姜琛 李濤,2 趙宏生

1 南京信息工程大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院,南京,210044 2 南京信息工程大學(xué) 大氣環(huán)境與裝備技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心,南京,210044

0 引言

四旋翼無人機(jī)(Quadrotor Unmanned Aerial Vehicle,QUAV)具有靈活、高效、方便等特點(diǎn),在交通、建筑、防災(zāi)救援、航道巡查等領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛[1].QUAV抗干擾能力較弱且極易受到外部環(huán)境的影響,這些都增大了其控制難度.因此,一個(gè)穩(wěn)健、可靠的控制方法就顯得尤為重要.現(xiàn)階段,對(duì)于四旋翼無人機(jī)飛行控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方案主要有PID控制[2]、滑?？刂芠3]、自抗擾控制[4]等.

目前一種有效抑制干擾的方法是基于干擾觀測器的控制(Disturbance Observer Based Control,DOBC)[5].例如,針對(duì)具有已知頻率的諧波干擾,可以充分利用它的已知信息,用外生系統(tǒng)模型來進(jìn)行描述,此時(shí)DOBC可以充分發(fā)揮它在干擾的估計(jì)方面的優(yōu)越性能.邵書義等[6]通過設(shè)計(jì)離散時(shí)間干擾觀測器抑制外部干擾和執(zhí)行器故障的不利影響,并結(jié)合干擾觀測器設(shè)計(jì)離散時(shí)間控制器保證了在外部干擾和執(zhí)行器故障綜合作用下的四旋翼無人機(jī)系統(tǒng)跟蹤性能;侯林林[7]將干擾觀測器與L2-L∞控制相結(jié)合設(shè)計(jì)了復(fù)合抗干擾控制器,提高了非線性時(shí)變時(shí)滯關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的抗干擾性能.在自抗擾控制(Active Disturbance Rejection Control,ADRC)[8]中,系統(tǒng)內(nèi)部由于建模誤差等因素產(chǎn)生的干擾以及外部所受干擾被看作是一個(gè)“總干擾”,通過對(duì)其補(bǔ)償從而提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性.石嘉等[9]為了提高四旋翼無人機(jī)姿態(tài)控制的抗干擾能力,設(shè)計(jì)了一種內(nèi)外環(huán)嵌套結(jié)構(gòu)的改進(jìn)型自抗擾控制器;Lotufo等[10]提出了一種設(shè)計(jì)四旋翼無人機(jī)的完整數(shù)字姿態(tài)控制單元的原始方法,該方法是在自抗擾控制和嵌入式模型控制框架內(nèi)開發(fā)的,既基于影響工廠控制的干擾和不確定性的估計(jì),也解決了針對(duì)四旋翼無人機(jī)姿態(tài)控制過程中存在模型不確定和外界風(fēng)干擾的問題.但是,他們考慮的干擾是單一的,或者將多源干擾直接合并為一個(gè)總干擾,沒有充分利用不同類型干擾特性和系統(tǒng)性能的影響機(jī)理,保守性較大.四旋翼無人機(jī)在飛行途中會(huì)受到連續(xù)風(fēng)和陣風(fēng)的影響,而它們可以被視為具有已知信息的干擾和未知的非線性干擾.因此,本文分別設(shè)計(jì)干擾觀測器和擴(kuò)張狀態(tài)觀測器進(jìn)行估計(jì),然后通過基于雙觀測器的滑?？刂坡蓙韺?shí)現(xiàn)對(duì)不同干擾的補(bǔ)償.經(jīng)過理論和仿真驗(yàn)證,本文設(shè)計(jì)的控制算法能夠有效估計(jì)和補(bǔ)償干擾并快速精確地完成姿態(tài)角的軌跡跟蹤.

1 四旋翼無人機(jī)建模

四旋翼無人機(jī)是典型的欠驅(qū)動(dòng)模型.假設(shè):1)四旋翼無人機(jī)可看作理想剛體,在運(yùn)動(dòng)過程中不存在任何形式的形變;2)四旋翼無人機(jī)的質(zhì)心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合;3)忽略四旋翼無人機(jī)內(nèi)部存在的各種形式的摩擦和能量損耗.圖1為無人機(jī)的兩個(gè)坐標(biāo)系,圖中Fi(i=1,…,4)為每個(gè)旋翼產(chǎn)生的升力,ωi(i=1,…,4)為每個(gè)旋翼的轉(zhuǎn)速.A系為機(jī)體坐標(biāo)系,B系為地面坐標(biāo)系,原點(diǎn)為無人機(jī)的質(zhì)心.圍繞X，Y和Z的歐拉角為σ=[φθφ]T,并且空間旋轉(zhuǎn)分別以X,Y和Z軸的順序變化.φ為滾轉(zhuǎn)角,即圍繞自身X軸旋轉(zhuǎn)的角度;θ為俯仰角,即圍繞自身Y軸旋轉(zhuǎn)的角度;φ為偏航角,即圍繞自身Z軸旋轉(zhuǎn)的角度.

