廖奎，侯力，張海燕，吳陽(yáng)

(四川大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，四川成都 610065)

0 前言

變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪(VH-CATT)是一種將圓弧齒線運(yùn)用于齒輪齒線上的新型齒輪。與現(xiàn)有齒輪形式相比，其承載能力更強(qiáng)、傳動(dòng)性能更優(yōu)，具有廣闊的運(yùn)用前景。VH-CATT由曲線齒錐齒輪衍生而來(lái)。20世紀(jì)初，由于普通漸開(kāi)線齒輪普遍有著承載能力差的缺點(diǎn)，美國(guó)韋爾哈德最早提出將齒廓發(fā)展為圓弧形，并在曲線齒錐齒輪的研制中取得了較大成功。LITVIN和GUTMAN對(duì)該曲線齒錐齒輪的成形理論及接觸進(jìn)行了深入研究。而在國(guó)內(nèi)，隨著我國(guó)社會(huì)的不斷發(fā)展，實(shí)際機(jī)械工程對(duì)于齒輪的要求也越來(lái)越高，更多的科研工作者開(kāi)始關(guān)注弧齒輪這一具有前景的研究方向，如吉林大學(xué)彭福華教授曾嘗試通過(guò)圓拉法提高弧齒圓柱齒輪的加工效率；曾韜等數(shù)學(xué)工作者對(duì)螺旋錐齒輪的嚙合理論進(jìn)行了系統(tǒng)的研究等。

VH-CATT由于成形復(fù)雜，很難用普通的數(shù)控機(jī)床加工成形，所以需要使用高檔數(shù)控機(jī)床進(jìn)行加工。但是這樣加工出來(lái)的VH-CATT為近似加工，存在有加工原理誤差、成本極高、很難工業(yè)化等缺點(diǎn)。因此，要實(shí)現(xiàn)VH-CATT的大規(guī)模工業(yè)化，其專用數(shù)控機(jī)床的研制就顯得格外重要。由于現(xiàn)在沒(méi)有專用的加工機(jī)床，其加工以及調(diào)整較為復(fù)雜。如果不對(duì)VH-CATT切削加工過(guò)程中的參數(shù)進(jìn)行合理設(shè)置，就不易獲得理想的加工效率及加工質(zhì)量。因此，本文作者分析VH-CATT的加工原理，進(jìn)行VH-CATT的切削仿真并利用鯨魚(yú)算法優(yōu)化切削參數(shù)。

1 VH-CATT切削加工成形原理

與傳統(tǒng)的圓柱齒輪相比，VH-CATT的齒線特殊，沿著與齒輪同軸的某一圓柱面展開(kāi)的平面上呈圓弧形，而其他齒輪如直齒輪、斜齒輪等的齒線為直線與斜直線。VH-CATT傳動(dòng)是較優(yōu)的一種新型傳動(dòng)方式。

如圖1所示，VH-CATT的嚙合齒線為空間曲線。從齒輪端面上看，在中間截面上其輪齒為漸開(kāi)線齒廓，其余截面上均為變雙曲齒廓。VH-CATT的嚙合接觸線較同大小的直齒圓柱齒輪更長(zhǎng)；齒面形狀為拱形，由凹面和凸面組成。因此，從理論上講，VH-CATT擁有更好的承載能力、傳動(dòng)平穩(wěn)性、疲勞強(qiáng)度。

圖1 齒輪軸側(cè)圖

如圖2所示，VH-CATT旋轉(zhuǎn)加工刀盤加工該齒輪過(guò)程中，刀盤沿軸的高速旋轉(zhuǎn)加工是齒輪銑削過(guò)程中的主運(yùn)動(dòng)，在刀盤做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，齒坯在平面做范成運(yùn)動(dòng)。這個(gè)運(yùn)動(dòng)為齒輪銑削過(guò)程中的進(jìn)給運(yùn)動(dòng)，即齒坯沿著軸的水平運(yùn)動(dòng)與齒坯繞著軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。加工完一個(gè)齒槽后，齒坯沿著軸移動(dòng)回到初始位置，齒坯繞著旋轉(zhuǎn)分度，然后加工齒輪的下一個(gè)齒槽，直至整個(gè)VH-CATT齒面加工完成。

圖2 加工原理

2 VH-CATT切削模擬仿真

使用有限元模擬方法分析齒輪實(shí)際加工情況，可以分析刀具在實(shí)際加工過(guò)程中的作用力以及刀具其他特定切削性能的變化。通過(guò)分析不同切削參數(shù)下的切削力，綜合考慮切削參數(shù)對(duì)切削結(jié)果的影響。

