李召瑞，陳博航，吳曉蓓，郭寶鋒

（1.南京理工大學自動化學院，南京 210094；2.陸軍工程大學石家莊校區(qū)，石家莊 050003）

0 引言

無線通信是指揮控制裝備的主要通信方式，無線信號在通信中會受到各種噪聲的干擾，從而影響信號傳輸效果和質量，所以噪聲環(huán)境的模擬對無線通信系統(tǒng)的性能評估非常重要。如何在實驗室產(chǎn)生與無線通信系統(tǒng)實際工作環(huán)境匹配的噪聲，是通信效能評估領域的熱點。

戰(zhàn)場范圍內(nèi)，噪聲源多樣，空間位置多變，傳播信道不確定，影響通信背景噪聲的因素非常復雜。高斯分布滿足中心極限定理，一階矩、二階矩有限，易于進行特性分析、參數(shù)估計和濾波等處理運算，故傳統(tǒng)通信信號處理領域多用高斯分布作為噪聲模型。但是大量研究發(fā)現(xiàn)，高斯分布并不適合描述可能產(chǎn)生大量數(shù)據(jù)突變，也就是脈沖性很強的噪聲條件，在一些場景中采用高斯分布對噪聲建模會出現(xiàn)很大的誤差，導致噪聲模型失配，造成信號處理算法性能下降，甚至失效。在中國多地、北極、澳大利亞等地的背景噪聲測量結果表明，整個噪聲體系中，由于大量電氣化設施、用頻設備的使用，人為的窄帶信號干擾和脈沖噪聲已經(jīng)占據(jù)主導地位。在戰(zhàn)場電磁環(huán)境中，特別是短波超短波頻段，包含各種隨機通信產(chǎn)生的數(shù)字脈沖、戰(zhàn)場雷達雜波信號、電子對抗裝備干擾信號和工業(yè)輻射干擾信號等成分，恰恰是隨機脈沖性很強的噪聲，這樣的噪聲一般被歸屬為非高斯噪聲類別。非高斯噪聲指的是不服從高斯分布的噪聲，其特征表現(xiàn)為頻繁出現(xiàn)大幅度尖峰類異常值，對于這種呈現(xiàn)短時隨機沖擊特性的噪聲，一般統(tǒng)稱為脈沖噪聲。非高斯脈沖噪聲在很多自然和人為噪聲環(huán)境中廣泛存在，如大氣噪聲、水聲噪聲、電話線路噪聲、無線通信中的干擾、雷達雜波等。

既定噪聲下信號處理的一般研究思路是：建立噪聲的數(shù)學模型，并進行模型參數(shù)估計，從而獲得噪聲特性描述，根據(jù)噪聲特性開發(fā)信號處理算法。當前描述噪聲的模型主要包括兩類，即統(tǒng)計物理模型和數(shù)學經(jīng)驗模型。統(tǒng)計物理模型從真實物理信號出發(fā)，需要通過綜合考慮噪聲源在空間中分布位置、噪聲源發(fā)射信號的波形特征、噪聲信號在物理信道中的傳播特性等因素生成，由于戰(zhàn)場環(huán)境下噪聲源類型多、信號發(fā)射隨機性強、地形地貌復雜、傳播特性多變，建立物理模型復雜度太高，所以這種方法用的比較少。數(shù)學經(jīng)驗模型則不考慮噪聲產(chǎn)生、傳輸、處理的物理機理，直接選擇適當?shù)臄?shù)學模型，依據(jù)現(xiàn)地觀測噪聲對模型進行參數(shù)估計，擬合其實際物理特性。目前，常用的非高斯脈沖噪聲的數(shù)學經(jīng)驗模型主要有4 種：高斯混合、t 分布、廣義高斯和α 穩(wěn)定分布。其中，α 穩(wěn)定分布是一種典型的厚尾分布，在上述脈沖噪聲的數(shù)學經(jīng)驗模型中，α 穩(wěn)定分布模型應用最廣泛。

