尤子成，王志剛，郭宇飛

(1.武漢科技大學，冶金裝備及其控制教育部重點實驗室，湖北武漢 430081;2.武漢科技大學，機器人與智能系統(tǒng)研究院，湖北武漢 430081)

0 前言

隨著對機器人技術研究的不斷加深，打磨機器人廣泛應用于磨削加工領域。機器人打磨相比于人工打磨具有連續(xù)工作時間長、效率高等優(yōu)點。通過對打磨機器人進行力控制或者位置控制可提升打磨精度，保證打磨件質(zhì)量。國內(nèi)外學者對機器人打磨加工的研究主要集中在打磨機制和工藝、軌跡規(guī)劃、力控制算法及系統(tǒng)開發(fā)等幾個方面。

打磨機器人不僅要求其末端打磨機構能按照預定的軌跡行走，更要求其打磨機構對加工件保持恒力打磨。目前，主要的力控制方法分為力/位混合控制與阻抗控制。這兩種方法都是通過主動控制方式，使打磨機構與加工件接觸時存在柔順特性。阻抗控制是將機械臂系統(tǒng)建立為等效阻抗模型，當機械臂末端與環(huán)境產(chǎn)生接觸力時或?qū)嶋H運動軌跡發(fā)生偏差時，阻抗模型會產(chǎn)生反饋信號對位置或力進行調(diào)節(jié)。力/位混合控制是將機械臂末端在笛卡爾坐標系下進行正交分解，在2個子方向上分別進行力控制和位置控制。文獻[9]采用滑?？刂茖αM行控制，可在外界環(huán)境剛度突然發(fā)生變化的情況下保持恒力打磨。文獻[10]采用模糊PID控制算法提高了接觸力穩(wěn)定性。

打磨機器人通常被安裝在固定基座上對打磨件進行打磨，但對于大型的加工件，如飛機葉片、航天器機身、薄壁工件等，打磨機器人在打磨拋光作業(yè)時需移動打磨。然而，移動打磨會產(chǎn)生基礎振動從而影響打磨、拋光精度，同時長時間打磨會對關節(jié)造成損傷。文獻[11]在機械臂末端添加智能執(zhí)行器以控制接觸力，達到抑制振動的效果。文獻[12]對受到振動的機械臂采取分段線性反饋控制，減少了振動造成的影響。

在打磨機器人加工過程中，機械臂末端與環(huán)境之間會產(chǎn)生持續(xù)性碰撞，接觸力反饋回關節(jié)，從而對關節(jié)造成一定的損傷。為避免機械臂關節(jié)的損傷，在機械臂末端與電機之間添加扭簧柔順裝置即串聯(lián)彈性驅(qū)動器(Series Elastic Actuators,SEA)。文獻[16]中空間機器人在捕獲其余航天器過程時，通過在電機與關節(jié)之間串聯(lián)彈性驅(qū)動器及自抗擾控制方案，避免了關節(jié)受到?jīng)_擊力。文獻[17]設計了一種彈簧阻尼緩沖裝置，避免關節(jié)受到載荷沖擊被破壞。但添加彈簧類裝置也會造成關節(jié)的振動，需對柔性關節(jié)的振動進行抑制。學者們對此進行了許多研究，奇異攝動法是重要方法之一。通過奇異攝動法可將剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)分為不同時間尺度的2個子系統(tǒng)，分別對它們設計控制器，從而實現(xiàn)系統(tǒng)的控制。文獻[18]對傳統(tǒng)SEA機械臂進行改進，采用干擾觀測器提高系統(tǒng)的魯棒性。文獻[19]對柔性空間機械臂系統(tǒng)引入奇異攝動法，將系統(tǒng)分為快、慢2個子系統(tǒng)，慢變子系統(tǒng)采用狀態(tài)觀測器進行控制，快變子系統(tǒng)采用差值反饋法進行控制，抑制了系統(tǒng)的彈性振動及外部干擾。