對(duì)加工過(guò)程進(jìn)行詳盡的模擬十分復(fù)雜，所以有必要對(duì)加工模型進(jìn)行簡(jiǎn)化。由于齒輪各個(gè)齒槽的切削過(guò)程相同，只需要完成一段齒面的仿真加工。而所要加工的變雙曲圓弧齒輪的齒廓弧線曲率半徑較大，所以可以在仿真時(shí)將工件作近似的直線處理并以長(zhǎng)方體代替，如圖3所示。

圖3 切削近似處理模型

材料的本構(gòu)關(guān)系對(duì)于有限元仿真十分關(guān)鍵，因?yàn)樗欢ǔ潭壬洗砹瞬牧系谋举|(zhì)屬性。在此類型的仿真中，Johnson-Cook模型對(duì)金屬的力學(xué)行為具有很好的擬合性以及數(shù)值穩(wěn)定性，可以方便地應(yīng)用于有限元分析模型中。因此，本文作者采用Johnson-Cook模型，并將工件材料設(shè)置為45鋼，材料參數(shù)及其本構(gòu)模型參數(shù)如表1—表3所示，將刀具材料設(shè)置為WC(碳化鎢)材料。在仿真過(guò)程中，為提高切削效率，將刀具設(shè)置為剛體模型。

表1 材料參數(shù)

表2 45鋼J-C模型參數(shù)

表3 45號(hào)鋼J-C 模型失效參數(shù)

設(shè)置材料模塊、分析步等模塊后，當(dāng)模擬仿真完成后，由ABAQUS軟件的結(jié)果模塊中能夠觀看銑刀條切削過(guò)程中每一個(gè)時(shí)刻的模擬仿真，并且能夠獲得模擬仿真輸出的結(jié)果，如圖4所示。

圖4 銑刀切削仿真

3 仿真切削參數(shù)優(yōu)化

3.1 鯨魚(yú)優(yōu)化算法

鯨魚(yú)優(yōu)化算法(Whale Optimization Algorithm，WOA)是模仿座頭鯨的狩獵行為提出的一種新型啟發(fā)式優(yōu)化算法。目前的鯨魚(yú)算法與其他群優(yōu)化算法相比，主要區(qū)別在于：它采用隨機(jī)或最佳搜索代理來(lái)模擬捕獵行為，并使用螺旋線來(lái)模擬座頭鯨的泡泡網(wǎng)攻擊機(jī)制。在WOA 算法中，種群內(nèi)的每一只鯨魚(yú)所在的位置都是一個(gè)可行的解，這樣鯨魚(yú)群就可以包圍獵物并捕捉。

由于最優(yōu)設(shè)計(jì)在搜索空間中的位置不是先驗(yàn)已知的，WOA算法假定當(dāng)前的最佳候選解是目標(biāo)獵物或接近最優(yōu)解。在定義了最佳搜索代理后，其他搜索代理將嘗試向最佳搜索代理更新它們的位置。捕食過(guò)程用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示為

(1)圍困獵物

(+1)=()-

(1)

=|()-()|

(2)

式中：()為當(dāng)前群體最優(yōu)位置；、為系數(shù)；為當(dāng)前鯨魚(yú)個(gè)體與最優(yōu)位置之間的距離。

其中、的計(jì)算方式如下：

=2-

(3)

=2

(4)

(2)發(fā)泡網(wǎng)攻擊

首先是對(duì)獵物進(jìn)行收縮包圍，這個(gè)過(guò)程依靠降低值實(shí)現(xiàn)，其位置更新按照公式(5)進(jìn)行，并在接下來(lái)的時(shí)間內(nèi)按照螺旋線公式更新位置，其表達(dá)式為

(+1)=′cos(2π)+()

(5)

式中：′=|()-()|是當(dāng)前情況下的鯨魚(yú)最優(yōu)位置與鯨魚(yú)個(gè)體之間的距離；為對(duì)數(shù)螺旋形狀常數(shù)；是-1～1之間的隨機(jī)數(shù)。

(3)隨機(jī)搜索

(+1)=(+1)-

(6)

=|()-()|

(7)

式中：()表示當(dāng)前情況下隨機(jī)一個(gè)個(gè)體的位置。

3.2 模型設(shè)計(jì)變量

一般情況下，在整個(gè)加工過(guò)程中，將對(duì)切削過(guò)程影響較大的變量作為設(shè)計(jì)變量,對(duì)優(yōu)化結(jié)果起不到重大作用的變量通常作為常數(shù)。一定的簡(jiǎn)化處理對(duì)于模型來(lái)說(shuō)是必要的，若使用太多的變量，可能會(huì)使計(jì)算求解的過(guò)程變得異常復(fù)雜，增加一些不必要的工作，增加難度。在VH-CATT加工過(guò)程中，使用必要的切削參數(shù)條件作為優(yōu)化變量，包括：主軸轉(zhuǎn)速(r/min)，每齒進(jìn)給量(mm)，切削深度(mm)。