圖1 四旋翼無人機(jī)系統(tǒng)簡圖

本文主要研究四旋翼無人機(jī)的姿態(tài)控制,不考慮姿態(tài)角大于90°的情況.用歐拉角來描述四旋翼無人機(jī)的空間姿態(tài)并進(jìn)行建模.根據(jù)牛頓第二定律,四旋翼無人機(jī)的動(dòng)力學(xué)模型[11]如下:

(1)

其中l(wèi)表示各旋翼到機(jī)體質(zhì)心的距離,Ixx,Iyy,Izz分別為四旋翼無人機(jī)機(jī)體的三軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,Hi(i=1,2,3)為阻力系數(shù),ui(i=1,2,3)分別為滾轉(zhuǎn)角φ、俯仰角θ以及偏航角φ的控制輸入，Gi(i=1,2,3)為無人機(jī)每個(gè)角所受到的干擾.這里Gi為兩部分組成:

Gi=di+f.

(2)

干擾di可以用如下的外生系統(tǒng)模型進(jìn)行描述:

(3)

其中ξ∈R2是外生系統(tǒng)模型的狀態(tài)向量,Mi和Ni分別為外生系統(tǒng)模型的系統(tǒng)矩陣和輸出矩陣.

圖2 四旋翼無人機(jī)姿態(tài)控制結(jié)構(gòu)框圖

2 雙觀測器設(shè)計(jì)

2.1 干擾觀測器設(shè)計(jì)

(4)

為了補(bǔ)償由外生模型描述的干擾d1,設(shè)計(jì)如下干擾觀測器:

(5)

2.2 擴(kuò)張狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)

此時(shí),基于干擾觀測器的輸出,擴(kuò)張狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)為

(6)

此時(shí),根據(jù)式(3)和式(5)可以得到ξ估計(jì)誤差:

(7)

根據(jù)式(4)和式(6)得到x2和x3估計(jì)誤差:

(8)

(9)

此時(shí),干擾觀測器以及擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的增益可以通過極點(diǎn)配置法進(jìn)行選擇.

(10)

這里的wi是一個(gè)正常數(shù).此時(shí)誤差系統(tǒng)(9)為輸入輸出穩(wěn)定.

注1針對(duì)誤差系統(tǒng)(9)首先指定一組期望閉環(huán)極點(diǎn)λ1,λ2,λ3,并且保證所有的極點(diǎn)均存在負(fù)實(shí)部;然后通過格拉姆矩陣判據(jù)判定其是否能控,若系統(tǒng)完全能控,即滿足可配置條件,再通過計(jì)算系統(tǒng)的多項(xiàng)式(10)即可求得干擾觀測器以及擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的增益.

也可通過線性矩陣不等式(LMI)的方法求雙觀測器的增益,此時(shí)將估計(jì)誤差系統(tǒng)(9)改寫為

(11)

引理1[12]對(duì)于?x,y∈Rn,存在正實(shí)數(shù)ε和正定矩陣Z∈Rn×n,滿足2xΤy≤ε-1xΤZx+εyΤZy.

定理1對(duì)于系統(tǒng)(11),如果存在正定對(duì)稱矩陣P=PΤ>0,Q=QΤ>0,常數(shù)?>0以及矩陣Pl,Qk滿足:

(12)

式中Π1=PM1-PlN1+(PM1-PlN1)Τ+P,Π2=QA-QkC+(QA-QkC)Τ+Q,此時(shí)通過選擇觀測器增益L1=P-1Pl,K1=Q-1Qk,系統(tǒng)(11)最終是一致有界的.

證明選取李雅普諾夫函數(shù):

(13)

對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)可得:

(14)

根據(jù)引理1得:

(15)

為了簡單起見,定義:

(16)

其中:

(17)

此時(shí)(15)可以簡寫為:

(18)

(19)

注2在本文中,具有外生模型的干擾di由干擾觀測器進(jìn)行估計(jì),而可微干擾f由擴(kuò)張狀態(tài)觀測器進(jìn)行估計(jì).與單個(gè)擴(kuò)張狀態(tài)觀測器相比,這種處理方案充分利用對(duì)已知信息干擾的估計(jì)結(jié)果,進(jìn)而提高了干擾估計(jì)的性能.

3 基于雙觀測器的滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

為了提高控制系統(tǒng)的響應(yīng)速度以及姿態(tài)角的跟蹤精度,本文采用基于雙觀測器的滑模控制器[13].其中φ1為給定的目標(biāo)角度,φ為當(dāng)前的滾轉(zhuǎn)角,e為偏差且表示為

e=φ1-φ.