α 穩(wěn)定分布的重要特點是概率分布上的穩(wěn)定性和概率密度函數(shù)（probability density function，PDF）具有厚重拖尾，其分布特性可以匹配物理、化學、生物等學科的多種現(xiàn)象和變化，作為數(shù)學模型得到了廣泛應用。α 穩(wěn)定分布最早由Levy 在1925 年提出，丹麥物理學家Holtsmark 將其用于描述星際間引力場的隨機波動，并且還估計出對應的特征參數(shù)α 為1.5。1993 年，Shao 和Nikias 將分數(shù)階微積分理論與α 穩(wěn)定分布結合起來，推進了基于分數(shù)低階統(tǒng)計量的信號處理理論的發(fā)展。在噪聲擬合方面，α 穩(wěn)定分布不僅被成功用于大氣噪聲、電話電流噪聲的建模，在其他脈沖噪聲場景中也獲得了廣泛應用，例如：水下聲學噪聲、雷達雜波、電力線通信信道脈沖噪聲和無線網(wǎng)絡中的網(wǎng)絡干擾等。利用α 穩(wěn)定分布模型進行噪聲建模的優(yōu)勢在于：模型數(shù)學定義完善，特征函數(shù)可解析表達、形式簡潔，便于進行理論分析，與統(tǒng)計物理模型具有緊密的聯(lián)系。

本文以α 穩(wěn)定分布作為數(shù)學經(jīng)驗模型，介紹其性質，通過分析其概率分布，確定其與脈沖噪聲的匹配性，研究了α 穩(wěn)定分布參數(shù)估計方法和隨機數(shù)生成方法，以及參數(shù)估計精度驗證方法。依據(jù)雷達、通信裝備固定工作場景的采集數(shù)據(jù)，對擬合的α 穩(wěn)定分布參數(shù)進行估計，確定了參數(shù)范圍，為既定噪聲條件下通信系統(tǒng)性能度量奠定基礎，形成了真實性更強的環(huán)境噪聲模擬方法與手段。

1 α 穩(wěn)定分布模型

1.1 定義

首先介紹穩(wěn)定分布定義：假設X、X是隨機變量X 的獨立樣本，若對于任何正數(shù)A、B，都存在正數(shù)C 和實數(shù)D 滿足

α 穩(wěn)定分布的定義為：針對上述穩(wěn)定分布的隨機變量X，如果存在一個數(shù)α∈（0，2］，使?jié)M足式（1）的A、B、C 滿足

那么稱X 符合α 穩(wěn)定分布。α 穩(wěn)定分布通常沒有封閉的概率密度函數(shù)解析式，但是存在統(tǒng)一的特征函數(shù)表達式：

其中，α 為特征指數(shù)，取值范圍是0＜α≤2，特征指數(shù)α 決定了穩(wěn)定分布概率密度函數(shù)的脈沖程度，α 值越小，脈沖性越強，也就是大幅值突變脈沖出現(xiàn)的概率越高，在概率密度分布上表現(xiàn)為拖尾越厚；α 值越接近2，脈沖性越弱，越接近高斯分布，當α=2 時，α 穩(wěn)定分布退化為高斯分布。所以說，α 穩(wěn)定分布是高斯分布的廣義化形式，高斯分布是α 穩(wěn)定分布的一個特例。

β 為偏斜指數(shù)，取值范圍是-1≤β≤1，該參數(shù)決定了α 穩(wěn)定分布概率密度函數(shù)的偏斜程度。當β=0 時，α 穩(wěn)定分布是對稱α 穩(wěn)定分布（symmetric α stable，SαS），β＞0 和β＜0 時，分別表示分布是左偏斜分布和右偏斜分布，數(shù)值大小表征了偏斜程度。

γ 為分散系數(shù)，取值范圍是0＜γ＜+∞，該參數(shù)用以描述隨機變量偏離均值或者中值的程度，其含義和高斯分布中的方差類似。高斯分布情況下，它的值等于方差的一半，即2γ=σ。