3.3 目標(biāo)函數(shù)

本文作者旨在獲得較小的切削力和較高的加工效率，因此選取單件加工時(shí)間和切削力作為優(yōu)化目標(biāo)。

3.3.1 單件加工時(shí)間

單齒槽加工基本時(shí)間為

=2++

(8)

式中：為單齒槽加工基本時(shí)間(min)；為齒坯回轉(zhuǎn)時(shí)間(min)；為切入齒坯時(shí)間(min)；為工進(jìn)、工退時(shí)間(min)。

齒槽加工如圖5所示。

圖5 齒槽加工示意[11]

由圖5可得:

(9)

式中：

=+++

(10)

=

(11)

式中:為銑刀齒數(shù)。對(duì)于任意一個(gè)齒槽加工，設(shè)加工步長(zhǎng)為，相應(yīng)地，齒坯在軸方向上的運(yùn)動(dòng)距離為:

(12)

則一個(gè)齒槽加工過(guò)程中總的切削刀數(shù)為

(13)

在實(shí)際加工過(guò)程中，取正整數(shù)，所以文中對(duì)進(jìn)行取整。

一個(gè)齒槽加工完成以后，開(kāi)始加工下一個(gè)齒槽前需要重新對(duì)刀。重新對(duì)刀時(shí)，齒坯只需要在軸方向后退，同時(shí)繞軸旋轉(zhuǎn)：

(14)

=

(15)

則：

(16)

式中：為分度角速度。

單件加工基本時(shí)間為

=

(17)

(18)

3.3.2 切削力函數(shù)建模

切削力與銑削參數(shù)之間的關(guān)系沒(méi)有明確的表達(dá)公式，本文作者使用指數(shù)公式對(duì)切削力進(jìn)行模擬。若在進(jìn)行模擬試驗(yàn)時(shí)，將所有的試驗(yàn)遍歷，會(huì)損耗許多不必要的時(shí)間與精力，所以本文作者使用三因素三水平正交試驗(yàn)法來(lái)提高試驗(yàn)的效率。

正交試驗(yàn)選取的參考因素為主軸轉(zhuǎn)速(r/min)、切削每齒進(jìn)給量(mm)、切削深度(mm)，表4所示為正交試驗(yàn)的因素水平及仿真試驗(yàn)結(jié)果。

表4 仿真試驗(yàn)結(jié)果

設(shè)置切削力的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑?/p>

(19)

其中：為經(jīng)驗(yàn)修正系數(shù)；、、為影響因素；為切削力。

對(duì)模型公式取對(duì)數(shù)得：

lg=lg+lg+lg+lg

令上式中l(wèi)g=、lg=、lg=，lg=、lg=，則經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷木€性方程為

由上文分析可知，各變量對(duì)于水資源消耗影響的動(dòng)態(tài)效應(yīng)存在著省域差異，為了進(jìn)一步探討城鎮(zhèn)化各因素對(duì)水資源消耗影響的區(qū)域差異，本文將我國(guó)30個(gè)省份按照國(guó)家統(tǒng)計(jì)局地區(qū)劃分［22］的方法分為東北、東部、中部、西部4個(gè)區(qū)域，研究區(qū)域的劃分及所包含省份見(jiàn)表5。

=+++

(20)

通過(guò)仿真數(shù)據(jù)建立經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷亩嘣€性回歸方程組可表示成矩陣形式：

=+

其中:

采用最小二乘法估計(jì)，設(shè)、、、為、、、的最小二乘估計(jì)，所以回歸方程為

(21)

多元性線性方程組參數(shù)的最小二乘估計(jì)矩陣為

=()

(22)

式中：為的轉(zhuǎn)置矩陣;()為的逆矩陣。

通過(guò)Origin軟件對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，并利用MATLAB軟件對(duì)其運(yùn)算進(jìn)行檢驗(yàn)，獲得多元線性回歸方程的系數(shù)，得到影響切削力的轉(zhuǎn)速、進(jìn)給量和切深的優(yōu)化模型：

(23)

通過(guò)進(jìn)一步計(jì)算，可以算出殘差平方和即剩余平方和，記為。

所以有：

=-α

(24)

經(jīng)計(jì)算得出=0.021，越小說(shuō)明回歸方程表達(dá)變量之間統(tǒng)計(jì)相關(guān)關(guān)系的精確程度越高，回歸分析的效果越好。

