李大剛，馮啟敏

西華師范大學(xué)

2019 年，LIGO 事件視界望遠(yuǎn)鏡為我們提供了一個(gè)超大質(zhì)量黑洞周圍的光學(xué)圖樣[1-2]，這是人類首次直接觀察到黑洞的樣貌。據(jù)此我們可以看到黑洞周圍有一個(gè)明亮的光環(huán)，中間的黑色區(qū)域就稱為黑洞的陰影。這是一個(gè)由質(zhì)量M 和角動(dòng)量J 的真空愛因斯坦場(chǎng)方程的Kerr 解所描述的黑洞，沒有其他參數(shù)（如電荷參數(shù)）。對(duì)于光子運(yùn)動(dòng)的研究可以幫助我們探索時(shí)空的幾何性質(zhì)。不穩(wěn)定的光子軌道定義了黑洞捕獲和非捕獲之間的邊界，對(duì)這些軌道的研究，也可以幫助我們更好地研究黑洞陰影[3-4]。但由于時(shí)空對(duì)稱性所導(dǎo)致的數(shù)學(xué)上的困難，對(duì)于大多數(shù)的光子軌道研究都只能得到數(shù)值解。另一方面，對(duì)于穩(wěn)定的光子軌道的研究也可以幫助我們分析吸積盤的光學(xué)外觀[5]。對(duì)于黑洞陰影近年來有很多的觀測(cè)與理論研究。黑洞的發(fā)現(xiàn)在某種程度上說明了廣義相對(duì)論這一引力理論的正確性，但為進(jìn)一步驗(yàn)證廣義相對(duì)論這一引力理論的正確性以及進(jìn)一步探索在更具一般性時(shí)空的幾何性質(zhì)，我們有必要研究帶電軸對(duì)稱黑洞周圍的光子軌道，特別是在彎曲時(shí)空中光子軌道與黑洞參數(shù)之間的精確關(guān)系[6]。Aydin Tavlayan 和 Bayram Tekin 以Kerr 黑洞為研究對(duì)象，借助Fintan D. Ryan 所提出的有效傾角的定義再結(jié)合徑向方程得到了光子軌道半徑與黑洞轉(zhuǎn)動(dòng)參數(shù)之間所滿足的關(guān)系，這是一個(gè)一元六次方程。若能求解這一方程就可以得到光子軌道半徑與轉(zhuǎn)動(dòng)參數(shù)之間的精確關(guān)系。但由于高于四階的一元方程不存在根式解，因此對(duì)于這一六階方程的求解就需要一些巧妙的方法。在本文中，借助Aydin Tavlayan 和Bayram Tekin 的這一方法，我們分析了Kerr-Newman黑洞周圍的光子軌道與黑洞參數(shù)之間的精確關(guān)系。我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于Kerr-Newman 黑洞，光子軌道半徑與黑洞的轉(zhuǎn)動(dòng)參數(shù)以及電荷參數(shù)之間同樣滿足一個(gè)一元六次方程，這個(gè)一元六次方程可以被分解為一個(gè)一元四次方程與一個(gè)一元二次方程乘積的形式，二次方程部分給出視界內(nèi)部光子軌道半徑與轉(zhuǎn)動(dòng)參數(shù)以及電荷參數(shù)之間的關(guān)系，四次方程部分有兩個(gè)實(shí)根以及兩個(gè)沒有物理意義的復(fù)根。眾所周知，在軸對(duì)稱黑洞外部有兩個(gè)光子軌道，一個(gè)軌道的光子運(yùn)動(dòng)方向與黑洞轉(zhuǎn)動(dòng)方向同向，稱其為順行軌道，而另一個(gè)軌道的光子運(yùn)動(dòng)方向與黑洞轉(zhuǎn)動(dòng)方向反向，稱其為逆行軌道[7]。存在兩個(gè)光子軌道以及光子運(yùn)動(dòng)方向的原因Edward Teo在文獻(xiàn)[8]中有比較詳細(xì)的描述。而四次方程的兩個(gè)實(shí)根恰好分別表示順行軌道以及逆行軌道的半徑與轉(zhuǎn)動(dòng)參數(shù)以及電荷參數(shù)之間的關(guān)系。這一方法同樣可以推廣到Kerr-Newman-Kasuya 黑洞和Kerr-Sen 黑洞。隨后，我們描繪出了光子軌道半徑與轉(zhuǎn)動(dòng)參數(shù)以及電荷參數(shù)之間的關(guān)系圖像。最后，我們分析了光子軌道的穩(wěn)定性問題，并做了簡(jiǎn)要總結(jié)與討論。

1 Kerr-Newman 黑洞周圍的精確球形光子軌道及其穩(wěn)定性

在標(biāo)準(zhǔn)的 Boyer-Lindquist 坐標(biāo)系下，Kerr-Newman 時(shí)空的線元可以表示為：

其中，

為了得到光子在Kerr-Newman 黑洞周圍的運(yùn)動(dòng)方程，對(duì)哈密頓雅可比方程分離變量后可得：

其中，

這里E 表示光子的能量，λ表示仿射參量，Lz表示光子角動(dòng)量的z 分量，K 表示卡特常數(shù)。在后文中，我們令我們分別稱u、q為轉(zhuǎn)動(dòng)參數(shù)與電荷參數(shù)。對(duì)于圓形的光子軌道需要滿足條件由此可得以下兩組解：