μ 為位置參數(shù)，用于描述α 穩(wěn)定分布概率密度函數(shù)的絕對位置。對于SαS 分布，當1＜α≤2 時，μ與α 穩(wěn)定分布的均值相等；當0＜α＜1 時，μ 與α 穩(wěn)定分布的中值相等。

當μ=0，γ=1 時，α 穩(wěn)定分布稱為標準α 穩(wěn)定分布；當α=2，β=0，γ=1/2σ時，分布為高斯分布；當α=1，β=0 時，分布為柯西分布。

1.2 α 穩(wěn)定分布概率密度函數(shù)

相對于時域波形，概率密度函數(shù)能夠更加直觀地展示數(shù)據(jù)的分布特性，α 穩(wěn)定分布的概率密度只有特殊情況下才能有解析的表達式，很多情況下只能通過數(shù)值方法來求取。Fourier 逆變換法和漸進級數(shù)展開法可以獲取既定條件下分布的概率密度。

1.2.1 Fourier 逆變換法

當μ=0，γ=1 時，α 穩(wěn)定分布為標準α 穩(wěn)定分布，通過對特征函數(shù)進行Fourier 逆變換，可得到其概率密度表達式

μ、γ 不滿足標準α 穩(wěn)定分布條件時，只有高斯分布、柯西分布、Levy 分布幾種情況存在封閉的表達式。

1.2.2 漸進級數(shù)展開法

標準α 穩(wěn)定分布的概率密度函數(shù)的冪級數(shù)展開式可以獲得，并且級數(shù)為絕對收斂的。函數(shù)表達式為

此處給出的α 穩(wěn)定分布概率密度函數(shù)限制條件較多，多為固定條件下的分布，但是在研究α 穩(wěn)定分布下的信號處理問題時，這些特例都非常具有代表性。除上述集中特例外，α 穩(wěn)定分布只可以用數(shù)值方法得到概率密度曲線。圖1 為不同α 取值下的對稱α 穩(wěn)定分布的概率密度曲線，當α 取值趨近于2 時，其輸出信號被局限在一定幅度，α 取值越小，概率密度曲線出現(xiàn)越來越厚的拖尾，表示幅度異常值越來越多，且幅值越來越大。

圖1 不同α 值下概率密度曲線

綜上所述，α 穩(wěn)定分布模型存在穩(wěn)定的概率分布，且便于模擬異常值多、異常幅值高的脈沖性噪聲，所以本文選擇α 穩(wěn)定分布模型對戰(zhàn)場脈沖型噪聲環(huán)境進行模擬。

2 α 穩(wěn)定分布隨機數(shù)的生成

α 穩(wěn)定分布隨機數(shù)的生成是一種噪聲模擬實現(xiàn)方法，本文研究的一個主要內(nèi)容就是α 穩(wěn)定分布隨機數(shù)生成方法?；贘anicki-Weron（JW）算法可得到穩(wěn)定分布隨機數(shù)。當α≠1 時，應用下式