經(jīng)擬合回歸得到變量與優(yōu)化模型之間的函數(shù)關(guān)系后，需對(duì)其進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。常用的顯著性檢驗(yàn)方法有檢驗(yàn)和檢驗(yàn)，二者在本質(zhì)上是一樣的，文中選用檢驗(yàn)法。統(tǒng)計(jì)變量為

(25)

分析利用Origin計(jì)算得到的切削力方差表，可以得到方差分析統(tǒng)計(jì)量，包括均方誤差、自由度、顯著水平等，如表5所示。

表5 方差統(tǒng)計(jì)結(jié)果

假設(shè)顯著性水平=0.05，查表可知>095(38)=882，且<0.01，由此可知所得到的優(yōu)化模型與變量之間具有良好的函數(shù)關(guān)系。

3.3.3 函數(shù)確定

對(duì)于具有多個(gè)目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題，一直較難解決，很難得到滿足多個(gè)目標(biāo)的最優(yōu)解。一般將多目標(biāo)轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)優(yōu)化，常用的方法有兩種，一種是加權(quán)求和法，另外一種是引入一個(gè)極大熵函數(shù)來(lái)對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)化。本文作者采用加權(quán)求和法，簡(jiǎn)化以后所對(duì)應(yīng)的單目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)為

min(,,)=min(+)

(26)

式中：、為權(quán)重，且+=1。

利用專家打分法或?qū)哟畏治龇ǖ葘?duì)權(quán)重進(jìn)行確定，得到兩個(gè)量綱不同的目標(biāo)函數(shù)。因此，需進(jìn)行量綱歸一化處理：

式中：、分別為單目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化的最大值與最小值；、分別為單目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化的最大值與最小值。

最終得到的單目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)為

min(,,)=min(+)

(27)

3.4 約束條件

優(yōu)化設(shè)計(jì)選擇變量的設(shè)置并不是任意的，必須對(duì)它進(jìn)行一定約束。機(jī)床銑削加工參數(shù)選擇在滿足加工工藝要求、機(jī)床條件等基礎(chǔ)上建立約束條件，使優(yōu)化結(jié)果更符合實(shí)際加工要求。決策變量應(yīng)滿足以下約束條件。

(1)主軸轉(zhuǎn)速約束條件：<<，其中為機(jī)床最低主軸轉(zhuǎn)速，為機(jī)床最高主軸轉(zhuǎn)速。

(2)每齒進(jìn)給量約束條件：<<，其中為機(jī)床最低進(jìn)給量，為機(jī)床最高進(jìn)給量。

(3)刀具對(duì)切削的約束條件。切削深度的增加可能造成刀具的折損，所以刀具的切削深度不能大于刀具的最大切深，即0<<，其中為刀具的最大切深，單位為mm。

3.5 優(yōu)化結(jié)果與分析

利用MATLAB進(jìn)行鯨魚(yú)算法的編程，對(duì)齒輪加工過(guò)程中的切削參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，設(shè)置最大迭代次數(shù)為500、搜索代理數(shù)為30。

算法開(kāi)始運(yùn)行后，鯨魚(yú)會(huì)開(kāi)始在區(qū)域內(nèi)進(jìn)行捕食，每一次迭代位置更新，都會(huì)向最優(yōu)值靠近，最后得到的最優(yōu)位置就是期望得到的結(jié)果。由圖6可以看出，在迭代近200次后接近收斂。優(yōu)化后的結(jié)果如表6所示。

圖6 WOA迭代收斂結(jié)果

表6 優(yōu)化結(jié)果

4 結(jié)論

(1)本文作者分析了變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪的成形原理及加工過(guò)程，利用ABAQUS完成了其切削加工過(guò)程的模擬仿真。

(2)根據(jù)模擬仿真得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)建立了切削力的預(yù)測(cè)模型，通過(guò)建立回歸模型、模型擬合數(shù)據(jù)與顯著性檢測(cè)等手段，驗(yàn)證了所建切削力預(yù)測(cè)模型的可靠性，表明在加工齒輪時(shí)，利用該模型能夠合理選擇切削參數(shù)。

(3)基于鯨魚(yú)算法，對(duì)VH-CATT的加工切削參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行了研究，建立了以加工效率與較小切削力為目標(biāo)的函數(shù)優(yōu)化模型，并通過(guò)加權(quán)求和法與歸一化處理將它轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化模型，得到優(yōu)化后的切削參數(shù)為主軸轉(zhuǎn)速=189.3 r/min，每齒進(jìn)給量=0.046 mm，切削深度=1.89 mm。