趙珊珊 陳建華

(江蘇省揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，225000)

眾所周知,一題多解、一題多變是改善學(xué)生的思維定勢(shì),培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、探索性、深刻性的有效途徑之一．那么如何通過問題的多解,實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)呢?本文基于多元表征理論,從數(shù)學(xué)內(nèi)容知識(shí)表征和不同表征間的轉(zhuǎn)換進(jìn)行一些探討．

一、相關(guān)理論與例題呈現(xiàn)

數(shù)學(xué)多元表征指將同一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象用敘述性(言語化表征)和描繪性(視覺化表征)兩種本質(zhì)不同的形式表征．常見的表征形式有言語表征(用語言文字來描述問題情境、推理過程等)、圖形表征(利用示意圖、圖片、線段圖來描述問題情境、推理過程等)、操作表征、符號(hào)表征(使用數(shù)學(xué)符號(hào)、方程或表達(dá)式來描述問題情境、推理過程等)、情境表征等．如果問題信息具有多種表征方式,且不同表征之間存在著實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系,那么通過系統(tǒng)圖(如圖1)可以多角度地分析理解．

數(shù)學(xué)多元化表征及其轉(zhuǎn)換的探究是進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題的一種表現(xiàn)．一道數(shù)學(xué)題通常是由題目的條件、解題的依據(jù)、解題的方法和題目的結(jié)論四個(gè)要素組成．從數(shù)學(xué)知識(shí)和方法角度,數(shù)學(xué)解題就是將“題目的條件和結(jié)論”通過恰當(dāng)?shù)谋碚?并建構(gòu)邏輯關(guān)聯(lián),相關(guān)理論就是解題的依據(jù),而知識(shí)的表征及其轉(zhuǎn)換就是解題方法．問題知識(shí)表征的豐富性、轉(zhuǎn)換的嫻熟程度就是對(duì)相關(guān)知識(shí)和思想理解深度的表現(xiàn)．在表征轉(zhuǎn)換過程中,經(jīng)歷如圖1中所示的外在表征與內(nèi)在表征的加工,達(dá)到深度學(xué)習(xí)的效果．下面以一道與平面向量相關(guān)的最值問題為載體展開探究．

二、數(shù)學(xué)表征下的解題分析

1.巧妙組合,借力三角不等式求最值

2.數(shù)形結(jié)合,利用距離公式求最值

3.構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化為直線與圓相切求最值

實(shí)際上,解法2和解法3的解題思路中,多元外部表征與轉(zhuǎn)換過程就是數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化的過程,這表明數(shù)形結(jié)合是有效解決數(shù)學(xué)問題的一種思想方法．必要時(shí)外化應(yīng)用于形的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象,這表明不同的表征都有各自的作用,注重多種表征之間的關(guān)聯(lián)與轉(zhuǎn)換,能夠促進(jìn)知識(shí)之間的遷移．

4.添加參數(shù),利用三角函數(shù)求最值

5.觀察構(gòu)造,巧借柯西不等式求最值

三、思考片語

抽象數(shù)量關(guān)系及空間形式是數(shù)學(xué)的兩個(gè)基本形態(tài),而關(guān)系這是數(shù)學(xué)的本質(zhì),要學(xué)好數(shù)學(xué),需要理解、更需要深度理解．掌握知識(shí)并且建立知識(shí)之間的關(guān)系是實(shí)現(xiàn)歸納、聯(lián)想和推理的根基,對(duì)知識(shí)的認(rèn)知也不能只停留于表面,而應(yīng)該結(jié)合動(dòng)作、聽覺、視覺等具有圖式表征、符號(hào)表征等高級(jí)表征方式的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用才能進(jìn)入深度學(xué)習(xí)狀態(tài),漸入“思維運(yùn)動(dòng)”的佳境．?dāng)?shù)學(xué)多元表征可以多層次抽象數(shù)學(xué)概念,多視角歸納數(shù)學(xué)概念,多維度建構(gòu)數(shù)學(xué)概念,讓數(shù)學(xué)概念的形成過程"看得見"．雖然目前多元表征的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并沒有可循之法,但只要教育者能夠把握住這個(gè)內(nèi)涵,運(yùn)用多種形式與方法,引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)中進(jìn)行實(shí)踐再實(shí)踐,認(rèn)識(shí)再認(rèn)識(shí),創(chuàng)造再創(chuàng)造,深度學(xué)習(xí)就會(huì)自然發(fā)生．