侯澤群，楊 芳,2，薛玉君,2,3，李 航,2，彭 程

1河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院 河南洛陽 471003

2河南省機(jī)械設(shè)計(jì)及傳動(dòng)系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 河南洛陽 471003

3礦山重型裝備國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 河南洛陽 471039

并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有累計(jì)誤差小、運(yùn)動(dòng)精度高、動(dòng)態(tài)性能好等特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用在重型機(jī)械、機(jī)器人和智能裝備等領(lǐng)域[1-2]。繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)是并聯(lián)機(jī)構(gòu)的一個(gè)分支，用繩索代替了剛性連桿。繩牽引與剛性連桿相比，由于其質(zhì)量較輕，極大地減小了運(yùn)動(dòng)部件的慣性，因而繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)在需要高速運(yùn)動(dòng)的場(chǎng)合下具有明顯優(yōu)勢(shì)[3]。此外，相對(duì)于傳統(tǒng)的剛性連桿并聯(lián)機(jī)構(gòu)，繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)還具有工作空間大、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、運(yùn)動(dòng)速度快等優(yōu)點(diǎn)[4-5]。繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有并聯(lián)機(jī)構(gòu)和繩索驅(qū)動(dòng)的共同優(yōu)勢(shì)，使得繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)一直是相關(guān)領(lǐng)域研究熱點(diǎn)，受到越來越多的關(guān)注[6-8]。

為了獲得較高的末端軌跡運(yùn)動(dòng)性能，需要對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行規(guī)劃。Jiang 等人[9]針對(duì)六自由度繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)軌跡規(guī)劃問題，利用球面線性插值法使線段之間的平移和旋轉(zhuǎn)加速度過渡具有連續(xù)性。Gosselin 等人[10]針對(duì)兩自由度懸索并聯(lián)機(jī)器人的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)軌跡規(guī)劃問題，采用多項(xiàng)式插值法和三角函數(shù)法進(jìn)行對(duì)比，2 種方法都可以保證加速度的連續(xù)性。Xiang等人[11]將懸索并聯(lián)機(jī)器人建立成線性等效動(dòng)力學(xué)模型，進(jìn)行了部分解耦，并利用二次規(guī)劃的方法實(shí)現(xiàn)了軌跡生成。張文佳等人[12]提出了一種 S 型-梯形規(guī)劃方法，可以使得起止點(diǎn)和終止點(diǎn)的加速度為零，而中間若干點(diǎn)的加速度不為零，實(shí)現(xiàn)軌跡規(guī)劃。Yuan 等人[13]采用三次樣條插值法對(duì)繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行軌跡規(guī)劃并設(shè)計(jì)試驗(yàn)，通過試驗(yàn)表明基于運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的軌跡規(guī)劃具有良好的精度。Li 等人[14]對(duì)四自由度SCARA 型并聯(lián)機(jī)器人，利用 5 次 B 樣條曲線生成了光滑的運(yùn)動(dòng)軌跡，在試驗(yàn)結(jié)果中獲得了連續(xù)平滑的關(guān)節(jié)力矩，降低了末端執(zhí)行器的振動(dòng)。

筆者面向繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)性能需要，開展繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃研究。在考慮牽引繩柔性特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，采用 Adams 和MATLAB 建立聯(lián)合仿真模型，來模擬牽引繩的非線性特征。在此基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了改進(jìn)多項(xiàng)式方法來規(guī)劃末端執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃。通過仿真分析與試驗(yàn)驗(yàn)證了該軌跡規(guī)劃方法的有效性，使末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)軌跡平滑，有效減少了驅(qū)動(dòng)電動(dòng)機(jī)的啟停次數(shù)，為后續(xù)開展軌跡運(yùn)動(dòng)控制奠定了基礎(chǔ)。

1 繩牽引末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

1.1 繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)

繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)采用 4 臺(tái)直線電動(dòng)機(jī)牽引繩索，進(jìn)而通過帶動(dòng)繩索使末端執(zhí)行器按照規(guī)劃的軌跡進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，繩牽引末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)如圖 1 所示。初始時(shí)，直線電動(dòng)機(jī)動(dòng)子滑塊都在軌道中間位置，末端執(zhí)行器中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)處。由于末端執(zhí)行器為圓形，所以位姿的變化沒有影響，可以將末端執(zhí)行器考慮為質(zhì)點(diǎn)。

圖1 繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.1 Cable-driving parallel mechanism

繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖與坐標(biāo)系如圖 2 所示，Mi(i=1，2，3，4) 為直線電動(dòng)機(jī)，d為每組直線電動(dòng)機(jī)運(yùn)動(dòng)方向，4 個(gè)出繩點(diǎn)為Ai(xi，yi) (i=1，2，3，4)，P為末端執(zhí)行器，F(xiàn)i(i=1，2，3，4) 為末端執(zhí)行器所受各根繩上的拉力，出繩長(zhǎng)度為L(zhǎng)i(i=1，2，3，4)。實(shí)物框架用四邊形代替，4 個(gè)頂點(diǎn)為出繩點(diǎn)，并以框架中心點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系Oxy。

圖2 繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖與坐標(biāo)系Fig.2 Sketch and coordinate system of cable-driving parallel mechanism

1.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

設(shè) 4 根驅(qū)動(dòng)繩的出繩長(zhǎng)度為L(zhǎng)i(i=1，2，3，4)，末端執(zhí)行器的中心點(diǎn)坐標(biāo)為P(x，y)，則根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解公式[15-17]可得

由圖 2 可知，4 組直線電動(dòng)機(jī)沿x軸方向運(yùn)動(dòng)，y軸方向位置不變。出繩長(zhǎng)度減去初始出繩長(zhǎng)度，對(duì)應(yīng)為末端執(zhí)行器與直線電動(dòng)機(jī)位置，直線電動(dòng)機(jī)Mi(i=1，2，3，4) 沿x軸位置di(i=1，2，3，4) 如表 1 所列。其中LAiO(i=1，2，3，4) 為初始位置時(shí)的出繩長(zhǎng)度即出繩點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離。

表1 末端執(zhí)行器與直線電動(dòng)機(jī)位置關(guān)系Tab.1 Position relationship between end actuator and linear motor

由式 (1) 將繩長(zhǎng)公式對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)即可得到繩索速度變化公式，可以具體表示為

由式 (1) 將繩長(zhǎng)公式對(duì)時(shí)間求二階導(dǎo)即可得繩長(zhǎng)加速度變化公式，可以具體表示為

1.3 聯(lián)合仿真模型

繩牽引過程中繩索具有非線性，該因素會(huì)影響運(yùn)動(dòng)精度。為了反映繩索非線性因素對(duì)末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)精度的影響，用數(shù)學(xué)模型建模較為復(fù)雜，因此設(shè)計(jì)了聯(lián)合仿真模型進(jìn)行仿真計(jì)算。該模型在 MATLAB/Simulink 環(huán)境下運(yùn)行，建模步驟如下。

(1) 軌跡規(guī)劃 把時(shí)鐘信號(hào)和參考點(diǎn)信息代入軌跡規(guī)劃式，得到期望的末端執(zhí)行器 P 運(yùn)動(dòng)中實(shí)時(shí)位置坐標(biāo)。

(2) MATLAB 中逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型 將規(guī)劃的末端執(zhí)行器P 軌跡代入式 (1)，就可以得到解算后電動(dòng)機(jī)的位移Di(i=1，2，3，4)。

(3) Adams 中建立實(shí)體模型 把末端執(zhí)行器 P 簡(jiǎn)化成等質(zhì)量小圓柱體，將直線電動(dòng)機(jī)簡(jiǎn)化成小滑塊，小滑塊要添加約束和驅(qū)動(dòng)，驅(qū)動(dòng)設(shè)置接口由 MATLAB中解算出的電動(dòng)機(jī)位移Di(i=1，2，3，4) 提供。用Adams 中的繩輪模塊完成對(duì)繩索和滑輪的建立。繩輪模型要設(shè)置滑輪的位置、繩索的直徑、彈性模量等參數(shù)。仿真完成后，可以提取各電動(dòng)機(jī)實(shí)際位移li(i=1，2，3，4) 即末端執(zhí)行器運(yùn)行軌跡。