本文作者針對打磨機器人，考慮基礎振動、轉(zhuǎn)動關節(jié)柔性，建立打磨機器人動力學模型。采用奇異攝動法將系統(tǒng)分為快、慢2個子系統(tǒng)，快變子系統(tǒng)采用速度差值反饋控制法，慢變子系統(tǒng)采用力/位混合控制。力/位混合控制中，力控制采用PID控制，位置控制采用神經(jīng)網(wǎng)絡魯棒控制器控制，研究打磨機器人在基礎振動的情況下，保持恒力打磨及軌跡的準確跟蹤。

1 打磨機器人建模與奇異攝動模型

1.1 打磨機器人動力學模型

以柔性關節(jié)剛性臂打磨機器人為研究對象，打磨機構與機械臂末端相連，其簡化模型如圖1所示。柔性關節(jié)處的電機輸出軸與關節(jié)部分通過線形扭簧連接，如圖2所示。

圖1 機械臂簡化模型示意

圖2 柔性關節(jié)簡化示意

基于以上簡化模型，用拉格朗日法建立動力學方程為

(1)

其中:()為慣性矩陣；()為離心力和哥氏力矩陣；()為系統(tǒng)重力矩陣；為傳動部分的剛度矩陣；()為轉(zhuǎn)動關節(jié)柔性產(chǎn)生的附加慣量矩陣，也是一個正定對稱矩陣；為柔性關節(jié)產(chǎn)生的附加坐標;為關節(jié)的角位移；為驅(qū)動力向量。各項表達式分別為

=

=(+)cos()+cos(+)

=cos(+)

式中：、分別為關節(jié)1和2處等效到電機軸的轉(zhuǎn)動慣量。

1.2 奇異攝動模型

柔性關節(jié)的轉(zhuǎn)動會引起系統(tǒng)的彈性振動，因而會對系統(tǒng)的位置控制以及力控制產(chǎn)生影響。所以，針對打磨機器人系統(tǒng)設計的控制率不僅要保持力控制和位置控制的穩(wěn)定，還要抑制柔性關節(jié)所引起的振動。在系統(tǒng)中引入奇異攝動法，將剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)分解為快、慢2個時間尺度子系統(tǒng)，分別對這2個子系統(tǒng)設計控制率，最后將慢變控制率與快變控制率相加可得到系統(tǒng)的總控制率。

定義柔性力變量為

=(-)

(2)

引入攝動參數(shù)，定義新的剛度矩陣：

=

(3)

將柔性力變量和新剛度矩陣代入式(1)，求得系統(tǒng)的奇異攝動模型為

(4)

分別對奇異攝動模型中的快、慢子系統(tǒng)進行求解。

1.2.1 慢時變子系統(tǒng)

由式(4)可知，令攝動參數(shù)=0,可求得慢時變剛性系統(tǒng)變量為

(5)

將式(5)代入式(4)中的第1個公式，可以得出慢時變子系統(tǒng)的動力學方程：

(6)

通過對比剛性二自由度機械臂模型，可知在不考慮柔性的前提下，慢時變子系統(tǒng)動力學方程與前者一致。

1.2.2 快時變子系統(tǒng)

將式(4)中的第1個公式進行變形得：

(7)

將式(7)代入式(4)的第2個公式，得：

(8)

將=0代入式(8)，可得：

(9)

(10)

式中：=-為快時變子系統(tǒng)的廣義控制量。

(11)

2 控制器的設計

2.1 混合控制

通過前文可知，只需將快、慢2個子系統(tǒng)的2個控制率相加即可得到系統(tǒng)的控制率：

=+

(12)

通過慢時變子系統(tǒng)控制率，實現(xiàn)打磨機器人的力控和位置控制；通過快時變子系統(tǒng)控制率實現(xiàn)柔性關節(jié)的振動抑制。混合控制器原理如圖3所示。

圖3 打磨機器人混合控制原理

2.2 快時變子系統(tǒng)的控制率

分別對快、慢子系統(tǒng)進行設計，設計的快時變子系統(tǒng)的控制率為

(13)