但是文獻(xiàn)[8]告訴我們當(dāng)卡特常數(shù)小于零時(shí)是非物理的，因此我們只討論第二組解并借助有效傾角的定義

令v= sin2i，則可得到如下的一元六次方程：

僅當(dāng)q=0 時(shí)，這便回到了Kerr 時(shí)空下光子軌道半徑與轉(zhuǎn)動(dòng)參數(shù)所滿足的關(guān)系，由于轉(zhuǎn)動(dòng)參數(shù)u的存在，這依然是一個(gè)一元六次方程；僅當(dāng)u=0 時(shí)，便得到了Reissner-Nordstrom 時(shí)空下光子軌道半徑與轉(zhuǎn)動(dòng)參數(shù)所滿足的關(guān)系，此時(shí)是一個(gè)一元四次方程，如下：

可以解得：

當(dāng)u=0 且q=0，得到Schwarzschild 時(shí)空下光子軌道半徑與黑洞質(zhì)量所滿足的一元二次方程，且是一個(gè)完全平方的形式：

其結(jié)果為我們熟知的x=3，或r=3M，即在Schwarzschild 黑洞周圍可以存在一個(gè)r=3m 的圓形光子軌道。將（13）式分解為如下的形式：

A、B、C、D、E表示待定系數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)此時(shí)

由于v= sin2i，因此0＜v＜1；對(duì)于v＜1不難證明是恒成立的，不過要使得0＜v，u要滿足如下范圍：

對(duì)于非極端黑洞情況，還要滿足u＜1-q。另外對(duì)于電荷參數(shù)q所滿足的范圍，當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)參數(shù)u介于0到0.5 或者介于0.5 到1 時(shí)，電荷參數(shù)q 滿足不同的范圍，下面以u(píng)等于0.25、0.5 和0.75 為例，畫出v隨電荷參數(shù)q的圖像。

圖1 Kerr-Newman黑洞參數(shù)v當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)參數(shù)取不同值時(shí)與電荷參數(shù)之間的關(guān)系圖

當(dāng)0 ＜u＜0.5， 要 滿 足0 ＜v， 則0 ＜q當(dāng)0.5 ＜u＜1，要滿足0 ＜v，則0 ＜q＜1-u。由于方程（14）及其解太復(fù)雜，在本文中僅給出方程（14）各待定系數(shù)與轉(zhuǎn)動(dòng)參數(shù)以及電荷參數(shù)之間的關(guān)系。

由此可以通過求解方程（14）得到Kerr-Newman黑洞周圍光子軌道半徑與其轉(zhuǎn)動(dòng)參數(shù)以及電荷參數(shù)之間的關(guān)系，下面給出當(dāng)電荷參數(shù)取某些特定值時(shí)光子軌道半徑與轉(zhuǎn)動(dòng)參數(shù)的圖像。

圖2 Kerr-Newman 黑洞周圍光子軌道半徑在不同電荷參數(shù)時(shí)與轉(zhuǎn)動(dòng)參數(shù)之間的關(guān)系

三條曲線從上到下分別表示逆行、順行和視界內(nèi)部的光子軌道，上面幾幅圖分別表示電荷參數(shù)取0、0.125、0.25、0.5、0.67，相應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)參數(shù)范圍為[0,1]，[8/27，7/8]，[49/108，3/4]，[25/54，1/2]，[242/729，1/3]。當(dāng)q=0，則回到了Kerr 黑洞的情況。

圖3 Kerr-Newman 黑洞周圍光子軌道半徑在不同轉(zhuǎn)動(dòng)參數(shù)時(shí)與電荷參數(shù)之間的關(guān)系

三條曲線從上到下依然分別表示逆行、順行和視界內(nèi)部的光子軌道，上面幾幅圖分別表示轉(zhuǎn)動(dòng)參數(shù)取0、0.125、0.25、0.5、0.67 時(shí)，相應(yīng)的電荷參數(shù)范圍 為[0,1]，[0,0.0452]，[0,0.1005]，[0,0.5]，[0,0.33]。當(dāng)u=0，則回到了Reissner-Nordstrom黑洞的情況。

2 結(jié)論

帶電軸對(duì)稱黑洞附近的光子運(yùn)動(dòng)對(duì)于天體物理學(xué)很重要，為了研究更具一般性時(shí)空的幾何結(jié)構(gòu)，本文基于愛因斯坦的廣義相對(duì)論以及麥克斯韋理論得到的Kerr-Newman 黑洞，定量研究了該時(shí)空下光子軌道半徑與黑洞的電荷參數(shù)和轉(zhuǎn)動(dòng)參數(shù)之間的關(guān)系以及軌道的穩(wěn)定性問題，因?yàn)樗枋龅臅r(shí)空比Kerr 時(shí)空更具一般性。到目前為止，我們已經(jīng)知道Kerr 黑洞周圍的

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