聯(lián)合仿真模型的整體結(jié)構(gòu)如圖 3 所示，參數(shù)設(shè)置如表 2 所列。

表2 繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)參數(shù)Tab.2 Parameters of cable-driving parallel mechanism

圖3 仿真結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Simulation structure diagram

2 軌跡規(guī)劃

2.1 參考點(diǎn)選取

對(duì)多點(diǎn)的軌跡規(guī)劃可分為插值法與擬合法。由圖4 可以看出，插值法下末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)軌跡有序經(jīng)過各個(gè)參考點(diǎn)；擬合法下運(yùn)動(dòng)軌跡不能準(zhǔn)確的經(jīng)過各個(gè)參考點(diǎn)，存在一定的誤差。

圖4 同一組參考點(diǎn)下的軌跡Fig.4 Trajectory at same set of reference point

當(dāng)使用插值法，末端執(zhí)行器經(jīng)過參考點(diǎn)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)以下 2 種情況：①若速度過快，突然改變速度方向產(chǎn)生較大的沖擊，會(huì)造成末端執(zhí)行器振蕩影響運(yùn)動(dòng)精度；② 若速度過慢，失去對(duì)高動(dòng)態(tài)末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)規(guī)劃的意義。因此，筆者采用擬合法開展軌跡規(guī)劃。

2.2 改進(jìn)多項(xiàng)式軌跡擬合

試驗(yàn)中，需要用不同曲率的拋物線軌跡來模擬不同情況下末端執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)，以第 2 組拋物線為例，采用等x軸間距的方式把軌跡分成離散點(diǎn)，如圖 5、6所示。

圖5 不同曲率軌跡與參考點(diǎn)選取Fig.5 Various curvature trajectories and selection of reference point

從圖 6 可以看出，傳統(tǒng)插值法規(guī)劃的運(yùn)動(dòng)軌跡并不光滑，還可能會(huì)因?yàn)樗俣确较虻淖兓a(chǎn)生突變的力。為使擬合函數(shù)更加準(zhǔn)確，筆者使用三次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合。

圖6 插值法末端執(zhí)行器運(yùn)行軌跡Fig.6 Motion trajectory obtained with interpolation method of end actuator

根據(jù)給定的n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)pi(xi，yi) (i=1，2，…，n)，求近似曲線，使得近似曲線在pi點(diǎn)處的偏差平方和最小。

設(shè)三次多項(xiàng)式為

式中：ai(i=0，1，2，3) 為待定系數(shù)。

各點(diǎn)到這條曲線的偏差平方和

為了求得符合條件的a值，對(duì)每個(gè)系數(shù)求其偏導(dǎo)數(shù)為 0，即

對(duì)式 (6) 進(jìn)行化簡(jiǎn)處理可得

把等式 (7) 改寫為矩陣形式

將數(shù)據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)代入式 (9)，求解可得ai(i=0，1，2，3) 的值。從而得到優(yōu)化后的軌跡方程。由式 (9) 可知，要擬合 3 次多項(xiàng)式至少需要 4 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)較多時(shí)可以去掉偏差較大的點(diǎn)。得到軌跡函數(shù)后，再進(jìn)行梯形速度規(guī)劃，首先求出總路徑長(zhǎng)度

式中：a為軌跡起始點(diǎn)x軸坐標(biāo)；b為軌跡結(jié)束點(diǎn)x軸坐標(biāo)。

再將末端執(zhí)行器整段運(yùn)動(dòng)路徑分為勻加速、勻速、勻減速階段，設(shè)勻加速階段和勻減速階段長(zhǎng)度各占全軌跡長(zhǎng)度的比例系數(shù)為k，則勻速階段占全軌跡長(zhǎng)度的比例系數(shù)為 1-2k，這里假設(shè)k＝0.4，k值越大，勻變速階段路徑越長(zhǎng)，則所需加速度越小。期望末端執(zhí)行器的最大速度vmax為 2 m/s。