式中：=/,為正定對角矩陣。根據(jù)關節(jié)的實際角速度與電機輸出的角速度差對系統(tǒng)進行反饋控制，以保證系統(tǒng)穩(wěn)定。

2.3 慢時變子系統(tǒng)的控制

由前述可知，采用奇異攝動法對系統(tǒng)進行分解，分解后的慢時變子系統(tǒng)與剛性系統(tǒng)無區(qū)別。針對打磨機器人在工作中會受到振動的影響，利用力/位混合控制對打磨機進行力控和位控，在位置控制中提升系統(tǒng)的控制精度和魯棒性。

2.3.1 力控制

將打磨機器人末端與環(huán)境的接觸模型等效于彈簧模型，由胡克定律可知：

=(-)

(14)

式中:為環(huán)境剛度;為打磨頭在工作空間的實際位置;為打磨頭在打磨件上的位置。

由于機械臂與環(huán)境存在接觸，為保持機械臂的穩(wěn)定工作狀態(tài)，需對關節(jié)角施加一定的關節(jié)扭矩，則可將機械臂力控環(huán)的動力學方程由式(6)改寫為

(15)

式中：為接觸力通過雅可比矩陣映射在關節(jié)空間上的扭矩。接觸力與驅(qū)動力矩的關系為

=

(16)

式中:為雅可比矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，具體公式為

=-sin()-sin(+)

=-sin(+)

=cos()+cos(+)

=cos(+)

對力控環(huán)采用PID控制方法進行控制，式(16)改寫為

(17)

式中:、、分別為PID控制的3個參數(shù)；為選擇矩陣；為理論輸入力。

2.3.2 實際工作空間位置與關節(jié)的轉(zhuǎn)換

為方便對打磨機器人進行控制，需將笛卡爾坐標系下機械臂末端運動軌跡轉(zhuǎn)換至關節(jié)坐標系下表示。由圖1可得關節(jié)角位移和與機械臂在實際工作空間中的坐標和之間的關系：

(18)

由式(18)可得：

(19)

根據(jù)余弦定理以及的位置關系可得：

(20)

(21)

可得：

(22)

2.3.3 位置控制

為避免基礎振動對位置控制的干擾，在式(6)的基礎上引入干擾項，新的動力學方程為

(23)

式中:為干擾項。

令=+,將式(23)變形為

(24)

定義跟蹤誤差=-，為理論關節(jié)角，設計前饋控制率為

(25)

式中:為反饋控制率。將式(25)代入式(24)中得：

(26)

使用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡對擾動進行逼近：

(27)

將式(27)代入式(26)中得：

(28)

定義1:

(29)

式中:為常數(shù)且大于0。

(30)

式中:是的范數(shù)，越小，系統(tǒng)的魯棒性越好。

(31)

將式(28)代入式(29)，得：

(32)

式(32)可化簡為式(31)的格式，具體變量如下：

設計慢時變子系統(tǒng)設計自適應調(diào)整率為

(33)

式中:為大于0的常數(shù)。

設計反饋系統(tǒng)的控制率為

(34)

(35)

2.3.4 穩(wěn)定性證明

對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行證明，定義Lyapunov函數(shù)為

(36)

(37)

將式(32)中的第2個公式與式(33)代入式(37)得：

由HJI定理，可定義：

(38)

則有：

3 仿真與分析

為驗證所設計的控制器對存在基礎振動時打磨機器人控制的有效性，設計2組數(shù)值仿真實驗，采用MATLAB/Simulink進行對照分析。第1組：基礎振動時，快變控制器打開，慢變控制器中位置控制設置為PD控制，力控制設置為PID控制，檢驗機械臂末端在工作空間的軌跡跟蹤、關節(jié)1位置跟蹤、關節(jié)2位置跟蹤以及力的恒定效果；第2組：存在基礎振動時，通過關、開快變子系統(tǒng)，設置慢變子系統(tǒng)控制器中位置控制率為神經(jīng)網(wǎng)絡魯棒控制器，力控為PID控制器，檢驗系統(tǒng)能否抑制基礎振動，實現(xiàn)對期望軌跡和期望力的跟蹤響應。施加的基礎振動信號如圖4所示，系統(tǒng)模型所取的參數(shù)和神經(jīng)網(wǎng)絡參數(shù)如表1所示。