圖2 β=0，γ=0.5，μ=0 時，不同α 值時生成的α 穩(wěn)定分布隨機數(shù)時域圖

3 α 穩(wěn)定分布參數(shù)估計

在進行通信信號處理的相關算法研究時，可以用α 穩(wěn)定分布模型產(chǎn)生所需的噪聲數(shù)據(jù)，但是α 穩(wěn)定分布的參數(shù)選取不同，產(chǎn)生的噪聲數(shù)據(jù)差異非常大。為提高模擬噪聲的針對性、真實性，需要用α 穩(wěn)定分布模型去匹配真實戰(zhàn)場環(huán)境的噪聲分布，這涉及到了噪聲模型參數(shù)估計的問題。解決問題的思路是，針對特定場景采集到的噪聲信號，首先進行非高斯性判定，確定采集的環(huán)境噪聲是否為非高斯脈沖性噪聲；然后依據(jù)實采數(shù)據(jù)進行參數(shù)估計，確定參數(shù)的取值范圍，后期實驗即可依據(jù)估計結果進行噪聲模擬，以此增強噪聲的真實性。噪聲對稱與否，參數(shù)估計的算法不同，所以參數(shù)估計前還需要通過正、負數(shù)值統(tǒng)計進行對稱性判定。本文主要以對稱α 穩(wěn)定分布為例開展研究，即β=0；μ 是噪聲概率密度函數(shù)的位置參數(shù)，僅表征左右平移特性，對噪聲性質沒有影響，所以下文主要研究α、γ 的估計方法。

3.1 分數(shù)階矩法參數(shù)估計

隨機變量統(tǒng)計矩包含豐富的信號特征，高斯分布的統(tǒng)計矩可以從零階一直計算到無窮階，一階矩、二階矩可用來分析服從高斯分布的信號。但α穩(wěn)定分布由于存在大量脈沖值，不存在有限的方差，高階統(tǒng)計矩更是不存在，分數(shù)低階矩理論（fractional low order moment，F(xiàn)LOM）為α 穩(wěn)定分布的參數(shù)估計提供了有效的分析方法，本文主要采用分數(shù)階矩法實現(xiàn)參數(shù)估計。針對脈沖型噪聲的參數(shù)估計，本文先通過時域統(tǒng)計法，選取對稱型噪聲，基于對稱α 穩(wěn)定分布模型實現(xiàn)噪聲的參數(shù)估計。

3.1.1 對稱α 穩(wěn)定分布分數(shù)低階矩定義

式（9）中，γ 是分散系數(shù)，滿足γ=σ，C（p，α）是參數(shù)p和α 的函數(shù)，與X 無關。1995 年，Ma 和Nikias 提出了分數(shù)負階矩的定義，可表示為

3.1.2 分數(shù)階矩法參數(shù)估計

變換可得到參數(shù)α 的估計式

針對已知樣本數(shù)據(jù)進行參數(shù)估計時，有

3.2 參數(shù)估計精度驗證

針對參數(shù)估計的可信度問題，以已知的α 穩(wěn)定分布隨機數(shù)作為對象，利用分數(shù)階矩法進行參數(shù)估計，分析參數(shù)p、樣本點數(shù)目、α 取值不同對參數(shù)估計的影響，比較參數(shù)估計值與理論值的差異，達到評估參數(shù)估計精度的目標。本節(jié)以對稱α 穩(wěn)定分布模型α 值的估計為例進行分析，斜α 穩(wěn)定分布的評估方法與此類同。

3.2.1 參數(shù)p 取值對α 估計值的影響分析

p 取值不同，會影響α 值的估計精度，在p 取不同值的條件下對α 進行估計，分析得到在不同條件下p 的最優(yōu)取值范圍。應用JW 方法，生成α=0.8，β=0，γ=1，μ=0 的穩(wěn)定分布隨機數(shù)，樣本點取10 000個，分別在p 取不同值的條件下進行參數(shù)估計，可多次估計取均值，結果如圖3 所示。

圖3 p 取不同值對α 值估計的偏差

由圖3 可以看到，p 值越小，估計值精度越高，當取值大于0.4 后，估計值偏差明顯增大，與理論分析結果相符，所以，p 的最佳取值范圍為0～min（α/2，1），并盡量取較小值。

3.2.2 樣本點數(shù)目對參數(shù)估計值的影響分析

同樣應用JW 方法，生成α=0.8，β=0，γ=1，μ=0的穩(wěn)定分布隨機數(shù)，改變樣本點數(shù)目進行參數(shù)估計，結果如圖4 所示。

圖4 不同樣本點數(shù)對α 值估計的偏差

由圖4 可以看到，樣本點越多，估計精度也越高，符合一般規(guī)律。但是隨著樣本點增多，計算量也會加大，根據(jù)統(tǒng)計結果，取樣本點為5 000 以上，此時參數(shù)估計誤差較小。