分別得到末端執(zhí)行器勻加速階段s1(t)，勻速階段s2(t)，勻減速階段s3(t) 的表達(dá)式。

由此，可得到每個(gè)仿真步長(zhǎng)已走過的路徑長(zhǎng)度，再與軌跡起始點(diǎn)x軸坐標(biāo)代入式 (10)，就得到每個(gè)仿真步長(zhǎng)末端執(zhí)行器所在的x軸坐標(biāo)位置，再代入得到的軌跡函數(shù)式，就可得到末端執(zhí)行器經(jīng)規(guī)劃后的實(shí)時(shí)軌跡坐標(biāo)。

3 仿真分析

設(shè)置仿真步長(zhǎng)為 0.001。選取離散參考點(diǎn)如表 3所列，代入式 (4)～ (9) 可得到優(yōu)化后的軌跡方程

表3 參考點(diǎn)坐標(biāo)Tab.3 Coordinates of reference point mm

優(yōu)化后末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)軌跡如圖 7 所示。運(yùn)行軌跡分為勻加速、勻速和勻減速階段，可以使末端執(zhí)行器更長(zhǎng)時(shí)間保持在峰值速度，提高運(yùn)動(dòng)效率。優(yōu)化前后 2 種方法的運(yùn)行軌跡如圖 8 所示。由圖 8 可以看出，改進(jìn)多項(xiàng)式法優(yōu)化后末端執(zhí)行器的運(yùn)行軌跡更加光滑，貼合期望物體運(yùn)動(dòng)情況。

圖7 優(yōu)化后末端執(zhí)行器運(yùn)行軌跡Fig.7 Motion trajectory of end actuator after optimization

圖8 優(yōu)化前后 2 種方法下運(yùn)動(dòng)軌跡仿真Fig.8 Simulation on motion trajectory with two kinds of method before and after optimization

為清晰的對(duì)比優(yōu)化前后電動(dòng)機(jī)運(yùn)動(dòng)情況，以 1 號(hào)驅(qū)動(dòng)電動(dòng)機(jī)為例進(jìn)行對(duì)比。1 號(hào)電動(dòng)機(jī)位移仿真如圖9 所示。由圖 9 可以看出，優(yōu)化后的電動(dòng)機(jī)位移變化更加平穩(wěn)順滑，波動(dòng)更少，同時(shí)縮短了運(yùn)行時(shí)間。1號(hào)電動(dòng)機(jī)速度仿真如圖 10 所示。由圖 10 可以看出，優(yōu)化后電動(dòng)機(jī)的啟停次數(shù)為 4 次，而插值法啟停次數(shù)達(dá)到了 8 次，優(yōu)化后電動(dòng)機(jī)啟停次數(shù)減少了 50%。啟停次數(shù)減少，增加了保持在峰值速度的時(shí)間，同時(shí)避免了末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)中產(chǎn)生振蕩對(duì)運(yùn)動(dòng)精度造成影響。1 號(hào)電動(dòng)機(jī)加速度仿真如圖 11 所示，由圖11 可以看出，使用優(yōu)化方法后加速度減少了突變次數(shù)，使得末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)更加平穩(wěn)，并且使用插值法時(shí)，最大加速度達(dá)到了 6.68×104mm/s2，而使用優(yōu)化方法后，最大加速度為 4.76×104mm/s2，減小了約28.74%。