圖4 振動信號

表1 系統(tǒng)模型參數(shù)與神經(jīng)網(wǎng)絡參數(shù)

圖5—圖8所示為位置控制為PD控制時，機械臂末端理論軌跡跟蹤、關節(jié)1(qd1)位置跟蹤、關節(jié)2(qd2)位置跟蹤、期望力的跟蹤結果?？芍?打磨機器人在作業(yè)時，PD控制對振動的振幅和頻率有一定的抑制效果，但是其軌跡跟蹤出現(xiàn)明顯的波動，跟蹤效果不理想，與此同時力跟蹤出現(xiàn)了明顯的超調(diào)。

圖5 PD控制時機械臂末端位置跟蹤 圖6 PD控制時關節(jié)1位置跟蹤

圖7 PD控制時關節(jié)2位置跟蹤 圖8 PD控制時力跟蹤

圖9—圖12所示為關閉快時變控制器時機械臂的位置、關節(jié)、力跟蹤結果。可知：不控制柔性關節(jié)振動時，軌跡跟蹤及關節(jié)1和關節(jié)2的位置跟蹤明顯出現(xiàn)了持續(xù)的振動，且打磨力出現(xiàn)明顯的超調(diào)和振動，但相比于PD控制，神經(jīng)網(wǎng)絡魯棒控制器對基礎振動有著較強的抑制能力，其實際末端軌跡可較好地跟蹤理論軌跡。

圖9 快變控制器關閉時機械臂末端位置跟蹤 圖10 快變控制器關閉時關節(jié)1位置跟蹤

圖11 快變控制器關閉時關節(jié)2位置跟蹤 圖12 快變控制器關閉時力跟蹤

圖13—圖16所示為開啟快變控制器時機械臂末端的位置、關節(jié)、力跟蹤結果。可知：機械臂末端軌跡及關節(jié)1和關節(jié)2有著精確的跟蹤效果，相比于關閉快變控制器時軌跡跟蹤的效果，快變控制器開啟時對柔性關節(jié)的振動有很好的抑制作用；其接觸力保持在(20±0.1)N內(nèi)(20 N為理論力)，滿足工作要求，保證了加工件的質(zhì)量。

圖13 快變控制器打開時機械臂末端位置跟蹤 圖14 快變控制器打開時關節(jié)1位置跟蹤

圖15 快變控制器打開時關節(jié)2位置跟蹤 圖16 快變控制器打開時力跟蹤

4 結束語

對存在外界基礎擾動及關節(jié)受到力沖擊的打磨機器人控制進行了研究，主要結論如下：

(1)在打磨機器人的實際作業(yè)中，需保持恒力打磨，但在受到基礎振動后，通過傳統(tǒng)PD或PID控制難以抑制振動，軌跡跟蹤和力跟蹤都出現(xiàn)了明顯的超調(diào)，而通過神經(jīng)網(wǎng)絡魯棒控制器可以對振動造成的干擾進行抑制，達到工作要求；

(2)在傳統(tǒng)剛性打磨機器人的基礎上添加柔順驅(qū)動，緩沖了機械臂末端與環(huán)境接觸時的碰撞力，減少對打磨機器人關節(jié)的損傷。但柔順驅(qū)動的引入帶來了柔性關節(jié)的振動，可以通過奇異攝動法設計控制器對振動進行抑制。結果表明：所設計的控制器能克服打磨機器人在作業(yè)時受到的振動影響及抑制柔性關節(jié)的振動，實現(xiàn)打磨機器人的軌跡跟蹤和恒力打磨。