3.2.3 α 取值對參數(shù)估計值的影響分析

α 取不同的值，對其本身的估計結果也會產(chǎn)生影響。應用JW 方法，生成β=0，γ=1，μ=0 的穩(wěn)定分布隨機數(shù)，進行參數(shù)估計，可多次估計取均值，結果如圖5 所示。

圖5 不同α 取值下α 值估計偏差分析

由圖5 可知，隨著α 增大，參數(shù)估計的誤差也越大。得到α 的估計值后，根據(jù)式（16）即可計算出γ 的估計值，篇幅所限，本文不再詳細闡述。分析可得：p取值越小，γ 的估計值越準確，樣本點越多，估計精度也越高，γ 值越大，估計值與實際值的偏差越大。

3.3 基于實采數(shù)據(jù)的模型參數(shù)估計

3.3.1 環(huán)境構建

本次采集環(huán)境使用的裝備包括3 輛指揮車、1部中低空目標指示雷達、1 部戰(zhàn)場活動目標偵察雷達，以及短波超短波電臺若干。應用RFBOX-6G 型射頻信號采集記錄回放儀作為采集設備，針對超短波波段，采樣帶寬設為100 MHz～500 MHz，采樣率為240 MSPS～1 000 MSPS，進行了長達1 h 的數(shù)據(jù)采集。采集場景如圖6 所示。

圖6 戰(zhàn)場環(huán)境數(shù)據(jù)采集場景圖

3.3.2 采集結果分析

針對裝備關機、電臺開機、雷達開機、電臺發(fā)射、雷達發(fā)射等裝備不同工作模式采集環(huán)境噪聲數(shù)據(jù)，進行記錄并存儲。數(shù)據(jù)采集結果示例如下頁圖7 所示。

圖7 數(shù)據(jù)采集結果示例

針對采集的數(shù)據(jù)進行參數(shù)估計，為保證隨機性，主要采用從30 min 的采集數(shù)據(jù)中序列截取的方式，綜合考慮數(shù)據(jù)特征抓取與計算量的平衡，令截取數(shù)據(jù)點數(shù)N=100 000。分別進行50 次和500 次估計，結果如圖8、圖9 所示。

圖8 50 次實驗參數(shù)α 估計結果

圖9 500 次實驗參數(shù)α 估計結果

實驗結果可知，由于用頻設備的信號發(fā)射是在以min 為尺度情況下實施的，大部分時間是沒有發(fā)射信號的，所以很多情況下，α 的取值多在接近2 的較大值范圍內(nèi)，得到的α 值在1.88～1.98 之間，如圖8 所示。圖9 選取有輻射信號情況下進行參數(shù)估計，可明顯看到脈沖性特征，但是，即使在近距離大功率的條件下，參數(shù)α 估計值也很難低于1.5，所以后面針對α 穩(wěn)定分布噪聲下通信系統(tǒng)性能研究，以主要針對α＞1.5 的情況開展為宜。γ 值的估計與采集點位置、輻射源類型等密切相關，本文估計值多在0.3～0.8 之間，能夠體現(xiàn)出與距離、輻射功率等指標的相關性。

4 結論

本文針對戰(zhàn)場環(huán)境噪聲特點，選用α 穩(wěn)定分布作為噪聲模型，研究了α 穩(wěn)定分布隨機數(shù)產(chǎn)生方法和參數(shù)估計方法，針對特定裝備工作場景采集的噪聲數(shù)據(jù)進行參數(shù)估計，并分析了參數(shù)估計精度，量化得到了模型參數(shù)取值特征和范圍，根據(jù)參數(shù)范圍可產(chǎn)生對應工作場景的噪聲數(shù)據(jù)。本文提出的噪聲模擬方法和形成的量化結論，對提高電磁環(huán)境噪聲模擬的針對性和真實性具有重要意義。