梁節(jié)點(diǎn)加速度進(jìn)行分析，得到主梁豎向加速度最值的包絡(luò)圖，見圖11。

圖11 有無MTMD系統(tǒng)時(shí)主梁加速度包絡(luò)圖的比較

從圖11主梁各節(jié)點(diǎn)中提取出不同頻率下的各主梁豎向加速度的最大值，見表4。

表4 安裝MTMD系統(tǒng)后主梁最大豎向加速度

由圖11和表4可以看出，在沒有安裝MTMD系統(tǒng)時(shí)，主梁節(jié)點(diǎn)加速度峰值沿跨度方向變化幅度很小，加速度峰值都接近1 m/s2，實(shí)際通行中行人接近不舒適的狀態(tài)；安裝MTMD系統(tǒng)后，4個(gè)頻率下的主梁加速度峰值均明顯下降至0.5 m/s2附近，最大豎向加速度峰值減小到初始值的60.8%，最大減振率達(dá)到39.1%，由此可以看出，MTMD系統(tǒng)對(duì)大跨徑人行懸索橋的減振響應(yīng)效果明顯。

5 結(jié)論

以某大跨徑人行懸索橋?yàn)檠芯繉?duì)象，首先進(jìn)行了人致振動(dòng)和行人舒適度分析，然后針對(duì)豎向舒適度較差的問題，采用多重調(diào)諧質(zhì)量阻尼器裝置MTMD進(jìn)行了減振分析，主要結(jié)果如下：

(1)主梁加速度極值隨行人密度的增加而增大，計(jì)入人群質(zhì)量后加速度極值下降。行人步頻取橋梁不同階固有頻率時(shí)引起的主梁加速度極值受加載模態(tài)形狀和不同步頻時(shí)所對(duì)應(yīng)的荷載折減系數(shù)ψ的影響。

(2)隨MTMD系統(tǒng)各參數(shù)比例系數(shù)的增加，主梁豎向加速度最大值減小，減振率增大，但最優(yōu)的剛度、質(zhì)量和阻尼需根據(jù)減振率和系統(tǒng)總質(zhì)量綜合確定。

(3)安裝MTMD系統(tǒng)后，人行懸索橋受控頻率下的主梁加速度峰值均明顯下降，最大減振率達(dá)到39.1%，可以看出，MTMD系統(tǒng)對(duì)人行懸索橋的減振效果明顯。