圖9 電動(dòng)機(jī)位移仿真Fig.9 Simulation of motor displacement

圖10 電動(dòng)機(jī)速度仿真Fig.10 Simulation of motor velocity

圖11 電動(dòng)機(jī)加速度仿真Fig.11 Simulation of motor acceleration

從仿真時(shí)間可以看出，傳統(tǒng)插值法運(yùn)行總時(shí)長(zhǎng)需要 3.524 s，而經(jīng)過優(yōu)化后運(yùn)行總時(shí)長(zhǎng)只需要 2.740 s，縮短了 0.784 s，優(yōu)化后的軌跡所用時(shí)間減少了22.25%，縮短了整體運(yùn)行時(shí)間。

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

選擇工控 PC 機(jī)作為控制器，在 TwinCAT 3 平臺(tái)上完成試驗(yàn)樣機(jī)控制系統(tǒng)程序。將 2 種方法下的位置變化情況作為輸入信號(hào)，在試驗(yàn)中通過 Twin CAT 3 中 Scope 模塊監(jiān)測(cè)得到 4 組直線電動(dòng)機(jī)實(shí)際運(yùn)動(dòng)情況。采用高速相機(jī)，對(duì)優(yōu)化后的試驗(yàn)軌跡進(jìn)行了多次測(cè)量記錄，如圖 12 所示。

圖12 優(yōu)化后多次測(cè)量軌跡Fig.12 Multiple measurement trajectories after optimization

仍以 1 號(hào)驅(qū)動(dòng)電動(dòng)機(jī)為例，對(duì)比優(yōu)化前后直線電動(dòng)機(jī)運(yùn)動(dòng)情況。優(yōu)化前后 1 號(hào)電動(dòng)機(jī)位移對(duì)比如圖13 所示。由圖 13 可以看出，優(yōu)化后電動(dòng)機(jī)位移更加平滑，與仿真結(jié)果基本相同。優(yōu)化前后 1 號(hào)電動(dòng)機(jī)速度對(duì)比如圖 14 所示。由圖 14 可以看出，使用插值法時(shí)，速度發(fā)生了突變，造成了較大的沖擊。造成這種現(xiàn)象的原因，可能是由于直線電動(dòng)機(jī)頻繁啟停，導(dǎo)致響應(yīng)不及時(shí)，并且在運(yùn)動(dòng)過程中造成了較大的噪聲。優(yōu)化前后 1 號(hào)電動(dòng)機(jī)加速度對(duì)比如圖 15 所示。由圖15 可以看出，采用優(yōu)化方法后，直線電動(dòng)機(jī)加速度變化次數(shù)減少，避免了末端執(zhí)行器振動(dòng)，與仿真趨勢(shì)基本一致。

圖13 電動(dòng)機(jī)位移對(duì)比Fig.13 Comparison of motor displacement

圖14 電動(dòng)機(jī)速度對(duì)比Fig.14 Comparison of motor velocity

圖15 電動(dòng)機(jī)加速度對(duì)比Fig.15 Comparison of motor acceleration

對(duì)比仿真與試驗(yàn)結(jié)果可以看出，仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果變化趨勢(shì)相同，驗(yàn)證了仿真模型的準(zhǔn)確性。

5 結(jié)論

(1) 通過仿真分析，改進(jìn)多項(xiàng)式法可對(duì)末端執(zhí)行器軌跡與直線電動(dòng)機(jī)運(yùn)動(dòng)性能進(jìn)行優(yōu)化。優(yōu)化后的末端執(zhí)行器軌跡更加平滑，縮短了運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)；直線電動(dòng)機(jī)位移波動(dòng)明顯減小，并且啟停次數(shù)減少，避免了沖擊與振動(dòng)的影響。

(2) 搭建了試驗(yàn)樣機(jī)，對(duì)傳統(tǒng)插值法和改進(jìn)多項(xiàng)式法進(jìn)行了試驗(yàn)對(duì)比。結(jié)果表明，使用改進(jìn)多項(xiàng)式法優(yōu)化后，直線電動(dòng)機(jī)位移、速度和加速度曲線更加平滑。

(3) 通過仿真與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比可以看出，各直線電動(dòng)機(jī)的位移、速度以及加速度情況基本相同。驗(yàn)證了聯(lián)合仿真模型的準(zhǔn)確性。