(20)

針對(duì)滾轉(zhuǎn)角φ選取如下滑模面:

(21)

其中λ>0,并對(duì)上式滑模面求導(dǎo)得:

(22)

(23)

為了增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性,定義如下us:

us=ρ1s+ρ2sgn(s),

(24)

其中:

(25)

此時(shí)基于雙觀測器的滑?？刂坡蔀?/p>

(26)

證明選取李雅普諾夫函數(shù):

(27)

對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)可得:

(28)

4 仿真實(shí)驗(yàn)分析

為了驗(yàn)證基于雙觀測器的滑?？刂品桨傅挠行院汪敯粜?在MATLAB的Simulink環(huán)境下進(jìn)行仿真.給定的四旋翼無人機(jī)動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)如下所示:m=2.5 kg,l=0.245 m,H1=0.01,Ixx=0.042 kg·m2.而干擾分為di和f.兩部分干擾di表示連續(xù)風(fēng)干擾,干擾f表示陣風(fēng)干擾,它們分別由干擾觀測器和擴(kuò)張狀態(tài)觀測器來進(jìn)行估計(jì).首先,干擾d1=c1sin(wt+ψ1),它的已知頻率w1為1,參數(shù)c1和ψ1分別被選為-1和-π/6.選取ξ1=[c1sin(wt+ψ1),c1cos(wt+ψ1)]Τ,干擾d1根據(jù)式(3)形式進(jìn)行建模,其系數(shù)矩陣:

(29)

給定非線性干擾f1=-x12+2x2+0.2sin(2t),通過極點(diǎn)配置,干擾觀測器和擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的增益分別為L1-1=[0.61 4.62]Τ,K1-1=[9.39 24]Τ.

干擾觀測器與擴(kuò)張狀態(tài)觀測器估計(jì)的風(fēng)擾分別如圖3、4所示.從圖3中可以看出所設(shè)計(jì)的干擾觀測器可以在4 s時(shí)準(zhǔn)確地估計(jì)到干擾d1.同樣地可以從圖4中觀察到擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對(duì)非線性干擾f1估計(jì)誤差較小,觀測器的性能較強(qiáng).

圖3 干擾d1的估計(jì)

圖4 非線性干擾f1的估計(jì)

對(duì)于干擾d2=c2sin(wt+ψ2),它的已知頻率w2為1,參數(shù)c2和ψ2分別被選為2和0.選取ξ2=[sin(wt+ψ2),cos(wt+ψ2)]Τ,干擾d2根據(jù)式(3)進(jìn)行建模,其系數(shù)矩陣:

(30)

非線性干擾給定f2=-x12+2x2+0.2sin(2t),通過LMI的方法[14]對(duì)雙觀測器的增益進(jìn)行求解,得到干擾觀測器和擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的增益分別為L1-2=[3.266 2.651]Τ,K1-2=[9.38 41.4]Τ.從圖5和6中可以看出:相對(duì)于圖3和4,此時(shí)觀測器雖然可以準(zhǔn)確估計(jì)到干擾,但是超調(diào)量較大而且所需時(shí)間更長.因此,當(dāng)系統(tǒng)不存在不確定項(xiàng)時(shí),極點(diǎn)配置法優(yōu)于LMI的方法.

圖6 非線性干擾f2的估計(jì)

滾轉(zhuǎn)角、俯仰角和偏航角的跟蹤仿真如圖7—9所示.設(shè)定目標(biāo)角度φ1=5°、θ1=6°、φ1=7°,各旋翼到機(jī)體質(zhì)心的距離l為0.245 m.四旋翼無人機(jī)機(jī)體的三軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ixx，Iyy，Izz分別為0.042、0.051和0.09,阻力系數(shù)H1，H2，H3分別為0.01、0.05和0.1.控制器中λ=10,ρ1=20,ρ2=30.并將本文提出的控制方法與PID控制[15]進(jìn)行對(duì)比，使用該文的取值,其中kp=15,ki=0.2,kd=9.可以從圖7—9中清楚地看出PID控制并未能精確地跟蹤到期望角度,超調(diào)量較大,而本文的控制算法超調(diào)量小,對(duì)干擾的抑制效果較好,并且對(duì)目標(biāo)角度信號(hào)的跟蹤精度也非常高.

圖7 滾轉(zhuǎn)角φ的跟蹤性能與對(duì)比

圖8 俯仰角θ的跟蹤性能與對(duì)比

圖9 偏航角φ的跟蹤性能與對(duì)比

5 結(jié)束語

為了提高四旋翼無人機(jī)的控制精度和抗干擾能力,充分利用四旋翼無人機(jī)上多重干擾的特性,提出了一種新的基于雙觀測器的滑?？刂品桨?利用干擾觀測器來估計(jì)外生系統(tǒng)模型描述的干擾,而可微干擾被擴(kuò)張狀態(tài)觀測器估計(jì).接著設(shè)計(jì)基于雙觀測器的滑?？刂破?實(shí)現(xiàn)了四旋翼無人機(jī)的抗干擾姿態(tài)跟蹤控制.最后利用李亞普諾夫理論證明了該系統(tǒng)的穩(wěn)定性.在未來的工作中,將嘗試采用實(shí)物仿真來驗(yàn)證所提方法的實(shí)用性.